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20.1 勾股定理及其应用（第 2 课时）
知识点1：勾股定理的简单应用
1. 如果一梯子底端离建筑物9 m远，那么15 m长的梯子可到达建筑物的高度是 m．
2．如图，这是我国海军某舰艇编队在南海开展实兵对抗的训练图，已知∠AOB=90°，红方战舰A在雷达
站O的北偏东60°方向，距离40n mile处，且红方战舰A与蓝方战舰B相距50n mile，则蓝方战舰B在雷
达站O的（ ）
A．南偏东30°方向，距离30n mile处 B．北偏东30°方向，距离30n mile处
C．南偏东60°方向，距离30n mile处 D．北偏东60°方向，距离30n mile处
3．如图，是一个可调节平板支架，其结构示意图如图所示，已知平板宽度AB为16cm，支架脚BC的长度为
12cm，当∠ABC=90°且CB平分∠ACD时，则点B到CD的距离是( )
A．8cm B．8.6cm C．9cm D．9.6cm
4．由平面镜成像可知物与像关于镜面成轴对称．如图，物体PQ平行镜面MN，点Q处恰好能从镜面点G处
看到点P,PQ=1.6m,PG=QG=2.4m，点P′是点P的像，则P与P′之间的距离为 ．
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
知识点2：勾股定理与方程思想
5．（湖北省孝感市汉川市2021—2022学年八年级下学期期中考试数学试题）我国古代数学著作《九章算
术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问
水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它
高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦
苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（ ）
A．x2+102=(x+1) 2 B．(x−1) 2+52=x2 C．x2+52=(x+1) 2 D．(x−1) 2+102=x2
6．《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木
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学科网（北京）股份有限公司柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：
绳索有多长？若设绳索长x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A．82+x2=(x−3)2 B．82+(x−3)2=x2 C．82+x2=(x+3)2 D．x2(x+3)2=x2
7．看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进
行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图 2，再将绳子
末端拉到距离旗杆6m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．
8．《九章算术》是我国古代数学代表作之一，书中记载：今有开门去阅（门槛）一尺，不合四寸，问门
广几何？其大意如下：如图2为图1的平面示意图，推开双门（大小相同），双门间隙CD=4寸，点C，点
D到门槛AB的距离CE=DF=1尺（1尺=10寸），求门槛AB的长．
知识点3：勾股定理与最短路径问题
9．如图所示的是两层台阶，每一层台阶都相同，数据如图（单位：cm），一只蚂
蚁沿台阶表面从点A出发爬到点 B，其爬行的最短线路的长度是（ ）
A．100cm B．120cm C．130cm D．150cm
10．如图是一个棱长为6cm的正方体的有盖纸盒，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒
顶的B点，其中BC＝2cm，那么蚂蚁爬行的最短行程是多少？
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学科网（北京）股份有限公司11．如图，甲，乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度向东北方向航行，乙船以每
小时15海里的速度沿着北偏东75°方向航行，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船在B处改
变航向，沿南偏东60°方向航行，结果甲，乙两船在小岛C处相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：
（结果保留根号）
(1)港口A与小岛C之间的距离；
(2)甲船从B处行至小岛C的速度．
12．（2025年宁夏中考数学试题）如图，在单位长度均为1cm的平面直角坐标系中，
放置一个圆柱形笔筒的展开图．其中，侧面展开图OABC的边OA,OC在坐标轴上，
点B坐标为(24,−10)．将一根长度为14.6cm的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的
最小长度是 cm(结果保留整数，π取3，壁厚忽略不计)．
13．如图1是一款礼盒的打开状态，测得中间正方形格子的边长为21cm，高为
8cm．图2是该礼盒打开状态的俯视图．若一只蚂蚁此时从该礼盒正方形格子外 部
的底面顶点A处，爬行到正方形格子内部底面的顶点B处（礼盒壁的厚度忽略不
计），则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A．29cm B．√882cm C．42cm D．
√1810cm
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