文档内容
第十六章 二次根式
教材内容
1．本单元教学的主要内容：
二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．
2．本单元在教材中的地位和作用：
二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应
用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．
教学目标
1．知识与技能
（1）理解二次根式的概念．
a
（2）理解 （a≥0）是一个非负数，（
a
） 2=a （ a≥ 0 ） ，2
a
=a（a≥0）．
a
（ 3 ） 掌 握 ·
b
＝ab
（ a≥ 0 ， b≥ 0 ） ，
ab
=
a
·b
；
a a
= （a≥0，b>0），
b b
a a
= （a≥0，b>0）．
b b
（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．
2．过程与方法（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．再对概念的内涵进
行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．
（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，并运用规定
进行计算．
（3）利用逆向思维，得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．
（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，给出最简二次根式的概念．
利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简
的目的．
3．情感、态度与价值观
通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二
次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．
教学重点
a
1．二次根式 （a≥0）的内涵．
a
（ a≥ 0 ） 是 一 个 非 负 数 ； （a
） 2 ＝ a （ a≥ 0 ） ；
2
a
=a（a≥0）及其运用．
2．二次根式乘除法的规定及其运用．
3．最简二次根式的概念．
4．二次根式的加减运算．
教学难点
a
1．对 （a≥0）是一个非负数的理解；对等式a
（ ） 2 ＝ a （ a≥ 0 ） 及
2
a
=a（a≥0）的理解及应用．
2．二次根式的乘法、除法的条件限制．
3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．
教学关键
1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点．
2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，培养学生一丝不苟的
科学精神．
单元课时划分
本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：
21．1 二次根式 3课时
21．2 二次根式的乘法 3课时
21．3 二次根式的加减 3课时
教学活动、习题课、小结 2课时
16．1 二次根式
第一课时
教学内容
二次根式的概念及其运用
教学目标知 识 与 技 能 ： 1 、 理 解 二 次 根 式 的 概 念 ， 并 利 用
a
（a≥0）的意义解答具体题目．
2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．
过程与方法：经历观察、比较，总结二次根式概念和被开方数取值的过程，发展学生的归
纳概括能力。
情感态度与价值观：经历观察、比较和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和
创造性，体验发现的快乐，并提高应用的意识。
a
教学重难点 1．重点：形如 （a≥0）的
式子叫做二次根式的概念；a
2．难点：利用“ （a≥0）”解决具体问题．
教学方法：讲解——小组合作
教学准备：多媒体课件
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：
3
问题1：已知反比例函数y= ，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相
x
等的点的坐标是___________．
问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是
__________．
A
B C问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，
那么S=_________．
老师点评：
问题 1：横、纵坐标相等，即 x=y，所以 x2=3．因为点在第一象限，所以 x=
3
， 所 以 所 求 点 的 坐 标 （
3
，3
）．
10
问题2：由勾股定理得AB=
4
问题3：由方差的概念得S= .
6
二、探索新知3
很 明 显 、
4
10
、 ，都是一些正
6
数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般
a
地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．
（学生活动）议一议：
1．-1有算术平方根吗？
2．0的算术平方根是多少？
a
3．当a<0， 有意义吗？
老师点评:（略）
例 1 ． 下 列 式 子 ， 哪 些 是 二 次 根 式 ， 哪 些 不 是 二 次 根 式 ：2
、
1
3
3
、 、
x
x
（ x>0 ） 、0
、
4
2
、 -
1
2
、
x yx y
、 （x≥0，y≥0）．
分 析 ： 二 次 根 式 应 满 足 两 个 条 件 ： 第 一 ， 有 二 次 根 号 “
”；第二，被开方数是正数或0．
2
解 ： 二 次 根 式 有 ： 、x
（ x>0 ） 、
0
、 -
2
、x y
（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：
1
3
3
、 、
x
1
4
2
、 ．
x y
3x 1
例2．当x是多少时， 在实数范围内有意
义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于 0，所以 3x-1≥0，
3x 1
才能有意义．
1
解：由3x-1≥0，得：x≥
3
1
3x 1
当x≥ 时， 在实数范围
3
内有意义．
三、巩固练习
教材P3练习1、2、3．
四、应用拓展2 x 3
例 3 ． 当 x 是 多 少 时 ， +
1
在实数范围内有意义？
x 1
2 x 3
分 析 ： 要 使 +
1
在 实 数 范 围 内 有 意 义 ， 必 须 同 时 满 足
x 12 x 3
中 的 ≥ 0 和
1
中的x+1≠0．
x 1
2x 3 0
解：依题意，得
x 1 0
3
由①得：x≥-
2由②得：x≠-1
3
2 x 3
当x≥- 且x≠-1时， +
2
1
在实数范围内有意义．
x 1
2 x
例 4(1) 已 知 y= +x
x 2
+5，求 的值．(答案:2)
y
a 1
(2) 若 +
b 1
=0 ， 求 a2004+b2004 的 值 ． ( 答 案 :
2
)
5五、归纳小结（学生活动，老师点评）
本节课要掌握：
a
1．形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“
”称为二次根号．
2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．
六、布置作业
1．P5复习巩固1、综合应用5．
2.课后作业:《同步训练》
教学反思：
16.1 二次根式(2)
第二课时
教学内容a
1． （a≥0）是一个非负数； 2．（
a
）2=a（a≥0）．
教学目标
a
知识与技能：1、理解 （a≥0）是一个非负a
数和（ ）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和
化简．
2 、 通 过 复 习 二 次 根 式 的 概 念 ， 用 逻 辑 推 理 的 方 法 推 出
a
（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术
a
平方根的意义导出（ ）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．
a
过程与方法：1、在明确（ ）2=a（a≥0）的
算理的过程中，感受数学的实用性；2、课堂计算通过小组合作交流，培养学生的合作意识。
情感态度与价值观：通过二次根式的相关计算，进而解决一些实际问题，培养学生解决
问题的能力。
a
教学重难点 1．重点： （a≥0）是一个a
非负数；（ ）2=a（a≥0）及其运用．
a
2．难点、：用分类思想的方法导出
a
（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出（ ）
2=a（a≥0）．
教学方法：讲解——练习法教学准备：多媒体课件
教学过程
一、复习引入
（学生活动）口答
1．什么叫二次根式？
a
2．当 a≥0 时， 叫什么？当 a<0 时，
a
有意义吗？
老师点评（略）．
二、探究新知
议一议：（学生分组讨论，提问解答）a
（a≥0）是一个什么数呢？
老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出
a
（a≥0）是一个非负
数．
做一做：根据算术平方根的意义填空：
4
（ ） 2=_______ ； （2
） 2=_______ ； （
9
） 2=______ ； （
3
）2=_______；1 7
（ ）2=______；（ ）2=_______；（
3 2
0
）2=_______．
4
老师点评： 是4的算术平方根，根据算4
术平方根的意义， 是一个平方等于4的非负
4
数，因此有（ ）2=4．
2
同 理 可 得 ： （ ） 2=2 ， （9
） 2=9 ， （
1
3
）2=3，（ ）2=
3
1 7
7
， （ ） 2= ， （
3 2
20
）2=0，所以
a
（ ）2=a（a≥0）
例1 计算
3
1 ． （ ） 2 2 ． （ 3
25
5
）2 3．（ ）2 4．
6
7
（ ）2
2
a
分析：我们可以直接利用（ ）2=a（a≥0）
的结论解题．3
3
解 ： （ ） 2 = ， （ 3
2
2
5
） 2 =32· （
5
）2=32·5=45，5
5 7
（ ）2= ，（ ）
6
6
2
2
( 7 ) 7
2= ．
2
2 4
三、巩固练习
计算下列各式的值：
2
18
（ ）2 （ ）2
39
0
（ ）2 （ ）2 （ 4
4
7
）2
8
2 2
(3 5) (5 3)
四、应用拓展
例2 计算
x 1
1 ． （ ） 2 （ x≥ 0 ） 2 ． （2
a
） 2 3 ． （
2
a 2a 1
）2
2
4x 12x 9
4．（ ）2
分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；
（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．
a
所以上面的 4 题都可以运用（ ）2=a
（a≥0）的重要结论解题．
解：（1）因为x≥0，所以x+1>0x 1
（ ）2=x+1
2
a
（2）∵a2≥0，∴（ ）2=a2
（3）∵a2+2a+1=（a+1）2
2
a 2a 1
又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 ，∴
=a2+2a+1
（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2
又∵（2x-3）2≥0
2
4x 12x 9
∴4x2-12x+9≥0，∴（ ）2=4x2-12x+9
例3在实数范围内分解下列因式:
（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3
分析：(略)
五、归纳小结
本节课应掌握：a
1． （a≥0）是一个非负数；
a
2．（ ）2=a（a≥0）;反之:a=（
a
）2（a≥0）．
六、布置作业
1．教材P 复习巩固2．（1）、（2） P 7．
5 63.课后作业:《基础训练》
教学反思：
16.1 二次根式(3)
第三课时
教学内容
2
a
＝a（a≥0）
教学目标
2
a
知识与技能：1、 理解 =a（a≥0）并利用它
进行计算和化简．2
a
2、通过具体数据的解答，探究 =a
（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．
过程与方法：课堂计算通过小组合作交流，培养学生的合作意识，提高竞争意识。
情感态度与价值观：通过二次根式的相关计算，进而解决一些实际问题，培养学生解决
问题的能力。
教学重难点关键
2
a
1．重点： ＝a（a≥0）．
2．难点：探究结论．
教学方法：练习法
教学准备：多媒体课件
教学过程
一、复习引入
老师口述并板收上两节课的重要内容；a
1．形如 （a≥0）的式子叫做二次根式；
a
2． （a≥0）是一个非负数；
a
3．( )2＝a（a≥0）．2
a
那么，我们猜想当a≥0时， =a是否也成
立呢？下面我们就来探究这个问题．
二、探究新知
（学生活动）填空：
2
2
=_______ ；
2
0.01
=_______ ；1
2
( )
=______；
10
2
2
( )
=________ ；
3
2
0
=________ ；3
2
( )
=_______．
7
（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：
2
2
=2 ；
2
0.01
=0.01 ；1
1
2
( )
= ；
10 10
2
2
2
( )
= ；
3
3
2
0
=0 ；3
3
2
( )
= ．
7
7
2
a
因此，一般地： =a（a≥0）
例1 化简
9
（ 1 ） （ 2 ）2
(4)
（ 3 ）
25
（ 4 ）
2
(3)
分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，
2
a
（4）（-3）2=32，所以都可运用 =a
（a≥0）去化简．9
解 ： （ 1 ） =
2
3
=3 （ 2 ）
2
(4)
=2
4
=4
25
（ 3 ） =
2
5
=5 （ 4 ）
2
(3)
=2
3
=3
三、巩固练习
教材P 练习2．
5
四、应用拓展
2
a
例2 填空：当a≥0时， =_____；当a<0
2
a
时， =_______，并根据这一性质回答下列问
题．2
a
（1）若 =a，则a可以是什么数？
2
a
（2）若 =-a，则a可以是什么数？
2
a
（3） >a，则a可以是什么数？2
a
分析：∵ =a（a≥0），∴要填第一个空格
可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a≤0时，
2
a
=
2
(a)
，那么-a≥0．
（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知2
a
=│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才
能保证呢？a<0．
2
a
解：（1）因为 =a，所以a≥0；
2
a
（2）因为 =-a，所以a≤0；2
a
（ 3 ） 因 为 当 a≥ 0 时 =a ， 要 使
2
a
>a，即使a>a所以 a不存在；当a<0时，
2
a
=-a ， 要 使2
a
>a，即使-a>a，a<0综上，a<0
2
( x 2)
例 3 当 x>2 ， 化 简 -
2
(1 2 x)
．
分析：(略)
五、归纳小结
2
a
本节课应掌握： =a（a≥0）及其运用，同2
a
时理解当a<0时， ＝－a的应用拓展．
六、布置作业
1．教材P 习题21．1 3、4、6、8．
5
3.课后作业:《基础训练》
教学反思：
16．2 二次根式的乘除
第一课时
教学内容
a
·b
＝
ab
（ a≥ 0 ， b≥ 0 ） ， 反 之
ab
=a
·
b
（a≥0，b≥0）及其运用．
教学目标
a
知 识 与 技 能 ： 1 、 理 解 ·b
＝
ab
（ a≥ 0 ， b≥ 0 ） ，
ab
=a
·
b
（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简
a
2、由具体数据，发现规律， 导出 ·b
＝
ab
（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；利用逆向
ab
思 维 ， 得 出 =a
·
b
（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．
过程与方法：1、经历“探索——发现——猜想——验证”的过程引导学生体会合情推
理与演绎推理的相互依赖，相互补充的辩证关系；2、培养学生用规范的数学语言进行表达的
习惯和能力。
情感态度与价值观：鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲，体验数
学活动中的探索和创新，感受数学的严谨性。a
教 学 重 难 点 重 点 ： ·
b
＝
ab
（ a≥ 0 ， b≥ 0 ） ，ab
=
a
·
b
（a≥0，b≥0）及它们的运用．a
难 点 ： 发 现 规 律 ， 导 出 ·
b
＝
ab
（a≥0，b≥0）．
教学方法：探索——发现——应用
教学准备：多媒体课件
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们完成下列各题．
1．填空4
（ 1 ） ×
9
=_______ ，
4 9
=______；16
（ 2 ） ×
25
=_______ ，
16 25
=________．
100
（ 3 ） ×36
=________ ，
100 36
=_______．
参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．
4
×
9
_____4 9
，
16
×
25
_____
16 25
，
100
×36
________
100 36
2．利用计算器计算填空
2
（ 1 ） ×
3
______6
， （ 2 ）
2
×
5
______10
，
5
（ 3 ） ×
6
______30
， （ 4 ）
4
×
5
______20
，
7
（ 5 ） ×
10
______70
．
老师点评（纠正学生练习中的错误）
二、探索新知
（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．
老师点评：（1）被开方数都是正数；
（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为
等号另一边二次根式中的被开方数．
一般地，对二次根式的乘法规定为
a
·b
＝
ab
．（a≥0，b≥0）
ab
反 过 来 : =a
·
b
（a≥0，b≥0）
例1．计算
5
（ 1 ） ×1
7
（ 2 ） ×
3
9
（ 3 ）
9
×1
27
（ 4 ） ×
2
6
a
分 析 ： 直 接 利 用 ·b
＝
ab
（a≥0，b≥0）计算即可．
5
解 ： （ 1 ） ×7
=
35
1
9
（ 2 ） × =
31
9
=
3
3
9
（ 3 ） ×27
=
9 27 9 2 3 =9
3
1
6
（4） × =
21
6
=
2
3
例2 化简
9 16
（ 1 ） （ 2 ）
16 81
（ 3 ）81100
2 2
9 x y
（ 4 ） （ 5 ）
54
ab
分 析 ： 利 用 =a
·
b
（a≥0，b≥0）直接化简即可．
9 16
解 ： （ 1 ） =9
×
16
=3×4=12
16 81
（ 2 ） =
16
×81
=4×9=36
81100
（ 3 ） =
81
×
100
=9×10=902 2
9 x y
（ 4 ） =
2
3
×
2 2
x y
=
2
3
×2
x
×
2
y
=3xy
54
（ 5 ） =
9 6
=2
3
×
6
=3
6
三、巩固练习
（1）计算（学生练习，老师点评）16
① ×
8
② 3
6
×210
③
5a
·
1
ay
520
(2) 化 简 : ;
18
;
24
;
54
;2 2
12a b
教材P 练习全部
8
四、应用拓展
例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
(4)(9) 4 9
（1）
12
4
（ 2 ） ×
25
12
25
=4× ×
2512
25
=4 ×
25
25
=4
12
=83
解：（1）不正确．
(4) (9)
改 正 ： =
4 9
＝
4
×9
=2×3=6
（2）不正确．
12
4
改 正 ： ×
25
112
25
=
2525
× =
112
25
=
25
112
=
16 7
＝ 47
五、归纳小结
a
本 节 课 应 掌 握 ： （ 1 ） ·
b
＝ab
= （ a≥ 0 ， b≥ 0 ） ，
ab
=
a
·b
（a≥0，b≥0）及其运用．
六、布置作业
1．课本P 1，4，5，6．（1）（2）．
12
教学反思：
16．2 二次根式的乘除
第二课时
教学内容
a a
= （a≥0，b>0），反过来
b ba a
= （a≥0，b>0）及利用它们进行计算
b b
和化简．
教学目标
a a
知识与技能：1、 理解 = （a≥0，
b b
a a
b>0）和 = （a≥0，b>0）及利用它们进
b b行运算．
2、利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆
向等式及利用它们进行计算和化简．
过程与方法：1、发展有条理的思考和语言表达能力。
2、培养化归的数学思想。
情感态度与价值观：在经历二次根式乘除法运算法则的过程中，获得成就感，建立学习
数学的信心和兴趣。
a
教 学 重 难 点 1 ． 重 点 ： 理 解 =
b
a a
（ a≥ 0 ， b>0 ） ， =
b ba
（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．
b
2．难点：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．
教学方法：引导——探索——发现
教学准备：多媒体课件
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们完成下列各题：
1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．
2．填空
9 9
（1） =________，
16 16
=_________；16 16
（2） =________，
36 36
=________；
4 4
（3） =________，
16 16
=_________；
36 36
（4） =________，
81 81=________．
9 9
规 律 ： ______ ；
16 16
16 16
______ ；
36 36
4 4
_______ ；
16 1636 36
_______ ．
81 81
3．利用计算器计算填空:
3 2
（1） =_________，（2）
4 3
2 7
=_________，（3） =______，（4）
5 8
=________．3 3
规 律 ： ______ ；
4 4
2 2
_______ ；
3 3
2 2 7
_____ ；
5 5 87
_____ 。
8
每组推荐一名学生上台阐述运算结果．
（老师点评）
二、探索新知
刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我
们可以得到：
一般地，对二次根式的除法规定：
a a
= （a≥0，b>0），
b ba a
反过来， = （a≥0，b>0）
b b
下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．
12
例 1 ． 计 算 ： （ 1 ） （ 2 ）
3
3 1
（ 3 ）
2 864
1 1
（4）
4 16
8
a a
分析：上面4小题利用 = （a≥0，
b b
b>0）便可直接得出答案．
12 12
解 ： （ 1 ） = =
3 34
=2
3 1
（ 2 ） =
2 8
3 1 3
8 34
=
2 8 2
3
×=23
1 1
（ 3 ） =
4 16
1 1 1
16
=
4 16 4
4
=264 64
（ 4 ） = =
8 8
8
=2
2
例2．化简：3
（ 1 ） （ 2 ）
64
2
64b
（ 3 ）
2
9a
9 x
（ 4 ）
2
64 y5x
2
169 y
a a
分析：直接利用 = （a≥0，b>0）
b b
就可以达到化简之目的．
3
解 ： （ 1 ） =
643 3
8
64
2
64b
（ 2 ） =
2
9a
2
64b 8b
3a
2
9a9 x
（ 3 ） =
2
64 y
9x 3 x
2 8 y
64 y
5x
（ 4 ） =
2
169 y
5x 5x
2 13y
169 y
三、巩固练习
教材P11练习1．四、应用拓展
9 x 9 x
例3．已知 ，且x为偶数，求（1+x）
x 6 x 6
2
x 5x 4
的值．
2
x 1
a a
分析：式子 = ，只有a≥0，b>0
b b
时才能成立．
因此得到9-x≥0且x-6>0，即60）和
b ba a
= （a≥0，b>0）及其运用．
b b
六、布置作业
1．教材P 习题21．2 2、7、8、9．
12
2.课后作业:《基础训练》
教学反思：
16.2 二次根式的乘除(3)
第三课时
教学内容
最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．
教学目标
知识与技能：理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次
根式．
过程与方法：通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来
检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．
情感态度与价值观：在经历二次根式乘除法运算法则的过程中，获得成就感，建立学习
数学的信心和兴趣。
重难点 1．重点：最简二次根式的运用．
2．难点：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．
教学方法：练习法
教学准备：多媒体课件
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）3 3 2
1．计算（1） ，（2） ，（3）
5 27
8
2a
3 15
老 师 点 评 ： = ，
5 53 2 6
= ，
27 3
8 2 a
=
2a a
2．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是hkm，hkm，那么它们
1 2
的传播半径的比是_________．
2 Rh
1
它们的比是 ．
2 Rh
2二、探索新知
观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：
1．被开方数不含分母；
2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．
学生分组讨论，推荐3～4个人到黑板上板书．
老师点评：不是．
2 Rh
1
=
2 Rh
2
2Rh h h h
1 1 1 2
.
