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寒假作业（1） 一元二次方程
一、选择题:
1.方程 的解的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有一个实数根
2.若关于x的一元二次方程的两个根为 ， ，则这个方程是（ ）
A. B.
C. D.
3.以3、4为两边长的三角形的第三边长是方程 的根，则这个三角形的周长
为（ ）
A.15或12 B.12 C.15 D.以上都不对
4.关于x的方程 的两根的平方和是5，则a的值是（ ）
A.－1或5 B.1 C.5 D.－1
5.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每
盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？
设每盆多植x株，则可以列出的方程是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知实数a，b分别满足 ， ，则 的值是（ ）
A.2 B.7 C.2或7 D.不确定
二、填空题:
7.已知 满足 .
8. 已知关于x的方程x2+（1﹣m）x+ =0有两个不相等的实数根，则m的最大整数
值是 ．
9.已知关于x的一元二次方程 的两个实数根分别为α、β，则
= .
10.若方程 有实数根，则K满足的条件为 .
11. 一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为
.
三、解答题:
12.选择适当方法解下列方程：
（1） ； （2）
；
（3） x2－5x－6=0 ； （4）x2+2x－2=0（用配方法）
1 ..13.已知关于的方程 ．
（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数
及常数项.
14.已知关于x的一元二次方程 有实根．
（1）求a的最大整数值；
（2）当a取最大整数值时，求出该方程的根．
15.关于 的方程 有两个不相等的实数根.
（1）求 的取值范围.
（2）是否存在实数 ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出 的值；若不存在，
说明理由.
16.某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利
0.3元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售
价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张
贺年卡应降价多少元?
2 ..寒假作业（1）答案
一、选择题：
1—6：A B B D A C
二、填空题：
7． 5 8. 0 9. 9 10. K≤1 11. 25或26
三、解答题：
12.（1） X|k |B| 1 . c|O |m
(2)
(3)
(4)
13.（ 1）由题意得， 即当 时，方程 是一元一次
方程.
（2）由题意得， ，即当 时，方程 是一元二次
方程.此方程的二次项系数是 、一次项系数是 、常数项是 .
14. （1）根据题意得 ，
解得 且a≠6，
∴ a的最大整数值为7.
（2）当a=7时，原方程变形为 ， ，
∴ ，∴ ， .
15. （1）由 =（ +2）2－4 · ＞0，解得 ＞－1.
又∵ ≠0 ，∴ 的取值范围是k＞－1且 ≠0 .
（2）不存在符合条件的实数 .
理由如下：设方程 的两根分别为 、 ，
由根与系数的关系有
， ，
又 ，则 =0.∴
.
由（1）知， 时， ＜0，原方程无实数解.
∴ 不存在符合条件的实数 .
3 ..16．设每张贺年卡应降价 元，
则依题意得 ，
整理，得 ，
解得 （不合题意，舍去）.∴ .
答：每张贺年卡应降价0.1元。
寒假作业(2) 圆
一、选择题：
1．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是.......（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
2．如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC的
大小是（ ）
A．70° B．40° C．50° D．20°
3．一扇形的半径为60cm，圆心角为120°，用它做一个圆锥的侧面，则底面半径为（ ）
A．5cm B. 10cm C. 20cm D. 30cm
4．⊙o的半径是13，弦AB∥CD，AB=24，CD=10，则AB与CD的距离是..........（ ）
A．7 B．17 C．7或17 D．4
第1题 第2题
5．已知⊙O的半径为15，弦AB的长为18，点P在弦AB上且OP=13，则AP的长为（ ）
A．4 B．14 C．4或14 D．6或14
6．A是半径为5的⊙O内的一点，且OA=3，则过点A且长小于10的整数弦的条数（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
二、填空题：
7．圆中一条弦所对的圆心角为60°，那么它所对的圆周角度数为 度．
8．①平分弦的直径垂直与该弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形 各
顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有 ．
9．⊙O 和⊙O 相切，两圆的圆心距为9cm，⊙ 的半径为4cm，则⊙O 的半径为 ．
10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA=48°，则∠C的度数为
．
11．如图，圆内一条弦CD与直径AB相交成30°角，且分直径成1cm和5cm两部分，则这条
弦的弦心距是 ．
12．如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C′，已知AC=6，BC=4，则线段AB扫过图形
（阴影部分）的面积为 ．（结果保留π）
4 ..第12题 第13题 第14题
三、解答题：
13．如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上的两点，并且AC=BD.
求证：OC=OD.
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．
（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1=∠2．
15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=8，点O是斜边AB上一点，以O为圆心的⊙O分
别与AC，BC相切于点D，E．
（1）当AC=2时，求⊙O的半径；
（2）设AC=x，⊙O的半径为y，求y与x的函数关系式．
16．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2 ，求BC的长．
5 ..寒假作业（2）圆 答案
一．选择题:
1．D．2．D．3．C．4．C．5．C．6．C．
二．填空题:
7． 3 0 或 15 0 ． 8． ③④ ． 9 5cm 或 13cm ．
10． 42 ° ． 11． 1cm ． 12． ．
三．解答题:
13．证明（略）
14.（1）解：∵BC=DC，
∴∠CBD=∠CDB=39°，
∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；
（2）证明：∵EC=BC，
∴∠CEB=∠CBE，
而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，
∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，
∵∠BAE=∠CBD，
∴∠1=∠2．
15. 解：（1）连接OE，OD，
在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=8，
∵AC=2，
∴BC=6；
∵以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E，
∴四边形OECD是正方形，
tan∠B=tan∠AOD= = = ，解得OD= ，
∴圆的半径为 ；
（2）∵AC=x，BC=8﹣x，
在直角三角形ABC中，tanB= = ，
∵以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E，
∴四边形OECD是正方形．
tan∠AOD=tanB= = = ，
解得y=﹣ x2+x．
16.（1）证明：连接OB，
6 ..∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠C+∠BAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠BAC=∠OBA，
∵∠PBA=∠C，
∴∠PBA+∠OBA=90°，
即PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的半径为2 ，
∴OB=2 ，AC=4 ，
∵OP∥BC，
∴∠C=∠BOP，
又∵∠ABC=∠PBO=90°，
∴△ABC∽△PBO，
∴ ，
即 ，
∴BC=2．
寒假作业（3）数据与概率
一、选择题：
1．某气象小组测得连续五天的日最低气温并计算出平均气温与方差后，整理得出下表（有两
个数据被遮盖）．
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 平均气温 方差
1℃ ﹣1℃ 2℃ 0℃ ■ 1℃ ■
被遮盖的两个数据依次是
（ ）
A．2℃，2 B．3℃， C．3℃，2 D．2℃，
2．甲、乙二人在相同条件下各射靶10次，每次射靶成绩如图所示，经计算得 = =7，S2
甲 乙 甲
=1.2，
S2 =5.8，则下列结论中不正确的是
乙
（ ）
A．甲、乙的总环数相等
B．甲的成绩稳定
C．甲、乙的众数相同
D．乙的发展潜力更大
．若这组数据的中位数为9，则这组数
7 ..A．6 B．8 C．9 D．1
