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14．1.4 整式的乘法
第 1 课时 单项式与单项式、多项式相乘
1．探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．(重
点)
2．熟练应用运算法则进行计算．(难点)
一、情境导入
1．教师引导学生回忆幂的运算公式．
学生积极举手回答：同底数幂的乘法公式：am·an＝am＋n(m，n为正整数)．
幂的乘方公式：(am)n＝amn(m，n为正整数)．
积的乘方公式：(ab)n＝anbn(n为正整数)．
2．教师肯定学生的回答，并引入课题——单项式与单项式、多项式相乘．
二、合作探究
探究点一：单项式乘以单项式
【类型一】 直接利用单项式乘以单项式法则进行计算
计算：
(1)(－a2b)·(ac2)；
(2)(－x2y)3·3xy2·(2xy2)2；
(3)－6m2n·(x－y)3·mn2(y－x)2.
解析：运用幂的运算法则和单项式乘以单项式的法则计算即可．
解：(1)(－a2b)·(ac2)＝－×a3bc2＝－a3bc2；
(2)(－x2y)3·3xy2·(2xy2)2＝－x6y3×3xy2×4x2y4＝－x9y9；
(3)－6m2n·(x－y)3·mn2(y－x)2＝－6×m3n3(x－y)5＝－2m3n3(x－y)5.
方法总结：(1)在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；(2)注意按
顺序运算；(3)不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；(4)此性质对于多个单项式相乘
仍然成立．
【类型二】 单项式乘以单项式与同类项的综合
已知－2x3m＋1y2n与7xn－6y－3－m的积与x4y是同类项，求m2＋n的值．
解析：根据－2x3m＋1y2n与7xn－6y－3－m的积与x4y是同类项可得出关于m，n的方程组，进而
求出m，n的值，即可得出答案．
第 1 页 共 3 页解：∵－2x3m＋1y2n与7xn－6y－3－m的积与x4y是同类项，∴解得：∴m2＋n＝7.
方法总结：单项式乘以单项式就是把它们的系数和同底数幂分别相乘，结合同类项，列
出二元一次方程组．
【类型三】 单项式乘以单项式的实际应用
有一块长为xm，宽为ym的矩形空地，现在要在这块地中规划一块长xm，宽ym的矩
形空地用于绿化，求绿化的面积和剩下的面积．
解析：先求出长方形的面积，再求出矩形绿化的面积，两者相减即可求出剩下的面积．
解：长方形的面积是xym2，矩形空地绿化的面积是x×y＝xy(m)2，则剩下的面积是xy－
xy＝xy(m2)．
方法总结：掌握长方形的面积公式和单项式乘单项式法则是解题的关键．
探究点二：单项式乘以多项式
【类型一】 直接利用单项式乘以多项式法则进行计算
计算：
(1)(ab2－2ab)·ab；
(2)－2x·(x2y＋3y－1)．
解析：先去括号，然后计算乘法，再合并同类项即可．
解：(1)(ab2－2ab)·ab＝ab2·ab－2ab·ab＝a2b3－a2b2；
(2)－2x·(x2y＋3y－1)＝－2x·x2y＋(－2x)·3y－(－2x)·1＝－x3y＋(－6xy)－(－
2x)＝－x3y－6xy＋2x.
方法总结：单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘
多项式的每一项，再把所得的积相加．
【类型二】 单项式乘以多项式乘法的实际应用
一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a米，下底宽(a＋2b)米，坝高a米．
(1)求防洪堤坝的横断面积；
(2)如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？
解析：(1)根据梯形的面积公式，然后利用单项式乘多项式的法则计算；(2)防洪堤坝的
体积＝梯形面积×坝长．
解：(1)防洪堤坝的横断面积S＝[a＋(a＋2b)]×a＝a(2a＋2b)＝a2＋ab.故防洪堤坝的
横断面积为(a2＋ab)平方米；
(2)堤坝的体积V＝Sh＝(a2＋ab)×100＝50a2＋50ab.故这段防洪堤坝的体积是(50a2＋
50ab)立方米．
方法总结：通过本题要知道梯形的面积公式及堤坝的体积(堤坝体积＝梯形面积×长度)
的计算方法，同时掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
【类型三】 化简求值
先化简，再求值：3a(2a2－4a＋3)－2a2(3a＋4)，其中a＝－2.
解析：首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知
的数值计算即可．
解：3a(2a2－4a＋3)－2a2(3a＋4)＝6a3－12a2＋9a－6a3－8a2＝－20a2＋9a，当a＝－2时，
原式＝－20×4－9×2＝－98.
第 2 页 共 3 页方法总结：在做乘法计算时，一定要注意单项式的符号和多项式中每一项的符号，不要
搞错．
【类型四】 单项式乘多项式 ， 利用展开式中不含某一项求未知系数的值
如果(－3x)2(x2－2nx＋)的展开式中不含x3项，求n的值．
解析：原式先算乘方，再利用单项式乘多项式法则计算，根据结果不含x3项，求出n的值
即可．
解：(－3x)2(x2－2nx＋)＝(9x2)(x2－2nx＋)＝9x4－18nx3＋6x2，由展开式中不含x3项，
得到n＝0.
方法总结：单项式与多项式相乘，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的
系数为0.
三、板书设计
单项式与单项式、多项式相乘
1．单项式与单项式相乘法则：单项式与单项式相乘就是它们的系数、相同字母的幂分别
相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式．
2．单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式的
每一项，再将所得的积相加．
本节知识的重点是让学生理解单项式与单项式、多项式相乘的法则，并能应用．这就必
须要求学生对乘法的分配律以及幂的运算法则有一定的基础，因此课前可以要求学生先复
习该部分的知识，同时在上新课前也可以通过练习题让学生回忆知识．对于运算法则的得出，
教师通过“试一试”逐步解题，通过计算演示法则的内容，更有利于学生理解运算法则．
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