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第二十三章 一次函数
23.2 一次函数的图象和性质
第2课时 方案选择问题（1）
【素养目标】
1.进一步了解一次函数的解析式和图象在解决实际问题中的应用.
2.理解同一问题有不同的解决方案；掌握用一次函数选择最佳方案的方法.
3.通过运用一次函数解决有关实际问题，培养学生的运算能力和推理应用意识，
能够探究实际生活中蕴含的数学规律.
重点：建立一次函数模型解决实际问题.
难点：函数建模思想的理解与应用.
【复习导入】
【合作探究】
探究点：运用一次函数的知识选择方案
问题：下表给出了某游泳馆 A，B，C 三种年卡套餐的收费标准.
套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元
A 600 20 40
B 1200 50 40
C 1800 不限次
选取哪种年卡套餐能节省游泳费用？
分析：（1）选择套餐的依据是什么？
（2）要比较三种收费方式的费用，需要做什么？
（3）A，B，C三种方案中，所需要的费用是固定的还是变化的？
（4）设年游泳x次，套餐A，B，C的游泳费用分别为y ，y ，y ，请分别求出y ，y ，
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y 关于x的函数解析式，并画出函数图象.
3
第 1 页结合函数图象和解析式填空：
当年游泳次数 时，选择套餐A能节省游泳费用；
当年游泳次数 时，选择套餐B能节省游泳费用；
当年游泳次数 时，选择套餐C能节省游泳费用.
归纳总结：方案选取型问题的解题策略：
①若给定自变量的取值，则将自变量的值代入解析式，得到函数值，再进行选取；
②若给定函数值，则将函数值代入解析式，得到自变量的值，再进行选取；
③若自变量、函数值均未给定取值：
方法一：可分别求出y ＜y ，y ＝y ，y ＞y 的解（集），再根据结果进行选取；
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方法二：画出函数图象，求出交点坐标，再利用图象的上、下位置关系进行判断.
[练一练]
1.电信局为满足不同客户的需要，设有 A、B 两种优惠方案，这两种方案应付话费
(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图 (MN∥CD)，若通话时间为 500 分钟，则应选择
哪种方案更优惠( )
A．方案 A
B．方案 B
C．两种方案一样优惠
D．不能确定
2. 某单位有职工几十人，想在节假日期间组织到外地旅游.当地有甲、乙两家旅行社，
它们服务质量基本相同，到此地旅游的价格都是每人 100 元.经联系协商，甲旅行社表
示可给予每位游客八折优惠；乙旅行社表示单位先交 1000 元后，给予每位游客六折
优惠. 问该单位选择哪个旅行社，可使其支付的旅游总费用较少？
3.某学校欲购置一批标价为 4 000 元的某种型号电脑，需求数量在 6 至 15 台之间．
经与两家专卖店商谈，优惠方法如下：
甲店：购买电脑打八折；
乙店：先赠送一台电脑，其余电脑打九折．
第 2 页(1)分别写出两家专卖店的收费 y (元)关于所购电脑数量 x (台)的函数解析式；
(2) 对 x 的取值情况进行分析，说明该学校购买哪家专卖店电脑更合算？
当堂反馈
1.某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月
行驶x千米，个体车主收费y 元，国营出租车公司收费为y 元，y ，y 与x之间的函数
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关系图象如图所示.观察图象可知，当x 时，选用个体车较合算.
2. 如图，某电信公司提供了 A，B 两种方案的移动通讯费用 y (元)与通话时间 x
(min)之间的关系，若通话时间超过 200 min，则 B 方案比 A 方案便宜_____元.
第1题 第2题
3.某移动公司对于移动话费推出两种收费方式：
A方案：每月收取基本月租费15元，另收通话费为0.2元/分；
B方案：零月租费，通话费为0.3元/分.
（1）试写出A，B两种方案所付话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系式；
（2）在同一坐标系画出这两个函数的图象，并指出哪种付费方式合算.
4. 李老师准备购买某款硬皮笔记本．经市场调研发现，这款笔记本各商店定价均为 10
元．李老师选定了甲、乙两家学习用品商店，准备选择其中一家购买笔记本，这两家
商店均有优惠活动，如下：
甲店：购买数量超过 30 本，超过部分打九折出售；
乙店：购买数量超过 50 本，超过部分打八折出售．
第 3 页设李老师购买 x ( x > 0 )本笔记本，在甲店购买所花费用为 y1 元，在乙店购买所花
费用为 y2 元，其函数图象如图所示．
(1)求图中点 M 的坐标；
(2)当 x > 50 时，根据图象直接写出李老师应选择哪家商店购买笔记本．
5.某游泳馆夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证 100 元，
只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费 15 元；方式二：不购买会员证，每次游泳
付费 20 元．设小明计划今年夏季游泳次数为 x 次( x 为正整数)．
(1) 根据题意，将表格填写完整；
游泳次数 10 15 20 …
方式一的总费用/元 250 325 …
方式二的总费用/元 200 400 …
(2) 设方式一的总费用为 y 元，方式二的总费用为 y 元，用 x 表示 y 和 y ；
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(3)通过计算说明，当 x＝19 和 x＝21 时，分别选择哪种付费方式较合算．
参考答案
【合作探究】
探究点：运用一次函数的知识选择方案
问题：（4）在套餐A中，考虑游泳费用时，要把年游泳次数分为不超过20次和超过
20次两种情况，得到刻画套餐A的游泳费用的函数解析式
{600，0≤x≤20， {600，0≤x≤20，
y ＝ 化简，得y ＝
1 600+40（x－20),x>20. 1 40x－200，x>20.
