文档内容
2025 年秋季九年级开学摸底考试模拟卷
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答
卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：湘教版八年级下册+九年级上册第1章
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上).
1．（本题3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查中心对称图形和轴对称图形；根据把一个图形绕某一点旋转180度，
如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个
图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，判断即
可．
【详解】解：A为轴对称图形，不是中心对称图形；不符合题意；
B既不是中心对称图形又不是轴对称图形；不符合题意；
C为中心对称图形，不是轴对称图形；不符合题意；
D既是中心对称图形又是轴对称图形；符合题意；
故选：D．
2．（本题3分）三角形的三边长a，b，c满足 ，则此三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．首先将原等式变形为 ，然后得到 ，根据勾股定理的逆定理判断
即可．
【详解】解： ，
∴
即 ，
∵
∴
∴此三角形是锐角三角形，
故选：B．
3．（本题3分）如图，在矩形纸片 中， ， ，点E为 边上一点，
将 沿 翻折，点A恰好落在 边上点F处，则 长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理．弄清题目中各线
段间的关系是解题的关键．
由轴对称的性质可得： ，则 ， ；在 中，由勾
股定理可得 ，则 ；设 ，则 ，在 中，利用勾股定理
列出方程，解方程即可得出结论．
【详解】解：∵ 是由 沿直线 翻折得到，
∴ ，
则 ， ．
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ．在 中， ，
∴ ．
设 ，则 ， ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
解得： ．
则 ．
故选：B．
4．（本题3分）为了预估试验田中玉米的长势情况，研究人员对处于生长期的玉米株高进
行监测．为降低监测成本，研究人员选取部分玉米，收集了玉米株高（单位：厘米）的数
据．并整理制成如图所示的频数直方图，根据图示信息描述不正确的是（ ）
A．频数直方图中组距是4 B．株高在 之间的株数为14
C．玉米株高最大值与最小值差约为10 D．本次监测样本容量是40
【答案】C
【分析】本题主要考查了频数分布直方图，解题的关键是理解频数分布图的特点．根据频
数分布直方图逐项进行分析，判断即可．
【详解】解：A．根据频数分布图可知：频数直方图中组距是 ，故A正确，不符
合同意；
B．根据频数分布图可知：株高在 之间的株数为14，故B正确，不符合同意；
C．根据频数分布图可知：玉米株高最大值与最小值差约为 ，故C错误，符合
题意；D．本次监测样本容量是 ，故D正确，不符合同意．
故选：C．
5．（本题3分）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面 高的楼顶起飞，两架无人
机同时匀速上升 ．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度 （单位： ）与无人
机上升的时间 （单位： ）之间的关系如图所示：下列说法不正确的是（ ）
A．甲无人机上升的速度为
B． 时，乙无人机上升了
C． 时，乙无人机距离地面的高度是
D． 时，两架无人机的高度差是
【答案】B
【分析】本题主要考查从函数的图象获取信息；根据函数的图象获取信息逐一计算即可．
【详解】解：A．甲无人机上升的速度为： ，故正确，不符合题意；
B． 时，乙无人机上升了 ，故错误，符合题意；
C．乙无人机的速度为： ，
∴ 时，乙无人机距离地面的高度是： ，故正确，不符合题意；
D． 时，甲无人机距离地面的高度： ，
时，乙无人机距离地面的高度： ，
∴ 时，两架无人机的高度差是： ，故正确，不符合题意；
综上，不正确的是：B；
故选：B．
6．（本题3分） 九章算术 中记载：今有立木，系索其末，委地三尺 引索却行，去本八
尺而索尽，问索长几何 译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从
柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有 尺．牵着绳索 绳索头与地面接触 退行，
在距柱子根部 尺处时绳索用尽．问绳索长是多少．设绳索长为 尺，可列方程为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查勾股定理；根据题意，设绳索长为x尺，则柱子高度为 尺，
退行8尺后，绳索拉直形成直角三角形，应用勾股定理建立方程即可．
