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2024-2025 学年人教版九年级初中数学上学期期中模拟试卷 2
测试范围：一元二次方程、二次函数、旋转
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分）
1．方程x2－6x＋9＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】B
【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=0，由此即可得出结论．
【详解】解：∵在方程x2-6x+9=0中，△=（-6）2-4×1×9=0，
∴该方程有两个相等的实数根．
故选B．
【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练掌握当△=0时方程有两个相等的实数根．
2．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A．是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图
形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁
的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
3．下列四张扑克牌的牌面，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称图形的识别
【分析】考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一点旋转 后能够与自身重合，那么这个图形
就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据中心对称图形的概念和扑克牌的花色特点求解．
【详解】解：根据中心对称图形的概念，知A、B、C都是中心对称图形；
D、旋转 后，中间的花色发生了变化，不是中心对称图形．
故选：D．
4．已知点 和 关于原点对称，则 的值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】A
【知识点】已知两点关于原点对称求参数
【分析】此题考查了关于原点对称的点坐标的关系，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．根据这
一条件就可以转化为方程问题解决，就可以得到关于 ， 的方程，从而求得 ， 的值．
根据“平面直角坐标系中任意一点 ，关于原点的对称点是 ”这一结论求得 ， 的值，再进
行计算．
【详解】解：根据题意得： ， ，
解得： ， ．
则 ．
故选：A．5．若关于x的一元二次方程 没有实数根，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 没有实数根，
∴ ，
解得：
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程 ( 为常数)的根的判别式 ，理解
根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方
程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．
6．一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．无法确定
C．没有实数根 D．有两个相等的实数根
【答案】A
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】根据一元二次方程根的判别式 ，即可选择．
【详解】∵该一元二次方程为 ，
∴ ，
∴ ，
∴该一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根．
故选A．
【点睛】本题考查根据判别式判断一元二次方程的根的情况．掌握一元二次方程 的根
的判别式为 ，且当 时，该方程有两个不相等的实数根；当 时，该方程有两个相等的
实数根；当 时，该方程没有实数根是解题关键．7．若函数 是二次函数，则 的值为（ ）
A．－3 B．3或－3 C．3 D．2或－2
【答案】C
【知识点】根据二次函数的定义求参数
【分析】根据二次函数的定义和已知条件得出 且m＋3≠0，再求出答案即可．
【详解】解：∵函数 是二次函数，
∴ 且m＋3≠0，
解得：m=3，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，注意：形如 （a、b、c为常数，a≠0）的函数，叫二
次函数．
8．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．A B．B C．C D．D
【答案】C
【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别
【详解】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项进行判断即可得.
【详解】A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意；B是轴对称图形，不是中心对称图形，故
不符合题意；C是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，
故不符合题意，
故选C.
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部
分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．
9．修建一个面积为 平方米的矩形花园，它的长比宽多 米，设宽为 米，可列方程为
（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】设宽为x米，则长为 米，根据矩形花园的面积为100平方米，即可由矩形面积公式得出关
于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设宽为x米，则长为 米，
依题意得： ．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
10．如图，抛物线 与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点 ，则下
列结论中：① ；② ；③ 与 是抛物线上两点，若 ，则 ；
④若抛物线的对称轴是直线 ，m为任意实数，则 ；⑤若 ，则
，正确的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】根据图像得出a＜0，c＜0，b＞0，可判断①；再由图像可得对称轴在直线x=2右侧，可得，可判断②；再根据二次函数在y轴右侧时的增减性，判断③；根据抛物线对称轴为直线x=3，得
出 ，再利用作差法判断④；最后根据AB≥3，则点A的横坐标大于0且小于等于1，得出a+b+c≥0，
再由当x=4时，得出16a+4b+c=0，变形为a= ，代入，可得4b+5c≥0，结合c的符号可判断⑤.
【详解】解：如图，抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，c＜0， ，
∴b＞0，
∴abc＞0，故①正确；
如图，∵抛物线过点B（4，0），点A在x轴正半轴，
∴对称轴在直线x=2右侧，即 ，
∴ ，又a＜0，
∴4a+b＞0，故②正确；
∵ 与 是抛物线上两点， ，
可得：抛物线 在 上，y随x的增大而增大，
在 上，y随x的增大而减小，
∴ 不一定成立，故③错误；
若抛物线对称轴为直线x=3，则 ，即 ，
则
=
=
= ≤0，
∴ ，故④正确；
∵AB≥3，则点A的横坐标大于0且小于等于1，当x=1时，代入，y=a+b+c≥0，
当x=4时，16a+4b+c=0，
∴a= ，
则 ，整理得：4b+5c≥0，
则4b+3c≥-2c，又c＜0，
-2c＞0，
∴4b+3c＞0，故⑤正确，
故正确的有4个.
