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九年级上学期第一次月考 7 大压轴考法 52 题专练（第 21~22 章）
一．根的判别式（共4小题）
1．（2023秋•龙岗区校级月考）对于一元二次方程 ，下列说法：
①若 ，则 ；
②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；
③若 是方程 的一个根，则一定有 成立；
④若 是一元二次方程 的根，则
⑤存在实数 、 ，使得 ；
其中正确的
A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③
【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求
根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
【解答】解：①若 ，则 是方程 的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知△ ，故①正确；
② 方程 有两个不相等的实根，
△ ，
，
则方程 的判别式△ ，
方程 必有两个不相等的实根，故②正确；
③ 是方程 的一个根，
则 ，
，
若 ，等式仍然成立，
但 不一定成立，故③不正确；
④若 是一元二次方程 的根，
则由求根公式可得：
或
或
故④正确．⑤令 ，则存在实数 、 ，使得 ；正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，牢固掌握二者的关系并灵活运用，是解
题的关键．
2．（2023秋•建平县校级月考）已知关于 的一元二次方程 ，其中 ， ， 分
别为 三边的长．
（1）如果 是方程的根，试判断 的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断 的形状，并说明理由；
（3）如果 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【分析】（1）把 代入方程得 ，整理得 ，从而可判断三角形的形状；
（2）根据判别式的意义得△ ，即 ，然后根据勾股定理可判断三角形
的形状；
（3）利用等边三角形的性质得 ，方程化为 ，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1） 是等腰三角形；
理由：把 代入方程得 ，则 ，所以 为等腰三角形；
（2） 为直角三角形；
理由：根据题意得△ ，即 ，所以 为直角三角形；
（3） 为等边三角形，
，
方程化为 ，解得 ， ．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与△ 有如下关系：当
△ 时，方程有两个不相等的实数根；当△ 时，方程有两个相等的实数根；当△ 时，方程无实数
根．
3．（2023秋•昆山市校级月考）已知关于 的方程 ，
（1）求证：无论 取何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形 的一边 ，另两边长 ， 恰好是这个方程的两个根，求 的周长．
【分析】（1）计算方程的根的判别式，若△ ，则证明方程总有实数根；
（2）已知 ，则 可能是底，也可能是腰，分两种情况求得 ， 的值后，再求出 的周长．注意
两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．
【解答】（1）证明： △
无论 取何值，方程总有实数根．
（2）解：①若 为底边，则 ， 为腰长，则 ，则△ ．，解得： ．
此时原方程化为
，即 ．
此时 三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去；
②若 为腰，则 ， 中一边为腰，不妨设
代入方程：
则原方程化为
，
即 ，
此时 三边为6，6，2能构成三角形，
综上所述： 三边为6，6，2．
周长为 ．
【点评】重点考查了根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检
验．
4．（2023秋•南部县校级月考）已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两
实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）已知等腰 的底边 ，若 ， 恰好是 另外两边的边长，求这个三角形的周长．
（3）阅读材料：若 三边的长分别为 ， ， ，那么可以根据秦九韶 海伦公式可得：
，其中 ，在（2）的条件下，若 和 的角平分线交于
点 ，根据以上信息，求 的面积．
【分析】（1）根据△ ，构建不等式求解即可；
（2）由等腰三角形的性质可得一元二次方程两根相等，利用△ ，构建方程求解 值，即可得一元二次
方程，解方程可求解 ， ，进而可求解 的周长；
（3）由海伦公式可求解 的面积，过 分别作 ， ， ，垂足分别为 ， ，，利用角平分线的性质可得 ，结合 的面积可求解 的长，再根据三角形的面积公式
计算可求解．
【解答】解：（1）由题意得：△ ，且 ，
化简得： ，
解得： 且 ；
（2）由题意知： ， 恰好是等腰 的腰长，
，
， 是关于 的一元二次方程 的两实数根，
△ ，
解得 ，
，
解得 ，
，
的周长为： ；
（3）由（2）知： 的三边长为3，3，4，
，
，
过 分别作 ， ， ，垂足分别为 ， ， ，
是 角平分线的交点，
，
，
解得 ，
．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，角平分线的性质，等腰三角形的性质，
掌握根的判别式是解题的关键．二．根与系数的关系（共5小题）
5．（2023秋•汨罗市月考）如果方程 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么
实数 的取值范围是 ．
【分析】根据原方程可得出：① ，② ；根据根与系数的关系，可求出②方程的
和 的表达式，然后根据三角形三边关系定理求出 的取值范围．
【解答】解：由题意，得： ， ；
设 的两根分别是 、 ；则 ， ；
；
根据三角形三边关系定理，得：
，即 ；
，解得 ．
【点评】此题主要考查的是一元二次方程根与系数的关系以及三角形三边关系定理．
6．（2023秋•花都区校级月考）如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根
为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 ②③④
（填序号）
①方程 是倍根方程；
②若 是倍根方程：则 ；
③若 ， 满足 ，则关于 的方程 是倍根方程；
④若方程以 是倍根方程，则必有 ．
【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程，
②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到 、 之间的关系，而 、 之间的关系正好
适合，
③当 ， 满足 ，则 ，求出两个根，再根据 代入可得两个根
之间的关系，进而判断是否为倍根方程，
④用求根公式求出两个根，当 ，或 时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
【解答】解：①解方程 得， ， ，得， ，
方程 不是倍根方程；
故①不正确；
②若 是倍根方程， ，因此 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
，
故②正确；
③ ，则： ，
， ，
，
因此是倍根方程，
故③正确；
④方程 的根为： ， ，
若 ，则， ，
即， ，
，
，
，
．
若 时，则， ，
即，则， ，
，
，
，
，．
故④正确，
故答案为：②③④
【点评】考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程
的解是解决问题的关键．
7．（2023秋•通川区校级月考）如果方程 有两个实数根 ， ，那么 ，
，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知 、 是方程 的二根，则 4 3
（2）已知 、 、 满足 ， ，求正数 的最小值．
（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知 和 是关于 ， 的方程组
的两个不相等的实数解．问：是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出的
值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据 ， 是 的解，求出 和 的值，即可求出 的值．
（2）根据 ， ，得出 ， ， 、 是方程 的解，再根
据 ，即可求出 的最小值．
（3）运用根与系数的关系求出 ， ，再解 ，即可求出 的值．
【解答】解：（1） 、 是方程 的二根，
， ，
，
故答案为：43；
（2） ， ，
， ，
、 是方程 的解，
， ，是正数，
， ， ，
正数 的最小值是4．
（3）存在，当 时， ．
由 变形得： ，
由 变形得： ，把 代入 ，并整理得： ，
由题意思可知， ， 是方程 的两个不相等的实数根，故有：
即：
解得： ．
【点评】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解
题方法．
8．（2023秋•南海区校级月考）如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根
为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为
，则另一个根为 ，因此 ，所以有 ；我们记“
”即 时，方程 为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：
（1）方程① ；方程② 这两个方程中，是倍根方程的是 ② （填序号即可）；
（2）若 是倍根方程，求 的值；
（3）关于 的一元二次方程 是倍根方程，且点 在一次函数 的图
象上，求此倍根方程的表达式．
【分析】（1）根据“倍根方程”的定义，找出方程①、②中 的值，由此即可得出结论；
（2）将方程 整理成一般式，再根据“倍根方程”的定义，找出 ，整理后即可得出
的值；（3）根据方程 是倍根方程即可得出 、 之间的关系，再由一次函数图象上点的
坐标特征即可得出 、 之间的关系，进而即可求出 、 的值，此题得解．
【解答】解：（1）在方程① 中， ；
在方程② 中， ．
是倍根方程的是② ．
故答案为：②．
（2）整理 得： ，
是倍根方程，
，
．
（3） 是倍根方程，
，
整理得： ．
在一次函数 的图象上，
，
， ，
此方程的表达式为 ．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握“倍根方程”的定义是
解题的关键．
9．（2023秋•衡阳县月考）设 是不小于 的实数，关于 的方程 有两个
不相等的实数根 、 ，
（1）若 ，求 值；
（2）求 的最大值．
【分析】（1）首先根据根的判别式求出 的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件的 的值．
（2）把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合 的取值范围求出代数式的最大
值．
【解答】解： 方程有两个不相等的实数根，△ ，
，
结合题意知： ．
（1）
，
，
；