4.一组数据：2，3，4，x中，若中位数与平均数相等，则数x不可能是 (
)
A．1 B．2 C．3 D．5
5．如图的四个转盘中，C．D转盘分成8等分，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影
区 域 内 的 概 率 最 大 的 转 盘 是
（ ）
A． B． C． D．
6．有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），以小莉掷
A立方体朝上的数字为x、小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P（x，y），那么他们各掷
一次所确定的点P落在抛物线 上的概率为 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题：
7．若x、x、x、x、x 这5个数的方差是2，则x﹣1、x﹣1、x﹣1、x﹣1、x﹣1这5个数的方
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
差是 ．
8．在4张卡片上分别写有1～4的整数，随机抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第二
次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是 错误 : 引用源未找到 ．
9．箱子中装有4个只有颜色不同的球，其中2个白球，2个红球，4个人依次从箱子中任意摸
出一个球，不放回，则第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的概率是_______．
10．如果一组数据﹣2，0，3，5，x的极差是9，那么这组数据的平均数是 ．
三、解答题：
11．甲、乙两班参加学校迎“青奥”知识比赛，两班的参赛人数相等．比赛结束后，依据两班
学生成绩绘制了如下的统计图表．
分数 6分 7分 8分 9分
人数 1 10 3 6
乙班学生迎“青奥”知识比赛成绩统计表
（1）经计算乙班学生的平均成绩为7.7分，中位数为7分，请计算甲班学生的平均成绩、中位
数，并从平均数和中位数的角度分析哪个班的成绩较好；
（2）如果学校决定要组织6个人的代表队参加市级团体赛，为了便于管理，决定依据本次比
赛成绩仅从这两个班的其中一个班中挑选参赛选手，你认为应选哪个班？请说明理由．
8 ..12．甲乙两人在相同条件下各射靶10次，甲10次射靶的成绩的情况如图所示，乙10次射靶
的成绩依次是：3环、4环、5环、8环、7环、7环、8环、9环、9环、10环．
（1）请在图中画出乙的射靶成绩的折线图．
（2）请将下表填完整：
平均数 方差 中位数 命中9环及以上次数
甲 7 1.2
乙 4.8 3
（3）请从下列三个不同角度对这次测试结果进行分析．
①从平均数和方差相结合看（分析谁的成绩稳定些）；
②从平均数和中位数相结合看（分析谁的成绩好些）．
13．甲口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数值﹣1，2，5；乙口袋中装有3个相同的小
球，它们分别写有数值﹣4，2，3．现从甲口袋中随机取一球，记它上面的数值为x，再从乙口
袋中随机取一球，记它上面的数值为y．设点A的坐标为（x，y）．
（1）请用树状图或列表法表示点A的坐标的各种可能情况；
（2）求点A落在 的概率．
参考答案
1～6.C C D B A B
7．5 8． 9． 10．2.6或0.4
11.解：（1）甲班学生的平均成绩为6×25%+7×20%+8×35%+9×20%=7.5（分）
甲班的中位数为（8分）
由于平均数7.5＜7.7，所以从平均数来看，乙班的成绩较好；
由于中位数8＞7，所以从中位数来看，甲班的成绩较好．
（2）应选乙班．
因为选6人参加市级团体赛，其中乙班有6人的成绩为（9分），
而甲班只有4人的成绩为（9分），所以应选乙班．
∴五年资助的总人数为5÷20%=25人，
∴08年资助了25﹣3﹣6﹣5﹣7=4人，
∴方差为2人2，
9 ..12．解：（1）如图：
（2）
平均数 方差 中位数 命中9环及以上次数
甲 7 1.2 7 1
乙 7 4.8 7.5 3
（3）①∵平均数相同， ，∴甲的成绩比乙的成绩稳定．
②∵平均数相同，甲的中位数＜乙的中位数，乙的成绩比甲的成绩好些．
13．（1）略；（2） ．
寒假作业（4）二次函数
一、选择题：
1. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是
( )
A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3)
2.已知 函数 的图 象与 x轴有交点，则 k 的取值范围是
( )
A． k＜4 B．k≤4 C. k＜4且k≠3 D. k≤4且k≠3
3.若一次函数 的图象经过二、三、四象限，则函数 的图象只可能是
( ) y y y y
O x O x O x x
O
A. B. C. D.
4.将函数 的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式
10 ..是 ( )
A. B. C. D.
随x的增大而
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6.若 ，则二次函数 的图象的顶点在 ( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题：
7. y＝2x2－bx＋3的对称轴是直线x＝1，则b的值为__________
8.已知抛物线 与x轴交点的横坐标为 ，则 =_________.
9.校运动会铅球比赛时，小林推出的铅球行进的高度 （米）与水平距离 （米）满足关系式
为： ，则小林这次铅球推出的距离是 米．
10. 将抛物线 绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是 .
11. 已知二次函数y＝x2－(a＋2)x＋9图像的顶点在坐标轴上，则a＝ ．
12.已知实数 的最大值为 .
三、解答题：
13.如果函数 是二次函数，求m的值．
14．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点．
（1）观察图象，写出A、B、C三点的坐标，并求出抛物线解析式；
（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）当m取何值时，ax2+bx+c=m有两个不相等的实数根．
15.如图，直角△ABC中，∠C=90°， ， ，点P为边BC上一动点，PD∥AB，
PD交AC于点D，连接AP．
（1）求AC、BC的长；
（2）设PC的长为x，△ADP的面积为y．当x为何值时，y最大，并求出最大值．
11 ..16．如图，已知关于x的二次函数y＝x2＋mx的图像经过原点O，并且与x轴交于点A，对称轴
为
直线x＝1．
（1）常数m＝ ，点A的坐标为 ；
（2）若关于x的一元二次方程x2＋mx＝n（n为常数）有两个不相等的实数根，求n的取值
范围；
（3）若关于x的一元二次方程x2＋mx－k＝0（k为常数）在－2＜x＜3的范围内有解，求k
的取值范围．
y
O A x
17.如图，已知抛物线y= （x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B
在点C的左侧．
（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，解答下列问题；
①求出△BCE的面积；
②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．
二次函数复习参考答案
一、选择题：
1~6 C B C B C D
二、填空题：
7．4 8．1 9．10 10．y=-2x2+12x-20 11．4或-8或-2 12．4
三、解答题：
13．解：根据二次函数的定义：m2﹣3m+2=2，且m﹣3≠0，
解得：m=0．
14．解：（1）由题意得：A、B、C三点的坐标分别为：（﹣1，0）、（0，﹣3）、（4，5）；
设该二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c，
由题意得：
12 ..，
解得：a=1，b=﹣2，c=﹣3，
∴该抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3．
（2）由（1）知：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴该抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为x=1．
（3）由题意得：x2﹣2x﹣3=m，
即x2﹣2x﹣3﹣m=0①，
若该方程组有两个不相等的实数根，
则必有△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣3﹣m）＞0，
解得：m＞﹣4．
即当m＞﹣4时，ax2+bx+c=m有两个不相等的实数根．
15．解：（1）在Rt△ABC中， ， ，
得 ，
∴AC=2，根据勾股定理得：BC=4；（3分）
（2）∵PD∥AB，∴△ABC∽△DPC，∴ ；
设PC=x，则 ， ，
∴
∴当x=2时，y的最大值是1．
16．解：（1）m=-2，A(2,0)；
（2）n＞-1．
（3）-1≤k＜8
17．解：（1）将M（﹣2，﹣2）代入抛物线解析式得：﹣2= （﹣2﹣2）（﹣2+a），
解得：a=4；
（2）①由（1）抛物线解析式y= （x﹣2）（x+4），
当y=0时，得：0= （x﹣2）（x+4），
解得：x =2，x =﹣4，
1 2
∵点B在点C的左侧，
∴B（﹣4，0），C（2，0），
当x=0时，得：y=﹣2，即E（0，﹣2），
13 ..∴S = ×6×2=6；
△BCE
②由抛物线解析式y= （x﹣2）（x+4），得对称轴为直线x=﹣1，
根据C与B关于抛物线对称轴直线x=﹣1对称，连接BE，与对称轴交于点H，即为所求，
设直线BE解析式为y=kx+b，
将B（﹣4，0）与E（0，﹣2）代入得： ，
解得： ，
∴直线BE解析式为y=﹣ x﹣2，
将x=﹣1代入得：y= ﹣2=﹣ ，
则H（﹣1，﹣ ）．
寒假作业（5）图形的相似
一、选择题：
1．若 = ，则 的值为 （ ）