2Rh h h
2 2 2
5
3
例 1 ． (1) ; (2)
122 4 4 2
x y x y
; (3)
2 3
8 x y
例2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．
A
B C
解：因为AB2=AC2+BC2
2 2
2.5 6
所 以 AB= =
5 169 169 13
( )2 36 =6.5（cm）
2 4 4 2
因此AB的长为6.5cm．
三、巩固练习
教材P 练习2、3
11
四、应用拓展
例3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：1
=
2 1
1( 2 1) 2 1
=
( 2 1)( 2 1) 2 1
2
-1，
1
=
3 21( 3 2) 3 2
=
( 3 2)( 3 2) 32
3
-
2
，
1
同 理 可 得 ： =
4 34
-
3
，……
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算
1
（ +
2 11
+
3 2
1
+… …
4 3
1
） （
2002 2001
2002
+1）的值．
分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达
到化简的目的．2
解 ： 原 式 = （ -1+
3
-
2
+4
-
3
+… … +
2002
-
2001
） × （2002
+1）
2002
= （ -1 ） （
2002
+1）
=2002-1=2001
五、归纳小结
本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．
六、布置作业
1．教材P 习题21．2 3、7、10．
12
3.课后作业:《基础训练》
教学反思：
16.3 二次根式的加减(1)
第一课时
教学内容
二次根式的加减
教学目标
知识与技能：理解和掌握二次根式加减的方法．
过程与方法：先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的
理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．
情感态度与价值观：体会合作学习的先进性。
重难点关键
1．重点：二次根式化简为最简根式．2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．
教学准备：多媒体课件
教学方法：情境导入，归纳应用。
教学过程
一、复习引入
学生活动：计算下列各式．
（1）2x+3x； （2）2x2-3x2+5x2； （3）x+2x+3y； （4）3a2-2a2+a3
教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字
母不变，系数相加减．
二、探索新知
学生活动：计算下列各式．
2
（ 1 ） 2 +3
2
（ 2 ） 28
-3
8
+5
87
（ 3 ） +2
7
+3
9 7
（ 4 ） 33
-2
3
+
2
老师点评：2
（1）如果我们把 当成x，不就转化为上面
的问题吗？
2
2 +3
2
= （ 2+3 ）2
=5
2
8
（2）把 当成y；8
2 -3
8
+5
8
= （ 2-3+5 ）8
=4
8
=8
27
（3）把 当成z；
7
+2
7
+9
7
7
=2 +27
+3
7
= （ 1+2+3 ）
7
=67
3
（ 4 ） 看 为 x ，
2
看为y．3
3 -2
3
+
23
= （ 3-2 ） +
2
3
= +2
因 此 ， 二 次 根 式 的 被 开 方 数 相 同 是 可 以 合 并 的 ， 如 2
2
与
8
表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？
可以的．2
（ 板 书 ） 3 +
8
=3
2
+22
=5
2
3
3 +27
=3
3
+3
3
=63
所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二
次根式进行合并．
例1．计算
8
（ 1 ） +
18
（ 2 ）16 x
+
64 x
分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次
根式进行合并．
8
解 ： （ 1 ） +18
=2
2
+3
2
= （ 2+3 ）2
=5
2
16 x
（ 2 ） +
64 x
=4x
+8
x
= （ 4+8 ）
x
=12x
例2．计算
1
48
（1）3 -9 +3
3
1248
（ 2 ） （ +
20
） + （
12
-5
）
1
48
解：（1）3 -9
3
12
+3 =123
-3
3
+6
3
= （ 12-3+6 ）3
=15
3
48
（ 2 ） （ +20
） + （
12
-
5
） =48
+
20
+
12
-5
3
=4 +2
5
+23
-
5
=6
3
+5
三、巩固练习
教材P 练习1、2．
16
四、应用拓展
2
x 9 x
例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（ +y2
3
x 1
） - （ x2 -5x
3
y
xy
）的值．
x
分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=
1
，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再
2
合并同类二次根式，最后代入求值．
解：∵4x2+y2-4x-6y+10=0
∵4x2-4x+1+y2-6y+9=0
∴（2x-1）2+（y-3）2=01
∴x= ，y=3
2
2
x 9 x
原 式 = +y2
3
x 1
-x2 +5x
3
y
xy
x
x
=2x +
xy
-xx
+5
xy
x
=x +6xy
1
当x= ，y=3时，
2
1
1 3
原式= × +6
2 2 22
6
= +3
4
五、归纳小结
本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根
式进行合并．
六、布置作业
1．教材P 习题21．3 1、2、3、5．
17
2.课后作业:基训
教学反思：
16.3 二次根式的加减(2)
第二课时
教学内容
利用二次根式化简的数学思想解应用题．
教学目标
知识与技能：运用二次根式、化简解应用题．
过程与方法：通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解
应用题．
情感态度与价值观：学会和他人分享交流。
重难点关键
讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点．
教学准备：多媒体课件。
教学方法：小组合作交流，应用提高。
教学过程
一、复习引入
上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将
二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固．
二、探索新知
例1．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向
点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ
的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）
C
Q
A P B
分析：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，根据三角形面积公式就
可以求出x的值．
解：设x 后△PBQ的面积为35平方厘米．
则有PB=x，BQ=2x
1
依题意，得： x·2x=35
2
x2=35
35
x=35
所以 秒后△PBQ的面积为35平方厘米．
PQ= PB2 BQ2 x2 4x2 5x2 535 =5
7
35
答： 秒后△PBQ的面积为35平方厘米，7
PQ的距离为5 厘米．
例2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？
分析：此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材，只需知道这四段的长度．
解：由勾股定理，得
AB= AD2 BD2 42 22 20 =2
5
BC= BD2 CD2 22 12 =5
[来源:Zxxk.Com]
所需钢材长度为
AB+BC+AC+BD
5
=2 +
5
+5+25
=3 +7
≈3×2.24+7≈13.7（m）
答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m的钢材．
三、巩固练习
教材P16 练习3
四、应用拓展
3ab
4a 3b
例 3 ． 若 最 简 根 式 与 根 式
2 3 2
2ab b 6b
是同类二次根式，求a、b的值．（同类二次
根式就是被开方数相同的最简二次根式）
分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实上，
2 3 2
2ab b 6b
根 式 不 是 最 简 二 次 根 式 ， 因 此 把
2 3 2
2ab b 6b
化 简 成 |b|·
2a b 6
，才由同类二次根式的定义得3a-b=2，2a-
b+6=4a+3b．2 3 2
2ab b 6b
解：首先把根式 化为最简二次根式：
2 3 2
2ab b 6b
=
2
b (2a 1 6)
=|b|·
2a b 6
4a 3b 2a b 6
由题意得
3a b 2
2a 4b 6
∴
3a b 2
∴a=1，b=1
五、归纳小结
本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题．
六、布置作业
1．教材P 习题21．3 7．
17
2.课后作业:基训
教学反思：
16.3 二次根式的加减(3)第三课时
教学内容
含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项
式相乘、相除；乘法公式的应用．
教学目标
知识与技能：含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的
应用．
过程与方法：复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等
运算．
情感态度与价值观：学会知识间的类比，进一步体会数学学习方法的重要性。
重难点
重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；
难点：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．
教学准备：多媒体课件。
教 学方法：练习，小组合
作。
教学过程
一、复习引入
学生活动：请同学们完成下列各题:
1．计算
（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy
2．计算
（1）（2x+3y）（2x-3y） （2）（2x+1）2+（2x-1）2
老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）单项式×单项式；
（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．
二、探索新知
如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？仍成立．
整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以
代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．
例1．计算:6
（ 1 ） （ +
8
） ×
3
（ 2 ） （ 46
-3
2
） ÷2
2
分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规
律．6
解 ： （ 1 ） （ +
8
） ×
3
=6
×
3
+
8
×3
18
= +
24
=32
+2
6
6
解 ： （ 4 -32
） ÷2
2
=4
6
÷22
-3
2
÷2
23
3
=2 -
2
例2．计算
5
（ 1 ） （ +6 ） （ 3-
5
） （ 2 ） （10
+
7
） （
10
-7
）
分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．
5
解 ： （ 1 ） （ +6 ） （ 3-
5
）5
=3 - （
5
） 2+18-6
55
=13-3
10
（ 2 ） （ +
7
） （10
-
7
） = （
10
） 2- （7
）2
=10-7=3
三、巩固练习
课本P 练习1、2．
17
四、应用拓展
[来源:学。科。网]
x b
例 3 ． 已 知 =2-
ax a
，其中a、b是实数，且a+b≠0，
b
x 1 x
化 简 +
x 1 x
x 1 x
，并求值．
x 1 x
x 1
分 析 ： 由 于 （ +x
） （
x 1
-
x
）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理
化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可．
( x 1 x)2
解 ： 原 式 = +
( x 1 x)( x 1 x)( x 1 x)2
( x 1 x)( x 1 x)
2
( x 1 x )
= +
(x 1) x
2
( x 1 x )
(x 1) x
x( x 1)
= （ x+1 ） +x-2 +x+2
x( x 1)
=4x+2x b
∵ =2-
a
x a
b
∴b（x-b）=2ab-a（x-a）
∴bx-b2=2ab-ax+a2
∴（a+b）x=a2+2ab+b2
∴（a+b）x=（a+b）2
∵a+b≠0
∴x=a+b
∴原式=4x+2=4（a+b）+2
五、归纳小结
本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．
六、布置作业
1．教材P 习题21．3 1、8、9．
17
2.课后作业:基训。
教学反思：二次根式复习课
教学目标
知识与技能：1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式
的式子；
2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．
过程与方法：在复习过程中，体会知识的连贯性，以及提高对知识的应用能力。
情感态度与价值观：感受数学的实用价值，提高解决问题的能力。
教学重点和难点
重点：含二次根式的式子的混合运算．
难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．
教学准备：多媒体课件。
教学方法：归纳总结，练习提高。
教学过程设计
一、复习
1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件．
指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式．
2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．
指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式相除，
计算结果要把分母有理化．
3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：
4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：二、例题
例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：
分析：
(1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；
(3)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；
(4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式
有意义，同时使分母的值不等于零．x≥-2且x≠0．
解因为n2-9≥0，9-n2≥0，且n-3≠0，所以n2=9且n≠3，所以
例3
分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别
分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐
含条件3-a≥0和1-a＞0．
解 因为1-a＞0，3-a≥0，所以
a＜1，|a-2|＝2-a．
(a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0．这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满
足这些条件的．
问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？分析：先把第二个式子化简，再把两个式子进行通分，然后进行计算．
解
注意：
所以在化简过程中，
例6分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的
分母有理化再进行
计算，这两种方法的运算量都较大，根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看
作一个整体，用换元法把式子变形，就可以使运算变为简捷．
a+b＝2(n+2)，ab=(n+2)2-(n2-4)＝4(n+2)，
三、课堂练习
1．选择题：
A．a≤2 B．a≥2
C．a≠2 D．a＜2
A．x+2 B．-x-2
C．-x+2 D．x-2
A．2x B．2a
C．-2x D．-2a
2．填空题：4．计算：
四、小结
1．本节课复习的五个基本问题是“二次根式”这一章的主要基础知识，同学们
要深刻理解并牢固掌握．
2．在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的使二次根式有
意义的条件(或题中的隐含条件)，即被开方数为非负数，以确定被开方数中的字母
或式子的取值范围．
3．运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，一定要注意论述每一
个性质中字母的取值范围的条件．
4．通过例题的讨论，要学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法则以
及有关多项式的因式分解，解答有关含二次根式的式子的化简、计算及求值等问题．
五、作业：P22，复习题21教学反思：
17．1 勾股定理（四）
一、教学目标
1．会用勾股定理解决较综合的问题。
2．树立数形结合的思想。
二、重点、难点
1．重点：勾股定理的综合应用。
2．难点：勾股定理的综合应用。
三、例题的意图分析
例1（补充）“双垂图”是中考重要的考点，熟练掌握“双垂图”的图形结构
和图形性质，通过讨论、计算等使学生能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握
的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相
等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。
例2（补充）让学生注意所求结论的开放性，根据已知条件，作适当辅助线求
出三角形中的边和角。让学生掌握解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角
三角形的问题。使学生清楚作辅助线不能破坏已知角。
例3（补充）让学生掌握不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通
过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。在转
化的过程中注意条件的合理运用。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，
提高解题的综合能力。
例4（教材P76页探究3）让学生利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理
数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。
四、课堂引入
复习勾股定理的内容。本节课探究勾股定理的综合应用。
五、例习题分析
例1（补充）1．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=
，
求线段AB的长。
分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学
生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识
点有：3 个直角三角形，三个勾股定理及推导式 BC2-
C
BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°
特殊角的特殊性质等。
要求学生能够自己画图，并正确标图。引导学生分析：
欲求AB，可由AB=BD+CD，分别在两个三角形中利用勾
B D A
股定理和特殊角，求出BD=3和AD=1。或欲求AB，可由
，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出 AC=2和
BC=6。
例 2（补充）已知：如图，△ABC 中，AC=4，
C
∠B=45°，∠A=60°，根据题设可知什么？
B
A D分析：由于本题中的△ABC 不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得
∠ACB=75°。在学生充分思考和讨论后，发现添置AB边上的高这条辅助线，就可
以求得AD，CD，BD，AB，BC及S 。让学生充分讨论还可以作其它辅助线吗？
△ABC
为什么？
小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。并
指出如何作辅助线？
解略。
例 3（补充）已知：如图，∠B=∠D=90°，
A
∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。
分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以
D
连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC
交于E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根 E
B
据本题给定的边选第三种较为简单。教学中要逐层 C
展示给学生，让学生深入体会。
解：延长AD、BC交于E。
∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。
∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，
∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE= = 。
∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE= = 。
∴S =S -S = AB·BE- CD·DE=
四边形ABCD △ABE △CDE
小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为
直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。
例4（教材P76页探究3）
分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点
与实数一一对应的理论。
变式训练：在数轴上画出表示 的点。
六、课堂练习
1．△ABC 中，AB=AC=25cm，高 AD=20cm,则 BC= ，S =
△ABC
。
2．△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，AC= cm，则∠A= 度，∠B=
度,∠C= 度，BC= ，S = 。
△ABC
3．△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC= ，CD⊥AB于
D，则AC= ，CD= ，BD= ， A
AD= ,S = 。
△ABC
4．已知：如图，△ABC中，AB=26，BC=25，AC=17，
求S 。 B C
△ABC
课后反思：
17．2 勾股定理的逆定理（一）
一、教学目标1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。
2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。
3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
二、重点、难点
1．重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。
2．难点：勾股定理的逆定理的证明。
三、例题的意图分析
例1（补充）使学生了解命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系。
例2（P82探究）通过让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重
合，激发学生的兴趣和求知欲，锻炼学生的动手操作能力，再通过探究理论证明
方法，使实践上升到理论，提高学生的理性思维。
例3（补充）使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角
三角形的一般步骤：①先判断那条边最大。②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的
值。③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角
三角形。
四、课堂引入
创设情境：⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形？
⑵怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对
比，从勾股定理的逆命题进行猜想。
五、例习题分析
例1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？
⑴同旁内角互补，两条直线平行。
⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。
⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。
分析：⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但
要分清题设和结论，并注意语言的运用。
⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也
可能一真一假，还可能都假。
解略。
例2（P82探究）证明：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三
角形是直角三角形。
A A1
分析：⑴注意命题证明的格式，首先要根据题
意画出图形，然后写已知求证。
⑵如何判断一个三角形是直角三角形，现 c
b b
在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三
角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直 B a C a
B1 C1
角。
⑶利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解
决。
⑷先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A B =c，则通过
1 1
三边对应相等的两个三角形全等可证。
⑸先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的
兴趣和求知欲，再探究理论证明方法。充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力由实践到理论学生更容易接受。
证明略。
例3（补充）已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a=n2－
1，b=2n，c=n2＋1（n＞1）
求证：∠C=90°。
分析：⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步
骤：①先判断那条边最大。②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。③判断a2+b2
和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。
⑵要证∠C=90°，只要证△ABC是直角三角形，并且c边最大。根据勾股定理
的逆定理只要证明a2+b2=c2即可。
⑶由于a2+b2= （n2－1）2＋（2n）2=n4＋2n2＋1，c2=（n2＋1）2= n4＋2n2＋1，从而
a2+b2=c2，故命题获证。
六、课堂练习
1．判断题。
⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对
的角是直角。
⑵命题：“在一个三角形中，有一个角是30°，那么它所对的边是另一边的一
半。”的逆命题是真命题。
⑶勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这
个三角形是直角三角形。
⑷△ABC的三边之比是1：1： ，则△ABC是直角三角形。
2．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（
）
A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形。
B．如果c2= b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°。
C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形。
D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形。
3．下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ）
A．a=8，b=15，c=17
B．a=9，b=12，c=15
C．a= ，b= ，c=
D．a：b：c=2：3：4
4．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，
判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？
⑴a= ，b= ，c= ； ⑵a=5，b=7，c=9；
⑶a=2，b= ，c= ； ⑷a=5，b= ，c=1。
课后反思：
17．2 勾股定理的逆定理（二）
一、教学目标
1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
二、重点、难点
1．重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
2．难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
三、例题的意图分析
例1（P83例2）让学生养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。
例2（补充）培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆
定理解决实际问题的意识。
四、课堂引入
N
创设情境：在军事和航海上经常要确定方向和位置，从
R
而使用一些数学知识和数学方法。 S
Q
五、例习题分析
例1（P83例2） E
P
分析：⑴了解方位角，及方位名词；
⑵依题意画出图形；
⑶依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24， QR=30；
⑷因为 242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理 的逆定理，知
∠QPR=90°；
⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。
小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。
例2（补充）一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长