（2）
．
对称轴 ， ，
当 时，式子取最大值为10．
【点评】本题的计算量比较大，需要很细心的求解．用到一元二次方程的根的判别式△ 来求出
的取值范围；利用根与系数的关系 ， 来化简代数式的值．
三．一元二次方程的应用（共6小题）
10．（2023秋•顺德区校级月考）等腰 的直角边 ，点 、 分别从 、 两点同时
出发，均以 秒的相同速度做直线运动，已知 沿射线 运动， 沿边 的延长线运动， 与直
线 相交于点 ．设 点运动时间为 ， 的面积为 ．
（1）求出 关于 的函数关系式；
（2）当点 运动几秒时， ？
（3）作 于点 ，当点 、 运动时，线段 的长度是否改变？证明你的结论．【分析】由题可以看出 沿 向右运动， 沿 向上运动，且速度都为 ， ，所以
求出 、 与 的关系式就可得出 与 的关系，另外应注意 点的运动轨迹，它不仅在 点左侧运动，
达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答．
【解答】解：（1）当 秒时， 在线段 上，此时 ， ，
，
当 秒时， 在线段 得延长线上，此时 ， ，
．
（2） ，
当 秒时， ，
整理得 ，此方程无解，
当 秒时， ，
整理得 ，解得 （舍去负值），
当点 运动 秒时， ．
（3）当点 、 运动时，线段 的长度不会改变．
证明：过 作 ，交直线 于点 ，
易证 ，
，
四边形 是平行四边形，且 是对角线 的一半．
又
当点 、 运动时，线段 的长度不会改变．
同理，当点 在点 右侧时，
综上所述，当点 、 运动时，线段 的长度不会改变．【点评】做此类题应首先找出未知量与已知量的对应关系，利用已知量来表示未知量，许多问题就会迎刃
而解．
11．（2023秋•鼓楼区校级月考）如图， 、 、 、 为矩形的四个顶点， ， ，动
点 、 分别从点 、 同时出发，点 以 的速度向点 移动，一直到达 为止，点 以
的速度向 移动．
（1） 、 两点从出发开始到几秒时，四边形 的面积为 ；
（2） 、 两点从出发开始到几秒时，点 和点 的距离是 ．
【分析】（1）设 、 两点从出发开始到 秒时四边形 的面积为 ，则 ，
，根据梯形的面积公式可列方程： ，解方程可得解；
（2）作 ，垂足为 ，设运动时间为 秒，用 表示线段长，用勾股定理列方程求解．
【解答】解：（1）设 、 两点从出发开始到 秒时四边形 的面积为 ，
则 ， ，根据梯形的面积公式得 ，
解之得 ，
（2）设 ， 两点从出发经过 秒时，点 ， 间的距离是 ，
作 ，垂足为 ，
则 ， ，
， ，
，
由勾股定理，得 ，
解得 ， ．
答：（1） 、 两点从出发开始到5秒时四边形 的面积为 ；
（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点 和点 的距离是 ．
【点评】（1）主要用到了梯形的面积公式： （上底 下底） 高；（2）作辅助线是关键，构成直
角三角形后，用了勾股定理．
12．（2022秋•迎泽区校级月考）端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利
润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，
该店决定把零售单价下降 元．
（1）零售单价下降 元后，该店平均每天可卖出 只粽子，利润为 元．
（2）在不考虑其他因素的条件下，当 定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽
子更多？
【分析】（1）每天的销售量等于原有销售量加上增加的销售量即可；利润等于销售量乘以单价即可得到；
（2）利用总利润等于销售量乘以每件的利润即可得到方程求解．
【解答】解：（1）零售单价下降 元后，该店平均每天可卖出 只粽子，利润为
元．（2）令 ．
化简得， ．
即， ．
解得 或 ．
可得，当 时卖出的粽子更多．
答：当 为0.4时，才能使商店每天销售该粽子获取的利润是420元并且卖出的粽子更多．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解总利润的计算方法，并用相关的量表示出来．
13．（2024春•东营区校级月考）如图， 中， ， ， ，一动点 从点
出发沿着 方向以 的速度运动，另一动点 从 出发沿着 边以 的速度运动， ， 两
点同时出发，运动时间为 ．
（1）若 的面积是 面积的 ，求 的值？
（2） 的面积能否为 面积的一半？若能，求出 的值；若不能，说明理由．
【分析】（1）根据三角形的面积公式可以得出 面积为 ， 的面积为 ，由
题意列出方程解答即可；
（2）由等量关系 列方程求出 的值，但方程无解．
【解答】解：（1） ， ，
，
整理得 ，
解得 ．
答：当 时 的面积为 面积的 ；
（2）当 时，，
整理得 ，
△ ，
此方程没有实数根，
的面积不可能是 面积的一半．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的
条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
14．（2024春•西湖区校级月考）如图，在 中， ， ， ，点 从 点
出发，以 的速度向 点移动，点 从 点出发，以 的速度向 点移动，当一个点到达终点
时，另一个点
也随即停止运动．如果 、 两点同时出发．
①经过几秒后 的面积等于 ；
② 的面积能否等于 ，并说明理由．
【分析】作出辅助线，过点 作 于 ，即可得出 的面积为 ，有 、 点的移
动速度，设时间为 秒时，可以得出 、 关于 的表达式，代入面积公式，即可得出答案．
【解答】解：如图，
①过点 作 于 ，则 ．
，
．
．
设经过 秒后 的面积等于 ，
则 ， ， ．
根据题意， ．
．
， ．
当 时， ， ，不合题意舍去，取 ．答：经过2秒后 的面积等于 ；
②当面积等于5时， ．
．
△ ，
方程没有实数根，
所以 的面积不能等于 ，
【点评】本题考查了一元二次方程的运用，注意求得的值的取舍问题．
15．（2023秋•青羊区校级月考）如图，四边形 是证明勾股定理时用到的一个图形， ， ， 是
和 边长，易知 ，这时我们把关于 的形如 的一元二次方程称
为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于 的“勾系一元二次方程” 必有实数根；
（3）若 是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形 的周长是 ，求
面积．
【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；
（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；
（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得 的值，根据完全平方公式求得 的值，从而可求得
面积．
【解答】（1）解：当 ， ， 时
勾系一元二次方程为 ；
（2）证明：根据题意，得
△即△
勾系一元二次方程 必有实数根；
（3）解：当 时，有 ，即
，即
，
．
【点评】此类题目要读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题．
四．二次函数的性质（共3小题）
16．（2023春•武穴市月考）对于二次函数 ，规定函数 是它的相关
函数．已知点 ， 的坐标分别为 ， ， ， ，连接 ，若线段 与二次函数
的相关函数的图象有两个公共点，则 的取值范围为
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【分析】首先确定出二次函数 的相关函数与线段 恰好有1个交点、2个交点、3个交点
时 的值，然后结合函数图象可确定出 的取值范围．
【解答】解：如图1所示：线段 与二次函数 的相关函数的图象恰有1个公共点．所以当 时， ，即 ，解得 ．
如图2所示：线段 与二次函数 的相关函数的图象恰有3个公共点．
抛物线 与 轴交点纵坐标为1，
，解得： ．
当 时，线段 与二次函数 的相关函数的图象恰有2个公共点．
如图3所示：线段 与二次函数 的相关函数的图象恰有3个公共点．
抛物线 经过点 ，
．
如图4所示：线段 与二次函数 的相关函数的图象恰有2个公共点．抛物线 经过点 ， ，
，解得： ．
时，线段 与二次函数 的相关函数的图象恰有2个公共点．
综上所述， 的取值范围是 或 ，
故选： ．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象
上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数 的相关函数与线段 恰好有1个交点、2
个交点、3个交点时 的值是解题的关键．
17．（2023秋•义乌市月考）如图，四边形 是边长为 的正方形， 与 轴正半轴的夹角为 ，
点 在抛物线 的图象上，则 的值为 ．
【分析】连接 ，根据正方形的对角线平分一组对角线可得 ，过点 作 轴于 ，然
后求出 ，根据直角三角形 角所对的直角边等于斜边的一半可得 ，再利用勾股定
理列式求出 ，从而得到点 的坐标，再把点 的坐标代入抛物线解析式求解即可．
【解答】解：如图，连接 ，四边形 是边长为 的正方形，
， ，
过点 作 轴于 ，
与 轴正半轴的夹角为 ，
，
， ，
点 的坐标为 ， ，
点 在抛物线 的图象上，
，
解得 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了正方形的性质，直角三角形 角所对的直角边等于斜
边的一半的性质，勾股定理的应用，二次函数图象上点的坐标特征，熟记正方形性质并求出 与 轴的
夹角为 ，然后求出点 的坐标是解题的关键．
18．（2023秋•虎丘区校级月考）直线 与 轴交于点 ，直线 绕点 逆时针旋转 得到直
线 ，若直线 与抛物线 有唯一的公共点，则 1 或 ． ．
【分析】根据直线解析式可得 ， 都经过点 ，分别讨论直线 与 轴重合或与抛物线相切两种情况，
通过添加辅助线构造全等三角形可求出直线 上的点坐标，进而求解．
【解答】解：由 ， 可得直线 与抛物线交于点 ，
①直线 与 轴重合满足题意，则直线 与 轴交点为 ，如图，， ，
为等腰直角三角形，
，
点 坐标为 ，
将 代入 得 ，
解得 ．
②设直线 解析式为 ，
令 ，
△ ，
当 时满足题意．
，
把 代入 得 ，
直线 与 轴交点 坐标为 ， ，即 ，
作 交直线 于点 ，过点 作 轴于点 ，
，
，， ，
，
又 ，
，
， ，
，
点 坐标为 ， ．
将 ， 代入 得 ，
解得 ．
故答案为：1或 ．
【点评】本题考查二次函数与一次函数交点问题，解题关键是掌握函数与方程的关系，通过添加辅助线分
类讨论求解．
五．二次函数图象与系数的关系（共2小题）
19．（2023秋•江南区月考）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的 2倍，则称这个点为二倍点．若二次
函数 为常数）在 的图象上存在两个二倍点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线 上，由 可得二倍点所在线段
的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解．
【解答】解：由题意可得二倍点所在直线为 ，
将 代入 得 ，
将 代入 得 ，
设 ， ，如图，联立方程 ，
当△ 时，抛物线与直线 有两个交点，
即 ，
解得 ，
此时，直线 和直线 与抛物线交点在点 ， 上方时，抛物线与线段 有两个交点，
把 代入 得 ，
把 代入 得 ，
，
解得 ，
满足题意．