A．1 B． C． D．
2．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是 （ ）
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABCC．AB2=AD•AC D． =
3．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则
△DEF的面积与△BAF的面积之比为 （ ）
A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1
(第2题图) （第3题图） （第4题图）
4．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD
放大得到线段AB，若点B坐标为（5，0），则点A的坐标为 （ ）
A．（2，5） B．（2.5，5） C．（3，5） D．（3，6）
5．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（
）
14 ..A． B． C． D．
6．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的长
是 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题：
7．已知 ≠0，则 的值为 ．
8．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC=3，AD=2，EF= EH，那么
EH的长为 ．
9．在△ABC中，AB=6cm，AC=5cm，点D、E分别在AB、AC上．若△ADE与△ABC相似，且
S△ADE ：S四边形BCED =1：8，则AD= cm．
10．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC．若BD=4，DA=2，BE=3，则EC=
．
（第8题图） （第10题图）
三、解答题：
11．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC= °，BC=
（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论
12.如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=4，AB=5，BC=6，点P是AB上一
个动点，当PC+PD的和最小时，PB的长为多少？
13.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的
延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的
长
15 ..14.已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2、2）（正方形
网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的
△ABC，点C 的坐标是 ；
1 1 1 1
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△ABC，使△ABC 与△ABC位似，且位似比为2：1，点
2 2 2 2 2 2
C 的坐标是 ；
2
（3）△ABC 的面积是多少平方单位？
2 2 2
寒假作业（五）答案
一、选择题：
1.D 2.D 3.B 4.B 5.C 6.C
二、填空题：
7. ． ． 9. ． 10. ．
8.
三、解答题：
11.①135， 2
②△ABC与△DEC相似
理由：由图可知，AB=2，ED=2
∴ 错误:
引用源未找到=错误: 引用源未找到=
∵∠ABC=∠DEC=135°，
∴△ABC∽△CED
12. 延长CB到E，使EB=CB，连接DE交AB于P．则DE就是PC+PD的和的最小值．
∵AD∥BE，
∴∠A=∠PBE，∠ADP=∠E，
∴△ADP∽△BEP，
∴AP：BP=AD：BE=4：6=2：3，
16 ..∴PB= PA，
又∵PA+PB=AB=5，
∴PB= AB=3．
故答案为：3
13.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，
∴∠AMB=∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°，
∴∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，
∴AM= =13，AD=12，
∵F是AM的中点，
∴AF= AM=6.5，
∵△ABM∽△EFA，
∴ ，
即 ，
∴AE=16.9，
∴DE=AE﹣AD=4.9．
14. （1）如图所示：C （2，﹣2）；
1
故答案为：（2，﹣2）；
（2）如图所示：C （1，0）；
2
故答案为：（1，0）；
（3）∵ =20， =20， =40，
∴△A B C 是等腰直角三角形，
2 2 2
∴△A B C 的面积是： × × =10平方单位．
2 2 2
17 ..故答案为：10．
寒假作业（6）三角函数
一、选择题：
1.sin60°的相反数是
（ ）
A. B. C. D.
2.在Rt△ABC中，∠C=900，AC=4，AB=5，则sinB的值是 （
）
2 3 3 4
A. B. C. D.
3 5 4 5
3. 把 △ ABC 三 边 的 长 度 都 扩 大 为 原 来 的 3 倍 ， 则 锐 角 A 的 正 弦 函 数 值
（ ）
A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．不能确定
第4题图 第6题图
名学生的体育成绩统计如图，则这组数据的众数、中位
A.18，18，1 B.18，17.5，3 C.18，18，3 D.18，17.5，1
5. 下 列 说 法 中 不 正 确 的 是
( )
A.抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件
B.把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件
C.任意打开七年级下册数学教科书，正好是97页是确定事件
D.一只盒子中有白球m个，红球6个，黑球n个(每个球除了颜色外都相同).如果从中任取
18 ..一个球，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么m与n的和是6
6.如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30º，朝物体AB方向前进20米到
达 点 C ， 再 次 测 得 A 点 的 仰 角 为 60º ， 则 物 体 的 高 度 为
（ ）
A.10 米 B.10米 C.20 米 D.
二、填空题：
7.计算 º=__________; sin45°=_________.
8.在Rt△ABC中,∠C=900,AB=6,cosB=,则BC的长为___________.
9.如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为__________.
A
B C
10.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，
AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是 ．
11.如图所示，机器人从A点沿着西南方向行了4个单位，到达B点后观察到原点O在它的南
偏东60°的方向上，则原来A点的坐标为___________.(结果保留根号）．
三、解答题：
12.计算：
（1）sin30cos60tan45tan60tan30 （2）
13.如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB cosDAC .
12
（1）求证：AC＝BD; （2）若sinC ，BC 12，求AD的长.
13
14.如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建
筑物的墙上留下高2米的影子CE；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的
影子F与墙角C有13米的距离（B、F、C在一条直线上）
(1)求教学楼AB的高度；(2)学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离（结
果保留整数）.
（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈ ）
19 ..15.如图所示，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，
B，C都可以使小灯泡发光.
(1)任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于 ；
(2)任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率.
16.如图，直线PQ与⊙O相交于点A、B，BC是⊙O的直径，BD平分∠CBQ交⊙O于点D，过点D
作DE⊥PQ，垂足为E．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）连结AD，己知BC=10，BE=2，求sin∠BAD的值．
寒假作业（6）答案
一、选择题：
1-6:C D A A A C
二、填空题：
, ;8.4; 9. ; 10.2; 11.
7.
12．（1）-1 （2）
13．(1)证明略 (2)8
14．(1)12(2)27
15.（1）P=O.25 (2)P=0.5
16.证明：（1）连结OD，则OD=OB, ∴∠OBD=∠ODB.
∵BD平分∠CBQ， ∴∠OBD=∠DBQ.
∵ DE⊥PQ , ∴∠BED=90°.
∴ ∠EBD + ∠BDE = 90°. ∴ ∠EDB + ∠BDO = 90°.
即：∠ODE = 90°.
20 ..∴ DE⊥OD , ∴DE是⊙O的切线.
（2）连结CD， 则∠CDB = 90°=∠BED,
∵ ∠CBD =∠DBE.∴ △CBD∽△DBE.