度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。
分析：⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；
⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；
⑶根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形。
解略。
六、课堂练习
C
1．小强在操场上向东走 80m后，又走了 60m，再走
100m回到原地。小强在操场上向东走了 80m后，又走
60m的方向是 。
2．如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早
B D A
晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A、
B、C三点能否构成直角三角形？为什么？
N
3．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入 C
我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13
海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到
E
达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海
A B
里，乙巡逻艇每小时航行 50海里，航向为北偏西
40°，问：甲巡逻艇的航向？
课后反思：17．2 勾股定理的逆定理（三）
一、教学目标
1．应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。
2．灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。
3．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
二、重点、难点
1．重点：利用勾股定理及逆定理解综合题。
2．难点：利用勾股定理及逆定理解综合题。
三、例题的意图分析
例1（补充）利用因式分解和勾股定理的逆定理判断三角形的形状。
例2（补充）使学生掌握研究四边形的问题，通常添置辅助线把它转化为研究
三角形的问题。本题辅助线作平行线间距离无法求解。创造3、4、5勾股数，利用
勾股定理的逆定理证明DE就是平行线间距离。
例3（补充）勾股定理及逆定理的综合应用，注意条件的转化及变形。
四、课堂引入
勾股定理和它的逆定理是黄金搭档，经常综合应用来解决一些难度较大的题
目。
五、例习题分析
例1（补充）已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足
a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。
试判断△ABC的形状。
分析：⑴移项，配成三个完全平方；⑵三个非负数的和 A D
为0，则都为0；⑶已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断
三角形的形状为直角三角形。
例2（补充）已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，
AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。 B C
E
求：四边形ABCD的面积。
分析：⑴作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）；
[来源:Zxxk.Com]
⑵DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；⑶在△DEC中，3、4、5勾股数，△DEC
为直角三角形，DE⊥BC；⑷利用梯形面积公式可解，或利
C
用三角形的面积。
例3（补充）已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的
高，且CD2=AD·BD。
求证：△ABC是直角三角形。 B D A
分析：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2
∴ AC2+BC2 =A
D2+2CD2+BD2
=AD2+2AD·BD+BD2
=（AD+BD）2=AB2
六、课堂练习
1．若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（ ）A．等腰三角形；
B．直角三角形；
D
C．等腰三角形或直角三角形；
D．等腰直角三角形。
A
2．若△ABC的三边a、b、c，满足a：b：c=1：1： ，试判断△ABC
的形状。
B C
3．已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC= ，CD= ，AD=3，且
AB⊥BC。
求：四边形ABCD的面积。 A
4．已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
且CD2=AD·BD。
求证：△ABC中是直角三角形。 E
课后反思：
B D C
第十八章 平行四边形
19.1.1 平行四边形及其性质(一)
一、 教学目标：
1． 理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．
2． 会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有
关的论证．
3． 培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力．
二、 重点、难点
1． 重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质
的应用．
2． 难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．
三、例题的意图分析
例1是教材P93的例1，它是平行四边形性质的实际应用，题目比较简单，其
目的就是让学生能运用平行四边形的性质进行有关的计算，讲课时，可以让学生
来解答．例2是补充的一道几何证明题，即让学生学会运用平行四边形的性质进
行有关的论证，又让学生从较简单的几何论证开始，提高学生的推理论证能力和
逻辑思维能力，学会演绎几何论证的方法．此题应让学生自己进行推理论证．四、课堂引入
1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么
几何图形的形象？
平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子
吗？
你能总结出平行四边形的定义吗？
(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
(2)表示：平行四边形用符号“ ”来表示．
如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，
那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形
ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．
①∵AB//DC ,AD//BC ，
∴四边形ABCD是平行四边形（判定） ；
②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC， AD//BC（性质）．
注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指
有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的
对边，对角是指一条边的对角．（教学时要结合图形，让学生认识清楚）
2．【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对
边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下．
让学生根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形，观察这个四边形，它
除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以，它的边和角之间有什么关系？度
量一下，是不是和你猜想的一致？
（1）由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边
形中，相邻的角互为补角．
（相邻的角指四边形中有一条公共边的两个角．注意和第一章的邻角相区别．
教学时结合图形使学生分辨清楚．）
（2）猜想 平行四边形的对边相等、对角相等．
下面证明这个结论的正确性．
已知：如图 ABCD，
求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD．分析：作 ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证
明这两个三角形全等即可得到结论．
（作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题
转化为已知的关于三角形的问题．）
证明：连接AC，
∵ AB∥CD，AD∥BC，
∴ ∠1＝∠3，∠2＝∠4．
又 AC＝CA，
∴ △ABC≌△CDA （ASA）．
∴ AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D．
又 ∠1＋∠4＝∠2＋∠3，
∴ ∠BAD＝∠BCD．
由此得到：
平行四边形性质1 平行四边形的对边相等．
平行四边形性质2 平行四边形的对角相等．
五、例习题分析
例1（教材P93例1）
例 2（补充）如图，在平行四边形 ABCD 中，
AE=CF，
求证：AF=CE．
分析：要证AF=CE，需证△ADF≌△CBE，由于四边形ABCD是平行四边形，
因此有∠D=∠B ，AD=BC，AB=CD，又AE=CF，根据等式性质，可得BE=DF．由
“边角边”可得出所需要的结论．
证明略．
六、随堂练习
1．填空：
（1）在 ABCD中，∠A= ，则∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．
（2）如果 ABCD中，∠A—∠B=240，则∠A= 度，∠B= 度，∠C= 度，∠D=
度．
（3）如果 ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么AB= cm，BC=
cm，CD= cm，CD= cm．
2．如图4.3－9，在 ABCD中，AC为对角线，
BE⊥AC，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE＝DF．七、课后练习
1．（选择）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）．
（A）对角相等 （B）对角互补 （C）邻角互补 （D）内角和是
2．在 ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交与点O，那么图中的
平行四边形一共有（ ）．
（A）4个 （B）5个 （C）8个 （D）9个
3．如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ABC，求证
AB=CE．
18.1.1 平行四边形的性质(二)
一、 教学目标：
1． 理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性
质．
2． 能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单
的证明题．
3． 培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力．
二、 重点、难点
4． 重点：平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用．
5． 难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．
三、例题的意图分析
本节课安排了两个例题，例1是一道补充题，它是性质3的直接运用，然后对
例1进行了引申，可以根据学生的实际情况选讲，并归纳结论：过平行四边形对
角线的交点作直线交对边或对边的延长线，所得的对应线段相等．例1与后面的
三个图形是一组重要的基本图形，熟悉它的性质对解答复杂问题是很有帮助的．
例2是教材P94的例2，这是复习巩固小学学过的平行四边形面积计算．这个
例题比小学计算平行四边形面积的题加深了一步，需要应用勾股定理，先求得平
行四边形一边上的高，然后才能应用公式计算．在以后的解题中，还会遇到需要
应用勾股定理来求高或底的问题，在教学中要注意使学生掌握其方法．
四、课堂引入
1．复习提问：
（1）什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是：（2）平行四边形的性质：
①具有一般四边形的性质（内角和是 ）．
②角：平行四边形的对角相等，邻角互补．
边：平行四边形的对边相等．
2．【探究】：
请学生在纸上画两个全等的 ABCD和 EFGH，并连接对角线AC、BD
和EG、HF，设它们分别交于点O．把这两个平行四边形落在一起，在点O处钉一
个图钉，将 ABCD绕点O旋转 ，观察它还和
EFGH重合吗？你能从子中看出前面所得到的平
行四边形的边、角关系吗？进一步，你还能发现平行
四边形的什么性质吗？
结论：（1）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；
（2）平行四边形的对角线互相平分．
五、例习题分析
例1（补充） 已知：如图4－21， ABCD
的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、
CD分别相交于点E、F．
求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF．
证明：在 ABCD中，AB∥CD，
∴ ∠1＝∠2．∠3＝∠4．
又 OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，
∴ △AOE≌△COF（ASA）．
∴ OE＝OF，AE=CF（全等三角形对应边相等）．
∵ ABCD，∴ AB=CD（平行四边形对边相等）．
∴ AB—AE=CD—CF． 即 BE=FD．
※【引申】若例1中的条件都不变，将EF转动到图b的位置，那么例1的结论
是否成立？若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图 c
和图d），例1的结论是否成立，说明你的理由．解略
例2（教材P94的例2）已知四边形ABCD是
平行四边形，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，求
BC、CD、AC、OA的长以及 ABCD的面积．
分析：由平行四边形的对边相等，可得BC、CD的长，在Rt△ABC中，由勾股
定理可得AC的长．再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长，根据平
行四边形的面积计算公式：平行四边形的面积=底×高（高为此底上的高），可求得
ABCD的面积．（平行四边形的面积小学学过，再次强调“底”是对应着高说
的，平行四边形中，任一边都可以作为“底”，“底”确定后，高也就随之确定
了．）3.平行四边形的面积计算
解略（参看教材P94）．
六、随堂练习
1．在平行四边形中，周长等于48，
① 已知一边长12，求各边的长
② 已知AB=2BC，求各边的长
③ 已知对角线AC、BD交于点O，△AOD与△AOB
的周长的差是10，求各边的长
2．如图， ABCD中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm，AC+BD=14cm，则△OBC
的周长是____ ___cm．
3． ABCD一内角的平分线与边相交并把这条边分成 ， 的两条线段，则
ABCD的周长是__ ___ ．七、课后练习
1．判断对错
（1）在 ABCD中，AC交BD于O，则AO=OB=OC=OD． （ ）
（2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等． （ ）
（3）平行四边形的两组对边分别平行且相等． （ ）
（4）平行四边形是轴对称图形． （ ）
2．在 ABCD中，AC＝6、BD＝4，则AB的范围是__ ______．
3．在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+3），（x-4）
和16，则这个四边形的周长是 ．
4．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地
上要修几条笔直的小路，如图，AB＝15cm，AD＝
12cm，AC⊥BC，求小路BC，CD，OC的长，并算出
绿地的面积．
18.1.2（一） 平行四边形的判定
一、 教学目标：
1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边
形的方法．
2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．
3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．
二、重点、难点
6． 重点：平行四边形的判定方法及应用．
7． 难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．
三、例题的意图分析
本节课安排了3个例题，例1是教材P96的例3，它是平行四边形的性质与判定
的综合运用，此题最好先让学生说出证明的思路，然后老师总结并指出其最佳方
法．例2与例3都是补充的题目，其目的就是让学生能灵活和综合地运用平行四边
形的判定方法和性质来解决问题．例3是一道拼图题，
教学时，可以让学生动起来，边拼图边说明道理，即可
以提高学生的动手能力和学生的思维能力，又可以提高学生的学习兴趣．如让学生再用四个不等边三角形拼一个如图的大三角形，让
学生指出图中所有的平行四边形，并说明理由．
四、课堂引入
1．欣赏图片、提出问题．
展示图片，提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形？你是怎
样判断的？
2．【探究】：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个
平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？
让学生利用手中的学具——硬纸板条通过观察、测量、猜想、验证、探索构成
平行四边形的条件，思考并探讨：
（1）你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？
（2）你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？
（3）你能说出你的做法及其道理吗？
（4）能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？你能用文字语言表
述出来吗？
（5）你还能找出其他方法吗？
从探究中得到：
平行四边形判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形判定方法2 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
五、例习题分析
例1（教材P96例3）已知：如图 ABCD的对角
线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且
AE=CF．
求证：四边形BFDE是平行四边形．
分析：欲证四边形BFDE是平行四边形可以根据判定方法2来证明．
（证明过程参看教材）
问；你还有其它的证明方法吗？比较一下，哪种证明
方法简单．
例2（补充） 已知：如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB，
C′A′∥AC．
求证：(1) ∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA
＝∠C′；
(2) △ABC的顶点分别是△B′C′A′各边的中点．
证明：(1) ∵ A′B′∥BA，C′B′∥BC，
∴ 四边形ABCB′是平行四边形．
∴ ∠ABC＝∠B′(平行四边形的对角相等)．同理∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′．
(2) 由(1)证得四边形ABCB′是平行四边形．同理，四边形ABA′C是平行四边
形．
∴ AB＝B′C， AB＝A′C(平行四边形的对边相等)．
∴ B′C＝A′C．
同理 B′A＝C′A， A′B＝C′B．
∴ △ABC 的顶点 A、B、C 分别是△B′C′A′的边
B′C′、C′A′、A′B′的中点．
例3（补充）小明用手中六个全等的正三角形做拼图
游戏时，拼成一个六边形．你能在图中找出所有的平行四
边形吗？并说说你的理由．
解：有 6 个平行四边形，分别是 ABOF，
ABCO， BCDO， CDEO， DEFO， EFAO．
理由是：因为正△ABO≌正△AOF，所以AB=BO，OF=FA．根据 “两组对边
分别相等的四边形是平行四边形”，可知四边形ABCD是平行四边形．其它五个
同理．
六、随堂练习
1．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，
（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=___ _cm，CD=___
_cm时，四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=__ _cm，DO=__ _cm时，四边形ABCD为
平行四边形．
2．已知：如图， ABCD中，点E、F分别在CD、AB上，
DF∥BE，EF交BD于点O．求证：EO=OF．
3．灵活运用课本P89例题，如图：由火柴棒拼出的一列图形，第n个图形由（n+1）个
等边三角形拼成，通过观察，分析发现：
①第4个图形中平行四边形的个数为___ __． （6个）
②第8个图形中平行四边形的个数为___ __． （20个）
七、课后练习
1．（选择）下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（ ）．
（A）对角线互相垂直 （B）对角线相等
（C）对角线互相垂直且相等 （D）对角线互相平分2．已知：如图，△ABC，BD平分∠ABC，DE∥BC，
EF∥BC，
求证：BE=CF
18.1.2（二） 平行四边形的判定
一、 教学目标：
1．掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法．
2．会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题．
3．通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思维，提高分析问题的能
力．
二、 重点、难点
1．重点：平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选
择判定方法．
2．难点：平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用．
三、例题的意图分析
本节课的两个例题都是补充的题目，目的是让学生能掌握平行四边形的第
三种判定方法和会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．学生程
度好一些的学校，可以适当地自己再补充一些题目，使同学们会应用这些方法
进行几何的推理证明，通过学习，培养学生分析问题、寻找最佳解题途径的能力．
四、课堂引入
1．平行四边形的性质；
2．平行四边形的判定方法；
3．【探究】 取两根等长的木条AB、CD，将它们平行
放置，再用两根木条BC、AD加固，得到的四边形
ABCD是平行四边形吗？
结论：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
五、例习题分析
例1（补充）已知：如图， ABCD中，E、F分别是AD、
BC的中点，求证：BE=DF．
分析：证明BE=DF，可以证明两个三角形全等，也可以证明
四边形BEDF是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单．
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥CB，AD=CD．
∵ E、F分别是AD、BC的中点，
∴ DE∥BF，且DE= AD，BF= BC．
∴ DE=BF．
∴ 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边
形）．
∴ BE=DF．
此题综合运用了平行四边形的性质和判定，先运用平行四边形的性质得到判
定另一个四边形是平行四边形的条件，再应用平行四边形的性质得出结论；题目
虽不复杂，但层次有三，且利用知识较多，因此应使学生获得清晰的证明思路．
例2（补充）已知：如图， ABCD中，E、F分别是
AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形
BEDF是平行四边形．
分析：因为BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，所以BE∥DF．需再证明BE=DF，这需
要证明△ABE与△CDF全等，由角角边即可．
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，且AB∥CD．
∴ ∠BAE=∠DCF．
∵ BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，
∴ BE∥DF，且∠BEA=∠DFC=90°．
∴ △ABE≌△CDF （AAS）．
∴ BE=DF．
∴ 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边
形）．
六、课堂练习
1．（选择）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）．
（A）AB∥CD，AD=BC （B）∠A=∠B，∠C=∠D
（C）AB=CD，AD=BC （D）AB=AD，CB=CD
2．已知：如图，AC∥ED，点B在AC上，且AB=ED=BC， 找
出图中的平行四边形，并说明理由．
3．已知：如图，在 ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、
∠BCD的平分线．
求证：四边形AFCE是平行四边形．七、课后练习
1．判断题：
(1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形； (
)
(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形； (
)
(3)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； (
)
(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； (
)
(5)对角线相等的四边形是平行四边形； (
)
(6)对角线互相平分的四边形是平行四边形． (
)
2．延长△ABC的中线AD至E，使DE=AD．求证：四边形ABEC是平行四边形．
3．在四边形ABCD中，(1)AB∥CD；(2)AD∥BC；(3)AD＝BC；(4)AO＝OC；(5)DO
＝BO；(6)AB＝CD．选择两个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的共有
________对．（共有9对）
19.1.2（三） 平行四边形的判定——三角形的中位线
一、 教学目标：
1．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．
2．能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．
3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．
4．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用
的归纳、类比、转化等思想方法．
二、 重点、难点
1．重点：掌握和运用三角形中位线的性质．
2．难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）．
三、例题的意图分析
例1是教材P98的例4，这是三角形中位线性质的证明题，教材采用的是先
证明后引出概念与性质的方法，它一是要练习巩固平行四边形的性质与判定，二
是为了降低难度，因此教师们在教学中要把握好度．
建议讲完例1，引出三角形中位线的概念和性质后，马上做一组练习，以巩固
三角形中位线的性质，然后再讲例2．
例2是一道补充题，
选自老教材的一个例题，它是三角形中位线性质与平行四边形的判定的混合应用题，题型挺好，添加辅助线的方法也很巧，结论以后也会经常用到，可根据学生情
况适当的选讲例2．教学中，要把辅助线的添加方法讲清楚，可以借助与多媒体或
教具．
四、课堂引入
1．平行四边形的性质；平行四边形的判定；它们之间有什么联系？
2．你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？
（答：平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去
解决某些问题．例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判
定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平
行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题．）
3．创设情境
实验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四
个全等的三角形，你是如何切割的？（答案如图）
图中有几个平行四边形？你是如何判断的？
五、例习题分析
例1（教材P98例4） 如图，点D、E、分别为△ABC边
AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE= BC．
分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想
已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形
中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成
立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线
来构造平行四边形．
方法1：如图（1），延长DE到F，使EF=DE，连接
CF，由△ADE≌△CFE，可得AD∥FC，且AD=FC，因
此有BD∥FC，BD=FC，所以四边形BCFD是平行四边
形．所以 DF∥BC，DF=BC，因为 DE= DF，所以
DE∥BC且DE= BC．
（也可以过点C作CF∥AB交DE的延长线于F点，证明方法与上面大体相同）
方法2：如图（2），延长DE到F，使EF=D
E，连接CF、CD和AF，又AE=EC，所以四边形ADCF是平行四边形．所以AD∥FC，且AD=FC．因为
AD=BD，所以BD∥FC，且BD=FC．所以四边形ADCF是平行四边形．所以
DF∥BC，且DF=BC，因为DE= DF，所以DE∥BC且DE= BC．
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
【思考】：
（1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么
区别？
（2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？
（答：（1）一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线
段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线．
（2）三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行与第三边，且等于第
三边的一半．）
三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．
〖拓展〗利用这一定理，你能证明出在设情境中分割出来的四个小三角形全等吗
（让学生口述理由）
例2（补充）已知：如图（1），在四边形ABCD中，E、
