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2024-2025 学年八年级数学下学期期中专项卷
【压轴题篇】
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
考前须知：
1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。
2．测试范围：二次根式~平行四边形（人教版）。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。）
1．（3分）（2024春•硚口区期中）已知x+1=❑√5，则x3+3x2﹣2x+1的值是（ ）
A．❑√5 B．2❑√5 C．5 D．6
2．（3分）（2024春•武昌区期中）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，且满足AC2+BC2＝
2AD2，则下列四个结论：①AB=❑√2AD，②AD=(❑√2+1)BD，③CB＝CD，④BC=(❑√2−1)AC，
正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（3分）（2024春•江岸区期中）如图， ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，∠BAC＝30°，∠CAD
＝15°，AC=2❑√3+2，则BD的长为（ ）
▱
A．❑√6+❑√2 B．2❑√2 C．2❑√3 D．3❑√2
4．（3分）（2024春•武昌区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝25°，设AB＝m，AC＝n，用含
m，n的式子表示BC的长是（ ）n2−m2 2n2−m2
A． B．
m 2m
2n2−m2 2n2−m2
C． D．
n 3m
5．（3分）（2024春•洪山区期中）如图，E，F，P在正方形ABCD的边上，∠DAP＝15°，EF垂直平分AP
PN
交BD于N，则 的值为（ ）
BN
3
A．❑√2 B．❑√3 C． D．2
2
6．（3分）（2024春•东西湖区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC=❑√2，分别以AB，
AC，BC为边向△ABC外作正方形ABFG，正方形ACHM，正方形BCED．若直线ED、FG交于点N，过点
M作KQ∥DE交FG于点K，过点H作PQ∥FG与DE、KQ分别交于点P、Q．则四边形KQPN的面积为（
）
A．4❑√2+6 B．4❑√3+5 C．5❑√2+6 D．5❑√6
7．（3分）（2024春•江夏区期中）如图，点E是 ABCD内一点，且ED⊥CD，EB⊥CB，∠AED＝135°，若
DE＝1，AE=❑√2，则 ABCD的周长是（ ）
▱
▱A．4+❑√5 B．6+❑√5 C．4+2❑√5 D．6+2❑√5
8．（3分）（2024春•武昌区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．分别以AB、AC、
BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S 、S 、S 、S ．则
1 2 3 4
S +S +S +S 等于（ ）
1 2 3 4
A．18 B．20 C．22 D．24
9．（3分）（2024春•龙沙区期末）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线
1
上的一点，且DE＝CD，连接BE分别交AC，AD于点F，G，连接OG．则下列结论：①OG= AB；
2
②∠FOG＝30°；③S四边形ODEG ＝S四边形ABOG ；④由点A，B，D，E构成的四边形是菱形．其中正确的个
数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．（3分）（2024春•宣城期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，
1
分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC＝60°，AB= BC=1，则下列结论：①∠CAD＝30°②
2
1
BD=❑√7③S平行四边形ABCD ＝AB•AC ④ OE=
4
AD，正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2024春•江汉区期中）已知，如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，E是射线BC上一动点，
将矩形ABCD沿直线AE翻折，点B落在点F处．若△CEF为直角三角形，则CF的值是
．
12．（3分）（2024春•硚口区期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝75°，AD＝
3❑√2，DC＝3，则BD的长是 ．
13．（3分）（2024春•江岸区期中）四边形ABCD中，对角线AC＝10，BD＝14，点M、N、G分别是AD、
BC、AB的中点，连接MN，取MN中点P，连接GP，则4GP2+MN2的值为 ．
14．（3分）（2024春•武昌区期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E，F，G分别为AD，AB，BC上的
点，连接EG，DF，若AE＝AF＝CG，则2DF+EG的最小值为 ．15．（3分）（2024春•武昌区校级期中）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D、E分别是
AB、BC上的动点，满足AD＝BE，则AE+CD的最小值为 ．
16．（3分）（2024春•凉州区期中）任意一个二次根式❑√p（p为正整数），都可以进行这样的分解：
❑√p=❑√a⋅❑√b（a，b都是正整数，且a≤b），在p的所有这种分解中，若❑√b−❑√a最小，我们就称
a
❑√a⋅❑√b是❑√p的最佳分解，并记为：F(p)= ．例如❑√12可以分解成 ❑√1×❑√12，❑√2×❑√6或❑√3×❑√4，
b
3 4
显然❑√3×❑√4是❑√12的最佳分解，此时F(12)= ．若正整数m，n满足F(m)= ，F（n）＝1，且20＜
4 5
m+n＜25，则❑√mn的值为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（2024春•江夏区期中）已知：在 ABCD中，DE⊥BC于点E．
