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24.1 圆的有关性质
【提升训练】
一、单选题
1．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的
工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 为圆心的圆，如图2，已知圆心 在水面上方，且
被水面截得的弦 长为6米， 半径长为4米．若点 为运行轨道的最低点，则点 到弦 所
在直线的距离是（ ）
A．1米 B． 米 C．2米 D． 米
2．如图， 为圆O的直径，且AB=8，C为圆上任意一点，连接 、 ，以 为边作等边三角形
，以 为边作正方形 ，连接 ．若 为a， 为b， 为c，则下列关系式成立的
是（ ）A． B． C． D．
3．在《几何原本》中，记载了一种将长方形化为等面积正方形的方法：如图，延长长方形 的边
到E，使 ，以 为直径作 ，延长 交 于点H，则 ，则以
为边的正方形 的面积等于长方形 的面积．若 ，点E是 中点，则 的长为（
）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图， 与 是 的两条互相垂直的弦，交点为点 ， ，点 在圆上，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．下列命题是真命题的是（ ）
A．同弧所对的圆心角相等
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．二次函数 的图象与坐标轴有两个交点
D．若 ，则6．如图，在 中， ， ， ，以点 为圆心， 为半径的圆与
相交于点 ，则 的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
7．如图， 是⊙ 的直径，点C为圆上一点， 的平分线交 于点D， ，则⊙
的直径为（ ）
A． B． C．1 D．2
8．如图， 、 是 上的两点， ， 交 于点 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点 ， ， ， 都在⊙O上，且 ，AB=AD，S =（ ）
四边形ABCDA． B． C． D．6
10．如图， ， 是 上直径 两侧的两点．设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
11．如图，等腰 中，顶角 ，用尺规按①到④的步骤操作：
①以 为圆心， 为半径画圆；
②在 上任取一点 （不与点 ， 重合），连接 ；
③作 的垂直平分线与 交于 ， ；
④作 的垂直平分线与 交于 ， ．
结论Ⅰ：顺次连接 ， ， ， 四点必能得到矩形；
结论Ⅱ： 上只有唯一的点 ，使得 ．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对
C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
12．如图， 是 的外接圆， 交 于点E，垂足为点D， ， 的延长线交于
点F．若 ， ，则 的长是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
13．如图， 为 的直径，以 为斜边作等腰 ，连接 交 于点 ．若 ．
则 的长为（ ）
A． B． C． D．14．如图， 是 的直径， 是 的弦，先将 沿 翻折交 于点 ．再将 沿 翻
折交 于点 ．若 ，设 ，则 所在的范围是（ ）
A． B．
C． D．
15．如图，在 中， 是直径， 是 上的两个点， ．若 ，则
的度数为（ ）．
A．40° B．50° C．60° D．65°
16．如图， 是⊙ 的直径， 是⊙ 上两点，若 ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
17．如图，在 中，点 是边 和 的垂直平分线 、 的交点，若 ，则
的大小为（ ）
A． B． C． D．
18．如图，在矩形 中，对角线 ， 相交于点 ， ， ，点 在线段
上从点 至点 运动，连接 ，以 为边作等边三角形 ，点 和点 分别位于 两侧，下列
结论：① ；② ；③ ；④点 运动的路程是 ，其中正确结
论的序号为（ ）
A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
19．如图，AB为 的直径，点C为AB上一点，点D在 上，AD=AC，，连接DC并延长交 于
点E，连接OE，若∠BAD=30°，则∠COE的度数为（ ）A．30° B．35° C．40° D．45°
20．已知 是半径为1的 的一条弦，且 ，以 为一边在 内作等边三角形 ，
D为 上不同于点A的一点，且 ， 的延长线交 于点E，则 的长为（ ）
A． B．1 C． D．a
21．如图，点A、B、C、D均在 上， 是 的直径，连接 ，若 ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