F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
分析：因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点，
可以设法应用三角形中位线性质找到四边形 EFGH的
边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅
助线，连接AC或BD，构造“三角形中位线”的基本图
形后，此题便可得证．
证明：连结AC（图（2）），△DAG中，
∵ AH=HD，CG=GD，
∴ HG∥AC，HG= AC（三角形中位线性质）．
同理EF∥AC，EF= AC．
∴ HG∥EF，且HG=EF．
∴ 四边形EFGH是平行四边形．
此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．
六、课堂练习
1．（填空）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，
连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果
测得MN=20 m，那么A、B两点的距离是 m，理由是．
2．已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，求连结
各边中点所成三角形的周长．
3．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
（1）若EF=5cm，则AB= cm；若BC=9cm，则DE=
cm；
（2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想．
七、课后练习
1．（填空）一个三角形的周长是135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三
条平行线所组成的三角形的周长是 cm．
2．（填空）已知：△ABC中，点D、E、F分别是△ABC三边
的中点，如果△DEF的周长是12cm，那么△ABC的周长
是 cm．
3．已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中
点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
18.2.1 矩形(一)
一、教学目标：
1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．
2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．
3．渗透运动联系、从量变到质变的观点．
二、重点、难点
1．重点：矩形的性质．
2．难点：矩形的性质的灵活应用．
三、例题的意图分析
例1是教材P104的例1，它是矩形性质的直接运用，它除了用以巩固所学的
矩形性质外，对计算题的格式也起了一个示范作用．例2与例3都是补充的题目，
其中通过例2的讲解是想让学生了解：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形
中的计算经常要用到直角三角形的性质，而利用方程的思想，解决直角三角形中
的计算，这是几何计算题中常用的方法；（2）“直角三角形斜边上的高”是一个
基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系
式．并能通过例2、例3的讲解使学生掌握解决有关矩形方面的一些计算题目与
证明题的方法．四、课堂引入
1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆、井架
等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？
2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还
是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图）
3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察
这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义．
矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．
矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象
【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点
上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．
① 随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？
② 当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它
的两条对角线的长度有什么关系？
操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质．
矩形性质1 矩形的四个角都是直角．
矩形性质2 矩形的对角线相等．
如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2
有AO=BO=CO=DO= AC= BD．因此可以得到直角三角
形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
五、例习题分析
例1 （教材P104例1）已知：如图，矩形ABCD的
两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形
对角线的长．
分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有
对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB是
等边三角形，因此对角线的长度可求．
解：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC与BD相等且互相平分．
∴ OA=OB．又 ∠AOB=60°，
∴ △OAB是等边三角形．
∴ 矩形的对角线长AC=BD = 2OA=2×4=8（cm）．
例2（补充）已知：如图 ，矩形 ABCD，AB长8 cm
，对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的
距离AE的长．
分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的
计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的
思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法．
略解：设AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在Rt△ABD中，由勾股定理：
，解得x=6． 则 AD=6cm．
（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角
边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式： AE×DB＝ AD×AB，解得 AE＝
4.8cm．
例3（补充） 已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若
AE=BC． 求证：CE＝EF．
分析：CE、EF分别是BC，AE等线段上的一部分，若AF＝BE，则问题解决，
而证明AF＝BE，只要证明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易构造全等的直角
三角形．
证明：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B=90°，且AD∥BC． ∴ ∠1=∠2．
∵ DF⊥AE， ∴ ∠AFD=90°．
∴ ∠B=∠AFD．又 AD=AE，
∴ △ABE≌△DFA（AAS）．
∴ AF=BE．
∴ EF=EC．
此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC．
六、随堂练习
1．（填空）
（1）矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是 ．
（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的
四个角的度数分别为 、 、 、 ．
（3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的
边长分别为 cm， cm， cm， cm．
2．（选择）
（1）下列说法错误的是（ ） ．
（A）矩形的对角线互相平分 （B）矩形的对角线相等
（C）有一个角是直角的四边形是矩形 （D）有一个角是直角的平行四边形叫
做矩形（2）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ）．
（A）2对 （B）4对 （C）6对 （D）8对
3．已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分
∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数．
七、课后练习
1．（选择）矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为
15cm，较短边的长为（ ）．
(A)12cm (B)10cm (C)7.5cm (D)5cm
2．在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、
∠B的度数．
3．已知：矩形ABCD中，BC=2AB，E是BC的中点，求
证：EA⊥ED．
4 ． 如 图 ， 矩 形 ABCD 中 ， AB=
2BC，且AB=AE，求证：
∠CBE的度数．
18.2.1 矩形(二)
一、教学目标：
1．理解并掌握矩形的判定方法．
2．使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一
步培养学生的分析能力
二、重点、难点
1．重点：矩形的判定．
2．难点：矩形的判定及性质的综合应用．
三、例题的意图分析
本节课的三个例题都是补充题，例1在的一组判断题是为了让学生加深理解
判定矩形的条件，老师们在教学中还可以适当地再增加一些判断的题目；例2是
利用矩形知识进行计算；例3是一道矩形的判定题，三个题目从不同的角度出发，
来综合应用矩形定义及判定等知识的．
四、课堂引入
1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？
2．矩形有哪些性质？
3．矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？
4．事例引入：小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度
相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩
形像框吗？看看谁的方法可行？通过讨论得到矩形的判定方法．
矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形．
矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．
（指出：判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了．因为由四
边形内角和可知，这时第四个角一定是直角．）
五、例习题分析
例1（补充）下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？
（1）有一个角是直角的四边形是矩形； （×）
（2）有四个角是直角的四边形是矩形； （√）
（3）四个角都相等的四边形是矩形； （√）
（4）对角线相等的四边形是矩形； （×）
（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； （×）
（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （√）
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （×）
（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（√）
（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． (√)
指出：
（l）所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；
（2）所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与判定方法不同，则需
要利用定义和判定方法证明或举反例，才能下结论．
例2 （补充）已知 ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三
角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积．
分析：首先根据△AOB是等边三角形及平行四边形
对角线互相平分的性质判定出 ABCD是矩形，再利用勾
股定理计算边长，从而得到面积值．
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO= AC，BO= BD．
∵ AO=BO，
∴ AC=BD．
∴ ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．
在Rt△ABC中，
∵ AB=4cm，AC=2AO=8cm，
∴ BC= （cm）．
例3（ 补充） 已知：如图（1）， ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH是矩形．
分析：要证四边形EFGH是矩形，由于此题目可分解出基本图形，如图（2），
因此，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明．
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC．
∴ ∠DAB＋∠ABC=180°．
又 AE平分∠DAB，BG平分∠ABC ，
∴ ∠EAB＋∠ABG= ×180°=90°．
∴ ∠AFB=90°．
同理可证 ∠AED=∠BGC=∠CHD=90°．
∴ 四边形EFGH是平行四边形（有三个角是直角的四边形是矩形）．
六、随堂练习
1．（选择）下列说法正确的是（ ）．
（A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B）有一组邻角是直角的四边形一
定是矩形
（C）对角线互相平分的四边形是矩形 （D）对角互补的平行四边形是矩形
2．已知：如图 ，在△ABC中，∠C＝90°， CD为中线，延长
CD到点E，使得 DE＝CD．连结AE，BE，则四边形ACBE为
矩形．
七、课后练习
1．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
⑴ 先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB＝CD，EF＝GH；
⑵ 摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学道理是：
；
⑶ 将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直
角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数
学道理是： ；
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数．
18.2.2 菱形（一）
一、教学目的：
1．掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．
2．理解并掌握菱形的定义及性质1、2；会用这些性质进行有关的论证和计算会计算菱形的面积．
3．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．
4．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想
二、重点、难点
1．教学重点：菱形的性质1、2．
2．教学难点：菱形的性质及菱形知识的综合应用．
三、例题的意图分析
本节课安排了两个例题，例1是一道补充题，是为了巩固菱形的性质；例2是
教材P108中的例2，这是一道用菱形知识与直角三角形知识来求菱形面积的实
际应用问题．此题目，除用以巩固菱形性质外，还可以引导学生用不同的方法来
计算菱形的面积，以促进学生熟练、灵活地运用知识．
四、课堂引入
1．（复习）什么叫做平行四边形？什么叫矩形？平行四边形和矩形之间的关
系是什么？
2．（引入）我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的
特殊平行四边形，请看演示：（可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具
进行演示）如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念．
菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
【强调】 菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．
让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子．
五、例习题分析
例1（ 补充） 已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC
于E．
求证：∠AFD=∠CBE．
证明：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ CB=CD， CA平分∠BCD．
∴ ∠BCE=∠DCE．又 CE=CE，
∴ △BCE≌△COB（SAS）．
∴ ∠CBE=∠CDE．
∵ 在 菱 形 ABCD 中 ， AB∥ CD ，
∴∠AFD=∠FDC
∴ ∠AFD=∠CBE．例2 （教材P108例2）略
六、随堂练习
1．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为
．
2．已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm ，求菱形的周长和面积．
3．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是
1∶2，求菱形的对角线的长和面积．
4．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，
且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．
七、课后练习
1．菱形ABCD中，∠D∶∠A=3∶1，菱形的周长为 8cm，求菱形的高．
2．如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，求（1）对
角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积．
18.2.2 菱形（二）
一、教学目的：
1．理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论
证和计算；
2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力
及逻辑思维能力．
二、重点、难点
1．教学重点：菱形的两个判定方法．
2．教学难点：判定方法的证明方法及运用．
三、例题的意图分析
本节课安排了两个例题，其中例1是教材P109的例3，例2是一道补充的题
目，这两个题目都是菱形判定方法的直接的运用，主要目的是能让学生掌握菱形
的判定方法，并会用这些判定方法进行有关的论证和计算．这些题目的推理都比
较简单，学生掌握起来不会有什么困难，可以让学生自己去完成．程度好一些的
班级，可以选讲例3．
四、课堂引入
1．复习
（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形；（2）菱形的性质1 菱形的四条边都相等；
性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；
（3）运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？（判定：2个条件）
2．【问题】要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？
3．【探究】（教材P109的探究）用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小
钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，
这个四边形什么时候变成菱形？
通过演示，容易得到：
菱形判定方法1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．
通过教材P109下面菱形的作图，可以得到从一般四边形直接判定菱形的方
法：
菱形判定方法2 四边都相等的四边形是菱形．
五、例习题分析
例1 （教材P109的例3）略
例2（补充）已知：如图 ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分
别交于E、F．
求证：四边形AFCE是菱形．
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AE∥FC．
∴ ∠1=∠2．
又 ∠AOE=∠COF，AO=CO，
∴ △AOE≌△COF．
∴ EO=FO．
∴ 四边形AFCE是平行四边形．
又 EF⊥AC，
∴ AFCE 是菱形(对角线互相垂直的平行四边形
是菱形)．
※例3（选讲） 已知：如图，△ABC中， ∠ACB=90°，
BE平分∠ABC，CD⊥AB与D，EH⊥AB于H，CD交BE于
F．
求证：四边形CEHF为菱形．
略证：易证 CF∥EH，CE=EH，在 Rt△BCE 中，∠CBE+∠CEB=90°，在
Rt△BDF 中，∠DBF+∠DFB=90°，因为∠CBE=∠DBF，∠CFE=∠DFB，所以
∠CEB=∠CFE，所以CE=CF．所以，CF=CE=EH，CF∥EH，所以四边形CEHF为菱形．
六、随堂练习
1．填空：
（1）对角线互相平分的四边形是 ；
（2）对角线互相垂直平分的四边形是________；
（3）对角线相等且互相平分的四边形是________；
（4）两组对边分别平行，且对角线 的四边形是菱形．
2．画一个菱形，使它的两条对角线长分别为6cm、8cm．
3．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，
CE∥BD，DE和CE相交于E，求证：四边形OCED是菱
形。
七、课后练习
1．下列条件中，能判定四边形是菱形的是 （ ）．
（A）两条对角线相等 （B）两条对角线互相垂
直
（C）两条对角线相等且互相垂直 （D）两条对角线互相垂
直平分
2．已知：如图，M是等腰三角形ABC底边BC上的中点，
DM⊥AB，EF⊥AB，ME⊥AC，DG⊥AC．求证：四边形
MEND是菱形．
3．做一做：
设计一个由菱形组成的花边图案．花边的长为15 cm，宽为4 cm，由有一条对
角线在同一条直线上的四个菱形组成，前一个菱形对角线的交点，是后一个菱形
的一个顶点．画出花边图形．
18.2.3 正方形
一、教学目的
1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．
2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行
四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻
辑思维能力．
二、重点、难点
1．教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．2．教学难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．
三、例题的意图分析
本节课安排了三个例题，例1是教材P111的例4，例2与例3都是补充的题
目．其中例1与例2是正方形性质的应用，在讲解时，应注意引导学生能正确的运
用其性质．例3是正方形判定的应用，它是先判定一个四边形是矩形，再证明一
组邻边，从而可以判定这个四边形是正方形．随后可以再做一组判断题，进行练
习巩固（参看随堂练习1），为了活跃学生的思维，也可以将判断题改为下列问题
让学生思考：
①对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？
②对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？
③对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什
么条件？
④能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？
⑤说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？
四、课堂引入
1．做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方
形．
学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方
形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？
正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：
（1）有一组邻边相等的平行四边形 （菱形）
（2）有一个角是直角的平行四边形 （矩形）
2．【问题】正方形有什么性质？
由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个
角是直角的菱形．
所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．
五、例习题分析
例1（教材P111的例4） 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等
的等腰直角三角形．已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O
（如图）．
求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角
三角形．
证明：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC=BD， AC⊥BD，
AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）．
∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，
并且 △ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO．
例2（ 补充）已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交
点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于
F．
求证：OE=OF．
分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由
于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到
∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相
等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．
证明：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）．
又 DG⊥AE， ∴ ∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°．
∴ ∠EAO=∠FDO．
∴ △AEO ≌△DFO．
∴ OE=OF．
例3 （补充）已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作
l ∥l ，作BM⊥l 于M，DN⊥l 于N，直线MB、DN分别交l 于Q、P点．
1 2 1 1 2
求证：四边形PQMN是正方形．
分析：由已知可以证出四边形 PQMN 是矩形，再证
△ABM≌△DAN，证出 AM=DN，用同样的方法证
AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结论．
证明：∵ PN⊥l ，QM⊥l ，
1 1
∴ PN∥QM，∠PNM=90°．
∵ PQ∥NM，
∴ 四边形PQMN是矩形．
∵ 四边形ABCD是正方形
∴ ∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都
是直角）．∴ ∠1+∠2=90°．
又 ∠3+∠2=90°， ∴ ∠1=∠3．
∴ △ABM≌△DAN．
∴ AM=DN． 同理 AN=DP．
∴ AM+AN=DN+DP
即 MN=PN．
∴ 四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．
六、随堂练习
1．正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ ____．
2．下列说法是否正确，并说明理由．
①对角线相等的菱形是正方形；（ ）
②对角线互相垂直的矩形是正方形；（ ）
③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（ ）
④四条边都相等的四边形是正方形；（ ）
⑤四个角相等的四边形是正方形．（ ）
F
3．已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别
为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF． B A
求证：∠AFE＝∠AEF．
C D E
4．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，
求∠EAD与∠ECD的度数．
七、课后练习
1．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F
是CB的延长线上一点，且DE=BF．
求证：EA⊥AF．
2．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，
DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．
3．已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平
分∠DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF．第 19 章 一次函数
19.1变量与函数(1)
教学目标
①运用丰富的实例,使学生在具体情境中领悟函数概念的意义,了解常量与变量的含义。
能分清实例中的常量与变量,了解自变量与函数的意义。
②通过动手实践与探索,让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,以提高分析问
题和解决问题的能力。
③引导学生探索实际问题中的数量关系,培养对学习数学的兴趣和积极参与数学活动的
热情.在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦,建立自信心。
教学重点与难点
重点：函数概念的形成过程。
难点：正确理解函数的概念。
教学准备
每个小组一副弹簧秤和挂件,一根绳子。
教学设计
提出问题:
1.汽车以60千米/时的速度匀速行驶。行驶里程为s千米,行驶时间为t小时。先填写下
面的表,再试着用含t的式子表示s：
t(小时) 1 2 3 4 5
s(千米)
2.已知每张电影票的售价为10元。如果早场售出150张,日场售出205张,晚场售出310
张,那么三场电影的票房收入各为多少元?设一场电影售出x张票,票房收人为y元,怎样用
含x的式子表示y?