（1）如图1，若DF⊥AB于点F、CE＝AF．求证： ABCD是菱形．
▱
（2）如图2，连AC、BD交于点O．试探究：AO2，BO2，BC2，CD2之间的数量关系，并证明你的结论．
▱
（3）如图3，若∠DBC＝45°，BF⊥CD于点F交DE于点G，连接AG，其中BE＝8，且以AG、CG、BD
为边构成的三角形的面积为20．求 ABCD的面积．
▱
18．（8分）（2024春•滨城区期末）【课本再现】
（1）如图1，四边形ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且DE＝CF．要修建两条路BE和
AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？
【知识应用】
（2）如图2，若在这个正方形花园的四边各开一个门E，F，G，H，并修建两条路EG和FH，使得
EG⊥FH，则这两条路等长吗？为什么？
【拓展延伸】（3）如图3，将边长为10的正方形纸片沿FH折叠，点D落在BC边上的点N处，DN与FH交于点P，取
AD的中点M，连接PM，PC，则PM+PC的最小值为 ，此时FH的长度是
．
19．（8分）（2024春•越秀区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交
DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG，如图1所示．
（1）证明平行四边形ECFG是菱形；
（2）如图2所示，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝5，M是EF的中点，连接CM，DM，求DM的长．
（3）如图3所示，若∠ABC＝120°，AB＝4，BC＝8，线段CG与EF交于点O，点M是线段EF上的一个
EM
动点，连接CM，DM，直接写出CM+DM的最小值，并写出此时 的值．
OM
20．（8分）（2024春•漳平市期中）阅读材料，并完成下列任务：
材料一：裂项求和
1 1 1 1 1 1 1 1
小华在学习分式运算时，通过具体运算： =1− ， = − ， = − ，……
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4
1 1 1
发现规律： = − （n为正整数），并证明了此规律成立．
n⋅(n+1) n n+1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9
应用规律：快速计算 + + +⋯+ =1− + − +⋯+ − =1− = ．
1×2 2×3 3×4 9×10 2 2 3 9 10 10 10
材料二：根式化简
1 1 ❑√3−1 1 1
例1 = = = (1− )；
3+❑√3 ❑√3(❑√3+1) ❑√3(❑√3+1)(❑√3−1) 2 ❑√31 1 ❑√5−❑√3 1 1 1
例2 = = = ( − )
5❑√3+3❑√5 ❑√15(❑√5+❑√3) ❑√15(❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3) 2 ❑√3 ❑√5
任务一：化简．
1
（1）化简：
7❑√5+5❑√7
1
（2）猜想： = （n为正整数）．
(2n+1)❑√2n−1+(2n−1)❑√2n+1
任务二：应用
1 1 1 1
（3）计算： + + +⋯+ ；
3+❑√3 5❑√3+3❑√5 7❑√5+5❑√7 49❑√47+47❑√49
任务三：探究
❑√3−1
（4）已知x= ，y
2
❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√2025−❑√2023
= + +⋯+ ，比较x和y的大
1+❑√3+❑√5+❑√3×5 1+❑√5+❑√7+❑√5×7 1+❑√2023+❑√2025+❑√2023×2025
小，并说明理由．
21．（10分）（2024春•荔城区校级期中）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直线BD上一动点，以AP为
边向右侧作等边△APE（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．
（1）如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关
系是 ，BC与CE的位置关系是 ；
（2）如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请
予以证明；若不成立，请说明理由；
22．（10分）（2024春•硚口区期中）如图1，在菱形ABCD中，E是边BC上的点，△AEF是等腰三角形，
AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝ （ ≥90°）．
（1）如图2，当 ＝90°时，连接BD交AF于点P，
α α
①直接写出∠DCF的度数；
α
②求证：CF+2DP=❑√2BC．
BE 2 CF
（2）如图1，当∠DCF＝135°时，若 = ，求( ) 2 的值．
EC 3 CD23．（10分）（2024春•硚口区期中）在平面直角坐标系中，已知矩形AOBC，其中A（0，6）．
（1）如图1，若点B（10，0），E在BC边上，将△ACE沿AE翻折，点C恰好落在OB边上的点F处．
①直接写出点F的坐标及EF的长；
②如图2，将△AOF沿y轴向上平移m个单位长度得到△A′O′F′，平面内是否存在点G，使以A′、
O、F′、G为顶点的四边形是菱形，若存在，求点G的坐标，若不存在，请说明理由．
（2）如图3，若点B（6，0），连接AB，M，N两点分别是线段BC，AB上的动点，且AN＝2CM，求OM
1
+ ON的最小值．
2
24．（10分）（2024春•陇南期中）综合与探究
在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O、A、C的坐标分别为O（0，0），A（﹣x，0），C（0，y），
且x、y满足y=❑√x−4+❑√4−x+6．
（1）矩形的顶点B的坐标是 ；
（2）若D是AB中点，沿DO折叠矩形OABC，使A点落在点E处，折痕为DO，连接BE并延长BE交y轴
于Q点．
求证：四边形QODB是平行四边形；
（3）若点M在y轴上，则在坐标平面内，是否存在这样的点N，使得A、C、N、M为顶点的四边形是菱
形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．
