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第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1 整式的乘法
14.1.4 整式的乘法
第1课时 单项式与单项式、多项式相乘
学习目标：1．掌握单项式与单项式、单项式与多项式相乘的运算法则．
2．能够灵活地进行单项式与单项式、单项式与多项式相乘的运算．
重点：掌握单项式与单项式、单项式与多项式相乘的运算法则．
难点：进行单项式与单项式、单项式与多项式相乘的运算．
自主学习
一、知识链接
1．幂的运算性质：
（1）同底数幂的乘法公式：am·an＝____________(m，n为正整数)．
（2）幂的乘方公式：(am)n＝____________(m，n为正整数)．
（3）积的乘方公式：(ab)n＝____________(n为正整数)．
2．判断正误，并改正．
①m2·m3=m6 ( ) ②(a5)2=a7( ) ③(ab2)3=ab6( )
④m5+m5=m10( ) ⑤(－x)3·(－x)2=－x5 ( )
3.计算：
（1）x2·x3·x4=____________；（2）(x3)6=____________；（3）(-2a4b2)3=____________；
（4）(a2)3·a4=____________；（5） ____________．
课堂探究
一、要点探究
探究点1：单项式与单项式相乘
问题1：光的速度约为3×105 km/s，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102 s，你知
道地球与太阳的距离约是多少吗？
想一想：怎样计算(3×105)×(5×102)？计算过程中用到了哪些运算律及运算性质？
问题2：如果将上式中的数字改为字母，比如ac5·bc2，怎样计算这个式子？
议一议：根据以上计算，想一想如何计算单项式乘单项式？要点归纳：单项式与单项式的乘法法则：
单项式与单项式相乘，把它们的_______、________分别相乘，对于只在一个单项式里含有
的字母，则连同它的________作为积的一个因式．
注意：
（1）系数相乘；
（2）相同字母的幂相乘；
（3）其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
典例精析
例1：计算：
（1）(－5a2b)(－3a)； （2）(2x)3(－5xy3)．
方法总结：（1）在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；（2）注
意按顺序运算，有乘方运算，要先算乘方，再算乘法；（3）不要漏掉只在一个单项式里含
有的字母因式；（4）此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
针对训练
计算：
（1）3x2·5x3； （2）4y·(－2xy2)；
（3）(－x)3·(x2y)2； （4）(－2a)3(－3a)2．
注意：有乘方运算，先算乘方，再算单项式相乘．
练一练：下面计算结果对不对？如果不对，应当怎样改正？
（1）3a3·2a2=6a6 ( ) 改正： ；
（2）2x2·3x2=6x4 ( ) 改正： ；
（3）3x2·4x2=12x2 ( ) 改正： ；
（4）5y3·3y5=15y15 ( ) 改正： ．
例2：已知－2x3m+1y2n与7xn－6y－3－m的积与x4y是同类项，求m2＋n的值．
方法总结：单项式乘单项式就是把它们的系数和同底数幂分别相乘，结合同类项的定义，
列出二元一次方程组求出参数的值，然后代入求值即可．探究点2：单项式与多项式相乘
问题：如图，试问三块草坪的的总面积是多少？
如果把它看成三个小长方形，那么它们的面积可分别表示为_____、_____、_____．
如果把它看成一个大长方形，那么它的长为________，面积可表示为_________．
根据乘法的分配律，p(a+b+c)=pa+pb+pc．
要点归纳：单项式乘多项式的法则：
单项式与多项式相乘，就是用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
注意：（1）依据是乘法分配律；（2）积的项数与多项式的项数相同．
典例精析
例3：计算：
（1）(－4x)·(2x2+3x－1)； （2）