3.要画一个面积为10cm2的圆,圆的半径应取多少?画面积为20cm2的圆呢?怎样用含圆
面积S的式子表示圆半径r?
注:(1)让学生充分发表意见,然后教师进行点评。
(2)挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情景,让学生经历探索具体情景中两个变
量关系的过程,直接获得探索变量关系的体验。
动手实验
1.在一根弹簧秤上悬挂重物,改变并记录重物的质量,
观察并记录弹簧长度的变化,填入下表：
悬挂重物的质量m(kg)
弹簧长度l(cm)
如果弹簧原长10cm,每1kg重物使弹簧伸长0.5cm,怎样用重物质量m(kg)的式子表示受
力后的弹簧长度l(cm)?
2.用10dm长的绳子围成矩形.试改变矩形的长,观察矩形的面积怎样变化,记录不同的
矩形的长的值,计算相应的矩形面积的值,探索它们的变化规律(用表格表示) 。设矩形的长
为xdm,面积为Sdm2,怎样用含x的式子表示S?
注:分组进行实验活动,然后各组选派代表汇报。通过动手实验,学生的学习积极性被充分调动起来,进一步深刻体会了变量间的关系,学
会了运用表格形式来表示实验信息。
探究新知
(一)变量与常量的概念
1.在学生动手实验并充分发表自己意见的基础上,师生共同归纳：上面的问题和实验都
反映了不同事物的变化过程。其中有些量(时间t、里程s、售出票数x、票房收入y等)的值是
按照某种规律变化的。在一个变化过程中,数值发生变化的量,我们称之为变量。也有些量是
始终不变的,如上面问题中的速度60(千米/时)、票价10(元)等,我们称之为常量。
2.请具体指出上面这些问题和实验中,哪些量是变量,哪些量是常量。
3.举出一些变化的实例,指出其中的变量和常量。
注:分组活动.先独立思考,然后组内交流并作记录,最后各组选派代表汇报。
培养学生主动参与、合作交流并能用数学的眼光看待世界的意识,提高观察、分析、概括
和抽象等的能力。
(二)函数的概念
1.在前面的每个问题和实验中,是否各有两个变量?同一个问题中的变量之间有什么联
系?
师生分析得出：上面的每个问题和实验中的两个变量互相联系.当其中一个变量取定一
个值时,另一个变量就有惟一确定的值。
2.分组讨论教科书P.117 “观察”中的两个问题。
注:使学生加深对各种表示函数关系的表达方式的印象。
3.一般来说,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的
值,y都有惟一确定的值与其对应,那么,我们就说x是自变量,y是x的函数。如果当x=a
时,y=b,那么,b叫做当自变量的值为a时的函数值。例如在问题1中,时间t是自变量,里程
s是t的函数。t=1时,其函数值s为60,t=2时,其函数值s为120。
同样,在心电图中,时间x是自变量,心脏电流y是x的函数；在人口统计表中,年份x是
自变量,人口数y是x的函数.当x=1999时,函数值y=12.52。
巩固新知
下列各题中分别有几个变量?你能将其中的某个变量看成是另一变量的函数吗?
1.右图是北京某日温度变化图
2.如图,已知菱形ABCD的对角线AC长为
4,BD的长在变化,设BD的长为x,则菱形
的面积为y= ×4×x
3.国内平信邮资(外埠,100克内)简表：
信件质量m/克 O0)的图象,可以看出曲线从左向右下降,即当x由小变大时, y=
随之减小.
(2) 归纳用描点法画函数图象的一般步骤.
描点法画函数图象的一般步骤如下：
第一步：列表；(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值)
第二步：描点；(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出
表格中数值对应的各点)
第三步：连线.(按照横坐标由小到大的顺序,把所描出的各点用平滑的曲线连接起来)
讨论交流:教科书P.115 “思考”中的两个问题.
巩固新知
1.画出函数y=2x-1的图象.
判断：点A(-2.5,-4)、点B(1,3)、点C(2.5,4)是否在函数y=2x-1的图象上.
2.画出函数y=x2的图象.
从图象中观察,当x<0时,y随x增大而增大呢,还是y随x增大而减小?
当x>0时呢?
注:理解用图象法表示函数关系.巩固函数图象的画法.
总结归纳
以问题的形式要求学生思考、交流：
1.作函数图象的三个步骤分别是什么?
2.如何从图象中了解函数的变化情况?
注:加深对函数图象画法的印象.
布置作业
1.必做题：教科书P.119 第6题.
2.选做题：教科书P.120 第10题.
教学反思
19.1变量与函数(5)
教学目标①运用丰富的实例,帮助学生全面理解函数的三种表示方法.
②通过观察、作图、交流、归纳等数学实践活动,使学生加深对函数三种表示方法的认识,
提高把实际问题转化为数学问题的能力.
③让学生通过实际操作,体会函数的三种表示方法在实际生活中的应用价值,以激发学
生对数学的学习兴趣.
教学重点与难点
重点：函数的三种表示方法及其应用.
难点：函数的三种表示方法的应用.
教学准备
木板一块、玩具小车一辆、三角尺、CAI课件.
教学设计
提出问题
实验演示：倾斜木板,将小车置于木板顶端,观察小车下滑过程.
小车沿斜坡下滑,下滑速度与其下滑时间的关系如上图所示.
1.填写下表：
t(秒) 1 2 3
V(米/秒)
2.写出V与t之间的关系式.
注:通过实验演示,创设问题情境,使学生从中发现数学,建立模型,引起思考,激发兴趣.
营造轻松愉悦的学习氛围,自然导入新课.
探究新知
1.通过学习,我们已经知道可以用列表格、写式子和画讨论：从前面的例子来看,你认为
这三种表示方法各有什么优点?
注:分组活动.先独立思考,然后组内交流并作记录,最后各组选派代表汇报.
2.注意：表示函数时,要根据具体情况选择适当的方法.
图象的方法来表示函数.这三种表示函数的方法分别被称为列表法、解析式法和图象法.
为了全面地认识问题,有时需要几种方法同时运用.
讲解教科书P.117 例4.
问题1：观察记录表中的6组数值,你认为这两个变量之间有什么关系?
问题2：请你写出水位高度y(米)随时间t(时)变化的函数解析式.
问题3：请你画出这个函数的图象.
问题4：请你预测一下,再过2小时,水位高度将达到多少米?
注:给学生提供充分的时间与空间,让其进行自主探索和与同伴交流,经历数学活动的过
程.
学生的探索可能具有盲目性,精心设计“问题串”可帮助解决这个问题.但它不能代替
学生的探索,而是为学生的探索提供指导.一切要从有利于学生的发展出发.
巩固新知
教科书P.118 练习第1、2题
注:加深对函数三种表示方法的理解.
解决问题
某电视机厂要印制一批产品宣传资料.甲厂提出：每份资料收1元印制费,所有资料另收1500元的制版费；乙厂提出：每份资料收2.5元印制费,不收制版费.
1.分别写出两厂的收费y(元)与印制数量x(份)之间的关系式.
2.在同一直角坐标系内作出它们的图象.
3.根据图象回答以下问题：
(1)印制800份宣传资料,选择哪家印刷厂比较合算?
(2)电视机厂拟拿出3000元用于印制宣传资料,选择哪家印刷厂宣传资料能多印一些?
注:感受所学知识在实际中的用途,培养学生应用数学的意识.
总结归纳
教师强调,本节课主要学习了函数的三种表示方法：列表法、解析式法和图象法以及各
自的优点.
特别提醒：函数的不同表示方法之间是可以转化的.
注:引导学生归纳总结所学知识,使之对函数的表示方法有比较全面的认识.
布置作业
1.必做题：教科书P.120 第11题.
教学反思
19.2.1正比例函数
教学目标
①通过对不同背景下函数模型(关系式)的比较,接受正比例函数的概念.
②在用描点法画正比例函数图象的过程中发现正比例函数的性质.
③利用发现的性质简便地画出正比例函数的图象.
④初步体验研究函数的一般思路与方法.
教学重点与难点
重点:正比例函数的概念、图象与性质.
难点：体验研究函数的一般思路与方法
教学准备
教师准备：作图工具、多媒体课件.
学生准备：作图工具、方格子纸若干张.
教学设计
概念的引出
1.出示教科书P.122 的问题.先出示问题背景,再逐一提出问题①、②、③.
注:问题的解决可由一位学生回答,其他学生补充进行.
说明：以上我们用函数y=200x对燕鸥的飞行路程问题进行了刻画.尽管这只是近似的,
但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型.
注:此问题源于真实背景,难度又不大,在使全体学生进入学习状态的同时,也进一步体
会到函数是反映现实世界的一种数学模型.
2.此类模型在生活中广泛存在.出示教科书P.23 的问题：下列问题中的变量对应规律
可用怎样的函数表示?这些函数有什么共同点?
注:在变化的背景中寻找不变之处,经历对一类对象共同本质特征的抽象过程,促进概
念的形成.通过讨论、归纳形成共识,给出正比例函数的概念.
一般地,形如y=kx(k是常数,k≠O)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.
注:这里不补充正反例的比较来进行概念的辨析,这部分内容放入下一节.
上述问题中各正比例函数的比例系数分别是什么?
注:认识的扩大.
我们知道,函数图象可以直观、清晰地表示函数关系.
正比例函数的解析式具有共同的结构,那么它们的图象是否也有某种必然的共同之处呢？
1.画出下列正比例函数的图象：(1)y=2x (2)y=-2x
学生通过列表、描点、连线画出图象,使用课前准备好的方格子纸(或由教师统一发下)
可以节约时间提高效率.
注:自然激发探究冲动,感受研究函数的思考方式.利用已学过的描点法画出正比例函数
的图象,既巩固旧知
识,更为发现规律后简便画法的产生埋下伏笔.
2.比较上面两个函数的图象的相同点与不同点,你发现它们具有怎样的规律了吗?
注:让学生充分发表意见,鼓励百家争鸣、各抒己见,教师暂时不做评判,对于争论最好
的办法是让学生自己想办法验证解决.
学生经历活动操作、观察比较、分析思考、讨论交流的过程,并在这样一个过程中树立信
心、获取知识、体验学习的方法.
引导学生思考：这种规律对其他正比例函数适用吗?具有一般规律吗?
3.适时引导学生继续尝试：
练习：在同一个坐标系中,画出下列函数的图象,并对它们进行比较：(1)y= x
(2)y=- x
注:(1)这里无须就k=O时又如何展开讨论,若有学生提及,可鼓励在课外思考.
(2)量的积累可以进一步增强信心,明确经验,有助于对各种意见的统一认识的全面定型.
4.达成共识：一般地,正比例函数y=kx(k≠0)的图象是一条经过原点的直线,我们称它
为直线y=kx.
当k>0时,直线y=kx经过第三、一象限,从左向右上升,即随着x的增大y也增大；
当k<0时,直线y=kx经过第二、四象限,从左向右下降,即随着x的增大y反而减小.
认识的深化
1.经过原点与点(1,3)的直线是哪个函数的图象?
若经过原点与点(1,-4)呢?你发现了什么?
注:这里函数的得出,并不涉及待定系数法,而是对前面探究过程与结果的感悟.亲身的
实践以及在亲身实践基础上的反思对促进学生的发展有着重大的意义.
2.画正比例函数的图象时,怎样画最简便?为什么?
以上问题逐一出示,由学生思考后回答,避免让思维快的学生影响思维慢的学生.
3.用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：(1)y= x (2)y=-3x
小结归纳
1.在本节课中,我们经历了怎样的过程?有怎样的收获?
2.在以后的学习中,我们将继续这样的思路来研究各种具体的函数,根据它们共同的结
构给它们取名,画出它们的图象与研究它们的性质.作业
教科书P.135 习题11.2第1、2题.
教学反思
19.2.2一次函数(1)
教学目标
①理解一次函数与正比例函数的概念以及它们的关系,在探索过程中,发展抽象思维及
概括能力,体验特殊和一般的辩证关系.
②能根据问题信息写出一次函数的表达式.能利用一次函数解决简单的实际问题.
③经历利用一次函数解决实际问题的过程,逐步形成利用函数观点认识现实世界的意识
和能力.
教学重点与难点
重点：①一次函数、正比例函数的概念及关系.
②会根据已知信息写出一次函数的表达式.
难点：理解一次函数、正比例函数的概念及关系.在探索过程中,发展抽象思维及概括能
力.
教学设计
复习与反思
1.复习：函数与正比例函数的概念和它们之间的关系.
注:在对旧知的复习中突出函数是对变量间关系的刻画,正比例函数则是对某一类关系
共性的抽象反映.为完善认知与深刻理解概念做准备.
2.问题：某登山队大本营所在地的气温为15℃.海拔每升高1km气温下降6℃,登山队员
由大本营向上登高xkm时,他们所在位置的气温是y℃.试用解析式表示y与x的关系.
注:得到的解析式不是原先学过的正比例函数,促使学生对函数特征的思考.
3.反思：这个函数是正比例函数吗?它与正比例函数有什么不同?这种形式的函数还会
有吗?
概念的形成
1.下列问题中变量间的对应关系可用怎样的函数表示?
出示教科书P.27 问题①～④.
逐一出示题目并由学生完成.此处不必对自变量取值范围作深入追究,重在正确得出关
系式.
注意选题时各小题表示变量的字母虽然不同,但结构相同,进一步揭示函数的本质在于
对变量间对应关系的反映,而与所取符号无关.
2.思考：上面这些函数有什么共同点?你能再举出一些例子吗？
引导学生自己得出上面这些函数的形式都是自变量的走(常数)倍与一个常数的和.并把
它们抽象为y=kx+b的形式.
在探索过程中,发展抽象思维及概括能力.理解抽象的符号揭示的是一般规律.
3.抽取共性,形成概念
一般地,形如y=kx+b(k、b是常数,k≠O)的函数,叫做一次函数.
4.回顾反思,追求统一本节涉及的函数y=15-6x,c=7t-35,g=h-105,y=0.01x+22,y=-5x+50都不符合正比例函
数的结构,都不是正比例函数,而是一次函数.
那么像y=2x,y= x这些正比例函数是否符合一次函数的结构呢?在怎样的情况下符合?
这说明了什么?
注:从一开始的y=15-6x不是正比例函数,引出一次函数的形成,似乎已经画了一个句
号.但细敲之下,里面还大有文章.这能给学生带来一种震撼与感悟.
5.达成共识,完善认知
学生通过讨论达成共识：当b=0时,y=kx+b即y=kx,所以正比例函数其实是一种特殊的
一次函数.
应当使学生领会：正比例函数首先是一次函数,其次它是特殊的一次函数.
概念的辨析
教科书P.128 练习1：下列函数中哪些是一次函数,哪些又是正比例函数?
①y=-8x；②y=5x2+6；③y= ;④y=-0.5x-1
特别注意：回答哪些是一次函数时需包含正比例函数,正比例函数是特殊的一次函数.
注:对解析式结构分析与比较,加深对已有知识的理解,促进认知结构的完善.
应用与问题解决
1.教科书P.128 练习2、3
注:逐步形成利用函数观点认识现实世界的意识和能力.
补充：
2.气温随着高度的增加而下降,下降的一般规律是从地面到高空11km处,每升高1km,
气温下降6℃.高于11km时,气温几乎不再变化,设地面的气温为38℃,高空中xkm的气温为
y℃.
(1)当0≤x≤11时,求y与x之间的关系式?
(2)求当x=2、5、8、11时,y的值?
(3)求在离地面13km的高空处,气温是多少度?
(4)当气温是-16℃时,问在离地面多高的地方?
回顾与小结
1.回顾函数、正比例函数、一次函数的概念与它们间的关系.
注:引导学生用语言叙述自己的理解,理解要正确清晰.
2.感受数学的抽象与广泛应用.体会结构的重要.
布置作业
教科书P.135 习题11.2第3题.
教学反思
19.2.2一次函数(2)
教学目标
①了解一次函数(包括正比例函数)的图象与性质,了解常数k,b的意义和作用.