22．如图， 的直径 为26，弦 的长为24，且 ，垂足为 ，则 的长为（）
A．25 B．8 C．5 D．13
23．如图，四边形 内接于 ， ， 为 中点， ，则 等于（ ）
A．42° B．46° C．50° D．54°
24．如图， 是⊙ 的直径， ， 是⊙ 的弦，点E是 的中点， 与 交于点C，连接
，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
25．如图，已知 ， 为 上一点，以 为半径的圆经过点 ，且与 、 交于点 、 ，设 ， ，则（ ）
A．若 ，则弧 的度数为
B．若 ，则弧 的度数为
C．若 ，则弧 的度数为
D．若 ，则弧 的度数为
26． 内接于圆，延长 到D，点E在 上，连接 ， ，如图所示．图中等于 与
之差的角是（ ）
A． B． C． D．
27．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，
则∠EAC的度数为（ ）A．20° B．25° C．30° D．35°
28．如图， 为 的直径， 是 的弦， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
29．如图，点 ， ， 在 上， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
30．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，下列结论错误的是（ ）A．AC＝OD B．BC＝BD
C．∠AOD=∠CBD D．∠ABC=∠ODB
二、填空题
31．如图， 的直径 为6 ， ， 都是 的半径， ，点P在直
径 上移动，则 的最小值为______．
32．如图，在 中， ，则 的度数是______°．
33．如图，已知 是 的直径，且 ，弦 ，点 是弧 上的点，连接 、
，若 ，则 的长为______．34．如图， 是 的弦，C是 的中点， 交 于点D．若 ，则 的
半径为________ ．
35．图1是传统的手工磨豆腐设备，根据它的原理设计了图2的机械设备，磨盘半径 ，把手
，点O，M，Q成一直线，用长为 的连杆将点Q与动力装置P相连（ 大小可
变），点P在轨道 上滑动并带动磨盘绕点O转动， ．
（1）点P与点O之间距离的取值范围是_______．
（2）若磨盘转动500周，则点P在轨道 上滑动的路径长为__________m．三、解答题
36．如图，四边形 内接于 ，延长 、 相交于点 ，且 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，点 为弧 上一点，连接 、 、 ，若 ，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点 作 ，垂足为 ，若 ， ，
，求 的长．
37．如图，已知AB是O的直径，CD⊥AB，垂足为点E，如果BE=OE，AB=10cm，求 ACD的周长．
△
38．如图，已知在⊙O中， ，OC与AD相交于点E．求证：
（1）AD∥BC
（2）四边形BCDE为菱形．39．已知：在圆O内，弦 与弦 交于点 分别是 和 的中点，联结
．
（1）求证： ；
（2）联结 ，当 时，求证：四边形 为矩形．
40．如图，四边形 是边长为4的正方形，点G是 边上的任意一点， 于点E，点 与
点B关于直线 对称， 交 于点F．连接 ．（1）求证： ；
（2）若四边形 是平行四边形，求四边形 与正方形 的面积之比；
（3）直接写出 的最小值．
41．如图①，在⊙O中，弦CD垂直直径AB于点E．已知AC＝4，BD= .
（1）求直径AB的长．
（2）小慧说“若将题目条件中的‘直径AB’改为‘弦AB’，其余条件均不变（如图②），⊙O的直径仍不变”，
你觉得小慧的说法正确吗？请说明理由．
42．如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，D为弧BC的中点，过D作DF⊥AB于点E，交圆O于点
F，交弦BC于点G，连接CD、BF
（1）求证：△BFG≌△DCG；
（2）若AC＝10，BE＝8，求BF的长
43．如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证： ．44．如图， 是 的直径，点 ， 在 上，且 ，连接 ，交 于点 ，连接 ，
， ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）用尺规作图作出 的角平分线交 于点 （保留作图痕迹），并求证： ．
45．如图， 为 的直径， 是 上的一点，连接 ， ． 是 的中点，过 作
于点 ，交 于点 ．（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
46．如图，AB是 的直径，弦 于点E，连结BD，CO的延长线交 于点F，AF，CD的延
长线交于点G．
（1）求证： ．
（2）若 ，求 的半径．
47．已知：如图， 是 的直径， ，过点D作 ，交 延长线于点E．