例4：先化简，再求值：3a(2a2－4a＋3)－2a2(3a＋4)，其中a＝－2．
方法总结：在做乘法计算时，一定要注意单项式和多项式中每一项的符号，不要乘错．
例5：如果(－3x)2(x2－2nx＋2)的展开式中不含x3项，求常数n的值．
方法总结：在整式乘法的混合运算中，要注意运算顺序．注意当多项式中不含有哪一项时
则表示这一项的系数为0．二、课堂小结
当堂检测
1．计算3a2·2a3的结果是（ ）
A．5a5 B．6a5 C．5a6 D．6a6
2．计算(－9a2b3)·8ab2的结果是（ ）
A．－72a2b5 B．72a2b5 C．－72a3b5 D．72a3b5
3．若（ambn)·(a2b)=a5b3，则m+n=( )
A．8 B．7 C．6 D．5
4．计算：
（1）4(a－b+1)=__________； （2）3x(2x－y2)=_______________；
（3）(2x－5y+6z)(－3x) =_______________； （4）(－2a2)2(－a－2b+c)=_____________．
5．计算：－2x2·(xy+y2)－5x(x2y－xy2)．
6．解方程：8x(5－x)=34－2x(4x－3)．
7．如图，一块长方形地用来建造住宅、广场、商厦，求这块地的面积．
拓展提升：
8．某同学在计算一个多项式乘－3x2时，算成了加上－3x2，得到的答案是x2－2x＋1，那么
正确的计算结果是多少？参考答案
自主学习
一、知识链接
1．（1）am+n （2）amn （3）anbn
2．判断正误，并改正．
①× ②× ③× ④× ⑤√
4.计算：
（1）x9 （2）x18 （3）－8a12b6（4）a10 （5）1
课堂探究
三、要点探究
探究点1：单项式与单项式相乘
问题1 地球与太阳的距离约是(3×105)×(5×102) km．
想一想 解：(3×105)×(5×102)=(3×5)×(105×102)=15×107=1.5×108．
运用了乘法交换律、结合律与同底数幂的乘法．
问题2 解：ac5·bc2=(a·b)·(c5·c2)=abc5+2=abc7．
要点归纳 系数 同底数幂 指数
典例精析
例1 解：（1）(－5a2b)(－3a)= [(－5)×(－3)](a2·a)b= 15a3b.
（2）(2x)3(－5xy3)=8x3(－5xy3)=[8×(－5)](x3·x)y3=－40x4y3．
针对训练
解：（1）原式=(3×5)(x2·x3)=15x5.
（2）原式=[4×(－2)]x·(y·y2) =－8xy3.
（3）原式= (－x3) · (x4y2)=－x7y2.
（4）原式=-8a3·9a2=[(－8)×9](a3·a2)=－72a5．
练一练 解：（1）× 3a3·2a2=6a5 （2）√
（3）× 3x2·4x2=12x4 （4）× 5y3·3y5=15y8
例2 解：由题意得 解得 ∴m2＋n＝7．
探究点2：单项式与多项式相乘
问题 pa pb pc (a+b+c) p(a+b+c)
典例精析
例3 解：（1）原式＝(－4x)·(2x2)+(－4x)·3x+(－4x)·(－1)＝－8x3－12x2+4x.
（2）原式
例4 解：3a(2a2－4a＋3)－2a2(3a＋4)＝6a3－12a2＋9a－6a3－8a2＝－20a2＋9a．
当a＝－2时，原式＝－20×4－9×2＝－98．
例5 解：(－3x)2(x2－2nx＋2)＝9x2(x2－2nx＋2)＝9x4－18nx3＋18x2．
∵展开式中不含x3项，∴n＝0．
当堂检测
1．B 2．C 3．D
4．（1）4a－4b+4 （2）6x2－3xy2（3）－6x2+15xy－18xz （4）－4a5－8a4b+4a4c
5．解：原式=(－2x2)·xy+(－2x2)·y2+(－5x)·x2y+(－5x)·(－xy2)
=－2x3y+(－2x2y2)+(－5x3y)+5x2y2=－7x3y+3x2y2．
6．解：去括号，得40x－8x2=34－8x2+6x，移项，得40x－6x=34，
合并同类项，得34x=34，解得x=1．
7．解：4a[(3a+2b)+(2a－b)]＝4a(5a+b)＝4a·5a+4a·b=20a2+4ab．
答：这块地的面积为20a2+4ab．
拓展提升：
8．解：设这个多项式为A，则A＋(－3x2)＝x2－2x＋1，∴A＝4x2－2x＋1．
∴A·(－3x2)＝(4x2－2x＋1)(－3x2)＝－12x4＋6x3－3x2．