②能用简便方法熟练作出一次函数的图象③经历利用函数图象研究函数性质的过程,发展观察、比较、抽象和概括能力,体验“数形结合”的思想与方法.
教学重点与难点
重点：一次函数(包括正比例函数)图象与性质.
难点：如何使学生通过自己的实践与探究发现图象的特点与性质.
教学准备
教师准备：作图工具、多媒体课件.
学生准备：作图工具、方格子纸若干张.
教学设计
复习与反思
1.复习：正比例函数的图象与性质.
2. 反思：
①正比例函数是特殊的一次函数,正比例函数的图象是直线,那么一次函数的图象也会
是一条直线吗?
②从解析式上看,一次函数y=kx+b与正比例函数y=kx只差一个常数b,体现在图象上,
又会有怎样的关系呢?
注:体现特殊与一般的关系并引发猜想.渗透数形相互影响的思想.
探究新知
1.画出函数y=-6x与y=-6x+5的图象.
注:(1)学生通过列表、描点、连线画出图象,使用课前准备好的方格子纸(或由教师统一
发下)可以节约时间提高效率.
(2)同时画出这两个函数的图象旨在便于观察k相同,b不同时图象间的关系.
2.观察与比较
比较上面两个函数的图象的相同点与不同点.填出你的观察结果并与同伴交流.
这两个函数的图象形状都是____,并且倾斜程度_____.
函数y=-6x的图象经过原点,函数y=-6x+5的图象与y轴交于点____,
即它可以看作由直线y=-6x向____平移____个单位长度而得到.
注:先独立观察比较发现规律,再经同伴间的交流、互相启发促进达成共识.
3.探究
比较两个函数的解析式与图象,你能解释这是为什么吗?
注:建议引导学生理性思考并回答.允许学生按自己的理解从不同角度解释,形成个性化
的学习体验.
4.猜想
你得到的结论具有一般性吗?
不画图,你能说出一次函数y=3x-4的图象是什么形状吗?
它与直线y=3x有什么关系?
你能解释其中的道理吗?
注:(1)鼓励学生讨论,形成统一且正确的认识.
(2)鼓励学生用自己的语言归纳、互相补充,发展学生的抽象与概括能力.
(3)本题不再依赖操作与观察而是类比猜想,为最终概括结论的形成再加一个台阶.
5.结论
一次函数y=kx+b的图象是一条直线,我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx
平移|b|个单位长度得到.(当b>0时,向上平移；当b<0时,向下平移)
注:鼓励学生用自己的语言说出,教师再完整出示.
巩固与应用
画出函数y=2x-1与y=-2x+1的图象.
思路1：由于一次函数的图象是直线,故选择其上合适两点即可画出.
思路2：先画直线y=2x与直线y=-2x,再平移它们,也能得到.
注:让学生说出你是怎么做的,再谈谈这个方法你是怎样想到的.
教科书例2、例3以及P.30 对性质的探究,所画的图象都互相独立,这样时间占用较多.
将例3稍作修改,既不影响例3本身的作用又可节约时间并使研究连成整体.
研究的深入
在上题的基础上,继续画出函数y=x+1,y=-x-1的图象,分析这些图象的特点,并由它们
联想：一次函数解析式y=kx+b(k,b是常数,k≠0)中,k的正负对函数图象有什么影响?
注:鼓励学生用自己的语言说出,教师引导学生归纳与概括从而形成一次函数的性质：
当k>0时,y随x的增大而增大；当k<0时,y随x的增大而减小.
回顾与反思
在本节课中,我们经历了怎样的过程?有怎样的收获?
1.一次函数的图象与性质,常数k,b的意义和作用；
2.数形结合的思想与方法；
3.进一步体验研究函数的一般思路与方法.
对学习过程与结果的回顾
反思进一步加深对新知的理解与感悟,不同层次感悟的程度肯定不一样,但最基本的一
种感触应当让每个学生都达到.
布置作业：
必做题：教科书P.131 练习1、2、3题.
选做题：教科书P.135 习题11.2第4、8题.
教学反思
19.2.2一次函数(3)
教学目标
①了解待定系数法的思维方式与特点.明确两个条件确定一个一次函数、一个条件确定
一个正比例函数的基本事实.
②会根据所给信息用待定系数法求一次函数解析式,发展解决问题的能力.
③进一步体验并初步形成“数形结合”的思想方法.
教学重点与难点
重点：根据所给信息确定一次函数的表达式.
难点：培养数形结合解决问题的能力.
教学设计
复习与反思
1.复习：画出函数y= x与y=3x-1的图象
2.反思：你在作这两个函数图象时,分别描了几个点?你为何选取这几个点?可以有不同取法吗?
注:前面学习中是通过描点法画出一次函数的图象,发现它们的特点与性质.再利用发现
的结论形成图象的简便画法.此处则是对简便画法本身的进一步反思,从而初步感知基本量,
为待定系数法思想的形成做好准备.
3.引入：在上节课中我们学习了在给定一次函数表达式的前提下,我们可以说出它的图
象特征及有关性质；反之,如果给你信息,你能否求出函数的表达式呢?这将是本节课我们要
研究的问题.
提出问题、形成思路
1.求下图中直线的函数表达式：
图1 图2
注:在前面学习中,学生都是先有解析式(数),再由数出发探求.这里反过来,是先有图再
探求数,是一种思维的逆向.
2.分析与思考：根据原有经验,图1的解析式学生可凭经验与直觉答出.但图2的解析式凭直觉不易得
出.应引导学生进行理性思考.
注:给学生充分的时间进行分析与思考,体现课堂的动态生成与灵动.经历从直觉经验到
理性思考的过程,也促进学生体会数学学习的特点与魅力.
从图象知,图1中直线的函数是正比例函数,故其解析式必为y=kx+b形式,关键是如何
求出k的值；同样由图可知图象经过点(1,2),所以该点坐标必适合解析式,将坐标代入y=kx
即可求出k的值.
图2中直线的函数是一次函数,故其解析式为y=kx+b形式,同样代入直线上两点(2,0)
与(0,3)即可求出k、b,确定解析式.
注:教学时,应让学生充分表达自己的想法,并在讨论交流中清晰思路.
3.反思小结：确定正比例函数的表达式需要1个条件,
确定一次函数的表达式需要2个条件.
初步应用、感悟新知
1.例题：已知一次函数的图象经过点(3,5)与(-4,-9).求这个一次函数的解析式.
注:在前面形成思路的基础上,此题的解答应突出解题过程的完整.教师应作好板演示范.
这个问题涉及数学对象的一个本质概念－－基本量.鼓励学生做这样的思考,有助于增
强其对数学对象的理解.
与前面的例子相比，从直观的图形信息到文字形式展示,本质上是一样的,更突出2个基
本量的事实.适时进行规范解题过程的示范是必要的.
2.回顾并介绍：像这样先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而
具体写出这个式子的方法,叫做待定系数法.
3.反思体会：在前面的学习过程中我们发现数与形之间是怎样结合互化的.
对数←→形基本状态的概括整理,使原有认知清晰化、结构化.
综合运用
1.写出两个一次函数,使它们的图象都经过点(-2,3).
2.生物学家研究表明,某种蛇的长度y(cm)是其尾长x(cm)的一次函数,当蛇的尾长为
6cm时,蛇长为45.5cm；当尾长为14cm时,蛇长为105.5cm.当一条蛇的尾长为10cm时,这条
蛇的长度是多少?
注:在分析解决问题中巩固加深已有知识与经验,发展解决问题的能力.
4道题目可视学生情况机动处理,着眼于学生的发展,体现教学的层次性.第1、2两题当
堂解决,由学生完成；下面3、4两题可视教学情况灵活处理(比如作为选做题).
3.教科书P.35 第6题：一个一次函数的图象是经过原点的直线,并且这条直线过第四
象限及点(2,-3a)与点(a,-6),求这个函数的解析式.
4.小明将父母给的零用钱按每月相等的数额存放在储蓄盒内,准备捐给希望工程,盒内
钱数y(元)与存钱月数x(月)之间的关系如图所示,根据下图回答下列问题：
①求出y关于x的函数解析式.②根据关系式计算,小明经过几个月才能存够200元?
回顾反思
1.用待定系数法求函数解析式的一般步骤(过程)
2.数形结合解决问题的一般思路.
作业
1.必做题：教科书P.132 练习1、2,135页习题11.2第5题
2.选做题：教科书P.135 第7题.
教学反思
19.2.2一次函数(4)
教学目标
①了解分段函数的特点,会根据题意求出分段函数的解析式并画出函数图象.
②在涉及多变量的问题的解决中,能合理选择某个变量作为自变量,然后根据问题条件
寻求可以反映实际问题的函数.
③能利用一次函数及其图象解决简单的实际问题,发展学生的数学应用能力.
④体会并感知数学建模的一般思想.
教学重点与难点
重点：分段函数的初步认识与简单多变量问题的解决.
难点：对数学建模的过程、思想、方法的领会,提升分析解决问题的能力.
教学准备
教师准备：多媒体课件.
学生准备：作图工具、方格子纸.
教学设计
1．复习：在课本“11.1.3函数的图象”的学习中,我们
曾学习了类似于下图的图象.
2.激疑：上图的图象所表示的函数是正比例函数吗?是一次函数吗?你是怎样认为的?
注:在前面函数图象的学习中,学生已接触了此类图象并能根据图象信息回答相应的问
题.但在学生的印象中这个图只是表明了两个变量间的一种变化关系,是一种函数关系,而不
知是什么类型的函数.在熟悉又陌生的事物面前,学生的思想被激发了.
学生可以从图象的特征,函数的性质等多方面进行讨论,教师先不必给出明确的判断,而
是引导学生继续思考下面的问题.
探求新知
1.问题：小芳以200米/分钟的速度起跑后,先匀加速跑5分钟,又匀速跑10分钟.请写
出这段时间里她的跑步速度y(米/分钟)随跑步时间x(分钟)变化的函数关系式.
注:让学生通过讲述暴露其思维过程,有利于理清学生的思路.
建议先让学生思考后再让学生发言,对于有补充或不同意见的学生都让其充分发表意见.
应当鼓励学生说出自己的思考过程(即你是怎样想的).
然 后 由 一 位 学 生 上 前 写 出 函 数 关 系 式 , 再 分 析 其 写
法的准确性.归纳此类函数解析式的特征与写法,并强调自变量取值范围应当写在相应函数解析式的
后面.
突出写法的规范性,这是需要强调的基本功,应当落实到位.同时使学生初步从数的角度
感受此类函数的特征.
2.请画出上述函数的图象.
建议通过投影仪将学生的成果展示评判,首先引导学生分析所画的图象是否正确,再引
导学生分析图象的特点,并在与正比例函数、一次函数图象的比较中加深理解其特征.
注:从数与形的角度全面感受分段函数的特点,并在与正比例函数、一次函数的比较中
加深理解,完善认知.
3.得出分段函数的概念.
我们称此类函数为分段函数.开始时引入图象所表示的函数是分段函数吗?你能写出它
的解析式吗?说说你的
做法.
注:可视学生情况当堂解决或统一解题思路后课外解答.
在获取新知的基础上,回过来解决开头引入的问题,进一步享受学习的成功.
问题解决
1.提出问题：A城有肥料200吨,B城有肥料300吨,现要把这些肥料全部运往C、D两乡.
从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨20元和25元；从B城往C、D两乡运肥料的费用
分别为每吨15元和24元,现C乡需要肥料240吨,D乡需要肥料260吨,怎样调运可使总运
费最小?
2.分析思考：影响总运费的变量有哪些?由A、B城分别运往C、D乡的肥料量共有几个量?
这些量之间有什么关系?
在分析题意的过程中,学生发现由A、B城分别运往C、D乡的肥料量共有4个量,它们都
影响这总运费,同时,它们之间又是互相联系的.由于有七年级方程(组)以及不等式解决实际
问题的经验,可以引导学生列表以分清各变量之间的关系.
3.解决问题：
师生共作,完成解题.可从解析式与图象中看出结果,结合函数性质进行理性思考.
4.回顾反思：
解决含有多个变量的问题时,可以分析这些变量间的关系,选取其中某个变量作为自变
量,然后根据问题中的条件寻求可以反映实际问题的函数.
如果已知总运费的数目,求调运方案,则是学生学过的方程知识可以解决的,学生有这样
的解题经验.如果是已知总运费的最大值,则用不等式知识可以解决.如果已知其中A—C的
运量,则正向思维即可求总运费,这是算术思想就可以解决的.而此题是在变化情景中探求,
突出变量数学的特征,此时亦可使学生初步感受函数方法与前述方法的联系,为下一单元用
函数观点看方程与不等式埋下伏笔.这些感受可以在分析思考或回顾反思中视情况渗透.
拓展与思考
拓展：若A城有肥料300吨,B城有肥料200吨,其他条件不变,又应怎样调运?
由学生用同样思路建立模型：
设总运费为y元,A城运往C乡的肥料量为x吨.可得：y=4x+10140(40≤x≤240)
在讨论分析中得出结论,从解析式与图象以及函数性质可以看出：当x=40时,y有最小
值10300.
思考：在上题的解决中,你认为在解决此类问题时需要注意哪些方面?
变式运用,可以巩固初学的知识与方法,加深领会.此变式初看是题变方法不变,似乎简
单.可深入后又发现不变中又有变,从而加深对此类问题求解的感悟,明白自变量取值范围的重要性,以及解题的关键是在一般策略下具体问题具体分析,而非死记硬套.从而也有效促进
其认知监控水平的提高.
布置作业
1.必做题：教科书P.134 练习、P.135 习题11.2第1～9题.
2.选做题：教科书P.136 习题11.2第11、12题.
教学反思
19.3.1一次函数与一元一次方程
教学目标
①理解一次函数与一元一次方程的关系,会根据一次函数的图象解决一元一次方程的求
解问题.
②学习用函数的观点看待方程的方法,初步感受用全面的观点处理局部问题的思想.
③经历方程与函数关系问题的探究过程,学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想.
教学重点与难点
重点：一次函数与一元一次方程的关系的理解.
难点：一次函数与一元一次方程的关系的理解.
教学设计
导语
前面我们学习了一次函数.实际上,一次函数是两个变量之间符合一定关系的一种互相
对应,互相依存.它与我们七年级学过的一元一次方程,一元一次不等式,二元一次方程组有
着必然的联系.这节课开始,我们就学着用函数的观点去看待方程(组)与不等式,并充分利用
函数图象的直观性,形象地看待方程(组)不等式的求解问题.这是我们学习数学的一种很好
的思想方法.
注:点明学习本节内容的必要性：(1)函数与方程、方程组、不等式有着必然的联系；(2)
用函数的观点看待方程、方程组、不等式是我们学数学应该掌握的思想方法.给学生一个本
节内容的大致框架.
引入新课
我们先来看下面的两个问题有什么关系：
(1)解方程2x+20=0.
(2)当自变量为何值时,函数y=2x+20的值为零?
问题：
①对于2x+20=0和y=2x+20,从形式上看,有什么相同和不同的地方?
②从问题本质上看,(1)和(2)有什么关系?
③作出直线y=2x+20(建议课前作出,以免影响本节课主题),看看(1)与(2)是怎么样的
一种关系?
注:用具体问题作对比,帮助学生理解.
在学生议论的基础上,教师结合教科书38页揭示：(1)与(2)实际上是同一个问题.
探讨归纳
从前面的讨论我们可以看到：一个一元一次方程的求解问题,可以与解某个相应的一次函数问题相一致.你认为在一般情况下,怎样的解一元一次方程问题与怎样的一次函数问题
是同一的?
学生小组讨论(鼓励学生用自己的语言说明为什么同一?图象上怎么看?函数方程形式上
怎么看?)
师生共同归纳(教科书39页)(略)
让学生在探究过程中理解两个问题的同一性.
练习巩固
1.以下的一元一次方程问题与一次函数问题是同一个问题
序号 一元一次方程问题 一次函数问题
1 解方程3x-2=0 当x为何值时,y=3x-2的值为O?
2 解方程8x+3=0
3 当x为何值时,y=-7x+2的值为O?
4
解：(略)
注：第4题为开放题,鼓励学生有自己的想法与见解.如“解方程3x+5=8”与“当x为
何值时,函数y=3x+5的值为8”是同一个问题等等
2.根据下列图象,你能说出哪些一元一次方程的解?并直接写出相应方程的解?
解：5x=0的解是x=0；x+2=0的解是x=-2；-3x+6=0的解是x=2；
由图象可得函数关系式是y=x-1,从而得出x-1=0的解是x=1.注:此处练习为补充.可以帮助学生在积累了一些理性认识的基础上,增加更多的形象
了解.
综合应用教科书P.139 例1(略)
对于解法2,还可以拓展成：对于函数y=2x+5,当y=17时,求x的值.鼓励学生进一步思
考.
注:例1可看成是一次函数与一元一次方程关系的一个直接应用.
归纳提高
框图化小结：
从数的角度看：
求ax+b=0(a≠O)的解 x为何值时y=ax+b的值为0
从形的角度看：
求ax+b=0(a≠0)的解 确定直线y=ax+b与x轴的横坐标
从数和形两方面总结,帮助学生建立数形结合的观念.
布置作业
教科书P.145 习题11.3第1、2题.
教学反思
[来源:Z_xx_k.Com]
19.3.2一次函数与一元一次不等式
教学目标
① 理解一次函数与一元一次不等式的关系,会根据一次函数的图象解决一元一次不等
式的求解问题.
②学习用函数的观点看待不等式的方法,初步形成用全面的观点处理局部问题的思想.
③ 经 历 不 等 式 与 函 数 关 系 问 题 的
探究过程,学习用联系的观
点看待数学问题的辩证思想.
教学重点与难点
重点：一次函数与一元一次不等式的关系的理解.
难点：利用一次函数图象确定一元一次不等式的解集.
教学设计
复习引新
通过上节课的学习,我们已经知道,“解一元一次方程 ax+b=0”与“求当 x为何值
时,y=ax+b的值为0”是同一个问题.现在我们来看看：
(1)以下两个问题是不是同一个问题?
