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专题 8.12 实际问题与二元一次方程组（2）（分层练习）（基础
练）
一、选择题
【考点1】数字问题；
1．（23-24八年级上·河南平顶山·阶段练习）已知某首歌曲的歌词的字数是一个两位数，十位数字
是个位数字的两倍，且十位数字比个位数字大4，则这首歌的歌词的字数是（ ）
A．84 B．48 C．41 D．148
2．（22-23七年级下·湖北恩施·期末）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密
文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则为：明文 ， 对应的密
文为 ， 例如，明文 ， 对应的密文是 ， 时，当接收方收到密文是 ， 时，解密
得到的明文是( )
A． ， B． ， C． ， D． ，
【考点2】年龄问题；
3．（21-22七年级上·湖南株洲·期末）学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这
么大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36岁了，”那么老师和学生的年龄分别是（
）
A．24、12 B．24、11 C．25、11 D．26、10
4．（20-21七年级下·浙江杭州·期末）甲是乙现在的年龄时，乙8岁；乙是甲现在年龄时，甲20岁，
则（ ）
A．甲比乙大6岁 B．乙比甲大6岁
C．甲比乙大4岁 D．乙比甲大4岁
【考点3】销售、利润问题；
5．（17-18八年级上·陕西西安·期末）五一节前夕，某超市用1680元购进A，B两种商品共60件，
A型商品每件24元，B型商品每件36元，设购进A型商品 件，B型商品 件，依题意列方程组正
确的是（ ）
A． B．
C． D．6．（22-23七年级下·河北唐山·期中）春节前夕，某旅游景区的成人票和学生票均打折，李凯同学
一家( 个成人和 个学生)去了该景区，门票共花费 元，王玲同学一家( 个成人和 个学生)去了
该景区，门票共花费 元，则赵芸同学和妈妈去该景区游玩时，门票需要花费( )
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
【考点4】古代问题；
7．（2023·广西河池·一模）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，
余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩
余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所
列方程组正确的是（ ）
A． ； B． ； C． D．
8．（22-23七年级下·重庆·阶段练习）《九章算术》中记载“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得
乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文：今有甲、乙两人持钱不知
道各有多少？甲若得到乙所有钱的 ，则甲有50钱，若乙得到甲所有钱的 ，则乙也有50钱，问
甲、乙两人持钱各有多少？设甲持 钱，乙持 钱，列出关于 的二元一次方程组为（ ）
A． ； B． ； C． D．
【考点5】图表信息问题；
9．（21-22七年级下·山东临沂·期末）在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格内填入
了一些代数式，若图中横行、竖行及斜行上的三个数之和都相等，则x－y的值为（ ）
x 2y
-2 y 6
0
A．4 B．6 C．8 D．10
10．（21-22七年级下·山东烟台·期中）小亮打算购买“冰敦敦”和“雪融融”送给同学，根据图中
的信息，购买两个“冰敦敦”和两个“雪融融”需要花费（ ）A．450元 B．455元 C．460元 D．465元
【考点6】几何图形问题.
11．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）如图，王英家客厅的电视背景墙是由8块形状大小相同的长
方形墙砖砌成，已知电视背景墙的长度为 ，则每一块长方形墙砖的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24八年级上·广西玉林·期末）如图所示，小明要定制边长为 的正方形榻榻米，中间有一
个边长为 的正方形升降桌，外围用 张形状、大小都一样的长方形垫子进行无缝拼接，则长方形
垫子的长和宽分别是（ ）
A．长为 ，宽为 B．长为 ，宽为
C．长为 ，宽为 D．长为 ，宽为
二、填空题
【考点1】数字问题；
13．（23-24八年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图所示是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、
外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，则图中两空白圆圈内应
填写的数字从左到右依次为 和 ．14．（23-24八年级上·江西九江·阶段练习）已知一个两位数，它的十位上的数字与个位上的数字和
是9，若颠倒个位数字与十位数字的位置，得到的新数比原数小63，则这个两位数是 ．
【考点2】年龄问题；
15．（23-24七年级上·广东江门·开学考试）甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于
我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今
年甲的年龄为 岁， 乙的年龄为 岁．
16．（20-21七年级下·江苏宿迁·期末）一家四口人的年龄加在一起是100岁，弟弟比姐姐小8岁，
父亲比母亲大2岁，十年前他们全家人年龄的和是65岁，则父亲今年的年龄为 岁．
【考点3】销售、利润问题；
17．（22-23七年级下·河南开封·期中）某人买了 分的邮票和 分的邮票共 张，用去了 元
角，则 分的邮票买了 枚， 分的邮票买了 枚．