∴
即： =BC·BE=10×2=20, ∴ BD=
∴DE=4, ∴AB=6, ∴AE=8, ∴sin∠BAD=
寒假作业（9）综合试卷（三）
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．一元二次方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 （ ）
A． B． C． D．
2．方程x2 ＝2x的解是 （ ）
A．x＝2； B．x＝2，x＝0； C．x＝－ 2 ，x＝0； D．x＝0
1 2 1 2
3.二次函数y=2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是 （ ）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）
4. 盒子中装有2个红球和4个绿球,每个球除颜色外完全相同,从盒子中任意摸出一个球，
是绿球的概率是 （ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
4 3 2 3
5.已知扇形的半径为 ，圆心角为 ，则这个扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，两条宽度都是1的纸条交叉叠在一起，且它们的夹角为 ，则它们重叠部分（图中阴
影部分）的面积是（ ）
A． B． C． D．1
（第6题） （第7题） （第8题）
7．如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限
内 上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径为（ ）
21 ..A．6 B．5 C．3 D．
8．如图，在Rt ABC中，∠ABC=90°．AB=BC．点D是线段AB上的一点，连结CD．过点B作
BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF，给
△
出以下四个结论：① = ；②若点D是AB的中点，则AF= AC；③当B、C、F、D四点
在同一个圆上时，DF=DB；④若 = ，则S =9S ，其中正确的结论序号是（ ）
ABC BDF
△ △
A． ①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．母线长为2cm，底面圆的半径为1cm的圆锥的侧面积是 cm2．
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sin B=_______．
11. 一等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm，则其底角的余弦值为________．
12. 已知一组数据1，2，x，5的平均数是4，这组数据的方差是 ．
13. 若A（﹣4，y），B（﹣1，y），C（1，y）为二次函数y=x2+4x﹣5的图象上的三点，则y，y，y
1 2 3 1 2 3
的大小关系是 ．
14. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点
上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是 ．
15.一块直角三角板ABC按如图放置，顶点A的坐标为（0，1），直角顶点C的坐标为（﹣3，
0），∠B=30°，则点B的坐标为 ．
A C
P
B
D
16.如图，正方形（ AB 第 C1D4边题长）为1，以AB为直径作（半第圆 1 ， 5题点）P是CD 中点，BP与半（圆第交 16 于题点）
Q，连结DQ．给出如下结论：①DQ＝1；②=；③S ＝；④cos∠ADQ=．其中正确结论是
△PDQ
．（填写序号）
三、解答题（本大题共8题，共72分）
17 ． (8 分 ）（ 1 ） 解 方 程 ： （ 2 ） 计 算 ：
.
sin30cos60tan45tan60tan30.
22 ..18.（8分）某校为了解2013年八年级学生课外书籍借阅情况，从中随机抽取了40名学生课
外书籍借阅情况，将统计结果列出如下的表格，并绘制成如图所示的扇形统计图，其中
科普类册数占这40名学生借阅总册数的40%．
类别 科普类 教辅类 文艺类 其他
册数（本） 128 80 m 48
（1）求表格中字母m的值及扇形统计图中“教辅类”所对应的圆心角a的度数；
（2）该校2013年八年级有500名学生，请你估计该年级学生共借阅教辅类书籍约多少本？
19.（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点
E处．
（1）求证：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．
20. （8分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有△ABC,建立平面直角坐标系后,
点O的坐标是（0，0）．
（1）以O为位似中心，作△A′B′C′∽△ABC，相似比为1：2，且保证△A′B′C′在第三象限；
（2）点B′的坐标为（ ， ）；
（3）若线段BC上有一点D，它的坐标为（a，b），那么它的对
应点D′的坐标为（ ， ）．
21.（本题8分）已知关于x的一元二次方程： ．
（1）试判断原方程根的情况；
（2）若抛物线 与 轴交于
两点，则 ， 两点间的距离是否存在最大或最小
值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．
（友情提示： ）
23 ..22．（8分）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，
现均收到故障船c的求救信号．已知A、B两船相距100( ＋3)海里，船
C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一
观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
(1)分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD(如果运算结果有根号，
请保留根号)．
(2)已知距观测点D处200海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC
去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据： 2 ≈1.41， ≈1.73）
23.(12分)△ABC为等边三角形，边长为a，DF⊥AB，EF⊥AC，
（1）求证：△BDF∽△CEF；
（2）若a=4，设BF=m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m
为何值时S取最大值；
（3）若a=6时，已知A、D、F、E四点在同一个圆上，tan∠EDF= ，求此圆直径．
24．(12分) 如图，抛物线y= x2+mx+n与直线y=﹣ x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，
连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．
（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于
点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求
24 ..出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
寒假作业（9）综合试卷（三）答案
1-4:D B A D 5-8:B C C C
9. ; 10. ; 11. 或 ; 12. ;
13 ; 14.2; 15. ； 16.①②④
17.
18.m=64. ;1000
19.①证略；②
20.①图略.②-2，-1③
21.① 方程有两个不相等的实数根。②存在。m=1时AB最小,
22.解 ① ②过点 D 作 DF 垂直 AC，F 为垂足，易求
无危险。
25 ..23.①证略。② ，当m=2时，S最大，
③直径为
24.①
②
寒假作业（8） 综合试卷（二）
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是
（ ）
A．x2﹣2x﹣3=0 B．2x2﹣y﹣1=0 C．x2﹣x（x+7）=0 D．ax2+bx+c=0
2．圆锥的侧面展开图是一个弧长为12π的扇形，则这个圆锥底面积的半径是
（ ）
A．24 B．12 C．6 D．3
3. 如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是 （
）
A．AD2=DC•BD B．AB2=AC•BD C．AB•AD=BC•BD D．AB•AC=AD•BC
4. 在△ABC中， ，则△ABC为
（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．含60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形
第3题 第6题 第7题 第8题
5. 若点A（2，y ），B（﹣3，y ），C（﹣1，y ）三点在抛物线y=x2﹣4x﹣m的图象上，则y 、y 、
1 2 3 1 2
y 的大小关系是
3
（ ）
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 2 1 3 2 3 1 3 1 2
6．如图，将 沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD=4，DB=5，则BC的长是 （
）
A．3 B．8 C． D．2
26 ..7．如图，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x与y的比通常按黄金比来设计，这样