故选： ．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转
化为图形问题求解．
20．（2023秋•江夏区校级月考）已知二次函数 的图象如图所示，有下列5个结论：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ 的实数），其中正确
结论的序号有 ①③④ ．【分析】由抛物线的开口方向判断 的符号，由抛物线与 轴的交点判断 的符号，然后根据对称轴及抛
物线与 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由图象可知： ， ，
，
，
，故此选项正确；
②当 时， ，故 ，错误；
③由对称知，当 时，函数值大于0，即 ，故此选项正确；
④当 时函数值小于0， ，且 ，
即 ，代入得 ，得 ，故此选项正确；
⑤当 时， 的值最大．此时， ，
而当 时， ，
所以 ，
故 ，即 ，故此选项错误．
故①③④正确．
故答案为：①③④．
【点评】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数 系数符号由抛物线开
口方向、对称轴和抛物线与 轴的交点、抛物线与 轴交点的个数确定．
六．抛物线与x轴的交点（共2小题）
21．（2022秋•如皋市校级月考）定义：一个函数图象上若存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函
数图象的“1倍点”，若存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”．例如，
点 是函数 图象的“1倍点”，点 ， 是函数 图象的“2倍点”．
（1）函数 的图象上是否存在“2倍点”？如果存在，求出“2倍点”；（2）若抛物线 上有且只有一个“1倍点” ，该抛物线与 轴交于 、 两点（点 在
点 的左侧）．当 时，求：
① 的取值范围；
②直接写出 的度数．
【分析】（1）根据“2倍点”的概念直接作答即可；
（2）①根据有且只有一个“1倍点”求出 与 的数量关系，根据 的取值范围求出 的取值范围；
②先求点 的坐标，然后求点 和点 的坐标，然后比较线段长度，最后求出 的度数．
【解答】解：（1）存在，
设“2倍点”的坐标为 ，
则 ，
解得： 或4，
“2倍点”的坐标为 或 ；
（2）①由题意可知，
与 有且只有交点，
则 ，
整理得： ，则该方程有两个相同的实数根，
即△ ，
，
，
，
；
②如图，过点 作 于点 ，由根与系数的关系可知， ，
，
又 两个根相等，
，
点 的坐标为 ， ，
，
由①可知， ，
则 ，
可以写成 ，
令 ，
则 ，
由求根公式可得，
，
解得： ， ，
点 的坐标为 ， ，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查抛物线与 轴的交点与函数图象上点的坐标特征，能够根据坐标确定线段的长度是解答
本题的关键．
22．（2024春•滨城区校级月考）如图，已知抛物线 与 轴交于点 和点 ，与
轴交于点 ，连接 交抛物线的对称轴于点 ， 是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；
（2）直接写出点 和点 的坐标；
（3）若点 在第一象限内的抛物线上，且 ，求 点坐标．
【分析】（1）根据点 、 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）代入 求出 值，由此可得出点 的坐标，根据抛物线的解析式，利用二次函数的性质即可求出
顶点 的坐标；
（3）设点 的坐标为 ， ， ，根据三角形的面积公式结合 ，即可得出关于
的一元一次方程，解之即可得出 值，再代入 值求出 值，取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）将 、 代入 ，
，解得： ，
抛物线的解析式为 ．
（2）当 时， ，
点 的坐标为 ；
抛物线的解析式为 ，
顶点 的坐标为 ．
（3）设点 的坐标为 ， ， ，
， ，
，
，
，
，
解得： （不合题意，舍去）， ，
点 的坐标为 ．【点评】本题考查了抛物线与 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法
求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐
标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）利用二次函数性质求出顶点 的坐标；（3）根据三角形的
面积公式结合 求出点 的纵坐标．
七．二次函数综合题（共28小题）
23．（2024春•东昌府区月考）如图，为已知抛物线 经过 ， 两点，与 轴
的另一个交点为 ，顶点为 ，连结 ．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点 为该抛物线上一动点（与点 、 不重合），设点 的横坐标为 ．
①当 时，求 的值；
②该抛物线上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出所有点 的坐标；若不存在，请说明理
由．
【分析】（1）将点 、 坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）① ，即可求解；②分点 在直线 下方、上方两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）将点 、 坐标代入二次函数表达式得： ，
解得： ，
故抛物线的表达式为： ①，
令 ，则 或 ，
即点 ；
（2）①如图1，过点 作 轴的平行线交 于点 ，将点 、 的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线 的表达式为： ②，
设点 ，则点 ，
，
或 ，
解得 或 或 或 ；
②设直线 与 交于点 ，
当点 在直线 下方时，
，
点 在 的中垂线上，
线段 的中点坐标为 ， ，
过该点与 垂直的直线的 值为 ，设 中垂线的表达式为： ，将点 ， 代入上式并解得：直线 中垂线的表达式为：
③，
同理直线 的表达式为： ④，
联立③④并解得： ，即点 ，
同理可得直线 的表达式为： ⑤，
联立①⑤并解得： 或 （舍去 ，
故点 ， ；
当点 在直线 上方时，
，
，
则直线 的表达式为： ，将点 坐标代入上式并解得： ，
即直线 的表达式为： ⑥，
联立①⑥并解得： 或 （舍去 ，
故点 ；
故点 的坐标为 ， 或 ．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中
（2），要注意分类求解，避免遗漏．
24．（2024秋•汉川市校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点
，抛物线经过点 ， ，且对称轴是直线 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点 是直线 下方抛物线上的一动点，过点 作 轴，垂足为 ，交直线1于点 ，过点 作
，垂足为 ．求 的最大值及此时 点的坐标．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）根据抛物线的对称轴是直线 ，可设 ，利用待定系数法即可求得答案；
（3）由 ， ，可得 ，利用解直角三角形可得 ，
设点 ，则 ，可得 ，利用二
次函数的性质即可求得答案．
【解答】解：（1）设直线 的解析式为 ，
直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
，
解得： ，
直线 的解析式为 ；
（2）设抛物线的解析式为 ，
抛物线的对称轴是直线 ，
，
抛物线经过点 ， ，
，
解得： ，
抛物线的解析式为 ；
（3） ， ，
，
在 中， ，
，
轴， ，
，
在 中， ， ，
，
，在 中， ， ，
，
，
，
设点 ，
，
，
，
当 时， 有最大值是 ，此时 最大，
，
当 时， ，
，
的最大值是 ，此时点 ．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，解直角三角形等，本题难
度适中，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象和性质是解题关键．
25．（2023秋•海珠区月考）抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），且
， ，与 轴交于点 ， 点的坐标为 ，连接 ，以 为边，点 为对称中心作菱
形 ．点 是 轴上的一个动点，设点 的坐标为 ，过点 作 轴的垂线交抛物线于点 ，交
于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2） 轴上是否存在一点 ，使三角形 为等腰三角形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，
请说明理由；
（3）当点 在线段 上运动时，试探究 为何值时，四边形 是平行四边形？请说明理由．【 分 析 】 （ 1 ） 抛 物 线 与 轴 交 于 ， 两 点 ， 故 抛 物 线 的 表 达 式 为 ：
，即 ，解得： ，即可求解；
（2）分 、 、 三种情况，分别求解即可；
（3）直线 的解析式为 ；如图，当 时，四边形 是平行四边形，则
，即可求解．
【解答】解：（1）由题意可设抛物线的解析式为： ，
抛物线与 轴交于 ， 两点，
故抛物线的表达式为： ，
即 ，解得： ，
抛物线的解析式为： ；
（2）设点 的坐标为 ，
则 ， ， ，
①当 时， ，解得： ；
②当 时，同理可得： ；
③当 时，同理可得： （舍去 ，
故点 的坐标为： ， 或 ， 或 ， 或 ；
（3）
由菱形的对称性可知，点 的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，又解得 ，
直线 的解析式为 ；
则点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
如图，当 时，四边形 是平行四边形
，
解得 （不合题意舍去）， ，
当 时，四边形 是平行四边形．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、勾股定理的运用、平行四边形性质、图形的
面积计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
26．（2024春•邓州市校级月考）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设
计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在 处，对称轴 与
水平线 垂直， ，点 在抛物线上，且点 到对称轴的距离 ，点 在抛物线上，点 到对
称轴的距离是1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，为更加稳固，小星想在 上找一点 ，加装拉杆 ， ，同时使拉杆的长度之和最短，
请你帮小星找到点 的位置并求出坐标；
（3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为 ，当 时，函
数 的值总大于等于9．求 的取值范围．
【分析】（1）根据题意，设抛物线的解析式为 ，待定系数法求解即可；
（2）作 点关于 轴的对称点 ，连接 交 于点 ，则 点即为所求；