①解不等式：2x-4>0
②当x为何值时,函数y=2x-4的值大于0?
此处对教科书上引例稍作改变,让学生顺着上节课的思维,用类似的观点处理不等式问
题.
(2)你如何利用图象来说明②?(师生对以上两个问题一起议论,一起得出结论)
注:当y取值从上节课的等于0变成了这节课的大于0,相应的x值也由一个定值变成一个范围；如何在图象上看,对学生来说需要思维的跳跃.
(3)“解不等式2x-4<0”可以与怎样的一次函数问题是同一的?怎样在图象上加以说明?
这里安排(3)是及时巩固,使学生对y0或ax+b<0的形式,所以解一元一次不等
式可以看作：当一次函数y=ax+b的值大(小)于0时,求自变量相应的取值范围.
新知应用
1.根据下列一次函数的图象,你能求出哪些不等式的解集?并直接写出相应不等式的解
集.
(1) (2)(对每一题都能写出四种情况(>0,<0,≥0,≤O),
让学生在充分理解的基础上写出对应的x的取值范围.先小组内交流,然后反馈矫正.
注:此处练习为补充.在没有涉及完整的图象法解一元一次不等式以前设计这样的练习,
使画图象这一已会的过程暂时忽略,突出函数与不等式关系这一重点.同时进一步熟悉利用
图象确定解集的方法.
解：
(1)(略)
(2)由图象可以得出：
-x+3>0的解集是x<3；-x+3<0的解集是x>3；
-x+3≥0的解集是x≤3；-x+3≤0的解是x≥3
2.如上图,利用y=- x+5的图象,
(1)求出- x+5=0的解；
(2)求出- x+5>0的解集；
(3)求出- x+5≤0的解集
(4)你能求出- x+5>3的解集吗?
(5)你还能求出哪些不等式的解集呢?
解：(略)
注:第2题同样是突出本节课重点内容的一种设计.(4)(5)小题为拓展开放.
小结反思
通过以上的分析和练习,我们知道,对于一般的一元一次不等式ax+6>0,它与一次函数
的求值、利用图象分析数量关系等问题关系很密切.具体见如下框图：
从数的角度看：求ax+b>0(a≠0)的解 x为何值时y=ax+b的值大于0
从形的角度看：
求ax+b>0(a≠0)的解 确定直线y=ax+b在x轴上方的图象所对应的x值
对于<0、≥0、≤0的情况,让学生自己口述,使其真正理解.
注:数形结合,揭示本质.
此处归纳放在教科书P.41例2讲解以前,可以居高临下地看待具体问题的求解,特别是
对该题解法2的理解.
例题讲解
教科书P.41 例2(略)
注:例题讲解重思 路和
步骤分析
解法1：
分析：将不等式转化为一般形式,再画出对应的一次函数的图象,就是我们已会的求解
了.
(解答过程见教科书)
解法2：
分析：
(1)如果不将原不等式转化,能否用图象法解决呢?
(2)不等式两边都是一次函数的表达式,因而实际上是比较两个一次函数在x取相同值
时谁大的问题.
(3)如何在图象上比较两个一次函数的大小呢?
(4)如何确定不等式的解集呢?
(解答过程见教科书)
归纳(见教科书P.41 )
注:点明图象法解方程、不等式既是需要,也很便利.
教师补充归纳：当画图象成为一种自觉,成为一种习惯的时候,用图象法解方程,解不等
式就很直观、形象,而且对于数学的后续学习很重要.实际上,计算机完全可以代替手工绘制
图象,只要输入一个解析式,就可出来一个精确的图象.
巩固练习
教科书P.142 练习第1、2题.
注:学生独立完成,及时巩固.
布置作业
1.必做题
教科书P.145 习题11.3第3、4题.
教学反思
19.3.3一次函数与二元一次方程(组)
教学目标
①理解一次函数与二元一次方程组的关系,会用图象法解二元一次方程组；②学习用函数的观点看待方程组的方法,进一步感受数形结合的思想方法；
③经历图象法解方程组的探究过程,学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想.
教学重点与难点
重点：二元一次方程组的解与两直线交点坐标之间的对应关系的理解.
难点：对应关系的理解及实际问题的探究建模.
教学设计
复习引新
我们已经学会了如何求一个二元一次方程组的解的方法,比如可以用代入法,也可以用
加减法.我们如何用函数的观点去看待方程组的解呢?
首先,任何一个方程组都可以看成是两个一次函数的组合.比如 可化
为 ①
对于①,根据方程组解的意义和函数的观点,就是求当x取什么数值时,两个一次函数的
y值相等?它反映在图象上,就是求直线y=- x+ 和直线y=2x-1的交点坐标.
七年级下学期学习二元一次方程组时,有一个数学活动,就谈到了,求方程组的解就是求
两条直线的交点坐标.
注:有了前面两节课初步形成的函数观点,以及七年级下学期数学活动的初步接触,此处
直接引入结论,学生应该能接受.可以为例3这样的实际问题留下比较充裕的探究时间.
补充例题
1.根据下列图象,你能说出哪些方程组的解?这些解是什么?(1) (2) (3)
注:此题忽略解方程组与画图象这些已会环节,让学生直观感受本节课的主题.
2.利用函数图象解方程组：
分析：此题为图象法解方程组.让学生感受解法的全过程.
解：由2x-y=0可得y=2x;由3x+2y=7可得y=- x+
在同一直角坐标系内作出一次函数y=2x的图象l 和y=- x+
1
的图象l,如右图所示.(建议课前作好图象,节省课内时间)
2
观察右图,得l 和l 的交点为(1,2)
1 2
所以方程组 的解为 .
3.求直线y=3x+9与直线y=2x-7的交点坐标.你有哪些方法?与同伴交流,并一起分析各
种方法的利弊.解法思路1：画出图象找出交点,确定交点坐标近似值.
(由于两直线斜率接近,交点的确定,因作图误差可能有较大差别)
解法思路2：由解方程组,得到交点坐标.(把形的问题归结为数的解决,便捷准确)
(解答过程略)
注:此题是让学生进一步体会数与形的统一和数形的优势利用.
三道补充例题的选配层次依次是：突出关键,规范示例,灵活运用.
归纳小结
(1)对应关系
二元一次方程组的解 两个一次函数图象的交点坐标
点明一次函数与二元一次方程组的关系的本质.
(2)图象法解方程组的步骤：
①将方程组中各方程化为y=ax+b的形式；
②画出各个一次函数的图象；
③由交点坐标得出方程组的解.
注:概括图象法解方程组的步骤.
例题讲解
教科书P.143 例3
按照教科书分析讲解解法1、解法2.讲解时要注意让学生有主动参与、充分发表意见的
时间与空间.
(例3不仅仅是一次函数与二元一次方程组的关系的应用,而且涉及到数学建模及一次
函数与方程不等式之间的关系等问题.实际上是11.3内容的集中体现,是本大节内容的综合
应用)
巩固练习
(1)利用函数图象解方程组
(2)教科书P.145 练习
注:(1)为补充,使学生对图象法解方程组能规范的运用.
布置作业
教科书P.145 习题11.3第5、6、9题.
教学反思
一次函数复习练习
(时间：45分钟，满分100分)
一、填空题(每小题5分，共25分)：
1.若函数 是正比例函数，则常数m的值是_____________.
(此题意在考查正比例函数的概念.）
2.已知一次函数y=kx-2，请你补充一个条件______________，使y随x的增大而减小.
(此题意在考查一次函数的性质.)
3.从A地向B地打长途电话，按时收费，3分钟内收费2.4元，以后每超过1分钟加收1元，若
通话t分钟(t≥3)，则需付电话费y(元)与t(分钟)之间的函数关系式是________.
(此题意在考查实际问题中建立一次函数模型.)
4.某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，某市居民每月交水费y(元)与水量x(吨)的函数关系如图所示，
请 你 通 过 观 察 函 数 图 象 ， 回 答 自 来 水 公 司 收 费
标准：若用水不超过5吨，水费为_______元/吨；若用水超过5
吨，超过部分的水费为_______元/吨.
(此题意在考查阅读图象，捕捉、转译信息的能力.)
5.学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐
6人，如图所示.
………
请你结合这个规律，填写下表：
拼成一行的桌子数 1 2 3 4 …… n
人 数 4 6 8 ……
（此题意在考查观察、猜想、归纳、建模(一次函数)能力.）
二、选择题(每小题5分，共25分)：
6.下列各曲线中不能表示y是x的函数是( ).(此题意在考查函数的概念.)
7.若点A(2，4)在函数y=kx-2的图象上，则下列各点在此函数图象上的是( )
(A)(0,-2) (B) ( ,0) (C) (8,20) (D) ( , )
(此题意在考查函数图象与其解析式的关系.)
8.右图是温度计的示意图，左边的刻度表示摄氏温度，右边的刻度
表示华氏温度，华氏(°F)温度.y与摄氏温度(℃)x之间的函数
关系式为( )
(A)y= x+32 (B)y=x+40 (C)y= +32 (D)y= x+31(此题意在考查学生的观察、建模能力.)
9.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，
当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚，乌龟先到达了终点.用
S ，S 分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图象中与故事相吻合的是(
1 2
)(A) (B) (C) (D)
(此题意在考查学生的识图能力.)
10.如图：OB、AB分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数 图象，
图中s和t分别表示运动路程和时间，已知、甲的速度比乙快，
下列说法：①射线AB表示甲的路程与时间的函数关系；②甲的
速度比乙快1.5米/秒；③甲让乙先跑了12米；④8秒钟后，甲
超过了乙，其中正确的说法是( )
(A)①② (B)②③④ (C)②③ (D)①③④
(此题意在考查“数形结合”这一数学思想方法.)
三、解答题(此大题满分50分)：
11.(8分)已知一次函数图象经过(3,5)和(-4,-9)两点，
(1)求此一次函数解析式；(2)若点(a,2)在函数图象上，求a的值.
(此题意在考查待定系数法.)
12.(8分)画出函数y=2x+6的图象，利用图象：
(1)求方程2x+6=0的解；
(2)求不等式2x+6>0的解；
(3)若-1≤y≤3，求x的取值范围.
(此题意在考查一次函数与一元一次方程和一元一次不等式(组).)
13.(10分)小强骑自行车去郊游，右图表示他离家的
距离.y(千米)与所用的时间t(小时)之间关系的
函数图象，小明9点离开家，15点回家，
根据这个图象，请你回答下列问题：
(1)小强到离家最远的地方需几小时?此时离家多远?
(2)何时开始第一次休息?休息时间多长?
(3)小强何时距家21km?(写出计算过程)
(此题意在考查学生利用函数图象解决实际问题的能
力及识图能力.)
14.(12分)网络时代的到来，很多家庭都接入了网络，电信局规定了拨号入网两种收费方式，
用户可以任选其一：
A：计时制：O.05元/分； B：全月制：54元/月(限一部个人住宅电话入网).此外B种上网方式要加收通信费0.02元/分.
(1)某用户某月上网的时间为x小时，两种收费方式的费用分别为y(元)、y(元)，写出
1 2
y、y 与x之间的函数关系式.
1 2
(2)在上网时间相同的条件下，请你帮该用户选择哪种方式上网更省钱?
(此题意在考查一次函数与二元一次方程组.)
15.(12分)某服装厂现有A种布料70m，B种布料52m，现计划用这两种布料生产M、N两种型
号的时装80套.已知做一套M型号的时装需要A种布料0.6m，B种布料O.9m，可获利45
元，做一套N型号的时装需要A种布料1.1m，B种布料0.4m，可获利50元.若设生产N型
号的时装套数为x，用这批布料生产这两种型号的时装所获的总利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)该服装厂在生产这批时装中，当生产N型号的时装多少套时，所获利润最大?最大利
润是多少?
(此题意在考查一次函数在解最大(小)值问题中的应用.)
四、附加题(此大题满分20分)：
16.如图，直线y=kx+6与x轴y轴分别交于点E，F.点E的坐
标为(-8，0)，点A的坐标为(-6，0).
(1)求k的值；
(2)若点P(x，y)是第二象限内的直线上的一个动点，当
点P运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数
关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)探究：当P运动到什么位置时，△OPA的面积为 ，并说明理由.
(此题意在考查数形结合能力及坐标几何问题的综合应用.)
教学反思
第二十章数据的分析
20.1数据的代表
20.1.1平均数（第一课时）
一、教学目标：
1、使学生理解数据的权和加权平均数的概念
2、使学生掌握加权平均数的计算方法
3、通过本节课的学习，还应使学生理解平均数在数据统计中的意义和作用：描述
一组数据集中趋势的特征数字，是反映一组数据平均水平的特征数。
二、重点、难点和难点突破的方法：
1、重点：会求加权平均数
2、难点：对“权”的理解
三、例习题意图分析
1、教材P136的问题及讨论栏目在教学中起到的作用。（1）、这个问题的设计和讨论栏目在此处安排最直接和最重要的目的是想引
出权的概念和加权平均数的计算公式。
（2）、这个讨论栏目中的错误解法是初学者常见的思维方式，也是已学者易犯
的错误。在这里安排讨论很得当，起揭示思维误区，警示学生、加深认识的作用。
（3）、客观上，教材P136的问题是一个实际问题，它照应了本节的前言——将
在实际问题情境中，进一步探讨它们的统计意义，体会它们在解决实际问题中的
作用，揭示了统计知识在解决实际问题中的重要作用。
（4）、P137的云朵其实是复习平均数定义，小方块则强调了权意义。
2、教材P137例1的作用如下：
（1）、解决例1要用到加权平均数公式，所以说它最直接、最重要的目的是及
时复习巩固公式，并且举例说明了公式用法和解题书写格式，给学生以示范和模
仿。
（2）、这里的权没有直接给出数量，而是以比的形式出现，为加深学生对权的
意义的理解。
（3）、两个问题中的权数各不相同，直接导致结果有所不同，这既体现了权数
在求加权平均数的作用，又反映了应用统计知识解决实际问题时要灵活、体现知
识要活学活用。
3、教材P138例2的作用如下：
（1）、这个例题再次将加权平均数的计算公式得以及时巩固，让学生熟悉公式
的使用和书写步骤。
（2）、例2与例1的区别主要在于权的形式又有变化，以百分数的形式出现，
升华了学生对权的意义的理解。
（3）、它也充分体现了统计知识在实际生活中的广泛应用。
四、课堂引入：
1、若不选择教材中的引入问题，也可以替换成更贴近学生学习生活中的实例，下
举一例可供借鉴参考。
某校初二年级共有4个班，在一次数学考试中参考人数和成绩如下：
班级 1班 2班 3班 4班
参 考 人 40 42 45 32
数
平 均 成 80 81 82 79
绩
求该校初二年级在这次数学考试中的平均成绩？下述计算方法是否合理？为什
么？
= （79+80+81+82）=80.5
五、例习题分析：
例1和例2均为计算数据加权平均数型问题，因为是初学尤其之前与平均数
计算公式已经作过比较，所以这里应该让学生搞明白问题中是否有权数，即是选
择普通的平均数计算还是加权平均数计算，其次若用加权平均数计算，权数又分
别是多少？例2的题意理解很重要，一定要让学生体会好这里的几个百分数在总
成绩中的作用，它们的作用与权的意义相符，实际上这几个百分数分别表示几项
成绩的权。
六、随堂练习：1、老师在计算学期总平均分的时候按如下标准:作业占100%、测验占30%、期中
占35%、期末考试占35%，小关和小兵的成绩如下表：
学生 作业 测验 期 中 考 期 末 考
试 试
小关 80 75 71 88
小兵 76 80 68 90
2、为了鉴定某种灯泡的质量，对其中100只灯泡的使用寿命进行测量，结果如下
表：（单位：小时）
寿命 450 550 600 650 700
只数 20 10 30 15 25
求这些灯泡的平均使用寿命？
答案：1. =79.05 =80 2. =597.5
小时
七、课后练习：
1、在一个样本中，2出现了x 次，3出现了x 次，4出现了x 次，5出现了x 次，则
这个样本的平均数为 .