的扇子外形比较美观，若黄金比取0.6，则x为
（ ）
A．144° B．135° C．136° D．108°
8．如图，已知二次函数的解析式为y=x2﹣1，其图象上有一个动点P，连接OP（O为坐标原
点），并以OP为半径作圆，则该圆的最小面积是
（ ）
A． π B． π C．π D． π
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．数据a，a+1，a+2，a+3，a﹣3，a﹣2，a﹣1的平均数为 ，中位数是 ．
10．口袋中装有除颜色外完全相同的红球3个，白球n个，如果从袋中任意摸出1个球，摸出
红球的概率是 ，那么n= 个．
11. 三角形的两边长为2和4，第三边长是方程x2﹣6x+8=0的根，则这个三角形的周长是
．
12. 如图，半圆O的直径AE=4，点B，C，D均在半圆上，若AB=BC，CD=DE，连接OB，OD，
则图中阴影部分的面积为 ．
13. 若直线y=m（m为常数）与函数y= 的图象有三个不同的交点，则常数m
的取值范围 ．
14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tanB= ，点D，E分别在边AB，AC上，DE⊥AC，
DE=6，DB=20，则tan∠BCD的值是 ．
第12题 第14题 第16
题
15. 在Rt△ABC中，AC=3，BC=4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公
共点，那么半径r的取值范围是 ．
16. 如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分
别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是 ．
三、解答题（本大题共10题，共72分）
17．(6分）（1）解方程（2x﹣3）2=x2； (2)解方程：
18.（6分）计算：|2﹣tan60°|﹣（π﹣3.14）0+（ ）﹣2+ ．
27 ..19.（6分）已知：关于的方程x2﹣（k+1）x+ k2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长．
（1）求k实数的取值范围；
（2）当矩形的对角线长为 时，求实数k的值．
20.（6分）万圣节两周前，某商店购进1000个万圣节面具，进价为每个6元，第一周以每个
10元的价格售出200个；随着万圣节的临近，预计第二周若按每个10元的价格销售可售出
400个，但商店为了尽快减少库存，决定单价降价x元销售（根据市场调查，单价每降低1元，
可多售出100个，但售价不得低于进价）；节后，商店对剩余面具清仓处理，以第一周售价的
四折全部售出．
（1）当单价降低2元时，计算第二周的销售量和售完这批面具的总利润；
（2）如果销售完这批面具共获利1300元，问第二周每个面具的销售价格为多少元？
21.(6分) 学校冬季趣味运动会开设了“抢收抢种”项目，八（5）班甲、乙两个小组都想代表
班级参赛，为了选择一个比较好的队伍，八（5）班的班委组织了一次选拔赛，甲、乙两组各10
人的比赛成绩如下表：
甲组 7 8 9 7 10 10 9 10 10 10
乙组 10 8 7 9 8 10 10 9 10 9
（1）甲组成绩的中位数是 分，乙组成绩的众数是 分．
（2）计算乙组的平均成绩和方差．
（3）已知甲组成绩的方差是1.4，则选择 组代表八（5）班参加学校比赛．
22．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，D为AC延长线上一点，AC=3CD，过点D
作DH∥AB，交BC的延长线于点H．
（1）求BD•cos∠HBD的值；
（2）若∠CBD=∠A，求AB的长．
23.(8分) 如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处
再测得点C的仰角为45°，已知OA=100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i=1：2，且
28 ..O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器
高度忽略不计，结果保留根号形式）
24．(8分) 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于
点A，边CD与⊙O相交于点E，连接AE，BE．
（1）求证：AB=AC；
（2）若过点A作AH⊥BE于H，求证：BH=CE+EH．
25．(10分) 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”，例如图1，图2，图
3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三
角形”，设BC=a，AC=b，AB=c．
特例探索
（1）如图1，当∠ABE=45°，c=2 时，a= ，b= ．
如图2，当∠ABE=30°，c=4时，a= ，b= ．
归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用
图3证明你发现的关系式．
拓展应用
（3）如图4，在 ▱ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD=2 ，
AB=3，求AF的长．
26．(10分) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0）和点B（4，0），
且与y轴交于点C，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点，连接CA，
CD，PD，PB．
29 ..（1）求该抛物线的解析式；
（2）当△PDB的面积等于△CAD的面积时，求点P的坐标；
（3）当m＞0，n＞0时，过点P作直线PE⊥y轴于点E交直线BC于点F，过点F作FG⊥x轴
于点G，连接EG，请求出随着点P的运动，线段EG的最小值．
寒假作业（8） 综合试卷（二）答案
一、选择题: ACDA CABB
二、填空题:
9．a，a 10．2 11. 10 12. π 13. 0＜m＜4 14. 15. 3＜r≤4或 16.
4.8
三、解答题:
17．（1）x =3，x =1． （2）x =12，x =-11．
1 2 1 2
18.（6分）5．
19.（6分）解：（1）设方程的两根为x ，x
1 2
则△=[﹣（k+1） 2﹣4（ k2+1）=2k﹣3，
∵方程有两个实数]根，∴△≥0，
即2k﹣3≥0，
∴k≥ ．
（2）由题意得： ，
30 ..又∵x 2+x 2=5，即（x +x ）2﹣2x x =5，
1 2 1 2 1 2
（k+1）2﹣2（ k2+1）=5，
整理得k2+4k﹣12=0，
解得k=2或k=﹣6（舍去），
∴k的值为2．
20.（6分）解：（1）第二周的销售量为：400+100x=400+100×2=600．
总利润为：200×（10﹣6）+（8﹣6）×600+200（4﹣6）=1600．
答：当单价降低2元时，第二周的销售量为600和售完这批面具的总利润1600；
（2）由题意得出：200×（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（400+100x）+（4﹣6）[（1000﹣200）﹣
（400+100x） =1300，
整理得：x2﹣2x﹣3=0，
]
解得：x =3；x =﹣1（舍去），
1 2
∴10﹣3=7（元）．
答：第二周的销售价格为7元．
21.(6分) 解：（1）把甲组的成绩从小到大排列为：7，7，8，9，9，10，10，10，10，10，
最中间两个数的平均数是（9+10）÷2=9.5（分），则中位数是9.5分；
乙组成绩中10出现了4次，出现的次数最多，
则乙组成绩的众数是10分；
故答案为：9.5，10；
（2）乙组的平均成绩是： （10×4+8×2+7+9×3）=9，
则方差是： [4×（10﹣9）2+2×（8﹣9）2+（7﹣9）2+3×（9﹣9）2 =1；
]
（3）∵甲组成绩的方差是1.4，乙组成绩的方差是1，
∴选择乙组代表八（5）班参加学校比赛．
故答案为乙．
22．（6分）解：（1）∵DH∥AB，
∴∠BHD=∠ABC=90°，
∴△ABC∽△DHC，
∴ =3，
∴CH=1，BH=BC+CH，
在Rt△BHD中，
cos∠HBD= ，
∴BD•cos∠HBD=BH=4．
（2）∵∠CBD=∠A，∠ABC=∠BHD，
∴△ABC∽△BHD，
31 ..∴ ，
∵△ABC∽△DHC，
∴ ，
∴AB=3DH，
∴ ，
解得DH=2，
∴AB=3DH=3×2=6，
即AB的长是6．
23．(8分) 解：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，
在Rt△AOC中，AO=100，∠CAO=60°，
∴CO=AO•tan60°=100 （米）．
设PE=x米，
∵tan∠PAB= = ，
∴AE=2x．
在Rt△PCF中，∠CPF=45°，CF=100 ﹣x，PF=OA+AE=100+2x，
∵PF=CF，
∴100+2x=100 ﹣x，
解得x= （米）．
答：电视塔OC高为100 米，点P的铅直高度为 （米）．
24. (8分) 证明：（1）∵AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，
∴∠ABE=∠DAE，又∠EAC=∠EBC，
∴∠DAC=∠ABC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
（2）作AF⊥CD于F，
∵四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠ABC=∠AEF，又∠ABC=∠ACB，
∴∠AEF=∠ACB，又∠AEB=∠ACB，
∴∠AEH=∠AEF，
在△AEH和△AEF中，
，
∴△AEH≌△AEF，
32 ..∴EH=EF，