故选B.
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是能根据图像得出二次函数表达式各系数的符号.
二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分）
11．若点P在二次函数 的图象上，且点P到y轴的距离为2，则点P坐标为 ．
【答案】 或
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题考查二次函数上点的坐标，根据点P到y轴的距离为2，得到点P的横坐标为 ，然后代入
解析式计算是解题的关键．
【详解】解：∵点P到y轴的距离为2，
∴点P的横坐标为 ，
当 时，
∴点P的坐标为 ；
当 时，
∴点P的坐标为 ；
故答案为： 或 ．
12．二次函数y＝x2+4x+a图象上的最低点的横坐标为 ．
【答案】﹣2．
【知识点】y=ax²+bx+c的最值【分析】直接利用二次函数最值求法得出函数顶点式，进而得出答案．
【详解】解：∵二次函数y＝x2+4x+a＝（x+2）2﹣4+a，
∴二次函数图象上的最低点的横坐标为：﹣2．
故答案为﹣2．
【点睛】此题主要考查了二次函数的最值，正确得出二次函数顶点式是解题关键．
13．若m是方程 的一个根，则 的值为 ．
【答案】2023
【知识点】一元二次方程的解
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到m2﹣m＝1，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵m是方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：2023．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．
14．若关于x的一元二次方程 的一个根是-2，则另一个根是
【答案】x=5
【分析】利用根与系数的关系 ，即可求解．
【详解】∵关于x的一元二次方程 的一个根是 ，
设另一根为 ，则
∴
故答案为x=5．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练运用公式是解题的关键．
15．在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，若点 与点 关于原点 对称，则点 的坐标是 ．
【答案】【知识点】求关于原点对称的点的坐标
【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标关系，根据关于原点对称的两个点的纵横坐标均互为相反数，
可得答案．
【详解】解：∵点 的坐标为 ，点 与点 关于原点 对称，
∴点 的坐标是 ．
故答案为： ．
16．在平面直角坐标系中，直角 如图放置，点A的坐标为 ， ，每一次将 绕
点O逆时针旋转90°，第一次旋转后得到 ，第二次旋转后得到 ，依次类推，则点 的坐标
为 ．
【答案】（ ， ）
【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标
【分析】由题意可得， （ ， ），根据题意，每旋转四次，点B就又回到第一象限，用
可知点 在第三象限，即可得到答案．
【详解】在直角 中，点A的坐标为 ，
，
（ ， ）
由已知可得：
第一次旋转后，如图， 在第二象限，（ ， ）
第二次旋转后， 在第三象限， （ ， ）
第三次旋转后， 在第四象限， （ ， ）
第四次旋转后， 在第一象限， （ ， ）
．．．．．．
如此，旋转4次一循环
点 在第三象限，
（ ， ）
故答案为：（ ， ）．
【点睛】本题考查了旋转变换，涉及含30度角的直角三角形，确定旋转几次一循环是解题的关键．
17．如图，ΔABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是（-1，0），现将ΔABC绕A点逆时
针旋转90°，再向右平移一个单位后点C的对应点C＇的坐标是 ．
【答案】
【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标、画旋转图形、由平移方式确定点的坐标
【分析】利用旋转变换的性质画出图形，观察图形即可得结论．【详解】ΔABC绕A点逆时针旋转90°后的图像如图：
观察图象，可知 对应的点 坐标为（-2，3），
∴（-2，3）再向右平移一个单位后点C的对应点C＇的坐标是
故答案是： ．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转、平移，解题的关键是画出旋转后的图形，属于中考常考题型．
18．已知点A（a，2）与B（﹣3，b）关于原点对称，则a= ；b= ．
【答案】 3， ﹣2
【知识点】求关于原点对称的点的坐标
【分析】关于原点对称的点，其对应横纵坐标互为相反数关系.
【详解】解：由对称关系可得，a=-(-3)=3，b=-2.
【点睛】理解关于原点对称点的坐标之间的关系是本题的关键.