（3）分三种情况进行分类讨论，结合二次函数的图象和性质，建立不等式求得 的取值范围即可．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为 ，
把点 代入，得：
，
解得： ，
抛物线的解析式为： ；
（2）作 点关于 轴的对称点 ，连接 交 于点 ，则 点即为所求；
把 代入 ，得：
，
设直线 的解析式为 ，
，
解得： ，
，
令 ，得 ，
点的坐标为 ；
（3） ，
抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
当 时，得：
，
解得： ，
，当 时，
由 ，得：
，
，
解得： ，
；
由 ，得：
，
，
；
当 时，都成立；
当 时，得：
，
解得： ，
都成立；
综上所述， 的取值范围为 ．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的
思想解答问题．
27．（2023秋•海淀区校级月考）平面直角坐标系 中，点 ， 是图形 上任意两个点，其纵坐标分
别是 ， ，则称 的最大值为图形 的“纵测宽”．
（1）直接写出下列图形的“纵测宽”．
① ，其中 ， ， ；
②如图，以原点为圆心，半径为2的圆在第一象限的部分与线段 围成的图形，其中 ， ；
（2）如果抛物线 与经过点 、 的直线围成的图形“纵测宽”是3，求实数
的值．【分析】（1）①根据“纵测宽”的定义求解即可；
②根据“纵测宽”的定义求解即可；
（2）根据“纵测宽”的定义求解，注意分类讨论．
【解答】解：（1）①在 中， ， ， ，
其中纵坐标最大为点 的纵坐标4，纵坐标最小为点 的纵坐标为 ，
，
的“纵测宽”为5；
②以原点为圆心，半径为2的圆在第一象限的部分与线段 围成的图形，其中 ， ，如图，
纵坐标最大为 点的纵坐标2，纵坐标最小为 点的纵坐标0，
，
这个图形的“纵测宽”为2；
（2）设直线 的解析式为 ，把 、 代入，
得： ，
解得： ，
直线 解析式为 ，
联立方程组得： ，整理得： ，
根据抛物线 与直线 能围成的图形 ，可知△ ，
解得： 或 ，
又 ， ，
，
设直线 与抛物线 交点坐标为 ， ， ， ，其中 ，
抛物线 ，
抛物线 对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
当 时，抛物线与直线 能围成的图形中，纵坐标最大为 点的纵坐标 ，纵坐标最小为顶
点的纵坐标 ，
抛物线与直线 能围成的图形“纵测宽”是3，
，
，
把 代入 ，得
解得 ，
把 ， 代入 得
整理得
，
当 时，抛物线与直线 能围成的图形中，纵坐标最大时在 点，为 ，纵坐标最小时在
点，为 ，
抛物线与直线 能围成的图形“纵测宽”是3，
，
， ，
，
解得 ，
综上所述，实数 的值为 或 ．
【点评】本题是二次函数综合题，考查二次函数的图象和性质，一元二次方程根与系数关系，根的判别式，
“纵测宽”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考创新题目．
28．（2023秋•重庆月考）如图，已知二次函数 的图象与 轴交于 、 两点（点
在点 的右侧），与 轴交于点 ，连结 、 ．
（1）求 的周长；
（2）点 为二次函数 的图象上一点，且位于直线 下方．过点 作直线
轴交直线 于点 ．求线段 长度的最大值及此时点 的坐标；
（3）将二次函数 的图象向左平移1个单位长度，再向下平移 个单位长度得到新
的二次函数 的图象．新二次函数 的图象的顶点为点 ．在 轴上确定一点 ，使得 是以线段
为腰的等腰三角形．请直接写出所有符合条件的点 的坐标，并写出求点 的坐标的其中一种情况的
过程．【分析】（1）先求得： ， ， ，再运用两点间距离公式或勾股定理即可求得答案；
（2）运用待定系数法可得直线 的解析式为 ，设 ，则
，所以 ，运用二次函数的性质即可求得
答案；
（3）先求得抛物线 的顶点坐标为 ，根据平移可得平移得到新的二次函数
的顶点是 ，设 ，根据 是以线段 为腰的等腰三角形，分两种情况：当
时，点 与点 关于 轴对称，可得 ；当 时，利用勾股定理可得
，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）令 ，得 ，
解得： ， ，
， ，
令 ，得 ，
，
，
在 中， ，
在 中， ，的周长 ；
（2）设直线 的解析式为 ，把 ， 代入，得 ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，如图，
，
，
当 时， 有最大值，
的最大值 ，
点 的纵坐标为 ，
线段 长度的最大值是 ，此时点 的坐标是 ， ；
（3） ，
抛物线 的顶点坐标为 ，
向左平移1个单位长度，再向下平移 个单位长度，
平移得到新的二次函数 的顶点是 ，
设 ， 是以线段 为腰的等腰三角形，如图，当 时，点 与点 关于 轴对称，
；
当 时，
，
，
解得： 或 ，
或 ；
综上所述，点 的坐标为 或 或 ．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，抛物线的平
移，勾股定理，等腰三角形性质等，熟练掌握二次函数的图象及性质，平移的性质，分类讨论是解题的关
键．
29．（2023秋•明水县校级月考）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，
抛物线的对称轴交 轴于点 ．已知 ， ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在 点，使 是以 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点 是线段 上的一个动点，过点 作 轴的垂线与抛物线相交于点 ，当点 运动到什么位置
时，四边形 的面积最大？求四边形 的最大面积及此时点 的坐标．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据等腰三角形的定义，可得 ， ，根据两点间的距离，勾股定理，可得答案；
（3）根据图形割补法，可得函数解析式，根据二次函数的性质，可得答案．
【解答】解：（1）将 、 点坐标代入函数解析式，得
，
解得
抛物线的解析式 ，
（2）如图：
由勾股定理， ，
，
， ，
时，设 ，
，
解得，
综上所述： ， ， ；
（3）当 时， ， ，即 ， ．
的解析式为 ，设 点横坐标为 ， ，即 ，
，
，
，
，
当 时， ，
， ．
【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用等腰三角形的定义，分类讨论
是解题关键；图形割补法是解题关键，又利用了二次函数的性质．
30．（2023秋•江干区校级月考）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离 ，称跨度，桥面最高点
到 的距离 称拱高，当 和 确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型；②圆弧型．已知
这座桥的跨度 米，拱高 米．
（1）如果设计成抛物线型，如图1，以 所在直线为 轴， 的垂直平分线为 轴建立坐标系，求桥
拱的函数解析式；
（2）如果设计成圆弧型，如图2，求该圆弧所在圆的半径；
（3）有一艘宽为12米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面1.8米，在两种方案下，此货船能否顺利通
过该桥？并说明理由．【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为 ，将点 代入，求出 的值，即可确定函
数的解析式；
（2）设圆心为 ，连接 交 于 点，连接 ，在 中， ，解得
，即可求该圆弧所在圆的半径10米；
（3） ①在抛物线型上时，当 时， ，由 米 米，可知货船不能顺利通过该桥；②在圆弧
型时，设 米，过点 作 交弧 于点 ，过点 作 交于 点，连接 ，在
中， ，求出 米，可得 米，再由2米 米，即可判断货船能顺利通
过该桥．
【解答】解：（1） ，
， ，
，
，
设抛物线的解析式为 ，
，
解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）设圆心为 ，连接 交 于 点，连接 ，
，
，
，
，
在 中， ，
，
解得 ，该圆弧所在圆的半径10米；
（3）①在抛物线型上时，当 时， ，
米 米，
货船不能顺利通过该桥；
②在圆弧型时，设 米，
过点 作 交弧 于点 ，过点 作 交于 点，连接 ，
米，
在 中， ，
，
米，
米，
米，
米 米，
货船能顺利通过该桥．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，圆的性质，垂径定理，勾股
定理是解题的关键．
31．（2022秋•天心区校级月考）如图，已知抛物线 与 轴交于 、 两点（点 在点
的左边），与 轴交于点 ，连接 ．
（1）求 、 、 三点的坐标；
（2）若点 为线段 上的一点（不与 、 重合）， 轴，且 交抛物线于点 ，交 轴于点
，当线段 的长度最大时，求点 的坐标；
（3）在（2）的条件下，当线段 的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点 ，使得 为直角三
角形，直接写出点 的坐标．【分析】（1）在抛物线解析式中，令 可求得点 坐标，令 则可求得 、 的坐标；
（2）由 、 的坐标可求得直线 的解析式为 ，则可表示出点 坐标，则可求得 的长，
从而可用 表示出 的面积，再利用二次函数的性质可求得当 面积最大值时 的值，可求得点
坐标；
（3）由（2）可知点 坐标，设点 坐标为 ，则可用 分别表示出 、 及 ，分点 为直角
顶点、点 为直角顶点和点 为直角顶点三种情况，分别根据勾股定理可得到关于 的方程，可求出
的值，可求得点 坐标．
【解答】解：（1）对于 ，令 ，则 ，
，
令 ，则 ，解得： ， ，
，
；
（2）设 的表达式为 ，则 ，解得 ，
直线 的表达式为 ，
设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，
，
时， 最大，
此时点 坐标 ， ；
（3） ，
抛物线的对称轴为直线 ，设 ，且 ， ， ，
， ，
，
为直角三角形，
分点 为直角顶点、点 为直角顶点和点 为直角顶点三种情况，
①当点 为直角顶点时，则有
即 ，解得： ，
此时点 坐标为 ，
②当点 为直角顶点时，则有 ，
即 ，解得： ， ，
此时点 坐标为 或 ，
③当点 为直角顶点时，则有 ，
即 ，解得： ，
此时点 坐标为 ，
综上所述，点 坐标为 或 或 或 ．
【点评】此题是二次函数综合应用题，主要考查了待定系数法函数与坐标轴的交点、三角形的面积、二次
函数的性质、勾股定理、方程思想以及分类讨论思想等知识．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适
中．
32．（2023秋•中山市月考）定义：在平面直角坐标系 中，当点 在图形 的内部，或在图形 上，
且点 的横坐标和纵坐标相等时，则称点 为图形 的“梦之点”．
（1）如图①，矩形 的顶点坐标分别是 ， ， ， ，在点 ，
， 中，是矩形 “梦之点”的是 ， ；
（2）如图②，已知点 ， 是抛物线 上的“梦之点”，点 是抛物线的顶点．连接
， ，求 的面积；（3）在（2）的条件下，点 为抛物线上一点，点 为平面内一点，是否存在点 、 ，使得以 为对
角线，以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出 点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形的内部或边上；