在套餐B中，考虑游泳费用时，要把年游泳次数分为不超过 50次和超过50次两种情
第 4 页况，得到刻画套餐B的游泳费用的函数解析式
{1200，0≤x≤50， {1200，0≤x≤50，
y ＝ 化简，得y ＝
2 1200+40（x－50),x>50. 2 40x－800，x>50.
在套餐C中，游泳费用与年游泳次数无关，套餐C的费用是固定的.y ＝1800.
3
函数图象如图所示.
结合函数图象和解析式填空：
当年游泳次数 不超过 3 5 时，选择套餐A能节省游泳费用；
当年游泳次数 超过 3 5 而不超过 6 5 时，选择套餐B能节省游泳费用；
当年游泳次数 超过 6 5 时，选择套餐C能节省游泳费用.
[练一练]
1.B
2. 解法一：设该单位参加旅游人数为 x. 那么选甲旅行社，应付费用 80x(元)；选乙旅
行社，应付(60x+1000)(元).
记 y = 80x，y = 60x+1000.在同一直角坐标系内作出两个函数的图象， y 与 y 的
1 2 1 2
图象交于点(50，4000).
观察图象，可知：
当人数为 50 时，选择甲或乙旅行社费用都一样；
当人数为 0～49 人时，选择甲旅行社费用较少；
当人数为 51～100 人时，选择乙旅行社费用较少.
解法二：（1）当 y = y ，即 80x = 60x + 1000 时，x = 50.
1 2
所以当人数为 50 时，选择甲或乙旅行社费用都一样；
（2）当 y ＞y ，即 80x＞60x + 1000 时， 得 x＞50.
1 2
所以当人数为 51～100 人时 ，选择乙旅行社费用较少；
（3）当y ＜y ，即 80x＜60x + 1000 时，得 x＜50.
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所以当人数为 0～49 人时，选择甲旅行社费用较少；
3.解：(1)由题意可得 y ＝4 000×0.8x＝3 200x (6≤x≤15).
甲
y ＝4 000×0.9(x－1)＝3 600x－3 600(6≤x≤15).
乙
当 3200x＝3 600x－3 600 时，解得 x＝9，
即当购买 9 台电脑时，在两家专卖店的购买费用相同；
当 3200x < 3 600x－3 600 时，解得 x > 9，即当10≤x≤15时，买甲店电脑更合算；
当 3200x>3 600x－3 600 时，解得 x < 9，即当 6≤x≤8 时，买乙店电脑更合算．
当堂反馈
1. ＞1500 2. 12
3.解：（1）A方案：y ＝15＋0.2t（t≥0），B方案：y ＝0.3t（t≥0）.
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（2）这两个函数的图象如图所示.观察图象，可知：
当通话时间为150分钟时，选择A或B方案费用一样；
当通话时间少于150分钟时，选择B方案合算；
当通话时间多于150分钟时，选择A方案合算.
4. 解：(1)当 x > 30 时，
y1＝10×30＋10×0.9(x－30)＝9x＋30，
当 x > 50 时，y ＝10×50＋10×0.8(x－50)＝8x＋100，
2
令 9x＋30＝8x＋100，解得x＝70，
第 5 页此时 y ＝y ＝660，
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∴点 M 的坐标为 (70，660)．
(2)当 50 < x < 70 时，应选择甲店购买；
当 x＝70 时，在两家商店购买所花费用相同，
任选一家购买即可；
当 x > 70 时，应选择乙店购买．
5.
(1) 300 400
(2) 解：由题意，得 y ＝100＋15x，y ＝20x.
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(3)当 x＝19 时，y1＝100＋15×19＝385，
y ＝20×19＝380，∴ y > y ，∴ 选择方式二较合算；
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当 x＝21 时，y ＝100＋15×21＝415，
1
y ＝20×21＝420，∴ y < y ，∴ 选择方式一较合算．
2 1 2
综上所述，当 x＝19 时，选择方式二
较合算，当 x＝21 时，选择方式一较合算．
第 6 页