18．（22-23七年级下·河北秦皇岛·期中）在当地农业技术部门的指导下，小明家种植的大棚油桃喜
获丰收，去年大棚油桃的利润（利润=收入-支出）为12000元，今年大棚油桃的收入比去年增加了
20%，支出减少了10%，预计今年的利润比去年多11400元，设小明家去年种植大棚油桃的收入为
x元，支出是y元．依题意列方程组 ．
【考点4】古代问题；
19．（23-24九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）在《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．
图1所示的算筹图表示的是关于 ， 的方程组 ，则图2所示的算筹图表示的方程组是
．
20．（23-24八年级上·江西萍乡·期末）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余
4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？设绳子长x尺，长木长y尺，依
题意可列方程组为 ．
【考点5】图表信息问题；
21．（23-24七年级上·广西河池·期末）宋代数学家杨辉称幻方为纵横图，传说最早出现的幻方是夏
禹时代的“洛书”，杨辉在他的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三
阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等．则 的值是 ．
5 n
1
m
22．（23-24八年级上·江西九江·阶段练习）最强大脑的幻圆项目充分体现了数学的魅力，如图，这
是一个二阶幻圆的模型，规则：
①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；
②外圆两直径上的四个数字之和相等，则 的平方根是 ．
【考点6】几何图形问题.
23．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，两根铁棒直立于桶底在水平面的木桶中，在桶中加入
水后，一根露出水面的长度是它总长的 ，另一根露出水面的长度是它总长的 ．两根铁棒长度之
和为 ，则两根铁棒的长度分别为 ．
24．（22-23八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，正方形 的面积是81，该正方形被分成四
个相同的长为 ，宽为 的长方形和一个面积为9的小正方形，则 的值为 ．三、解答题
【考点1】数字问题；
25．（22-23七年级下·全国·课时练习）根据下列语句，分别设适当的未知数，列二元一次方程或方
程组．
(1)甲数的 比乙数的5倍大2；
(2)梯形的面积为 ，高是6cm，且下底比上底的2倍少1cm，求梯形上底和下底的长；
(3)如图，点C在直线 上， 的度数比 的度数的3倍少 ，求 和 的
度数．
26．（23-24七年级上·湖北武汉·开学考试）一个正整数，由N个数字组成．若它的第一位数可以
被1整除，它的前面两位数可以被2整除，前三位数可以被3整除，……，一直到前N位数能被N
整除，则这样的数叫做“精巧数”．如：246的第一位数“2”可以被1整除，前两位数“24”可以被
2整除，“246”可以被3整除，则246是一个“精巧数”
(1)请直接写出最小四位数“精巧数”是__________；最大的四位“精巧数”是__________
(2)若一个三位“精巧数” 各位数字之和为一个完全平方数，请求出所有满足条件的三位“精巧
数”
【考点2】年龄问题；
27．（2022八年级上·全国·专题练习）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄．小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁．
大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁．
28．（21-22七年级下·云南·期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中
恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明
的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，
而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．
(1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）
(2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附
学子？
【考点3】销售、利润问题；
29．（23-24七年级下·全国·课后作业）甲、乙两个玩具的成本共300元，商店老板为获取利润，并
快速出售玩具，决定将甲玩具按 的利润率标价出售，乙玩具按 的利润率标价出售，在实
际出售时，应顾客要求，两个玩具均按标价的九折出售，这样，商店共获利114元．
(1)若甲玩具的成本为 元，则甲玩具的标价是________元，甲玩具的售价是________元，若乙玩具
的成本是 元，则乙玩具的标价是________元，乙玩具的售价是________元；（用含 的式子填
空）
(2)在（1）的条件下，求甲、乙两个玩具的成本各是多少元；
(3)在（1）的条件下，商店老板决定投入1 000元购进这两种玩具，且为了吸引顾客，每种玩具至
少购进1个，那么可以怎样安排进货？
30．（23-24七年级下·全国·随堂练习）在“十一”黄金周期间，某超市进行打折促销．已知甲商品
打七五折销售，乙商品打八折销售．买20件甲商品与10件乙商品，打折后比打折前少花460元；
打折后买10件甲商品与10件乙商品共用1090元．甲、乙两种商品打折前的价格各是多少元？【考点4】古代问题；
31．（2024·安徽合肥·一模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基
本框架．其中《盈不足》名记载了一道数学问题： “今有共买物，人出六，赢二； 人出五，不足
三．问人数、物价各几何?译文：“今有人合伙购物，每人出 钱，会多出 钱； 每人出 钱，又