三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分）
19．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是
43，求主干长出了多少个支干？
【答案】主干长出了6个支干
【知识点】传播问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题
的关键．
设主干长出x个支干，则长出 个小分支，根据主干、支干和小分支总数是43列出关于x的一元二次方程
求解即可．
【详解】解：设主干长出x个支干，则长出 个小分支，
根据题意得： ，
即 ，解得： 或 （不合题意舍去）．
答：主干长出了6个支干．
20．2014年，周口市某楼盘以每平方米4000元的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快
资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2016年的均价为3240元．
(1)求平均每年下调的百分率；
(2)假设2017年仍然下调相同的百分率，刘老师准备购买一套100平方米的住房，他持有现金12万元，可
以在银行贷款18万元，刘老师的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算）
【答案】(1)
(2)刘老师的愿望能实现
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用
【分析】（1）设平均每年下调的百分率为x，根据题意可列出关于x的一元二次方程，解出x的值，取其
符合题意的值即可得出结论；
（2）先求出 年的均价，再根据总房价＝均价×购房面积，求出购买一套 平方米的住房所需费用，
将其与刘老师持有现金及银行贷款之和比较后，即可得出结论．
【详解】（1）设平均每年下调的百分率为x，
依题意得： ，
解得： （不符合题意，舍去）．
答：平均每年下调的百分率为 ；
（2）由题意可得 年的均价为： 元，
∴ 年购买一套100平方米的住房需要 元．
∵ （万元），且 万元> 元，
∴刘老师的愿望能实现．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程
是解题的关键．
21．每年10月至1月是赣南脐橙上市的最好季节． 已知某果园2021年的脐橙销量为5万千克，2023年销
量为 万千克，已知每年销量增长率相等．
(1)求销量增长率．
(2)某微商从果园以90元/箱从果园进货，再以110元/箱卖出，每周可以卖出100箱．该微商想提价销售，
已知每提价1元，每周销量减少4箱，设每周销售脐橙获利W元，写出W(元)与售价 (元/箱)之间的函数关系式，并求出当脐橙的每箱售价为多少元时，这周的利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)
(2) ；当每箱售价为 元时，这周利润最大为2025元
【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列
出方程或函数解析式．
（1）设销量增长率为x，根据2021年的脐橙销量为5万千克，2023年销量为 万千克，列出方程，解方
程即可；
（2）先根据题意求出W与x的关系式，然后根据二次函数最值求出结果即可．
【详解】（1）解：由题意，设销量增长率为x，根据题意得：
，
∴ 或 (不合题意，舍去)．
∴ ．
答：销量增长率为 ．
（2）解：由题意，每周销售脐橙获利W元，根据题意得：
，
∵ ，
∴当 时， 取最大值2025，
答：当每箱售价为 元时，这周利润最大为2025元．
22．某商场销售每件进价为50元的一种商品，物价部门规定每件售价不得高于80元，经市场调查，发现
每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足 ．
(1)商场每月想从这种商品销售中获利2250元，该如何给这种商品定价？
(2)请问售价定为多少元时可获得月最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)75元(2)售价定为80元时可获得月最大利润，最大利润是2400元
【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、营销问题(一元二次方程的应用)
【分析】
（1）根据每件的利润×销售量=总利润，即可列出相应的方程，然后求解即可;
（2）根据题意，可以写出利润关于售价x的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得到利润的最大值．
【详解】（1）
解：由题意可得，
，
解得 （不符题意，舍去），
答：商场每月想从这种商品销售中获利2250元，此时这种商品的定价为75元；
（2）
解：设利润为w元，
由题意可得： ，
∴当 时，w随x的增大而增大，
∵物价部门规定每件售价不得高于80元，
∴ ，
∴当 时，w取得最大值，此时w＝2400，
答：售价定为80元时可获得月最大利润，最大利润是2400元．
【点睛】
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相
应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
23．化简或解方程．
(1) ；
(2) ；
(3) ；(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4) ，
【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简、负整数
指数幂
【分析】 直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简，进而得出答案；
直接利用二次根式的乘除运算法则计算，即可得出答案；
直接利用零指数幂的性质、负整数指数幂，完全平方公式以及二次根式的性质、分母有理化，分别化