∴CE+EH=CF，
在△ABH和△ACF中，
，
∴△ABH≌△ACF，
∴BH=CF=CE+EH．
25．(10分) 解：（1）∵AH⊥BE，∠ABE=45°，
∴AP=BP= AB=2，
∵AF，BE是△ABC的中线，
∴EF∥AB，EF= AB= ，
∴∠PFE=∠PEF=45°，
∴PE=PF=1，
在Rt△FPB和Rt△PEA中，
AE=BF= = ，
∴AC=BC=2 ，
∴a=b=2 ，
如图2，连接EF，
同理可得：EF= ×4=2，
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∵EF∥AB，
∴△PEF～△ABP，
∴ ，
在Rt△ABP中，
AB=4，∠ABP=30°，
∴AP=2，PB=2 ，
∴PF=1，PE= ，
在Rt△APE和Rt△BPF中，
AE= ，BF= ，
∴a=2 ，b=2 ，
故答案为：2 ，2 ，2 ，2 ；
33 ..（2）猜想：a2+b2=5c2，
如图3，连接EF，
设∠ABP=α，
∴AP=csinα，PB=ccosα，
由（1）同理可得，PF= PA= ，PE= = ，
AE2=AP2+PE2=c2sin2α+ ，BF2=PB2+PF2= +c2cos2α，
∴ =c2sin2α+ ， = +c2cos2α，
∴ + = +c2cos2α+c2sin2α+ ，
∴a2+b2=5c2；
（3）如图4，连接AC，EF交于H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P，
∵点E、G分别是AD，CD的中点，
∴EG∥AC，
∵BE⊥EG，
∴BE⊥AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=2 ，
∴∠EAH=∠FCH，
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE= AD，BF= BC，
∴AE=BF=CF= AD= ，
∵AE∥BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴EF=AB=3，AP=PF，
在△AEH和△CFH中，
，
∴△AEH≌△CFH，
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∴EH=FH，
∴EQ，AH分别是△AFE的中线，
由（2）的结论得：AF2+EF2=5AE2，
∴AF2=5 ﹣EF2=16，
34 ..∴AF=4．
26．(10分) 解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）两点的坐标代入y=ax2+bx+2中，可得
解得
∴抛物线的解析式为：y=﹣ x2+ x+2．
（2）∵抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+2，
∴点C的坐标是（0，2），
∵点A（﹣1，0）、点D（2，0），
∴AD=2﹣（﹣1）=3，
∴△CAD的面积= ，
∴△PDB的面积=3，
∵点B（4，0）、点D（2，0），
∴BD=2，
35 ..∴|n|=3×2÷2=3，
∴n=3或﹣3，
①当n=3时，
﹣ m2+ m+2=3，
解得m=1或m=2，
∴点P的坐标是（1，3）或（2，3）．
②当n=﹣3时，
﹣ m2+ m+2=﹣3，
解得m=5或m=﹣2，
∴点P的坐标是（5，﹣3）或（﹣2，﹣3）．
综上，可得
点P的坐标是（1，3）、（2，3）、（5，﹣3）或（﹣2，﹣3）．
（3）如图1，
设BC所在的直线的解析式是：y=mx+n，
∵点C的坐标是（0，2），点B的坐标是（4，0），
∴
解得
∴BC所在的直线的解析式是：y=﹣ x+2，
∵点P的坐标是（m，n），
∴点F的坐标是（4﹣2n，n），
∴EG2=（4﹣2n）2+n2=5n2﹣16n+16=5（n﹣ ）2+ ，
∵n＞0，
∴当n= 时，线段EG的最小值是： ，
即线段EG的最小值是 ．
36 ..寒假作业（7）综合试卷（一）
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．一元二次方程x2-8x-1=0配方后可变形为（ ）
A. B. C. D.
2．下列说法正确的是 （ ）
A．掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是必然事件
B．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是S
甲
2=0.4，S 2=0.6，则甲的射击成绩较稳定
乙
C．“明天降雨的概率为0.5”，表示明天有半天都在降雨
D．了解一批电视机的使用寿命，适合用普查的方式
3. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（
）
A．∠ABP=∠C B． ∠APB=∠ABC C． = D． =
4.如图， 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+a的图象不经过( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
第3题 第4题 第5题
5. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB
交于点P，则∠ADP的度数为（ ）
A． 40° B．35° C．30° D．45°
6．如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC= BD，连接AC，若tanB= ，则tan∠CAD
的值（ ）A． B． C． D．
7．若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则这称这两个扇形相似。如图，如果扇形AOB
与扇形 是相似扇形，且半径 ( 为不等于0的常数)。那么下面四个
结论：
①∠AOB＝∠ ；②△AOB∽△ ；③ ；④扇形AOB与扇形 的面
积之比为 。成立的个数为：（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
A
1
A
A
B D C O B O 1 B
1
37 ..第6题 第7题 第8题
8．如图，△ABC、△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交
于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．抛物线y=x2+2x+3的顶点坐标是 ．
10．已知圆锥的侧面积等于 cm2，母线长10cm，则圆锥的高是
cm．
11. 关于x的方程kx2﹣4x﹣ =0有实数根，则k的取值范围是__ _ __ ___．
12. 已知一元二次方程x2-4x-3=0的两根为m、n ，则m2-mn+n2= ．
13. 如果将抛物线y＝x2＋2x－1向上平移，使它经过点A(0，3)，那么所得新抛物线的表达式
是_______________ ．
14. 如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已
知BC=BD=15cm, ∠CBD=40°，则点B到CD的距离为 cm(参考数据：sin20°≈
C
0.342，com20°≈0.940， sin40°≈ 0.643， com40°≈ 0.766.精确到0.1cm)
A
B
O
B
A
第 14 题 第 15 题
P
C D
第16题
图1 图2
15. 如图 ，将一块含300角的直角三角版和半圆量角器按如图的方式摆放 ，使斜边与半圆
相切。若半径OA=2 ，则图中阴影部分的面积为____________．(结果保留π)
16. 如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB
为直角三角形时，AP的长为 ．
三、解答题（本大题共10题，共72分）
17．(6分）（1）计算： ； (2)解方程：
18.（6分）如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（-1,3），B（-1,1），C（-3,2）.
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△AB C ；
1 1 1
（2）以原点O为位似中心，将△AB C 放大为原来的2倍，得到
1 1 1
△AB C ，并求出S ：S 的值.
2 2 2 △A1B1C1 △A2B2C2
38 ..19.（6分）一个不透明的袋子中装有大小，质地完全相同的3只球，球上分别标有2、3、5三个
数字。
（1）从这个袋子中任意摸一只球，所标数字是奇数的概率为 ．
（2）从这个袋子中任意摸一只球，记下所标数字，不放回，再从袋子中任意摸一只球，记下
所标数字，将第一次记下的数字作为十位数字，第二次记下的数字作为个位数字，组成一
个两数，求所组成的两位数是5的倍数的概率（请用“画树状图”或“列表”的方法写出
过程）
20.（6分）如图1是一把折叠椅子，图2是椅子完全打开支稳后的侧面示意图，其中AD和BC
表示两根较粗的钢管，EG表示座板平面，EG和BC相交于点F，MN表示地面所在的直线，
EG∥MN，EG距MN的高度为42cm，AB=43cm，CF=42cm，∠DBA=60°，∠DAB=80°．求两根较粗钢
管AD和BC的长．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，
tan80°≈5.67，sin60°≈0.87，cos60°≈0.5，tan60°≈1.73）
21.(6分) 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C的
坐标为（0，3），它的对称轴是直线x＝ . （1）求抛物线的解析式；
（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为
等腰三角形时，求M点的坐标.