差 钱．问人数、物价各多少? ”请解答上述问题．
32．（23-24七年级·全国·随堂练习）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，“方程术”是《九
章算术》的重要内容，《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八
两．问：牛、羊各直金几何？”意思如下：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，
值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”请用二元一次方程组解决这个问题．
【考点5】图表信息问题；
33．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某果农现有一批水蜜桃要运往水果市场，果农准备
租用汽车公司的甲乙两种货车，已知以往租用这两种货车的记录情况如表：
甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨）
第1次 3 2 14
第2次 4 5
(1)甲、乙两种货车每辆可装多少吨水蜜桃？
(2)若果农需租用5辆甲种货车、2辆乙种货车，刚好一次运完水蜜桃，如果每吨付60元运费，求
果农应付运费总共多少元？
34．（23-24七年级下·全国·课后作业）某学校现有甲种材料 ，乙种材料 ，制作A，B两种型号的工艺品，用料情况如下表：
需甲种材料 需乙种材料
1件A型工艺品
1件B型工艺品
(1)利用这些材料能制作A，B两种型号的工艺品各多少件？
(2)若每千克甲、乙两种材料分别为8元和10元，问：制作A，B两种型号的工艺品各需材料费多少
钱？
【考点6】几何图形问题.
35．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）列二元一次方程组解决问题：据统计，甲、乙两种作物的单
位面积产量的比是 ，如图所示，现要把一块长200米宽70米的长方形土地 （ ），
分为两块小长方形土地，上方小长方形种植甲种作物，下方小长方形种植乙种作物，怎样设计
和 的长度，使得甲、乙两种作物的总产量的比是 ？
36．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在边长为 正方形纸板，四个角都剪去边长为
的小正方形纸片，再把剩下的纸片延虚线折叠成一个无盖的长方体纸盒．
(1)长方体纸盒的底面边长为______ （用含 ， 的式子表示）
(2)若剪下的四个小正方形纸片拼成一个大正方形，恰好可作为纸盒的盖，当长方体的体积为
时，求 的值．参考答案：
1．A
【分析】设这首歌的歌词的字数的十位数字为x，个位数字为y，由题意：十位数字是个位数字的两倍，且
十位数字比个位数字大4，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设这个两位数的个位数是x，十位数是y．
根据题意，得
解得
则这首歌的歌词的字数是84个．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
2．C
【分析】根据题意可知，本题中的相等关系是“ ”和“ ”，列方程组求解即可．
【详解】解：根据题意列方程组，得
，
解得 ，
故选C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出
合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出 个等
量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
3．A
【分析】设老师现在的年龄是 岁，学生现在的年龄是 岁，抓住年龄差不变，根据此等量关系可列方程
组求解．
【详解】解：设老师现在的年龄是 岁，学生现在的年龄是 岁，
由题意可得： ，解得： ．
故老师现在的年龄是24岁，学生现在的年龄是12岁．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解．
4．C
【分析】根据题中已知量和未知量之间的等量关系，设未知数，列二元一次方程组即可解决．
【详解】解：设甲现在x岁，乙现在y岁．
根据题意，得，
解得，
∴
故选：C
【点睛】本题考查了列方程组解应用题的知识点，找出题中已知量和未知之间的等量关系是解题的关键．
5．B
【分析】根据A、B两种商品共60件以及用1680元购进A、B两种商品，分别得出等式组成方程组即可．
【详解】设购进A型商品 件，B型商品 件，根据题意，得
．
故选：B
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，
列出方程组．
6．A
【分析】设成人票是 元 张，学生票是 元 张，根据“李凯同学一家 个成人和 个学生 去了该景区，
门票共花费 元，王玲同学一家 个成人和 个学生 去了该景区，门票共花费 元”列出方程组，求
得 的值即可．
【详解】解：设成人票是 元 张，学生票是 元 张，依题意得：
，
② ①得： ．
即赵芸同学和妈妈去该景区游玩时，门票需要花费 元．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．此题属于含有两个未知数的应用题，这类题用方程解答比较
容易，关键是找准数量间的相等关系，设一个未知数为 ,另一个未知数用含 的式子来表示，进而列并解
方程即可．
7．B
【分析】
此题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键．根据“用
一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木头剩余1尺”，即可得出方程组即
可．
【详解】解：∵用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺，
∴ ；
∵将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，
∴ ．
∴所列方程组为 ．
故选：B．
8．A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意，列出方程组即可.
