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第二十三章 一次函数
23.2 一次函数的图象和性质
第1课时 正比例函数的图象和性质
【素养目标】
1.会画正比例函数的图象；理解正比例函数的图象及性质.
2.能根据正比例函数的图象和解析式y＝kx（k≠0）理解k＞0和k＜0时函数的图象特征
与增减性.
3.通过观察图象、归纳总结概括出正比例函数性质的活动，发展数学感知、数学表达、
数学概括能力.
重点：正比例函数图象的画法和性质的理解.
难点：利用正比例函数的图象与性质灵活解题.
【复习导入】
问题1：下列函数哪些是正比例函数？
（1）y = －3x ； （2）y = x + 3；
（3）y = 4x； （4）y = x2.
问题2：描点法画函数图象的三个步骤是_______、_______、_______.
【合作探究】
探究点一：正比例函数的图象
例1 分别画出下列正比例函数的图象：
1
（1）y＝2x，y＝ x； （2）y＝－1.5x，y＝－4x.
3
归纳总结：
第 1 页y＝kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线
y＝kx（k≠0） 经过的象限
k＞0
k＜0
一般地，正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它
为直线y＝kx.
思考：由正比例函数的图象是一条直线，你能想到画正比例函数图象的简单方法吗？
[画一画]
用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
(1) y = 3x；(2) y = -2x.
例2 已知正比例函数 y = (k + 1)x.
(1) 若函数图象经过第一、三象限，则 k 的取值范围是________.
(2) 若函数图象经过点 (2，4)，则 k =___.
探究点二：正比例函数的性质
1
问题：在函数 y = 2x，y＝ x，y = －1.5x 和 y = －4x 中，随着 x 的增大，y 的值
3
分别如何变化?
归纳总结：
y = kx (k 是常数，k ≠ 0)的图象是一条经过原点的直线。
第 2 页k＞0 k＜0
图象
经过的象限
增减性
[练一练]
1. 已知正比例函数 y = 2x 的图象上有两点（3，y ），（5，y ），则 y y .
1 2 1 2
2. 已知正比例函数 y = kx (k < 0) 的图象上有两点(－3，y )，(1，y )，则 y y .
1 2 1 2
例3 已知正比例函数 y = mx 的图象经过点（m，4），且 y 的值随着 x 值的增大
而减小，求 m 的值.
[练一练]
3.函数 y = －7x 的图象经过第________象限，经过点_______与点 ，y 随
x 的增大而_______.
4.已知正比例函数 y = (2m + 4)x.
（1）当 m 时，函数图象经过第一、三象限；
（2）当 m 时，y 随 x 的增大而减小；
（3）当 m 时，函数图象经过点（2，10）.
[议一议]
1
（1）正比例函数 y = 2x 和 y = x 中，随着 x 值的增大 y 的值都增加了，其中哪
3
一个增加得更快？你能说明其中的道理吗？
（2）正比例函数 y = －1.5x 和 y = －4x 中，随着 x 值的增大 y 的值都减小了，
其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？
5. 如图分别是函数 y = k x，y = k x，y = k x，y = k x 的图象.
1 2 3 4
(1) k k ，k k (填“>”或“<”或“=”)；
1 2 3 4
(2) 用不等号将 k ， k ，k ， k 及 0 依次连接起来．
1 2 3 4
第 3 页当堂反馈
1.正比例函数y＝－x的图象大致是（ ）
2.已知P （x ，y ），P （x ，y ）是正比例函数y＝－x图象上的两点，则下列判断正
1 1 1 2 2 2
确的是（ ）
A.y ＞y B.当x ＜x 时，y ＞y
1 2 1 2 1 2
C.y ＜y D.当x ＜x 时，y ＜y
1 2 1 2 1 2
3.正比例函数y＝（m2＋1）x的图象经过的象限是（ ）
A.第一、第三象限 B.第二、第四象限
C.第一、第四象限 D.第二、第三象限
4.写一个图象经过第二、第四象限的正比例函数： .
5.在正比例函数y＝（k－2）x中，y随x的增大而增大，则k的取值范围是 .
6.已知正比例函数y＝kx的图象经过点M（－2，4）.
（1）说明y的值随x值的变化情况；
（2）画出这个函数的图象.
参考答案
【复习导入】
问题1：答：(1)(3)
问题2：答：列表 描点 连线
【合作探究】
探究点一：正比例函数的图象
第 4 页例1 解：（1）函数y＝2x中自变量x可为任意实数.
①列表：下表是y与x的几组对应值.
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … －6 －4 －2 0 2 4 6 …
②描点：在平面直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点.
③连线：将这些点连接起来，得到一条经过原点和第一、第三象限的直线，它就是函
数y＝2x的图象.（如图①）
1
④用同样的方法，在图①中画出函数y＝ x的图象，它也是一条经过原点和第一、第
3
三象限的直线.
（2）函数y＝－1.5x中自变量x可为任意实数.
①列表：下表是y与x的几组对应值.
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … 4.5 3 1.5 0 －1.5 －3 －4.5 …
②描点：在平面直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点.
③连线：将这些点连接起来，得到一条经过原点和第二、第四象限的直线，它就是函
数y＝－1.5x的图象.（如图②）
④用同样的方法，在图②中画出函数y＝－4x的图象，它也是一条经过原点和第二、
第四象限的直线.
归纳总结：
y＝kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线
y＝kx（k≠0） 经过的象限
k＞0 第一、三象限
k＜0 第二、四象限
思考：因为两点确定一条直线，而正比例函数 y＝kx（k≠0）的图象又是经过原点的直
线，所以只要再确定正比例函数图象上一点，就可以画出正比例函数的图象.一般地，
这一点可以取点（1，k）这个特殊点.
[画一画]
例2 答：(1) k＞－1；(2) 1
探究点二：正比例函数的性质
1
问题：观察图象可以发现：①直线y＝2x，y＝ x向右逐渐上升，即y的值随x的增大
3
第 5 页而增大；
②直线y＝－1.5x，y＝－4x向右逐渐下降，即y的值随x的增大而减小.
[练一练]答：1. < 2.>
例3 解：∵ 正比例函数 y = mx 的图象经过点（m，4），
∴ 4 = m · m，解得 m = ±2.
又∵ y 的值随着 x 值的增大而减小，
∴ m < 0，故 m = －2.
[练一练]答：3. 二、四 （0，0） （1，－7） 减小
4.＞－2 ＜－2 = 0.5
[议一议] | k | 越大，直线越陡，直线越靠近 y 轴.
6. 答：(1)＜ ＜ (2) k ＜k ＜0＜k ＜k
1 2 3 4
当堂反馈
1.B
2.B
3. A
4. y ＝－ 2 x （答案不唯一） .
5. k ＞ 2
6.
解：（1）∵正比例函数y＝kx的图象经过点M（－2，4），
∴4＝－2k.解得k＝－2＜0.
∴y随x的增大而减小.
（2）图象如图所示.
第 6 页
