文档内容
22.1 函数的概念（第 1 课时） 教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课是函数的起始课，函数是刻画运动变化现象的重要数学模型，要从数学的角度研究变化现象，
把握变化规律，首先要关注变化过程中量的变化，这就是变量，本节课在充分体会运动变化过程中数量变
化的基础上，领会变量与常量的含义。
2. 内容分析
函数是初中数学代数领域的核心内容，是刻画现实世界中运动变化关系的重要数学模型，而常量与变
量是构建函数概念的基础和前提，是学生从研究静态数量关系转向动态数量关系的关键节点。本节课依托
学生熟悉的生活实际和数学实例，让学生在感知数量变化的过程中理解常量、变量的含义，其学习内容承
接了小学阶段对简单数量关系、公式的运用，又为后续学习函数的定义、三种表示方法及一次函数、反比
例函数的性质与应用奠定认知基础。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：了解常量、变量的意义。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义，发展抽象能力。
（2）能结合公式、实际问题分析其中的变量与常量，体会运动变化过程中的数量变化。
2. 目标解析
（1）学生能通过对汽车行驶、票房收入等简单实例的探究，观察并描述变化过程中不同量的取值特
征，自主归纳出常量、变量的定义，实现从具体实例到数学概念的抽象，初步发展数学抽象能力和观察分
析能力。
（2）学生能结合数学公式、生活实际问题，独立梳理变化过程中的数量关系，准确判断其中的常量
与变量，理解常量和变量是相对具体变化过程而言的，能体会运动变化过程中变量之间的相互依存关系，
为后续函数概念的学习做好铺垫。
三、教学问题诊断分析
存在问题：
1.学生受小学阶段静态数量关系学习的影响，难以快速适应对动态变化过程的分析，容易忽略“变化
过程”这一前提，对常量与变量的相对性理解不足，固化地认为某一个量必然是常量或变量 。
2. 面对实际问题时，学生容易混淆量与量之间的关系，无法快速梳理出核心的变化过程，对隐含在
问题中的常量识别不敏感，导致判断常量和变量出现错误。应对策略：
1. 设计对比性探究问题，通过改变同一公式中的固定条件，让学生在不同变化过程中分析同一量的属
性，直观感受常量与变量的相对性。
2. 引导学生掌握“先明确变化过程，再分析量的取值”的判断方法，通过圈画问题中的关键词、梳理
数量关系式的方式，将抽象的实际问题转化为清晰的数学关系，降低分析难度。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：能分析实际问题中的变量与常量。
四、教学过程设计
（一）情境引入
“万物皆变”——行星在宇宙中的位置随时间的变化而变化，我国“天宫”空间站与北京航天飞行控
制中心的距离随时间的变化而变化，气温随海拔的变化而变化，树高随树龄的变化而变化…….在现实世界
中，这种一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在.（视频：这是一个变化的世界；图片：星系、瀑
布、云朵、发芽）
为了研究运动变化现象中变量之间的关系，数学中逐渐形成了函数概念.人们通过研究函数及其性质，
可以更深入地认识现实世界中事物变化的规律.
在本章中，我们将通过具体例子，认识常量和变量，学习函数的概念和表示方法.在此基础上，用函数
描述一些简单问题中变量之间的关系，感受函数在刻画变量关系和变化规律中的作用.
设计意图： 以“万物皆变”为主题，结合视频、图片等直观教学素材，呈现生活中常见的运动变化
现象，让学生直观感受现实世界中量的变化，激发学生的学习兴趣和探究欲望。自然引出本节课的研究主
题，让学生体会研究常量与变量的实际意义，为后续从数学角度分析变化现象做好铺垫。（二）合作探究
思考 (1)汽车以60 km/h的速度匀速行驶，当行驶时间t分别为1h，2h，5h时，行驶路程s分别为多
少?s的值随t的值的变化而变化吗?
答：该问题反映了汽车行驶的路程s随行驶时间t的变化而变化的过程.在这个过程中，行驶速度的值
是始终不变的，行驶时间t和行驶路程s的值是变化的．
思考 (2)电影票的售价为40元/张.第一场售出80张票，第二场售出105张票，第三场售出180张票，
三场电影的票房收入各是多少元?设一场电影售出x张票，票房收入为y元，y的值随x的值的变化而变化
吗?
答：该问题反映了电影票房收入y随售出票数x的变化而变化的过程.在这个过程中，电影票的售价是
始终不变的，售出票数x和票房收入y的值是变化的.
思考 (3)你见过水中的涟漪吗?如图，圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中，当圆的半径r分别为10
cm，20 cm，30 cm时，圆的面积S分别为多少?S的值随r的值的变化而变化吗?
答：该问题反映了圆的面积S随圆的半径r的变化而变化的过程.在这个过程中，圆周率π的值是始终
不变的，圆的半径r和圆的面积S的值是变化的．
思考 (4)长方体的体积为1 000 cm3，当长方体的底面积S分别为50 cm2，100 cm2，125 cm2时，高h
分别为多少?h的值随S的值的变化而变化吗?
答：该问题反映了长方体的高h随长方体的底面积S的变化而变化的过程.在这个过程中，长方体的体
积的值是始终不变的，长方体的底面积S和长方体的高h的值是变化的．
归纳 常量与变量的概念
一般地，在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为常量，数值发生变化的量为变量.