【详解】解：∵甲若得到乙所有钱的 ，则甲有50钱，
∴ ；
∵乙得到甲所有钱的 ，则乙也有50钱，
∴故可列方程组
故选：A
9．B
【分析】根据图中横行、竖行及斜行上的三个数之和都相等，即可得关于x，y的二元一次方程，变形后即
可得出x-y的值．
【详解】解：依题意得：x-2+0=-2+y+6，
∴x-y=6．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
10．C
【分析】设“冰敦敦”每个x元，“雪融融”每个y元，根据题意列出方程组然后化简即可．
【详解】解：设“冰敦敦”每个x元，“雪融融”每个y元，
根据题意可得： ，
①+②得：4x+4y=920，
∴2x+2y=460，
∴2个“冰敦敦”和2个“雪融融”花费460元，
故选：C．
【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组是解题关键．
11．A
【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用，长方形的性质，根据长方形的两组对边分别相等列出方
程组是解题的关键．
设一块长方形墙砖的长为 ，宽为 ，然后用 的代数式分别表示出长方形的长为 ，两条
宽分别为 ， ，进而根据长方形的性质列出方程组，解方程组得到 的值，再根据长方形面积计
算公式即可求出面积，
【详解】解：设一块长方形墙砖的长为 ，宽为 ，依题意得，，
解得 ，
∴每一块长方形墙砖的面积为：
答：每一块长方形墙砖的面积为 ．
故选：A．
12．B
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设长方形垫子的长为 ，宽为 ，根据“小明要定制边长为
的正方形榻榻米，中间有一个边长为 的正方形升降桌，外围用 张形状、大小都一样的长方形垫子进行
无缝拼接”可得关于 和 的二元一次方程，求解即可．正确理解题意并建立二元一次方程组是解题的关
键．
【详解】解：设长方形垫子的长为 ，宽为 ，
依题意，得： ，
解得： ，
∴长方形垫子的长为 ，宽为 ．
故选：B．
13． 2 9
【分析】本题主要考查了二阶幻方．熟练掌握二阶幻方图形及要求，是解决问题的关键．
设外圆周上空白圆圈内的数字为x，内圆周上空白圆圈内的数字为y，根据要求①②列方程组，解方程组即
得．
【详解】设外圆周上空白圆圈内的数字为x，内圆周上空白圆圈内的数字为y，
依题意得， ，解得 ．
故答案为：2，9．
14．81
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组，然后求解即可．
【详解】解：设两位数的十位数字为x，个位数字为y，
根据题意，得 ，
解得 ，
∴这个两位数为81，
故答案为：81．
15． 28 21
【分析】设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大 岁，然后根据题意列出方程组求解
即可．
【详解】解：设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大 岁，
由题意得： ，
解得： ，
即今年甲的年龄为28岁，乙的年龄为21岁，
故答案为：28，21．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系列出方程组是解题的关键．
16．42
【分析】由题意得：弟弟今年的年龄为5岁，姐姐今年的年龄为13岁，设母亲今年的年龄为x岁，父亲今
年的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是100岁，父亲比母亲大2岁，列出方程组，解
方程组即可．
【详解】解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁，但实际上100-65=35（岁），说明十年前弟弟没出生，
则弟弟的年龄为10-（40-35）=5（岁），姐姐的年龄为5+8=13（岁），
设母亲今年的年龄为x岁，父亲今年的年龄为y岁，
由题意得： ，
解得： ，
即父亲今年的年龄为42岁，
故答案为：42．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
17． 14 6
【分析】设买了 分的邮票 张， 分的邮票 枚，根据题意列出二元一次方程组并求解即可获得答案．
【详解】解：设买了 分的邮票 张， 分的邮票 枚，
根据题意，可得 ，
解得 ．
故答案为： ， ．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
18．
【分析】审题，明确等量关系，建立方程组．
【详解】解：由题意知，今年收入为 ，今年支出 ，故
故答案为：
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意明确等量关系是解题的关键．19．
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是
解题的关键．
根据图1所表示方程组，可找出各算筹表示的数量：第一列表示 x系数，第二列表示y系数，第三列表示
常数项，进而可得出图2所表示的方程组
【详解】解：由题意，图2所示的算筹图表示的方程组是 ，
故答案为： ．
20．
【分析】
本题考查了二元一次方程的应用，设绳子长x尺，木长y尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩
余4.5尺；将绳子对折再量木条，木头剩余1尺”，即可得出方程组即可．
【详解】解：设绳子长x尺，木长y尺，根据题意得：
，
故答案为 ．
21．2
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找到正确的数量关系是解题是解题的关键．由每行、每列、每
条对角线上的三个数之和都相等，列出方程可求解．
【详解】解：由题意可得： ，
，
故答案为：2．
22．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，平方根，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