（2）根据“梦之点”的定义可得： ， ，利用二次函数的顶点式可得抛物线的顶点为 ，
抛物线的对称轴为直线 ，由 ，即可求得答案；
（3）设 ，由以 为对角线，以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，可得 ，
利用两点间距离公式建立方程求解即可求得答案．
【解答】解：（1） 矩形 的顶点坐标分别是 ， ， ， ，
矩形 的“梦之点” 满足 ， ，
点 ， 是矩形 的“梦之点”，点 不是矩形 的“梦之点”，
故答案为： ， ；
（2） 点 ， 是抛物线 上的“梦之点”，
点 ， 是直线 上的点，
，
解得： ， ，
， ，
，
抛物线的顶点为 ，抛物线的对称轴为直线 ，设抛物线的对称轴交 于 ，则 ，
，
；
（3）存在，理由如下：
设 ，
以 为对角线，以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，
，
，
解得： ，
当 时， ，
当 时， ，
点坐标为 ， 或 ， ．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了一次函数和二次函数的图象和性质，菱形的性质，理解坐标与
图形性质，熟练掌握两点间的距离公式，理解新定义是解题的关键．
33．（2023秋•和平区校级月考）如图，已知抛物线 经过 ， 两点，与 轴的另一个交点为 ，顶点为 ，连接 ．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点 为该抛物线上一动点（与点 ， 不重合），设点 的横坐标为 ．
①当点 在直线 的下方运动时，求 的面积的最大值及点 的坐标；
②该抛物线上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出所有点 的坐标；若不存在，请说明理
由．
【分析】（1）将点 、 坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）①利用待定系数法可得直线 的解析式为 ，如图1，过点 作 轴的平行线交 于点 ，
设点 ，则点 ， ，根据 ，即
可求解；
②分点 在直线 下方、上方两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）将点 、 代入抛物线 ，
得： ，
解得： ，
该抛物线的表达式为： ①；
（2）①令 ，得 ，
解得： ， ，
点 ，
设直线 的解析式为 ，将点 、 的坐标代入得： ，
解得： ，直线 的解析式为 ②，
如图1，过点 作 轴的平行线交 于点 ，
设点 ，则点 ，
，
，
，
有最大值，当 时，其最大值为 ，此时 ， ；
② ，
顶点 ，
设直线 与 交于点 ，
当点 在直线 下方时，
，
点 在 的中垂线上，线段 的中点坐标为 ， ，过该点与 垂直的直线的 值为 ，
设 中垂线的表达式为： ，将点 ， 代入上式得 ，
解得： ，
直线 中垂线的表达式为： ③，
设直线 的解析式为 ，把 ， 代入得： ，
解得： ，
直线 的解析式为： ④，
联立③④得： ，
解得： ，
点 ，
设直线 的解析式为 ，则 ，
解得： ，
直线 的解析式为： ⑤，
联立①⑤得 ，
解得： ， （舍去），
故点 ， ；
当点 在直线 上方时，
，
，
则直线 的表达式为： ，将点 坐标代入上式并解得： ，即直线 的表达式为： ⑥，
联立①⑥并解得： 或 （舍去 ，
故点 ；
综上所述，点 的坐标为 ， 或 ．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中
（2），要注意分类求解，避免遗漏．
34．（2023春•清江浦区月考）如图，直线 与抛物线 相交于点 ，
和点 ，抛物线与 轴的交点分别为 、 （点 在点 的左侧），点 在线段 上运动（不与
点 、 重合），过点 作直线 轴于点 ，交抛物线于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接 ，是否存在点 ，使 是直角三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存
在，说明理由；
（3）如图2，过点 作 于点 ，当 的周长最大时，过点 作任意直线 ，把 沿
直线 翻折，翻折后点 的对应点记为点 ．当 的周长最大时：
①求出点 的坐标；
② 直 接 写 出 翻 折 过 程 中 线 段 长 度 的 取 值 范 围 是 ．
【分析】（1）先把点 代入直线的解析式，求出 的值，再把点 和点 代入 ，即可
求出抛物线的解析式；
（2）先设出 的坐标，然后分 和 两种情况，利用等腰直角三角形得性质即可
求出点 的坐标；
（3）①先设出点 的坐标，再得出点 的坐标，然后表示出三角形 的周长，求出周长取最大值时点 的坐标即可；
②折叠过程中，当 ， ， 共线，且 和 在 两侧时， 的最大， 和 在 同侧时， 的
最小．
【解答】解：（1）把 代入 ，得 ，
，
把 ， 和 代入 ，得 ，
解得： ，
抛物线的解析式为 ；
（2）存在点 ，使 是直角三角形．
设直线 交 轴于点 ，则 ，
设 ，则 ， ，
， ，
，
轴，
，
是等腰直角三角形，
，
当 时，
过点 作 于 ，如图，
则 轴，
点 的纵坐标为 ，是等腰直角三角形，
，
即点 是 的中点，
，
解得： （舍去）， ，
；
当 时，即 ，
轴，
轴，
点 的纵坐标为 ，
，
解得： （舍去）， ，
， ；
综上所述，存在点 ，使 是直角三角形，点 的坐标为 或 ， ；
（3）①设 ，则 ，
，
由（2）得 ，即 ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
的周长 ，
，
当 时， 的周长最大，此时点 ， ；
②折叠过程中，当 ， ， 共线，且 和 在 两侧时， 的最大， 和 在 同侧时， 的
最小，，
当 时， ，
解得： ， ，
， ，
，
的最大值为 ， 的最小值为 ，
长度的取值范围是 ；
故答案为 ．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，直角三角
形性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形周长，两点间距离公式，翻折变换的性质等．对于翻折
问题可考虑特殊的位置，比如平行，共线，垂直等．
35．（2023秋•来凤县校级月考）如图，已知二次函数 的顶点是 ，且图象过点
，与 轴交于点 ．
（1）求二次函数 的解析式；
（2）求直线 的解析式；
（3）在直线 上方的抛物线上是否存在一点 ，使得 ，如果存在，请求出 点的坐标，如果不
存在，请说明理由．
【分析】（1）设二次函数解析式为顶点式： ，将点 的坐标代入求得 的值即可；
（2）根据二次函数解析式求得点 的坐标，利用待定系数法确定直线 解析式；
（3）由二次函数图象上点的坐标特征可设 其中 ，结合三角形的面积公式可以求得点
的坐标．
【解答】解：（1） 是二次函数的顶点，
设二次函数的解析式为 ．又 图象过点 ，
代入可得 ，
解得 ，
或 ；
（2）由 可知， 为 ．
设直线 的解析式为： ，
将 和 代入可得 ，
直线 的解析式为： ；
（3） 在直线 上方的抛物线上，
可设 其中 ，
过 作 轴，交 于 点．
则 坐标为 ，
又 ，
，
解得 ， ，2，代入 得4或3．
点坐标为 或 ．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．利用数形结合的思想
把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题关键．
36．（2024春•阳新县校级月考）抛物线 ， 交 轴于 ， 两点 在 的
左边）， 是抛物线的顶点．（1）当 时，直接写出 ， ， 三点的坐标；
（2）如图1，点 是对称轴右侧抛物线上一点， ，求线段 长度；
（3）如图2，将抛物线平移使其顶点为 ，点 为直线 上的一点，过点 的直线 ， 与
抛物线只有一个公共点，问直线 是否过定点，请说明理由．
【分析】（1）当 时，抛物线的表达式为： ，即可求解；
（2）延长 交 轴于点 ，过点 作 于点 ，则三角形 是等腰三角形，所以 ，
，然后利用交点坐标特征，先后求出点 、 、 的坐标，再由两点之间的距离公式求得
的长即可；
（3）先根据平移变换，求出平移后的抛物线的解析式为 ．再由直线与抛物线的交点个数写出对
应的函数解析式，最终把方程 整理成 是解决问题的关键所在．
【解答】解：（1）当 时，
抛物线的表达式为： ，
令 ，
解得： 或4，
点 、 、 的坐标分别为： 、 、 ；
（2）延长 交 轴于点 ，过点 作 于点 ，
，点 的坐标为 ，
设 的解析式为 ，则有：
，
，
直线 的解析式 ；
，
， ，
点 是 、 的中点，则点 ， ，
设 的解析式为 ，把点 ， 代入得：
，
解得： ，
，
由 得，
，
点的坐标为 ， ，
设直线 的解析为 ，则有：
，
解得： ，
，
由 ，得：
， ，的坐标为 ， ；
，
即 的长为 ；
（3） 抛物线平移后的顶点坐标为 ，
平移后的抛物线的解析式为 ．
点 为直线 上一点，
．
设过点 的直线的解析式为 ，
，
．
过点 的直线解析式为 ．
．
即： ．
过点 的直线 、 与抛物线只有一个公共点，
△ ．
．
， ．
直线 的解析式为 ，
直线 的解析式为 ．
，
．
设点 的横坐标为 ，则 是方程 的根，
过点 的直线 与抛物线只有一个公共点，
．
同理可求： ，
， ，， 是方程 的两根，
整理得： ，
即：点 ， 的坐标满足方程组 ，
点 ，点 是抛物线 与直线 的交点，
，
直线 一定经过定点 ， ．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，一次函数的性
质，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰三角形的性质，一元二次方程根与系数的关系，抛物线与直线
的交点，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
37．（2023秋•萧山区月考）如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，抛物线 与 轴
正半轴交于点 ，与 轴交于点 ．点 为该抛物线上的任意一点，过点 分别向 轴、 轴作垂线，构
造矩形 ，垂足分别为 、 ．设点 的横坐标为 ．
（1）分别求点 、点 的坐标；
（2）当点 在 轴上方时，此时矩形 的周长 是否存在最值？若存在，请求出最值；若不存在，
请说明理由；
（3）当抛物线在矩形 内的部分所对应的函数值 随 的增大而增大时，直接写出 的取值范围．
【分析】（1）分别令 ， ，解方程即可求得答案；
（2）由题意得： ，点 在 轴上方，则 ， ，分三种情况：①
当 时，②当 时，③当 时，分别根据矩形的周长公式和二次函数的性质即可求得答
案；
（3）分四种情况：当点 在 轴的下边， 轴的左侧时，当点 在 轴的上边， 轴左边时，当点 在
上方时，当点 在 下方， 轴右边时，分别画出图象，结合图象即可求得答案．
【解答】解：（1）当 时， ，
，
当 时， ，解得： ， ，
；
（2） 点 的横坐标为 ，
，
点 在 轴上方，
， ，
①当 时，此时构造产生的图形为一条线段，不存在矩形，舍去；
②当 时， ， ，
矩形 的周长 ，
，开口向下，对称轴 不在 范围内，在 内， 随 的增大而增大，
当 时， ；
③当 时，则 ， ，
矩形 的周长 ，
，开口向下，对称轴 在 范围内，
当 时， 有最大值， 的最大值为 ，
，
当 时，此时 ，
当 时， ；
综上所述，矩形 的周长 ，当 时，矩形 的周长 的最大
值为 ．
（3） 抛物线 的对称轴为直线 ， ，
点 的对称点为 ，