2、某人打靶，有a次打中 环，b次打中 环，则这个人平均每次中靶 环。
3、一家公司打算招聘一名部门经理，现对甲、乙两名应聘者从笔试、面试、实习成
绩三个方面表现进行评分，笔试占总成绩20%、面试占30%、实习成绩占50%，各
项成绩如表所示：
应聘者 笔试 面试 实习
甲 85 83 90
乙 80 85 92
试判断谁会被公司录取，为什么？
4、在一次英语口试中，已知50分1人、60分2人、70分5人、90分5人、100分1
人，其余为84分。已知该班平均成绩为80分，问该班有多少人？
答案：1. 2. 3. =86.9 =96.5
乙被录取 4. 39人
20.1数据的代表
20.1.1平均数（第二课时）
一、教学目标：
1、加深对加权平均数的理解
2、会根据频数分布表求加权平均数，从而解决一些实际问题
3、会用计算器求加权平均数的值
二、重点、难点和难点的突破方法：
1、重点：根据频数分布表求加权平均数
2、难点：根据频数分布表求加权平均数
三、例习题的意图分析
1、教材P140探究栏目的意图。（1）、主要是想引出根据频数分布表求加权平均数近似值的计算方法。
（2）、加深了对“权”意义的理解:当利用组中值近似取代替一组数据中的平均
值时，频数恰好反映这组数据的轻重程度，即权。
这个探究栏目也可以帮助学生去回忆、复习七年级下的关于频数分布表的一
些内容，比如组、组中值及频数在表中的具体意义。
2、教材P140的思考的意图。
（1）、使学生通过思考这两个问题过程中体会利用统计知识可以解决生活中的
许多实际问题
（2）、帮助学生理解表中所表达出来的信息，培养学生分析数据的能力。
3、P141利用计算器计算平均值
这部分篇幅较小，与传统教材那种详细介绍计算器使用方法产生明显对比。
一则由于学校中学生使用计算器不同，其操作过程有差别亦不同，再者，各种计
算器的使用说明书都有详尽介绍，同时也说明在今后中考趋势仍是不允许使用计
算 器 。 所 以 本 节 课 的 重 点 内 容 不 是 利 用 计 算 器 求 加 权 平
均数，但是掌握其使用方
法确实可以运算变得简单。统计中一些数据较大、较多的计算也变得容易些了。
四、课堂引入
采用教材原有的引入问题，设计的几个问题如下：
（1）、请同学读P140探究问题，依据统计表可以读出哪些信息
（2）、这里的组中值指什么，它是怎样确定的？
（3）、第二组数据的频数5指什么呢？
（4）、如果每组数据在本组中分布较为均匀，比组数据的平均值和组中值有什么
关系。
五、随堂练习
1、某校为了了解学生作课外作业所用时间的情况，对学生作课外作业所用时间
进行调查，下表是该校初二某班50名学生某一天做数学课外作业所用时间的情
况统计表
（1）、第二组数据的组中值是多少？
[来源:Z&xx&k.Com]
（2）、求该班学生平均每天做数学作业所用时间
2、某班40名学生身高情况如下图，
请计算该班学生平均身高所用时间t(分钟) 人数 答案1.（1）.15. （2）28. 2. 165
0＜t≤10 4
七、课后练习：
0＜≤ 6 1、某公司有15名员工，他们所在的部门及相应
每人所创的年利润如下表
20＜t≤20 14
该公司每人所创年利润的平均数是多少万元？
30＜t≤40 13
2、下表是截至到2002年费尔兹奖得主获奖时
40＜t≤50 9
的年龄，根据表格中的信息计算获费尔兹奖得
50＜t≤60 4 主获奖时的平均年龄？
部门 A B C D E F G
人数 1 1 2 4 2 2 5
每人创得利 20 5 2.5 2 1.5 1.5 1.2
润
频数
年龄 频数
28≤X＜30 4 20
18
30≤X＜32 3
32≤X＜34 8 15
34≤X＜36 7 12
10
36≤X＜38 9 10
38≤X＜40 11 6
40≤X＜42 2 5 4
噪音/分贝
40 50 60 70 80 90
答案：1.约2.95万元 2.约29岁 3.60.54分贝20.1 数据的代表
20.1.2 中位数和众数（第一课时）
一、教学目标
1、认识中位数和众数，并会求出一组数据中的众数和中位数。
2、理解中位数和众数的意义和作用。它们也是数据代表，可以反映一定的数据信
息，帮助人们在实际问题中分析并做出决策。
3、会利用中位数、众数分析数据信息做出决策。
二、重点、难点和难点的突破方法：
1、重点：认识中位数、众数这两种数据代表
2、难点：利用中位数、众数分析数据信息做出决策。
三、例习题的意图分析
1、教材P143的例4的意图
（1）、这个问题的研究对象是一个样本，主要是反映了统计学中常用到一种解
决问题的方法：对于数据较多的研究对象，我们可以考察总体中的一个样本，然
后由样本的研究结论去估计总体的情况。
（2）、这个例题另一个意图是交待了当数据个数为偶数时，中位数的求法和解
题步骤。（因为在前面有介绍中位数求法，这里不再重述）
（3）、问题2显然反映学习中位数的意义：它可以估计一个数据占总体的相对
位置，说明中位数是统计学中的一个重要的数据代表。
（4）、这个例题再一次体现了统计学知识与实际生活是紧密联系的，所以应鼓
励学生学好这部分知识。
2、教材P145例5的意图
（1）、通过例5应使学生明白通常对待销售问题我们要研究的是众数，它代表
该型号的产品销售最好，以便给商家合理的建议。
（2）、例5也交待了众数的求法和解题步骤（由于求法在前面已介绍，这里不
再重述）
（3）、例5也反映了众数是数据代表的一种。
四、课堂引入
严格的讲教材本节课没有引入的问题，而是在复习和延伸中位数的定义过程
中拉开序幕的，本人很同意这种处理方式，教师可以一句话引入新课：前面已经
和同学们研究过了平均数的这个数据代表。它在分析数据过程中担当了重要的角
色，今天我们来共同研究和认识数据代表中的新成员——中位数和众数，看看它
们在分析数据过程中又起到怎样的作用。
五、例习题的分析
教材P144例4，从所给的数据可以看到并没有按照从小到大（或从大到小）的
顺序排列。因此，首先应将数据重新排列，通过观察会发现共有12个数据，偶数
个可以取中间的两个数据146、148，求其平均值，便可得这组数据的中位数。
教材P145例5，由表中第二行可以查到23.5号鞋的频数最大，因此这组数据
的众数可以得到，所提的建议应围绕利于商家获得较大利润提出。
六、随堂练习
1某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的销售金额，统计了
这15个人的销售量如下（单位：件）
1800、510、250、250、210、250、210、210、150、210、150、120、120、210、150
求这15个销售员该月销量的中位数和众数。假设销售部负责人把每位营销员的月销售定额定为320件，你认为合理吗？如果
不合理，请你制定一个合理的销售定额并说明理由。
2、某商店3、4月份出售某一品牌各种规格的空调，销售台数如表所示：
规格 1匹 1.2 1.5 2匹
匹 匹
台数
月份
3月 12 20 8台 4台
台 台
4月 16 30 14 8台
台 台 台
根据表格回答问题：
商店出售的各种规格空调中，众数是多少？
假如你是经理，现要进货，6月份在有限的资金下进货单位将如何决定？
答案：1. （1）210件、210件 （2）不合理。因为15人中有13人的销售额达不到
320件（320虽是原始数据的平均数，却不能反映营销人员的一般水平），销售额
定为210件合适，因为它既是中位数又是众数，是大部分人能达到的额定。
2. （1）1.2匹 （2）通过观察可知1.2匹的销售最大，所以要多进1.2匹，由于
资金有限就要少进2匹空调。
七、课后练习
1. 数据8、9、9、8、10、8、99、8、10、7、9、9、8的中位数是 ，众数是
2. 一组数据23、27、20、18、X、12，它的中位数是21，则X的值是 .
3. 数据92、96、98、100、X的众数是96，则其中位数和平均数分别是（ ）
A.97、96 B.96、96.4 C.96、97 D.98、97
4. 如果在一组数据中，23、25、28、22出现的次数依次为2、5、3、4次，并且没有
其他的数据，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A.24、25 B.23、24 C.25、25 D.23、25
5. 随机抽取我市一年（按365天计）中的30天平均气温状况如下表：
温 度 -8 -1 7 15 21 24 30
（℃）
天数 3 5 5 7 6 2 2
请你根据上述数据回答问题：
（1）.该组数据的中位数是什么？
（2）.若当气温在18℃~25℃为市民“满意温度”，则我市一年中达到市民“满意
温度”的大约有多少天？
答案：1. 9；2. 22； 3.B；4.C； 5.（1）15. （2）约97天
20.1.2 中位数和众数（第二课时）
一、教学目标：
1、进一步认识平均数、众数、中位数都是数据的代表。
2、通过本节课的学习还应了解平均数、中位数、众数在描述数据时的差异。
3、能灵活应用这三个数据代表解决实际问题。二、重点、难点和突破难点的方法
1、重点：了解平均数、中位数、众数之间的差异。
2、难点：灵活运用这三个数据代表解决问题。
较多的一种量。另外要注意：
平均数计算要用到所有的数据，它能够充分利用所有的数据信息，但它受极
端值的影响较大.
众数是当一组数据中某一数据重复出现较多时，人们往往关心的一个量，众
数不受极端值的影响，这是它的一个优势，中位数的计算很少也不受极端值的影
响.
平均数的大小与一组数据中的每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会
相应引起平均数的变动.
中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位
数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中，当一组数据中的个别数据变
动较大时，可用中位数描述其趋势.
三、例习题的意图分析：
教材P146例6的意图
（1）、这是在学习过数据的收集、整理、描述与分析之后涉及到这四个环节的
一个例题，从分析和解答过程来看它交待了该如何完整的进行这几个过程，为该
怎样综合运用已学的统计知识解决实际问题作了一个标准范例。教师在授课过程
中也应注意，对已学知识的巩固复习。
（2）、从分析和解答过程来看，此例题的一个主要意图是区分平均数、众数和
中位数这三个数据代表的异同。
（3）、由例题中（2）问和（3）问的不同，导致结果的不同，其目的是
告诉学生应该根据题目
具体要求来灵活运用三个数据代表解决问题。
（4）、本例题也客观的反映了数学知识对生活实践的指导有重要的意义，也体
现了统计知识与生活实践是紧密联系的。
四、课堂引入：
本节课的课堂引入可以通过复习平均数、中位数和众数定义开始，为完成重
点、突破难点作好铺垫，没有必要牵强的加入一个生活实例作为引入问题。
五、例习题的分析：
例题6中第一问是在巩固平均数定义、中位数定义和众数的定义。可以引导
学生从问题中词语特点分析它们分别指哪个数据代表，教师也可以顺便加一个发
散性问题，一般地哪些词语是指平均数、中位数和众数呢？
例题6中的第二问学生一般不易想到，教师要将“较高目标”衡量标准引向三个
数据代表身上，这样学生就不难回答了。
第三问要抓住一半左右应与哪个数据代表的意义相符这个问题。即要很好的回答
第三问，学生头脑必须很清楚平均数、中位数、众数的特点。
六、随堂练习：
1、在一次环保知识竞赛中，某班50名学生成绩如下表所示：
得分 50 60 70 80 90 100 110 120
人数 2 3 6 14 15 5 4 1
分别求出这些学生成绩的众数、中位数和平均数.2、公园里有甲、乙两群游客正在做团体游戏，两群游客的年龄如下：（单位：岁）
甲群：13、13、14、15、15、15、16、17、17。
乙群：3、4、4、5、5、6、6、54、57。
（1）、甲群游客的平均年龄是 岁，中位数是 岁，众数是 岁，其中能
较好反映甲群游客年龄特征的是 。
（2）、乙群游客的平均年龄是 岁，中位数是 岁，众数是 岁。
其中能较好反映乙群游客年龄特征的是 。
答案：1. 众数90 中位数 85 平均数 84.6
2.（1）15、15、15、众数（2）.15、5.5、6、中位数
七、课后练习：
1、某公司的33名职工的月工资（以元为单位）如下：
职员 董事长 副 董 事 董事 总经理 经理 管理员 职员
长
人数 1 1 2 1 5 3 20
工资 5500 5000 3500 3000 2500 2000 1500
（1）、求该公司职员月工资的平均数、中位数、众数？
（2）、假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提
升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？（精确到元）
（3）、你认为应该使用平均数和中位数中哪一个来描述该公司职工的工资水平？
2、某公司有15名员工，它们所在的部门及相应每人所创的年利润如下表示：
部门 A B C D E F G
人数 1 1 2 4 2 2 3
每 人 所 20 5 2.5 2.1 1.5 1.5 1.2
创 的 年
利润
根据表中的信息填空：
（1） 该公司每人所创年利润的平均数是 万元。
（2） 该公司每人所创年利润的中位数是 万元。
（3） 你认为应该使用平均数和中位数中哪一个来描述该公司每人所创年利润
的一般水平？答
答案：1.（1）.2090 、500、1500
（2）.3288、1500、1500
（3）中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额
与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数
不能反映这个公司员工的工资水平。
2.（1）3.2万元 （2）2.1万元 （3）中位数
20.2
20.3 数据的波动
20.2.1极差
一、教学目标：1、理解极差的定义，知道极差是用来反映数据波动范围的一个量
2、会求一组数据的极差
二、重点、难点和难点的突破方法
1、重点：会求一组数据的极差
2、难点：本节课内容较容易接受，不存在难点。
三、例习题的意图分析
教材P151引例的意图
（1）、主要目的是用来引入极差概念的
（2）、可以说明极差在统计学家族的角色——反映数据波动范围的量
（3）、交待了求一组数据极差的方法。
四、课堂引入：
引入问题可以仍然采用教材上的“乌鲁木齐和广州的气温情”为了更加形
象直观一些的反映极差的意义，可以画出温度折线图，这样极差之所以用来反映
数据波动范围就不言而喻了。
五、例习题分析
本节课在教材中没有相应的例题，教材P152习题分析
问题1 可由极差计算公式直接得出，由于差值较大，结合本题背景可以说明该村
贫富差距较大。问题2 涉及前一个学期统计知识首先应回忆复习已学知识。问题
3答案并不唯一，合理即可。
六、随堂练习：
1、一组数据：473、865、368、774、539、474的极差是 ，一组数据1736、1350、-
2114、-1736的极差是 .
2、一组数据3、-1、0、2、X的极差是5，且X为自然数，则X= .
3、下列几个常见统计量中能够反映一组数据波动范围的是（ ）
A.平均数 B.中位数 C.众数 D.极差
4、一组数据X 、X …X 的极差是8，则另一组数据2X +1、2X +1…，2X +1的极
差是（ ）
A. 8 B.16 C.9 D.17
答案：1. 497、3850 2. 4 3. D 4.B
七、课后练习：
1、已知样本9.9、10.3、10.3、9.9、10.1，则样本极差是（ ）
A. 0.4 B.16 C.0.2 D.无法确定
在一次数学考试中，第一小组14名学生的成绩与全组平均分的差是2、3、-5、10、
12、8、2、-1、4、-10、-2、5、5、-5，那么这个小组的平均成绩是（ ）
A. 87 B. 83 C. 85 D无法确定
3、已知一组数据2.1、1.9、1.8、X、2.2的平均数为2，则极差是 。
4、若10个数的平均数是3，极差是4，则将这10个数都扩大10倍，则这组数据的
平均数是 ，极差是 。
5、某活动小组为使全小组成员的成绩都要达到优秀，打算实施“以优帮困”计
划，为此统计了上次测试各成员的成绩（单位：分）
90、95、87、92、63、54、82、76、55、100、45、80
计算这组数据的极差，这个极差说明什么问题？将数据适当分组，做出频率分布表和频数分布直方图。
答案：1.A ； 2.D ； 3. 0.4 ； 4.30、40. 5（1）极差55分，从极差可
以看出这个小组成员成绩优劣差距较大。（2）略
20.2.2 方差（第一课时）
一. 教学目标：
1. 了解方差的定义和计算公式。
2. 理解方差概念的产生和形成的过程。
3. 会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小。
二. 重点、难点和难点的突破方法：
1. 重点：方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题。
2. 难点：理解方差公式
三. 例习题的意图分析：
1. 教材P125的讨论问题的意图：
（1）.创设问题情境，引起学生的学习兴趣和好奇心。
（2）.为引入方差概念和方差计算公式作铺垫。
（3）.介绍了一种比较直观的衡量数据波动大小的方法——画折线法。
（4）.客观上反映了在解决某些实际问题时，求平均数或求极差等方法的局限性，
使学生体会到学习方差的意义和目的。
2. 教材P154例1的设计意图：
（1）.例1放在方差计算公式和利用方差衡量数据波动大小的规律之后，不言而喻
其主要目的是及时复习，巩固对方差公式的掌握。
（2）.例1的解题步骤也为学生做了一个示范，学生以后可以模仿例1的格式解决
其他类似的实际问题。
四.课堂引入：
除采用教材中的引例外，可以选择一些更时代气息、更有现实意义的引例。例如，通过学生观看2004年奥运会刘翔勇夺110米栏冠军的录像，进而引导教练
员根据平时比赛成绩选择参赛队员这样的实际问题上，这样引入自然而又真实，
学生也更感兴趣一些。
五. 例题的分析：
教材P154例1在分析过程中应抓住以下几点：
1. 题目中“整齐”的含义是什么？说明在这个问题中要研究一组数据的什么？
学生通过思考可以回答出整齐即波动小，所以要研究两组数据波动大小，这
一环节是明确题意。
2. 在求方差之前先要求哪个统计量，为什么？学生也可以得出先求平均数，因
为公式中需要平均值，这个问题可以使学生明确利用方差计算步骤。
3. 方差怎样去体现波动大小？
这一问题的提出主要复习巩固方差，反映数据波动大小的规律。
六. 随堂练习：
1. 从甲、乙两种农作物中各抽取1株苗，分别测得它的苗高如下：（单位：cm）
甲：9、10、11、12、7、13、10、8、12、8；
乙：8、13、12、11、10、12、7、7、9、11；
问：（1）哪种农作物的苗长的比较高？
（2）哪种农作物的苗长得比较整齐？
2. 段巍和金志强两人参加体育项目训练，近期的5次测试成绩如下表所示，谁的
成绩比较稳定？为什么？
测试次数 1 2 3 4 5
段巍 13 14 13 12 13
金志强 10 13 16 14 12
参考答案：1.（1）甲、乙两种农作物的苗平均高度相同；（2）甲整齐
2.段巍的成绩比金志强的成绩要稳定。
七. 课后练习：
1.已知一组数据为2、0、-1、3、-4，则这组数据的方差为 。
2.甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶10次，命中的环数如下：
甲：7、8、6、8、6、5、9、10、7、4
乙：9、5、7、8、7、6、8、6、7、7
经过计算，两人射击环数的平均数相同，但S S ，所以确定 去参
加比赛。
3. 甲、乙两台机床生产同种零件，10天出的次品分别是（ ）
甲：0、1、0、2、2、0、3、1、2、4
乙：2、3、1、2、0、2、1、1、2、1
分别计算出两个样本的平均数和方差，根据你的计算判断哪台机床的性能较好？
4. 小爽和小兵在10次百米跑步练习中成绩如表所示：（单位：秒）
小爽 10.8 10.9 11.0 10.7 11.1 11.1 10.8 11.0 10.7 10.9
小兵 10.9 10.9 10.8 10.8 11.0 10.9 10.8 11.1 10.9 10.8
如果根据这几次成绩选拔一人参加比赛，你会选谁呢？答案：1. 6 2. ＞、乙；3. =1.5、S =0.975、 ＝1. 5、S ＝0.425，乙机
床性能好
4. ＝10.9、S ＝0.02；
＝10.9、S ＝0.008
选择小兵参加比赛。