22．（6分）一种进价为每件40元的T恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件.为提高
利润，欲对该T恤进行涨价销售.经过调查发现：每涨价1元，每周要少卖出10件.请确
定该T恤涨价后每周的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求销售
单价定为多少元时，每周的销售利润最大？
23.(8分) 如图四边形ABCD中，AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=900，E为AB的中点．
D
(1) 求证：AC2=AB•AD；
C
39 ..
F
A E B(2)若AD=4，AB=6，求 的值．
24．(8分) 如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B
作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．
（1）求证：AB=BE； （2）若PA=2，cosB= ，求⊙O半径的长．
25．(10分) 如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，点M在OC上，AM的延长线交⊙O于
点G，交过C的直线于F，∠1=∠2，连结CB与DG交于点N．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）求证：△ACM∽△DCN；
1
（3）若点M是CO的中点，⊙O的半径为4，cos∠BOC= ，求BN的长．
4
26．(10分) 如图，已知A(3，0)、B(4，4)、原点O(0，0)在抛物线y ＝ ax2＋bx＋c (a≠0)上．
（1）求抛物线的解析式．
（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个交点D，求m的值
及点D的坐标．
（3）如图，若点N在抛物线上，且∠NBO =∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足
△POD∽△NOB的点P的坐标（点P、O、D分别与点N、O 、B
y
对 应）
y
B
B
N
40 .. A
A
O x
O x
D
D
图16寒假作业（7） 综合试卷（一）答案
一、选择题:CBDD CDDA
二、填空题
9．（﹣1，2） 10．8 11. k≥﹣6．12.25．13. y=x2+2x+3．14. 14.1 15. + ．
16. 2， 或
三、解答题
17．略
18.（6分）（1）略（2）所作图形如下图所示： ∵△AB C 放大为原来的2倍，得到△AB C ,
1 1 1 2 2 2
∴△AB C ∽△A B C ∴ = ∴ =（ ）2= ， 即△AB C ：△AB C = .
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2
A
1
C
1
B
1
B
2
C
2
A
2
19.（6分）（1）
开始
（2）解：
第一个球 2 3 5
41 ..
第二个球 3 5 2 5 2 3
组成的两位数 23 25 32 35 52 53由树状图可知，所有可能的情况共有6种，所组成的两位数是5的倍数的情况有2种，
可知P（组成的两位数是5的倍数）＝ = .
20.（6分）解：作FH⊥AB于H，DQ⊥AB于Q，如图2，FH=42cm，
在Rt△BFH中，∵sin∠FBH= ，
∴BF= ≈48.28，
∴BC=BF+CF=48.28+42≈90.3（cm）；
在Rt△BDQ中，∵tan∠DBQ= ，
∴BQ= ，
在Rt△ADQ中，∵tan∠DAQ= ，
∴AQ= ，
∵BQ+AQ=AB=43，
∴ + =43，解得DQ≈56.999，
在Rt△ADQ中，∵sin∠DAQ= ，
∴AD= ≈58.2（cm）．
答：两根较粗钢管AD和BC的长分别为58.2cm、90.3cm．
42 ..21.(6分) （1）设抛物线的解析式
把A（2,0） C（0，3）代入得： 解得：
∴ 即
（2）由y＝0得 ∴
∴
①CM=BM时
∵BO=CO=3 即△BOC是等腰直角三角形
∴当M点在原点O时，△MBC是等腰三角形
∴M点坐标（0,0）
②BC=BM时
在Rt△BOC中, BO=CO=3, 由勾股定理得
∴BC= ∴BM=
∴M点坐标（
22．（6分）y= ，当x=65时，y有最大值6250
23.(8分) 解：(1) ∵AC平分∠DAB
∴∠DAC =∠CAB
又∵∠ADC =∠ACB=90°
∴△ADC∽△ACB
∴ =
∴AC2=AB·AD
(2)∵E为AB的中点
∴CE= AB=AE
∠EAC =∠ECA
∵AC平分∠DAB
∴∠CAD =∠CAB
∴∠DAC =∠ECA
43 ..∴CE∥AD
∴∠DAF =∠ECF ∠ADF =∠CEF
∴△AFD∽△CFE
∴ =
∵CE= AB
∴CE= ×6=3
又∵AD=4 由 = 得 =
∴ =
∴ = ．
24．(8分) （1）证明：连接OD，
∵PD切⊙O于点D，
∴OD⊥PD，
∵BE⊥PC，
∴OD∥BE，
∴ADO=∠E，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠OAD=∠E，
∴AB=BE；
（2）解：有（1）知，OD∥BE，
∴∠POD=∠B，新课 标第 一 网
∴cos∠POD=cosB= ，
在Rt POD中，cos∠POD= = ，
△
∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，
∴ ，
∴OA=3，
∴⊙O半径=3．
44 ..25．(10分) （1）证明：∵△BCO中，BO=CO，
∴∠B=∠BCO，
在Rt△BCE中，∠2+∠B=90°，
又∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BCO=90°，
即∠FCO=90°，
∴CF是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=∠FCO=90°，
∴∠ACB﹣∠BCO=∠FCO﹣∠BCO，
即∠3=∠1，
∴∠3=∠2，
∵∠4=∠D，
∴△ACM∽△DCN；
（3）解：∵⊙O的半径为4，即AO=CO=BO=4，
在Rt△COE中，cos∠BOC= 1 ，
4
∴OE=CO•cos∠BOC=4×=1，
由此可得：BE=3，AE=5，由勾股定理可得：
CE= = = ，
AC= = =2 ，
BC= = =2 ，
∵AB是⊙O直径，AB⊥CD，
∴由垂径定理得：CD=2CE=2 ，
∵△ACM∽△DCN，
∴ = ，
∵点M是CO的中点，CM=AO=×4=2，
∴CN= = = ，
∴BN=BC﹣CN=2 ﹣ = ．
45 ..26．(10分) （1）∵ A（3,0）、B（4,4）、O（0,0）在抛物线y＝ax2＋bx＋c (a≠0)上.
∴ 解得
∴ 抛物线的解析式为：y＝x2－3x
（2）设直线OB的解析式为y ＝ k x( k≠0)，由点B(4,4)得
1 1
4＝4 k，解得k＝1.
1 1
∴ 直线OB的解析式为y = x，∠AOB = 45°.
∵ B（4,4），
∴ 点B向下平移m个单位长度的点B′的坐标为（4,0），
故m = 4.
∴ 平移m个单位长度的直线为y = x - 4.
解方程组 得
∴ 点D的坐标为(2，－2)
（3）∵ 直线OB的解析式y＝x，且A(3,0)．
∵ 点A关于直线OB的对称点A′的坐标为(0,3) .
设直线A′B的解析式为y＝kx＋3，此直线过点B(4,4) .
2
∴ 4k＋3＝4， 解得 k＝ .
2 2
∴ 直线A′B的解析式为y＝ x＋3.
∵ ∠NBO=∠ABO,
∴ 点N在直线A′B上，
设点N(n， n＋3)，又点N在抛物线y＝x2－3x上，
∴ n＋3＝n2－3n.
解得 n＝ ，n＝4（不合题意，舍去）
1 2
∴ 点N的坐标为( ， ).
如图，将△NOB沿x轴翻折，得到△N OB，
1 1
46 ..y
A′ B
N
P
O 2
A x
P
1
D
N
1
B
1
则 N ( ， )，B （4，－4）.
1 1
∴ O、D、B 都在直线y＝－x上.