令 ，得 ，
解得： ， ，
，
根据题意可知，需要分类讨论：当点 在 轴的下边， 轴的左侧时，抛物线在矩形 内的部分所对应的函数值 随 的增大而增大，
如图1，
此时 ；
当点 在 轴的上边， 轴左边时，如图2，不合题意；
当点 在 上方时，如图3，当抛物线在矩形 内的部分所对应的函数值 随 的增大而增大时，
此时 ；
当点 在 下方， 轴右边时，如图4，不合题意；
综上所述，当抛物线在矩形 内的部分所对应的函数值 随 的增大而增大时， 或 ．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，矩形的性质等知识，解题的关
键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
38．（2023秋•江岸区校级月考）已知二次函数图象的顶点在原点，且点 在此二次函数的图象上．
（1）求二次函数的表达式；（2）如图 1，直线 与二次函数的图象交于 、 两点（点 在直线 下方），若
，求 的值；
（3）如图2，直线 与二次函数的图象交于 、 两点，过点 的直线 交二次函数的图
象于点 ，求证：直线 过定点．
【分析】（1）利用待定系数法将点 代入即可 求得答案；
（2）联立方程组整理得 ，利用根与系数关系可得： ， ，
由 ， 可 得 ， 作 轴 交 于 点 ， 可 得 ：
， ，利用三角形面积建立方程求解即可；
（3）联立方程组可得 ，进而可得 ①， ，同理可得： ②，
由① ②得： ③，设直线 的解析式为 ，可得 ，即
④ ， ⑤ ， 可 推 出 ， 即 直 线 的 解 析 式 为
，即可证得结论．
【解答】（1）解： 二次函数图象的顶点在原点，
设 ，
点 在此二次函数的图象上，
，
，
二次函数的表达式为： ；
（2）解： 与 交于 、 两点，
，即： ，
， ，
，
，（注 ，
，作 轴交 于 点，如图1，
，
，
，
，
，
解得： 或 ，
或 ．
（3）证明：如图2，与二次函数 的图象交于 、 两点，
，
，
①， ，
过点 的直线 交二次函数 的图象于点 ，
，
，
②， ，
① ②得： ③，
设直线 的解析式为 ，
联立得： ，
即 ，
④， ⑤，
由②得： ，代入④⑤，得： ，
即 ⑥， ，
⑦，
① ⑥，得： ，即 ⑧，
⑦代入⑧，得： ，
，
直线 的解析式为 ，
直线 一定经过定点 ．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标的特征，
待定系数法，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，一元二次方程根与系数的关系，抛物线
与直线的交点，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
39．（2023秋•岳麓区校级月考）如图1，四边形 中， ， ，我们就把这种两组邻
边分别相等的四边形叫做筝形．
（1）根据筝形的定义，下列图形中是筝形的有 （填写序号）；
①平行四边形；
②菱形；
③矩形；④正方形．
（2）如图2，若四边形 的内角满足 ，连接 ， 交于
点 ，且 平分 ．
①求证：四边形 是筝形；
②若四边形 的面积为 ，求四边形 的周长；
（3）如图3，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ．在 轴上任取一点 ，以 为对角线作筝形
，满足 ，且 轴．在 轴上取几个不同位置的点 ，得到相应的点 ，发现这些
点 在一条曲线 上．若点 ， ， 是上述曲线 上的三个不同的点，它们的横坐标分别为 ， ，
，其中 ，求 的最大值．
【分析】（1）根据筝形的定义，即可判断得出结论；
（2）①根据四边形的内角和为 及已知条件可得： ， ， ，
， 即 ， 再 由 角 平 分 线 定 义 可 得 ， 即 可 证 得
，得出 ， ，利用筝形的定义即可证得结论；
②设 ，则 ， ，利用勾股定理可得 ，
可得 ，由 ，建立方程可求得 ，
再利用 即可求得答案；
（ 3 ） 设 点 ， 由 轴 ， 可 得 点 的 坐 标 为 ， 进 而 可 得
， ，由筝形的定义可得 ，
即可求得 ，设 ， ， ，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ．利
用待定系数法可得直线 的解析式为 ，令 ，得 ，可得
，进而得出 ，则 ，
应用二次函数性质即可求得答案．
【解答】（1）解： ， ，垂直平分 ，
即 ， ，
菱形、正方形是筝形，
故答案为：②④．
（2）①证明： 四边形 的内角和为 且满足 ，
， ， ， ，
，
平分 ，
，
，
，
， ，
四边形 是筝形．
②解： 四边形 是筝形，且 ， ， ，
是等腰直角三角形， 是等边三角形．
由①可知 ，
，
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理可得 ，
，
，
，
，
，
，，
， ，
， ，
．
（3）解：如图，四边形 是筝形， ， ，
点 ， 轴．
点 的坐标为 ，
， ，
，
；
设 ， ， ，
则 ， ， ，
，
，
过点 作 轴的垂线交直线 于点 ．设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得： ，直线 的解析式为 ，
令 ，得 ，
，
，
则 ，
，且 ，
当 时， 有最大值，最大值为 ．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，
勾股定理，三角形面积等，理解并应用新定义是解题关键．
40．（2023秋•江夏区校级月考）如图，抛物线 过点 、 ，直线 交 轴于点 ，
（1）直线 的解析式为 ，点 的坐标是 ；
（2）直线 上有点 ，点 是否存在某个位置使 ？若存在，请求出 的坐标；若不存
在，请明说理由；
（3）平面内有抛物线 ，且抛物线 向上平移4个单位可与抛物线 重合，在抛物线 上有一动点 ，
的面积为 ，若点 符合条件的位置有且只有3个，求 的值．【分析】（1）运用待定系数法即可求得： ， ，利用待定系数法可得直线 的解析式为
，令 ，得： ，即可求得点 的坐标；
（2）过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ，设
， 利 用 勾 股 定 理 可 得 ： ，
，根据 ，建立方程求解即可；
（3）由平移得：抛物线 ，由题意可知，当点 在直线 上方抛物线上时，总有两个点 使
得 的面积为 ，且符合条件的点 位置有且只有3个，可得出：在直线 下方抛物线上有且只有1
个点 使得 的面积为 ，即 为最大值，过点 作 轴交直线 于点 ，设 ，
则 ，可得 ，运用二次函数的性质即可求得答案．
【解答】解：（1） ， ；
理由如下：
抛物线 过点 、 ，
，
解得： ，
， ，
设直线 的解析式为 ，则 ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
令 ，得： ，
解得： ，；
故答案为： ， ；
（2）存在点 使得 ，理由如下：
过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ，如图，
直线 上有点 ，不妨设 ，
在 中， ，
在 中， ，
又 ，
，即 ，
当 时， ，
解得： ，
，
当 时， ，无解（舍去），
当 时， ，
解得： ，
，
综上所述， ， ；
（3）由平移得：抛物线 ，
由题意可知，当点 在直线 上方抛物线上时，总有两个点 使得 的面积为 ，
又 符合条件的点 位置有且只有3个，
在直线 下方抛物线上有且只有1个点 使得 的面积为 ，即 为最大值，
当点 在直线 下方抛物线上，过点 作 轴交直线 于点 ，如图，设 ，
则 ，
，
，
，
此抛物线的开口向下，
当 时， 的面积取得最大值 ，
．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的
综合运用，勾股定理，三角形面积的计算，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
41．（2023秋•浠水县校级月考）已知抛物线 经过点 ，与 轴交于 ，
两点，与 轴交于 点．
（1）求抛物线 的解析式；
（2）如图1， 为直线 上方抛物线 上的动点，过 点作 于点 ，若 ，求 点坐
标；
（3）如图2，将抛物线 沿 轴平移得 ，使 的顶点落在 轴上，若过定点 的直线交抛物线
于 、 两点，过 点的直线 与抛物线交于点 ，求证：直线 必过定点．【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案；
（2）如图1，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，运用待定系数法可得直线 的解析式为
，设 ，则 ， ，可证得： 是等腰直角三角形， 是等腰
直角三角形，再由 ，建立方程求解即可得出答案；
（3）先求得平移后的抛物线 的解析式为： ，设 ， ，则直线
的解析式为 ，由直线 经过定点 ，可得 ，再由直线
经 过 点 ， 可 得 直 线 的 解 析 式 为 ， 进 而 求 得
，再运用待定系数法求得直线 的解析式为 ，当
时， ，即直线 必过定点 ， ．
【解答】（1）解： 抛物线 经过点 ， ，
，
解得： ，
抛物线 的解析式为 ；
（2）解：如图1，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，
设直线 的解析式为 ，把 ， 代入，
得： ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
设 ，则 ， ，
， ， ，，
轴，
是等腰直角三角形，
， ，
又 ， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
解得： ， ，
为直线 上方抛物线 上的动点，
，
，
；
（3）证明：如图2， 抛物线 ，
将抛物线 沿 轴平移得 ，使 的顶点落在 轴上，
抛物线 的解析式为： ，
设 ， ，
则直线 的解析式为 ，
直线 经过定点 ，
，
，
直线 经过点 ，
，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
由 ，解得： 或 ，
，
设直线 的解析式为 ，把 ， 代入，
得 ，
解得： ，
，
，
，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
直线 必过定点 ， ．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，等腰直角三角形的判
定和性质，抛物线的平移变换，直线恒过定点问题，解决本题的关键是可以通过直线与抛物线的图象只有
一个交点得出直线 和直线 的 与 和 的关系．42．（2023秋•中牟县月考）神舟十七号载人飞船在北京时间 2023年10月26日11时14分成功发射，本
次飞行任务的航天员乘组由汤洪波、唐胜杰和江新林三名航天员组成，河南籍航天员江新林再次闪耀中国
航天事业，是河南人民的骄傲和自豪．
下表是科研人员在某次测试一枚火箭向上竖直升空时，获得火箭的高度 与时间 的关系中的数据：
时间 1 5 10 15 20 25 30
高度 155 635 1010 1135 1010 635 10
（1）请你在如图所示的平面直角坐标系中先描出上述各点，再用光滑曲线连接各点；
（2）根据坐标系中各点的变化趋势， 关于 的函数类型是什么？请确定 与 的函数表达式；
（3）火箭的最高射程是多少？
【分析】（1）在平面直角坐标系中先描出各点，再用平滑曲线连接各点即可；
（2）根据图象判断函数的类型，再用待定系数法求出函数的解析式即可；
（3）由函数解析式可得出火箭的最高射程即可．