设计意图：选取4个贴近学生生活、数量关系简单清晰的典型实例，让学生通过自主计算、思考交
流，初步感知变化过程中不变的量和变化的量；通过表格梳理的方式，将零散的实例结论系统化，帮助学
生从具体实例中抽象概括出常量与变量的数学概念，突出教学重点。
（三）典例分析例1 指出下列问题中的常量和变量：
（1）某市居民生活用水的价格为5元/t.记某户的月用水量为x t，月应缴水费为y元.
（2）在某地乘坐公交车，刷公交卡每次收费1元．李明在公交卡中存入30元，记此后他乘坐公交车
n次，公交卡中的余额为w元.
（3）用20 m长的绳子围一个矩形，记矩形的一边长为x m，矩形的面积为S m2.
解：（1）生活用水的价格是常量，某户的月用水量x和月应缴水费y是变量.
（2）刷公交卡每次收费和存入的钱数是常量，乘坐公交车的次数n和公交卡中的余额w是变量.
（3）绳的长度是常量，矩形的一边长x和面积S是变量.
设计意图：选取典型的生活实际问题，紧扣常量与变量的概念，层层递进地引导学生分析问题中的变
化过程和数量关系。同时，让学生进一步感受数学与生活的紧密联系，体会数学的实用性。
（四）巩固练习
1.指出下列问题中的常量和变量：
(1)向一个水池注水，注水速度为0.1 m3/min.记注水时间为x min，注水量为y m3.
(2)我国“十三五”期间每年的国内生产总值如下表所示.
年份x 2016 2017 2018 2019 2020
国内生产总值
746 395.1832 035.9919 281.1986 515.21013 567.0
y/亿元
(3)一个平行四边形的底边长为5，高h可以任意改变，面积为S.
解：（1）注水速度是常量，注水时间x和注水量y是变量.
（2）年份x和国内生产总值y是变量.
（3）底边长是常量，高h和面积S是变量.
2.举两个运动变化的例子.并分别指出其中的常量和变量.
例如：一个圆锥的体积一定时，它的高随着底面积的变化而变化，这里圆锥的体积是常量，底面积和
高都是变量.（答案不唯一）
3．对于圆的周长公式C=2πr，下列说法正确的是（ D ）
A．C，π是变量，2是常量 B．r是变量，C是常量
C．C是变量，r是常量 D．C，r是变量，2π是常量1
4．在三角形面积公式S= ah，a=2cm中，下列说法正确的是( C )
2
A．S，a是变量， h是常量 B．S，h是变量， a是常量
1 1
C．S，h是变量， a是常量 D．S，h，a是变量， 是常量
2 2
4
5．球的体积是M，球的半径为R，则M= πR3，其中变量和常量分别是( A )
3
4 4
A．变量是M，R；常量是 π B．变量是R，π；常量是
3 3
C．变量是M，π；常量是3，4，π D．变量是M，R；常量是M
6．一支笔2元，买x支共付y元，则2和y分别是（ C ）
A．常量，常量 B．变量，变量 C．常量，变量 D．变量，常量
7．如图，张开大拇指和中指，两手指指尖间的距离为“一拃”．据统计，通常情况下，人的一拃长z
（单位：cm）与本人的身高s（单位：cm）之间的关系式为z=0.3s−31.3，则下列关于变量和常量的说
法正确的是（ D ）
A．z是变量，s是常量 B．s是变量，z是常量
C．0.3与−31.3是变量，s与z是常量 D．s与z是变量，0.3与−31.3是常量
8．已知某汽车耗油量为0.1L/km，油箱中现有汽油50L．如果不再加油，记此后汽车行驶的路程为
xkm，油箱中的油量为yL．则此问题中的常量和变量是（ C ）
A．常量50；变量x． B．常量0.1；变量y．
C．常量0.1，50；变量x，y． D．常量x，y；变量0.1，50．
9．如图所示是加油站某时刻加油机上的数据显示牌． 在金额、数量、单价三个量中，下列说法正确
的是（ C ）
A．金额、单价是变量，数量是常量 B．数量、单价是变量，金额是常量
C．金额、数量是变量，单价是常量 D．金额、数量、单价都是变量
设计意图：设计分层练习，既有基础的常量、变量识别题，又有结合数学公式的选择题，还有开放性的举例题，兼顾不同层次学生的学习需求。通过练习，让学生巩固常量与变量的概念，熟练掌握判断方法。
（五）归纳总结
（六）感受中考
（2022年广东）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为
C=2πr．下列判断正确的是（ C ）
A．2是变量 B．π是变量 C．r是变量 D．C是常量
设计意图：选取中考真题作为练习题，让学生感受本节课知识在中考中的考查形式和难度，进一步巩
固常量与变量的概念，提升学生对核心知识点的掌握程度，实现课堂知识与中考考点的有效衔接。
（七）小结梳理
（八）布置作业
1.必做题：习题22.1 第1题.
2.探究性作业：
汽车行驶的路程s、行驶时间t和行驶速度v之间有下列关系：s=vt．如果汽车以每时60 km的速度行
驶，那么在s=vt中，变量是 ，常量是 ；如果汽车行驶的时间t规定为1小时，那么在s=vt中，
变量是 ，常量是 ；如果甲乙两地的路程s为200 km，汽车从甲地开往乙地，那么在s=vt中，
变量是 ，常量是 ．
五、教学反思