1
∵ △POD∽△NOB，
1
∴ △POD∽△N OB， ∴ P 为O N 的中点.
1 1 1 1 1
∴ ，
∴ 点P 的坐标为（ ， ）.
1
将△POD沿直线y =－x翻折，可得另一个满足条件的点（ ， ）.
1
综上所述，点P的坐标为（ ， ）和（ ， ).
寒假作业(10) 综合试卷（四）
一、选择题（每题3分，共24分）
1．已知关于x的方程x2 kx60的一个根为 ，则实数k的值为……………………..
（ ）
A．1 B．1 C．2 D．2
2．已知样本数据l，0，6，l，2，下列说法不正确的是…………………………………………（
）
A．中位数是6 B．平均数是2 C．众数是l D．极差是6
3.小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共12页，其中语文4页、数学2页、英语6页，他随机
地 从 讲 义 夹 中 抽 出 1 页 ， 抽 出 的 试 卷 恰 好 是 数 学 试 卷 的 概 率
为…………………………………………（ ）
A. B. C. D.
4.若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度
47 ..数是
A.40° B.80° C.120° D.150°
5.若A（-5， ），B（-3， ），C（0， ）为二次函数 的图象上的三点，则 、
、 的 大 小 关 系
是……………………………………………………………………………（ ）
A． ＜ ＜ B. C． D．
6.设a，b是方程 的两个实数根，则a2 2ab的值为……………………
（ ）
A．2013 B．2014 C．2015 D．2016
7. 如图，在 ▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，
S ：S =4：25，则DE：EC=…………………………………………………………（ ）
△DEF △ABF
2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2
A．
8. 如图，已知A，B，C三点在半径为2的⊙O上，OB与AC相交于 D，若
B
A
ACB=∠OAC，则 ＝……………………………………………（ ） C
D
O
A．1 B． C． D．
二、填空题（每题3分，共24分）
9. 如果关于x的方程x2 2xm0（m为常数）有两个相等实数根，那么m＝______．
10.抛物线 不动，把x、y轴分别向上、向右平移2个单位长度，则新坐标
系下抛物线的解析式______．
α
11．如图,平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边， 则 等于 。
12.若一组数据 ， ，…， 的方差是5，则一组新数据 ， ，…， 的方差是 \
13.某校安排三辆车，组织九年级学生团员去敬老院参加学雷锋活动，其中小王与小菲都可
以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小菲同车的概率为 .
14.如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围为
.
15.对于任何的实数t，抛物线 y=x2 +(2-t) x + t总经过一个固定的点，这个点是 .
16、如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，
动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于Q，
当CQ=错误: 引用源未找到CE时， EP+BP=____________.
· O
A M B
48 ..(第14题)
三、解答题（每本大题共10题，共72分）
17. (本题6分) 计算：． +︱1- ︱
18. (本题6分)解方程：（1） ； （2）（x﹣4）2=（5﹣2x）2
19. (本题6分)为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查．已知抽
取的样本中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表：
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根据图表提供的信息，回答下列问题：
（1）样本中，男生的身高众数在__________组，中位数在__________组；
（2）样本中，女生身高在E组的人数有__________人；
（3）已知该校共有男生400人，女生380人，请估计身高在160≤x<170之间的学生约有多少
人？
20. (本题6分)在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号l、2、3、4．小明先随机
地摸出一个小球，小强再随机地摸出一个小球.记小明摸出球的标号为x，小强摸出的球标号
为y.小明和小强在此基础上共同协商一个游戏规则：当x>y 时小明获胜，否则小强获胜.
①若小明摸出的球不放回，求小明获胜的概率．
②若小明摸出的球放回后小强再随机摸球，问他们制定的游戏规则公平吗?请说明理由．
21. (本题6分)已知△ABC，延长BC到D，使CD BC．取AB的中点F ，连结FD交AC
于点E．
AE
（1）求 的值；
AC
（2）若ABa，FB EC，求AC 的长．
22. (本题6分)初三（5）班综合实践小组去湖滨花园 测
量人工湖的长，如图A、D是人工湖边的两座雕塑，AB、
49 ..BC是湖滨花园的小路，小东同学进行如下测量，B点在A点北偏东60o方向，C点在B点北
偏东 45o方向，C 点在 D 点正东方向，且测得AB=20 米，BC=40 米，求 AD 的长。（
，结果精确到0.01米）
23. (本题8分) 如图， 是错误: 引用源未找到的内接三角形， ， 为错误:
引用源未找到中错误: 引用源未找到上一点，延长 至点 ，
Ｃ
使 ．
Ｅ
（1）求证： ；
Ｏ
Ｂ
（2）若 ，求证： ． Ａ
Ｄ
第23题图
24. (本题8分)某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为AB(单位：米)。现以AB所在直线为x
轴．以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设坐标原点为O．已知AB=8
米。设抛物线解析式为y=ax2-4．
(1)求a的值；
(2)点C(一1，m)是抛物线上一点，点C关于原点0的对称点为点D，
连接CD、BC、BD，求 BCD的面积。
25. (本题10分) 已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n
不垂直，点P为线段CD的中点．
（1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接
PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系： ．
（2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB
的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
50 ..（3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图③所示），若两
平行线m、n之间的距离为2k．求证：PA•PB=k•AB．
26. (本题10分)已知抛物线 与x轴交于A(－1，0)，B两点，交y轴于点C
(1) 求抛物线的解析式．
(2) 点E(m，n)是第二象限内一点，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，过点F作FG⊥y轴于点
G，连接CE、CF，若∠CEF＝∠CFG，求n的值并直接写出m的取值范围（利用图1完成你的
探究）．
(3) 如图2，点P是线段OB上一动点（不包括点O、B），PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ＝
∠OMP，BQ交直线PM于点Q，设点P的横坐标为t，求△PBQ的周长．
51 ..寒假作业（10）综合试卷（四）答案
一、选择题 ：1-4: A A C C 5-8: A B B C
二、填空题：
9.1 10. 11. 12. 20
13. 14. 15.(1，3) 16. 12
三、解答题：
17. 18.（1） （2）
19.（1）B C（2）2（3）332
20.(1) (2)不公平，小明的获胜概率不是 。
21. （1） （2）
22. AD=38.28米．
23．证明：(1)由同弧所对的圆周角相等，知∠ ∠ .
∵ , ,∴ ∠ ∠ ∠ ∠ ，
∴ ∠ ∠ ,
∴∠DCE-∠ACD=∠ACB-∠ACD
即：∠ ∠ .
又∵ , ,
∴ △ ≌△ . ∴ 5分
(2) ∵ ，∴
∵ ,∴ ∠ , ∴ ∠ ∠ .
由勾股定理，得
又∵ , ∴ ，∴ ,
52 ..∴ .
24. （1） （2）l5平方米
25.（1）PA=PB．（2）成立，理由略
（3）如图③，延长AP交直线n于点F，作AE⊥BD于点E，
∵直线m∥n，∴ ，∴AP=PF，∵∠APB=90°，
∴BP⊥AF，又∵AP=PF，∴BF=AB；
在△AEF和△BPF中，
∴△AEF∽△BPF，
∴ ，∴AF•BP=AE•BF，∵AF=2PA，AE=2k，BF=AB，∴2PA•PB=2k．AB，
∴PA•PB=k•AB．
26. (1) y= − (2) −2