【解答】解：（1）在平面直角坐标系中先描出各点，再用平滑曲线连接各点即可，如图：（2）由坐标系中点的变化趋势可知， 关于 的函数类型是：二次函数，
由题意知，点 为该二次函数的顶点，则可设函数的解析式为：
，
代入点 得：
，
解得： ．
关于 的函数表达式为： ．
（3）由二次函数 可知，
当 时，函数有最大值1135，
火箭的最高射程是 ．
【点评】本题考查了函数关系式，待定系数法求解析式，解题的关键是画出函数的图象．
43．（2023秋•长沙月考）如图，抛物线 与 轴交于点 ，点 ，点 是抛物线
的顶点，过点 作 轴的垂线，垂足为点 ．
（1）求抛物线 所对应的函数解析式；
（2）如图1，点 是抛物线 上一点，且位于 轴上方，横坐标为 ，连接 ，若 ，
求 的值；
（3）如图2，将抛物线 平移后得到顶点为 的抛物线 ．点 为抛物线 上的一个动点，过点 作
轴的平行线，交抛物线 于点 ，过点 作 轴的平行线，交抛物线 于点 ．当以点 ， ， 为顶
点的三角形与 全等时，请直接写出点 的坐标．
【分析】（1）根据 、 两点的坐标用待定系数法求出解析式；
（2）如图，当 点在 轴上方时，若 ，则 ，先求直线 的解析式，由点
的坐标可求出直线 的解析式，联立直线和抛物线方程可求出点 的坐标，当点 在 轴下方时，由
轴对称的性质可求出直线 的解析式，同理联立直线和抛物线方程则求出点 的坐标；（3）先求出 的解析式，可设出点 坐标，表示 、 坐标及 、 ，根据以 ， ， 为顶点的
三角形与 全等，分类讨论对应边相等的可能性即可求 点坐标．
【解答】解：（1）由题意得： ，
解得 ．
抛物线 所对应的函数解析式为 ；
（2）当 时， ，
，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
如答图1，当 点在 轴上方时，
，
，
设直线 的解析式为 ，
直线经过点 ，，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
，
解得： ， （舍去），
，
综合以上可得 的值为 ；
（3） 抛物线 平移后得到 ，且顶点为 ，
，
即 ．
设 ，则 ，
，
①如答图2，当 在 点上方时，
， ，
与 全等，
当 且 时， ，
， ，当 且 时，无解；
②如答图3，当点 在 点下方时，
同理： ， ， ，
，
则 ， ．
综合可得 点坐标为 或 ．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质、待定系数法求函数的解析式，三角形全等的判
定，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．
44．（2023秋•启东市校级月考）如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线
经过 、 两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点 是直线 上方抛物线上的一动点，当四边形 面积最大时，请求出点 的坐标和
四边形 面积的最大值；
（3）在（2）的结论下，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，连接 ，点 是抛物线对称轴上的
动点，在抛物线上是否存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请
直接写出点 的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）首先根据直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，求出点 的坐标是 ，点
的坐标是 ；然后根据抛物线 经过 、 两点，求出 、 的值是多少，即可求出抛
物线的解析式；
（2）首先过点 作 轴的平行线 交直线 于点 ， 交 轴于点 ，然后设点 的坐标是
，则点 的坐标是 ，求出 的值是多少；最后根据三角形的面积的求法，
求出 ，进而判断出当 面积最大时，点 的坐标和 面积的最大值以及四边形 面积最
大各是多少即可；
（3）在抛物线上存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论，
根据平行四边形的特征，求出使得以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形的点 的坐标是多少
即可．
【解答】解：（1） 直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，
抛物线 经过 、 两点，
解得
．
（2）如图1，过点 作 轴的平行线 交直线 于点 ， 交 轴于点 ，
点 是直线 上方抛物线上的一动点，
设点 的坐标是 ，
则点 的坐标是 ，
，
，
当 时，即点 的坐标是 时， 的面积最大，最大面积是3；
此时，四边形 的面积最大，最大面积为： ；
（3）在抛物线上存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形．
①如图2，由（2），可得点 的横坐标是2，
点 在直线 上，
点 的坐标是 ，
又 点 的坐标是 ，
，
所在的直线的斜率是： ；
的对称轴是直线 ，
设点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，
则
解得 或 ，
，
点 的坐标是 ，则 的解析式为， ，
的解析式为
当 时， ，
则 ；
②如图3，
由（2），可得点 的横坐标是2，
点 在直线 上，
点 的坐标是 ，
又 点 的坐标是 ，
，
所在的直线的斜率是： ；的对称轴是直线 ，
设点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，
则
解得 或 ，
，
点 的坐标是 ．
的解析式为： ， ，
的解析式为： ，
当 时， ，
则 ；
③如图4，
由（2），可得点 的横坐标是2，点 在直线 上，
点 的坐标是 ，
又 点 的坐标是 ，
，
的对称轴是直线 ，
设点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，
则
解得 ，
点 的坐标是 ，
的解析式为： ， ，
的解析式为： ，
当 时， ，
则 ；
综上，可得在抛物线上存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，
点 的坐标是 、 、 ．
【点评】此题考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结
合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力，待定系
数法函数解析式的求法，以及二次函数的最值的求法，三角形的面积的求法，要熟练掌握，灵活运用．
45．（2023秋•天河区校级月考）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
（1）当 时，求抛物线的对称轴及顶点坐标；
（2）请直接写出二次函数图象的对称轴（用含 的代数式表示）及二次函数图象经过的定点坐标是．
（3）若当 时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式；
（4）已知点 、 ，若抛物线与线段 只有一个公共点，请直接写出 的取值范围．
【分析】（1）利用对称轴公式求得对称轴为直线 ，再代入解析式求得 的值，即可求得顶点坐标；
（2）利用对称轴公式求得对称轴，把解析式变形得到 ，即可得到二次函数经过的定
点坐标为 ；
（3）根据（2）可知：二次函数图象的对称轴为直线 ，分 或 两种情况，分对称轴在已
知范围的左边，中间，右边分类讨论最值即可解答；
（4）分类讨论顶点在线段 上， ， ，由点 ， 和抛物线的位置结合图象求解．
【解答】解：（1） 时，
对称轴为直线 ，
把 代入 得， ，
顶点坐标为 ；
（2） ．
对称轴为直线 ，
，
二次函数经过的定点坐标为 ；
故答案为： ；
（3）由（2）知：二次函数图象的对称轴为直线 ，
分两种情况：
①当 时， ，
在自变量 的值满足 的情况下， 随 的增大而减小，
当 时， ，
而当 时，函数值有最大值为8，
所以此种情况不成立；
②当 时， ，当 时，即 ，
当 时，二次函数的最大值为 ，
，
此时二次函数的解析式为 ；
当 时，
在自变量 的值满足 的情况下， 随 的增大而减小，即 有最大值，
所以此种情况不成立；
综上所述：此时二次函数的解析式为： ；
（4）分三种情况：
①当抛物线的顶点在线段 上时，抛物线与线段 只有一个公共点，
即当 时， ，
，
△ ，
，
当 时， ，
解得： （符合题意，如图 ，
②当 时，如图2，当 时， ；当 时， ，
，
解得： ，
；
③当 时，如图3，
当 时， ；当 时， ，
，
解得： ，
；
综上所述， 的取值范围是： 或 或 ．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，二次函数与方程及不等式的关系，熟练掌握
二次函数的性质，并运用分类讨论的思想是解题的关键．
46 ．（2023 秋•南岗区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，抛物线
交 轴于点 、点 ，交 轴于点 ，过点 的直线 与 轴交于点 ．（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点 在 轴的正半轴上，连接 ，点 在线段 上，连接 ，且 ，设点 的
横坐标为 ，点 的横坐标为 ，求 与 的函数关系式（不要求写出 的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点 作 ，过点 作 ， 交 于点 ，连接 、
，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，点 在 的延长线上，连接 ，
，当 时，求点 的坐标．
【分析】（1）先求出点 的坐标为 ，代入抛物线 ，即可求得答案；
（2）过点 作 于 ，利用 可证得 ，可得 ， ，
，即 与 的函数关系式为 ；
（3）连 ，过点 作 于 ，过点 作 轴于 ，过点 作 于 ，交 轴于
过点 作 于 ，交 于 ，延长 交 于 ，可证得 ，得出
， 令 ， ， 则 ， 再 证 得
，可得 ，进而可得四边形 是矩形，得出 ，进而可得
，再证得 ，推出 ，利用解直角三角形可得 ，即可
得出 ．
【解答】解：（1）对于直线 ，
令 ，则 ，
解得： ，
点 的坐标为 ，
抛物线 经过点 ，
将点 代入，
，解得： ，
抛物线 ；
（2）如图2，过点 作 于 ，
令 ，则 ，
， ，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
又 ，
，
即 ，
，
，
，
，
又 ，
，
，，
，
点 在 轴负半轴上，
，
即 与 的函数关系式为 ；
（3）连 ，过点 作 于 ，过点 作 轴于 ，过点 作 于 ，交 轴于 ，
过点 作 于 ，交 于 ，延长 交 于 ，
对于抛物线 ，
令 ，得 ，
解得： 或 ，
， ，
，
对于直线 ，令 ，得 ，
，
，
，
， ，
，
，
令 ， ，则 ，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
由（2）知 ，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
矩形 是正方形．，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