根据：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，列出方程组，解
方程组求出a、b值，再代入计算即可．
【详解】解：根据题意，得
，
解得： ，
∴
∴ 的平方根 ．
故答案为： ．
23． ，
【分析】
本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是设两根铁棒的长度分别为 ， ，根据两根铁
棒长度之和为 ，一根露出水面的长度是它总长的 ，另一根露出水面的长度是它总长的 ，列出方
程组，解方程组即可．
【详解】解：设两根铁棒的长度分别为 ， ，由题意得：
解得： ，
故答案为： ， ．
24．6
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据正方形 的面积为81，可得正方形的边长为9，即
，可列出一个关于a、b的方程，解方程组即可．
【详解】解：根据正方形 的面积为81，可得正方形的边长为9，即 ，
小正方形的面积为9，则其边长为3，
∵大正方形边长为9，小正方形边长为3，∴根据图示和题意得： ，
解得： ．
故答案为：6．
25．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设甲数为x，乙数为y，则 ．
（2）设梯形的上底为xcm，下底为ycm，则
（3）设 和 的度数分别为 ， ，则
26．(1)1020，9876
(2)306，324，342，360
【分析】（1）根据定义，结合最大的四位数和最小的四位数的特点，求解即可；
（2）根据题意可得 ，再由a是偶数，即可确定三位“精巧数”是306，324，342，360．
【详解】（1）解：∵1可以被1整除，10可以被2整除，102可以被3整除，1020可以被4整除，
∴最小的四位数“精巧数”是1020，
∵9可以被1整除，98可以被2整除，987可以被3整除，9876可以被4整除，
∴最大的四位数“精巧数”是9876，（2）∵ 的各位数字之和为 ，
∵ ， ，且a、b是整数，
∴ ，
∵ 各位数字之和为一个完全平方数，
∴ 或 或 ，
∵ 的和可以被3整除，
∴ ，
∴ ，
∵a是偶数，
∴ ，2，4，6，
∴ ，4，2，0，
∴三位“精巧数”是306，324，342，360．
【点睛】本题考查数的整除性，熟练掌握整除的含义，二元一次方程的应用，理解定义，掌握可以被3整
除，被2整除数的特征是解题的关键．
27．大头儿子现在的年龄为10岁
【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可．
【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，
由题意得： ，
解得： ，
答：大头儿子现在的年龄为10岁．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组．
28．(1)爸爸36岁，爷爷76岁
(2)爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子
【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差
的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可．
（2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案．【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁．
．
解得：
答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁；
（2） （年）
（年）
小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键．
29．(1)
(2)甲玩具的成本是100元，乙玩具的成本是200元
(3)共有4种进货方案，方案1：购进8个甲玩具，1个乙玩具；方案2：购进6个甲玩具，2个乙玩具；方
案3：购进4个甲玩具，3个乙玩具；方案4：购进2个甲玩具，4个乙玩具
【分析】
本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数
量之间的关系，用含x，y的代数式表示出各量；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）找
准等量关系，正确列出二元一次方程．
（1）利用标价=成本价×（1+利润率）及售价=标价×折扣率，即可用含x，y的代数式表示出甲、乙玩具的
标价及售价；
（2）根据“甲、乙两个玩具的成本共300元，两个玩具打折销售后共获利114元”，即可得出关于x，y
的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设购进m个甲玩具，n个乙玩具，利用总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合
m，n均为正整数，即可得出各进货方案．
【详解】（1）解：∵甲玩具的成本为x元，乙玩具的成本是y元，甲玩具按 的利润率标价出售，乙玩
具按 的利润率标价出售，
∴甲玩具的标价为 (元)，乙玩具的标价为 (元)．
又∵在实际出售时，应顾客要求，两个玩具均按标价的九折出售，∴甲玩具的售价为 (元)，乙玩具的售价为 (元)．
（2）解：依题意，得
解得
答：甲玩具的成本是100元，乙玩具的成本是200元．
（3）解：设购进m个甲玩具，n个乙玩具，
依题意，得 ，化简得 ．
又∵m，n均为正整数，
∴ 或 或 或
∴共有4种进货方案，方案1：购进8个甲玩具，1个乙玩具；方案2：购进6个甲玩具，2个乙玩具；方
案3：购进4个甲玩具，3个乙玩具；方案4：购进2个甲玩具，4个乙玩具．
30．打折前甲商品的价格是60元，乙商品的价格是80元
【分析】
本题主要考查二元一次方程组的买卖商品的实际应用.根据题目，设甲商品打折前的价格为x元，乙商品打
折前的价格为y元，利用打折前所花出去的钱减去打折后所花的钱等于460元构建出第一个方程，打折后
10件甲与10件乙共花1090元构建第二个方程，即可求解.