简，进而得出答案；
采用直接开平方法解此方程，即可得出答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；（3）解：
；
（4）解：
则 ，
解得： ， ．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，解一元二次方程，正确化简各数，掌握直接开平方法解方程是解题
关键．
24．如图，在 正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B都在格点上，按下列要求作图，
使得所画图形的顶点均在格点上，并且所画图形不全等．
(1)在图1中以线段 为边画一个中心对称的四边形 ；
(2)在图2中以线段 为边画一个轴对称的四边形 ；
(3)在图3中以线段 为边画一个中心对称并且轴对称的四边形 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【知识点】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形、画轴对称图形、勾股定理与网格问题
【分析】（1）根据平行四边形的性质及判定作图，即可，
（2）根据等腰梯形的性质作图，即可，
（3）根据正方形的性质及判定作图，即可，本题考查了，网格作图，平行四边形的性质及判定，正方形的性质及判定，解题的关键是：熟练掌握相关
性质定理．
【详解】（1）解：∵平行四边形是中心对称图形，
∴将线段 向右平移两个单位，即可得到平行四边形 ，
作图，如下，
（2）解：∵等腰梯形是轴对称图形，
∴以线段 为腰，作等腰梯形 ，
作图，如下，
（3）解：∵正方形是中心对称图形，也是轴对称图形，
∴以线段 为一边，做正方形 ，
作图，如下．
25．兰兰干果店以每千克34元的价格购进一批干果，计划以每千克60元的价格销售．为尽快完成销售，
决定降价促销，但售价不低于进价．经市场调查发现：这种干果的销售量 （千克）与每千克降价
（元）之间的函数关系如图所示．(1)求 与 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
(2)设销售总利润为 （元），求 与 的函数关系式．若 ，且最大限度让利给顾客，则这种干果
应降价多少元？
(3)若该店要求获利不低于2400元，请直接写出 的取值范围．
【答案】(1)
(2) ，降价14元．
(3) 或 ．
【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、求一次函数解析式、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】（1）根据图象，分 和 两段，利用待定系数法求解析数即可；
（2）利用销售总利润等于单件利润乘以销售数量，列出函数解析式，将 代入解析式，进行求解
即可；
（3）根据该店要求获利不低于2400元，列出不等式，进行求解即可．
【详解】（1）解：当 时，
当 时，设 ，图象经过 ，
得： ，解得： ，
即：
∴
（2）由题意可知：当 时， ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
为了最大限度让利给顾客，
∴
综上： ，这种干果应降价14元．
（3）解：当 ，由题意，得： ，
解得： ，
∴ ；
当 ，由题意，得： ，
∵ 时，
， ，
又∵抛物线的开口朝下，
∴当 时， ；
∴ ；
综上：当 或 时，该店获利不低于2400元．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．正确的求出函数解析式，利用函数的性质和数形结合的思想进行
求解，是解题的关键．
26．已知抛物线C：y＝ 与直线l：y＝kx+b相交于点A，B，直线l与y轴交于点P．（1）当k＝0时，求 的值；
（2）点M是抛物线上的动点，过点M作MG⊥直线l于点G，当k＝0时，求 的值；
（3）点M是抛物线上的动点，过点M作MG∥y轴交直线l于点G，当k＝2时，求证：不论b为何实数，
的值为定值，并求定值；
（4）若将（2）的抛物线改为“y＝ax2”，其他条件不变，则 的值还为定值吗？若是，请求出定值；
若不是，说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3）证明见解析，定值为 ；（4）为定值， ＝|a|．
【知识点】其他问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】（1）求出抛物线与直线的交点坐标，由两点距离公式求得线段长度，便可计算 的值；
（2）设M点的坐标，求出抛物线与直线的交点坐标，用两点距离公式求得线段长度，进而计算结果；
（3）设M点的坐标，求出抛物线与直线的交点坐标，用两点距离公式求得线段长度，进而计算结果；
（4）依照前面的解法进行计算便可．
【详解】解：（1）当k＝0时，y＝b，
∴OP＝|b|，
∵ ＝b，
∴x＝± b，
∴A（﹣ b，b），B（ b，b），
∴AB＝2 b，
∴ ＝ ＝ ；
（2）当k＝0时，y＝b，
设M（x， ），
∵MG⊥直线l，∴MG＝| ﹣b|，
∵A（﹣ b，0），B（ b，0），
∴GA＝|x+ b|，GB＝|x﹣ b|，
∴ ＝ ＝ ；
（3）当k＝2时，y＝2x+b，
设M（x， ），
∵MG∥y轴，
∴G（x，2x+b），
∴GM＝| ﹣2x﹣b|＝ ，
解方程组 得，
或
A（ ， ），B（3+ ，b+6+ ），
∴GA＝ ＝ ，
GB＝ ＝ ，
∴GA•GB＝5|x2﹣6x﹣3b|，
∴ ；
（4）是定值．
当k＝0时，y＝b，
设M（x，ax2），∵MG⊥直线l，
∴MG＝|ax2﹣b|，
解方程组 得，
或 ，
∵A（﹣ ，b），B（ ，b），
∴GA＝|x+ |，GB＝|x﹣ |，
∴ ＝
∴ ＝|a|为定值．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握求函数图象交点坐标的方法，求两点距离的公式，是解
决本题的关键所在．