由题知： ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
四边形 为矩形，
，
四边形 是正方形，
，
，
又 ，
，
，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
，
，，
，
．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，旋转变换
的性质，等腰三角形性质，矩形、正方形的判定和性质，解直角三角形等知识点，灵活作出辅助线是解决
此题的关键．
47．（2023秋•金湾区校级月考）如图，已知抛物线 经过 ， 两点，与 轴的
另一个交点为 ．
（1）直接写出抛物线的解析式 ；
（2）若直线 经过 ， 两点，则 ； ；
（3）在抛物线对称轴上找一点 ，使得 的值最小，并求出最小值和此时点 的坐标；
（4）设点 为抛物线对称轴上的一个动点，点 为抛物线上的一个动点，是否存在以 、 、 、 为
顶点的平行四边形，若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）把点 ， 两点的坐标分别代入抛物线解析式求出 和 的值即可；
（2）利用待定系数法可得 和 的值；
（3）如图1，由（2）知直线 的解析式为 ，再确定抛物线的对称轴方程，设直线 与直线
相交于点 ，根据轴对称的最短路径可知：此时 的值最小，从而得到此时点 的坐标；
（4）设 ， ，根据平行四边形的对角线性质，分三种情况讨论即可．
【解答】解：（1）把点 ， 代入 得： ，
解得： ，抛物线的解析式是 ；
（2）把 ， 代入 中得： ，解得： ；
故答案为：1，3；
（3）如图1，由（2）知：直线 的解析式为 ，
抛物线的对称轴为直线 ，
直线 与直线 相交于点 ，则 ，此时 最小，
此时点 的坐标为 ；
（4）设 ， ，
①当 为平行四边形的对角线时， ， ，
解得 ， ，
；
②当 为平行四边形的对角线时， ， ，
解得 ， ，
；
③当 为平行四边形的对角线时， ， ，
解得 ， ，
；
综上所述： 点坐标为 或 或 ．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了抛物线与 轴的交点，待定系数法求一次函数和二次函数的解
析式，等腰三角形的性质和判定，轴对称的最短路径问题，数形结合和分类讨论是解题的关键．
48．（2023 秋•沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于
， 两点，交 轴于点 ．（1）求抛物线的表达式；
（2）直线 与直线 交于点 ．点 是线段 上的动点，过点 作 轴的垂线，交直
线 于点 ，交抛物线于点 ，交直线 于点 ．
①若点 在第二象限，且 ，求 的值；
②在平面内是否存在点 ，使得以点 、 、 、 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据抛物线解析式中 和交 轴于 ， 两点，利用交点式可得抛物线的解
析式；
（2）①如图1，先利用待定系数法求直线 的解析式，联立方程可得交点 的坐标，根据 ，且
轴，表示点 ， ，由 ，列方程可得结论；
②存在，根据正方形的性质得： ， ，同理根据 ，得
， ，分两种情况： 在 的左侧，在 的右侧，根据 ，列
方程可得结论．
【解答】解：（1） 抛物线 交 轴于 ， 两点，
；
（2）①如图1，
， ，设 的解析式为： ，
则 ，
解得 ，
的解析式为： ，
，
解得： ，
，
，且 轴，
， ，
，
，
，
解得： ， ；
②存在，由①知： ，
四边形 是正方形，
， ，
，且 轴，
， ，
分两种情况：当 时，如图2，点 在 的左侧，
，
，
，
解得： （舍 ， ，
， ，
，
当 时，点 在 的右边，如图3，
同理得 ，
解得： ， （舍 ，
同理得 ；综上，点 的坐标为： 或 ．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数，正方形的性质，二次函数，两函数的交点，
图形的面积计算等，与方程相结合，求解点的坐标，难度适中．
49．（2023 秋•浑江区月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于
、 两点，与 轴交于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 为直线 下方抛物线上的一动点， 于点 ， 轴交 于点 ．求线段
的最大值和此时点 的坐标；
（3）点 为 轴上一动点，点 为抛物线上一动点，是否存在以 为斜边的等腰直角三角形 ？若
存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】①将 ， 点坐标代入抛物线解析式求出系数 ， 的值，即可得解析式，
②数形结合思想找到 和 的数量关系，求 最大值转化为求 最大值问题，利用配方法求最值，
③分类讨论，应用一线三直角模型构造全等三角形，找到线段关系，从而出点坐标．
【解答】解：（1）将 ， 代入函数 中，
得 ，
解得 ，
解析式为 ，
故抛物线解析式为 ；
（2）当 时， ，
，
，
，轴，
，
，
，则当 最大时， 也最大，
设 的解析式为 ，
，
解得 ，
解析式为 ，
设 ， ，
，
当 时， 最大，则 ，
， ，
故 最大值为 ， 点坐标为 ， ；
（3）存在，点 的坐标为 ， ， ， ， ， ．
是以 为斜边的等腰直角三角形，
设 ，
①如图，过点 作 轴的垂线 ，再分别过点 和点 作垂线 的垂线，分别交于点 和点 ，，
，
，
，
， ，
，
， ，
， ，
解得 ， （舍去），
， ，
②如图，过点 作 轴的垂线 ，再分别过点 和点 作垂线 的垂线，分别交于点 和点 ，同理： ，
， ，
，
解得 ， （舍去），
， ， ，
③如图，点 和点 重合，点 和点 重合，此时 ，
④如图，过点 作 轴的垂线 ，再分别过点 和点 作垂线 的垂线，分别交于点 和点 ，同理： ，
， ，
，
解得 ， （舍去），
， ， ，
综上所述，点 的坐标为 ， ， ， ， ， ．
【点评】本题主要考查了二次函数应用，求二次函数解析式，等腰三角形的性质以及一线三直角模型的应
用，最后一问综合应用对于一般学生比较有难度，比较难答全．
50．（2023秋•惠阳区校级月考）在平面直角坐标系中， 为坐标原点，二次函数 的
图象与 轴交于点 ，与 轴的负半轴交于点 ，且 ．
（1）求点 与点 的坐标；
（2）求此二次函数的解析式；
（3）在 轴上是否存在点 使 是等腰三角形，若存在，请直接写出点 的坐标，若不存在，请说明
理由．
【分析】（1）令 ，即可求得点 的坐标，由 的面积公式可求得 的在，进而得到点 的坐
标；
（2）把点 的坐标代入抛物线的解析式，可求得 的值，确定出抛物线解析式；
（3）若 是等腰三角形，且点 在 轴上，故点 的位置有三种情况，由等腰三角形的性质分别求得
即可
【解答】解：（1）由解析式可知，点 的坐标为 ，，
，
或 ，
二次函数与 轴的负半轴交于点 ，
点 的坐标为 ；
（2）把点 的坐标 代入 ，
得 ．
解得 ．
所求二次函数的解析式为 ．
（3）因为 是等腰三角形，
所以：①如图1，
当 时，点 的坐标为 ，
②如图2，当 时，点 的坐标为 或 ，
③如图3，当 时，设点 的坐标为 根据题意，得 ．
解得 ．
点 的坐标为 ， ，
综上所述，点 的坐标为 ， ， ， ， ．
【点评】本题考查了抛物线与坐标轴的关系，等腰三角形的性质，注意当 是等腰三角形时，点 的
位置有三种情况．
51．（2024春•广安区校级月考）如图所示，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴
交于点 ，且点 、 的坐标分别为 、 ，点 的坐标为 ．点 是抛物线第一象限上
一个动点，设点 的横坐标为 ，连接 、 、 ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当四边形 的面积最大时，求 的值；
（3）在（2）的条件下，若点 是 轴上一动点，点 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点 ，
使得以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，
请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）先求出直线 的表达式，设点 ，则点 ，可得
，故当 时， 有最大值 6；求出 ，推出当 最大时，也最大，则当 最大时， ；
（3）分 是边、 是对角线两种情况，利用图象平移的性质和中点公式即可求解．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为 ，
把 代入 中得： ，
解得 ，
；
（2）设直线 的表达式为 ，
把点 ， 代入 中得：
，
解得： ，
直线 的表达式为： ，
如图所示，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，
设点 ，则 ，
，
，
，
，
当 时， 有最大值6；，
，
当 最大时， 也最大，
当 最大时， ；
（3）在 中，当 时， ，
点 ，
设点 ，点 ，则 ，
Ⅰ．当 是边时，点 向左平移2个单位向上平移6个单位得到点 ，同样点 向左平移2个单位
向上平移6个单位得到点 ，
故 或 ，
联立①②得：
或 ，
解得： （舍去）或 或 或 ；
故点 的坐标为 或 或 ；
Ⅱ．当 是对角线时，
由中点公式得： ，
联立①③ ，解得： 或 （舍去），
故点 的坐标为 ；
综上，点 的坐标为 或 或 或 ．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移、面积的
计算等，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏．
52．（2023秋•霞山区校级月考）如图所示，已知抛物线 经过点 、 、
，与直线 交于 ， 两点
（1）求抛物线的解析式并直接写出 点的坐标；
（2）点 为直线 下方抛物线上的一个动点，试求出 面积的最大值及此时点 的坐标；
（3）点 是线段 上异于 、 的动点，过点 作 轴于点 ，交抛物线于点 ，当 为
直角三角形时，直接写出点 的坐标．
【分析】（1）设抛物线的解析式为 ，将点 的坐标代入可求得 的值，然后将
与抛物线的解析式联立方程组并求解即可；
（2）过点 作 轴，交直线 与点 ，设 ，则 ，则 ，
然后依据 ，列出 的面积与 的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可；
（3）设直线 与 轴相交于点 ，则 ，设 点坐标为 ，点 点坐标为
，先证明 为等腰直角三角形，然后根据 和 两种情况求解即可．
【解答】解：（1） 抛物线 与 轴的交点坐标是 、 ，
设该抛物线解析式为 ，
将点 代入函数解析式代入，得 ，
解得 ，
该抛物线的解析式为： 或 ．联立方程组： ，
解得 （舍去）或 ，
即点 的坐标是 ；
（2）如图所示：
过点 作 轴，交 于点 ，
设 ，则 ．
．
．
当 时， 的面积的最大值为 ．
， ．
（3）设直线 与 轴相交于点 ，则 ，设 点坐标为 ，点 点坐标为
．
，
．
．
轴，
．
若 为直角三角形，则 是等腰直角三角形．
①当 时，过点 作 于 ，， ， ，
，解得： （舍去）或 ，
．
②当 ，则 ．
，解得 （舍去）或 ，
．
综上所述，当 为直角三角形时，点 的坐标为 或 ．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的性质、待定系数法求二
次函数的表达式，等腰直角三角形的判定，分类讨论是解答本题的关键．