【详解】解：设甲、乙两种商品打折前的价格分别是x元和y元，根据题意，得
解得
答：打折前甲商品的价格是60元，乙商品的价格是80元．
31．有 人，物价为 钱．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设有 人，物价为 钱，根据题意，可列方程组 ，
解方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，列出方程组是解题的关键．【详解】解：设有 人，物价为 钱，
由题意可得， ，
解得 ，
答：有 人，物价为 钱．
32．每头牛值金 两，每只羊值金
【分析】
本题主要考查了二元一次方程组的应用，设每头牛值金x两，每只羊值金y两，建立关于x，y的二元一次
方程组，解方程即可求解．
【详解】
解：设每头牛值金x两，每只羊值金y两．
依题意得： ，
解得：
答：每头牛值 金两，每只羊值 金两．
33．(1)甲种货车每辆可装3吨水蜜桃，乙种货车每辆可装2.5吨水蜜桃
(2)果农应付总运费1200元
【分析】
本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键；
（1）设甲种货车每辆可装 吨水蜜桃，乙种货车每辆可装 吨水蜜桃，再根据表格信息建立方程组求解即
可；
（2）根据货车的数量列式计算即可.
【详解】（1）解：设甲种货车每辆可装 吨水蜜桃，乙种货车每辆可装 吨水蜜桃．，解得：
答：甲种货车每辆可装3吨水蜜桃，乙种货车每辆可装2.5吨水蜜桃．
（2） （元）
答：果农应付总运费1200元；
34．(1)制作A种型号的工艺品30件，B种型号的工艺品20件
(2)306元，264元
【分析】
本题主要考查了二元一次方程组的应用，另外还涉及有理数混合运算的应用；
（1）设利用这些材料能制作A种型号的工艺品x件，B种型号的工艺品y件，根据等量关系：两种工艺品
所需甲种材料为 ，两种工艺品所需乙种材料为 ，列出二元一次方程组，并求解即可；
（2）分别计算出制作1件两种型号的工艺品需要的费用，则可计算出制作 A，B两种型号的工艺品各需材
料费．
【详解】（1）解：设利用这些材料能制作A种型号的工艺品x件，B种型号的工艺品y件，
由题意，得 ，解得 ；
答：利用这些材料能制作A种型号的工艺品30件，B种型号的工艺品20件．
（2）解：制作1件A种型号的工艺品需要 （元），
则制作A种型号的工艺品需材料费 （元）；
制作1件B种型号的工艺品需要 （元），
则制作B种型号的工艺品需材料费 （元）．
答：制作A，B两种型号的工艺品各需材料费306元，264元．
35． 米， 米
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设甲种作物种植x平方米，乙种作物种植y平方米，根
据题意，列出二元一次方程组，解二元一次方程组，进而根据矩形的面积公式进行求解即可．
【详解】解：设甲种作物种植x平方米，乙种作物种植y平方米，由题意得： ，
解得： ，
长方形土地 的长为200米，
（米）， （米），
当 米， 米时，使得甲、乙两种作物的总产量的比是 ．
36．(1)
(2)8
【分析】本题考查列代数式、二元一次方程组的应用等知识点，用代数式表示折叠长方体的长、宽、高以
及体积是解题的关键．
（1）由折叠的方法表示出底面正方形的边长即可；
（2）先表示出正方体的长、宽、高，然后再表示长方体的体积以及四个小正方形的面积等于长方体的底
面积列方程组求解即可．
【详解】（1）解：由左图的折叠方法可得底面是边长为 的正方形．
故答案为： ．
（2）解：由题意可知：长方体的：长和宽为： ，高为 ，
则有： ，解得： ，
所以 ．