（1）求证：四边形 是菱形．
（2）连结 ，若 半径为5， ，求 的长．
48．如图，Rt△ABO中，∠ABO＝90°，AB＝4，BO＝2．以AB为边作正方形ABCD．点M是边BC上一动
点，连接AM，过O作AM的垂线，垂足为N，连接CN．则线段CN的最小值是__．49．如图，AB，AC是 的弦，过点C作 于点D，交 于点E，过点B作 于点
F，交CE于点G，连结BE．
（1）求证：
（2）过点B作 交 于点H，若BE的长等于半径， ，求CE的长．
50．如图，四边形 内接于 ， 是 上一点，且 ，连接 并延长 交 的延
长于点 ，连接 ．
（1）若 ， ，求 的度数；
（2）若 的半径为4，且 ，求 的长．51．已知 是 的直径， 是 的弦，连接 ．
（1）如图1，连接 ， ．若 ，求 及 的大小；
（2）如图2，过点C作 的垂线，交 的延长线于点E，连接 ．若 ，
，求 的大小．
52．如图，⊙ 是 的外接圆，且 ，四边形 是平行四边形，边 与⊙ 交于点
，连接 ．
0
（1）求证： ；
（2）若 ，求证：点 是 的中点．
53．如图，在 中， ， ， ，点 为 边上的一个动点，以 为
直径的 交 于点 ，过点 作 ，交 于点 ，连接 、 ．（1）当 时，求 的长；
（2）求证： ；
（3）是否存在点 ，使得 是以 为底的等腰三角形，若存在，求出此时 的长；若不存在，
试说明理由．
54．如图，在 中， 分别平分 和 ．延长 交 的外接圆于点C，连
接 ．
（1）若 ，求 的度数．
（2）求证： ．
55．已知：⊙O的两条弦AB，CD相交于点M，且AB＝CD．
（1）如图1，连接AD．求证：AM＝DM．
（2）如图2，若AB⊥CD，在弧BD上取一点E，使弧BE＝弧BC，AE交CD于点F，连接AD、DE．
①判断∠E与∠DFE是否相等，并说明理由．
②若DE＝7，AM＋MF＝17，求△ADF的面积．56．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点
E，连接DE．
（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数；
（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长．
57．小亮在学习中遇到这样一个问题：
如图，点 是弧 上一动点，线段 点 是线段 的中点，过点 作 ，交 的
延长线于点 ．当 为等腰三角形时，求线段 的长度．
小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题，请
将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点 在弧 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段 的长度，得到下表的几组对应值．
BD/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0
CD/cm 8.0 7.7 7.2 6.6 5.9 a 3.9 2.1 0
FD/cm 8.0 7.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.7 8.0
操作中发现：
①当点 为弧 的中点时， ．则上中 的值是 ；
②线段 的长度无需测量即可得到．请简要说明理由；
（2）将线段 的长度作为自变量 和 的长度都是 的函数，分别记为 和 ，并在平面直
角坐标系 中画出了函数 的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数 的图象；
（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当 为等腰三角形时，线段
长度的近似值．(结果保留一位小数)．
58．已知： 内接于 ， ， 于点 ，连接 ．
（1）如图，求证： ；（2）如图，延长 交 于点 ，连接 ，若 ，求证： ；
（3）如图，在（2）的条件下，若 ， ，求线段 的长．
59．问题提出
（1）如图①，在 中， ， 于点 ，若 ，求 的最大值；
问题探究
（2）如图②，在四边形 中， ．连接 ，求 面
积的最大值．
问题解决
（3）如图③，某市效区点 外有一棵古树，点 外是某市古树名木保护研究中心，且 ，为加
强对该古树的检测和保护，拟在距古树 处设置三个观测点 ，以形成保护区域四边形 ．
则是否存在一个满足以上要求的面积最大的四边形 ？若存在，求出满足条件的四边形 的最
大面积；若不存在，请说明理由．（研究中心及各观测点的占地面积忽略不计）60．（1）如图1，在△ABC的外部，分别以AC，BC为边，作等边三角形△ACE和等边三角形△BCD，连
接AD，BE，相交于点F．
①求证：△ACD≌△ECB；
②求∠AFB的度数；
（2）如图2，在 中， ，在 的外部以BC为边，作等边三角形△BCD，连接
AD，当AB＝8，请直接写出AD长的最大值为 ；
（3）如图3，在△ABC中，当AB＝8，AC＝3BC时，请直接写出 面积的最大值为 ．