【详解】解：设绳索长为x尺，则柱子高度为 尺．
因此方程为： ，
整理得： ，
故选：C．
7．（本题3分）某公园有一种叫“喊泉”的娱乐项目，其原理是通过声音的响度刺激声敏
电阻，声敏电阻的变化影响电路中电流的变化，当电流 达到一定数值
时，小马达开始转动从而喷出水柱，当 时水柱立马消失，当 最大时喷出的水柱最
高．图1为某人声音的响度 随时间 变化的关系图，图2为声敏电阻的阻值
随声音的响度 变化的关系图（反比例函数图象的一部分），已知小马达两端的电
压 为 ，下列说法错误的是（ ）
A．第 时，声敏电阻的阻值为
B．第 时开始产生水柱C．在第 至 时喷出的水柱最高
D．喷出水柱的时长超过
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的应用，反比例函数的应用，待定系数法确定函数的解析式，
函数图象上点的坐标特征等知识点，正确理解题意并确定函数解析式是解题的关键．由图
1可得，在 时，函数的解析式为 ；在 时，设函数的解析式为 ；在
时，设函数的解析式为 ；由图2可得，其图象为函数 的一部
分．据此依次对各选项进行分析即可作出判断．
【详解】解：如图1，
在 时，设函数的解析式为 ，过点 ，
∴ ，解得： ，
在 时，函数的解析式为 ；
在 时，设函数的解析式为 ；
在 时，设函数的解析式为 ，过点 ， ，
∴ ，解得： ，
∴在 时，设函数的解析式为 ；
如图2，设该图象的函数解析式为 ，过点 ，
∴ ，解得： ，
∴设该图象的函数解析式为 ，
A．∵第 时， ，
∴将 代入 ，
解得： ，故此选项正确；
B．将 代入 ，解得 ，∴ ，
∴ ，开始产生水柱，故此选项正确；
C．由图1可知，在 时， 最大，
∴由函数关系 可知，此时 最小，
由函数关系 可知，此时 最大，
∴喷出的水柱最高．故此选项正确；
D．当 时， ，
此时 ，
将 代入 ，
得： ，解得： ，
将 代入 ，
得： ，解得： ，
∴喷出水柱的时长为 ，故此选项错误．
故选：D．
8．（本题3分）已知 ， ， 三点在反比例函数 的
图象上，则下列判断正确的是（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【答案】B
【分析】根据反比例函数 的图象上有 ， ， 三点，
比较三点的横坐标的大小，结合性质和m的符号分类解答即可．
本题考查了反比例函数的性质，有理数的大小比较，熟练掌握性质是解题的关键．【详解】解：根据反比例函数 的图象上有 ， ，
三点，
且 ，
故 ，
故在每一个象限内，y随x的增大而增大，
由 ，
解得
当 时，则 ，且
故 ，
故A选项不符合题意；
当 时，则 ，且
故 ，
故B选项符合题意；
当 时，则 ，且
故 ，
故C选项不符合题意；
当 时，则 ，且 ，
故 ，
故D选项不符合题意；
故选：B．
9．（本题3分）如图，在 中， 和 的平分线相交于点O，过O点作
交 于点E，交 于点F，过点O作 于D，下列四个结论：①
；② ；③点O到 各边的距离相等；④设 ，
，则 ，正确的结论有（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】①先由角平分线的定义得 ，再由 得 ，由
此得 ，进而得 ，同理 ，据此可对结论①进行判断；②先
根据角平分线的定义得 ， ，进而得
，然后根据 即
可对结论②进行判断；③过点 作 于 ， 于 ，连接 ，根据角平分
线的性质得 ， ，由此可得 ，据此可对结论③进行判断；④
由③得 ，则 ， ，进而得
，据此可对结论④进行判断．
【详解】解：① 是 的平分线，
，
，
，
，
，
同理： ，
，
故结论①正确；
② 和 的平分线相交于点 ，
， ，
，，
，
，
故结论②正确；
③过点 作 于 ， 于 ，连接 ，如图所示：
是 的平分线，
，
是 的平分线， ，
，
，
点 到 各边的距离相等，
故结论③正确；
④ ， ，
由③正确得： ，
， ，
．
故结论④正确．
故选：D．
【点睛】此题考查了角平分线的定义及性质，平行线的性质，等角对等边，三角形的面积
等知识点，熟练掌握角平分线的性质，平行线的性质是解决问题的关键．
10．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿 轴正半轴滚动变换，
①在滚动变换过程中，只改变边长，形状不变，点 对应点 ，得到等腰直角
三角形②，称① ②为第一次滚动变换；第二次滚动变换后点 对应点 ，得到等腰直角三角形③；第三次滚动变换后点 对应点 ，得到等腰直角三角形④；第
四次滚动变换后点 对应点 ，得到等腰直角三角形⑤；……依此规律，则
第2025个等腰直角三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性质和面积，根据 确定第1个
等腰直角三角形（即等腰直角三角形① 的面积，根据 确定第2个等腰直角三角形
（即等腰直角三角形② 的面积， ，同理，确定规律可得结论，确定各个等腰直角三角
形的边长是本题的关键．
【详解】解： 点 ，
第1个等腰直角三角形的面积 ，
，
第2个等腰直角三角形的腰长为 ，
第2个等腰直角三角形的面积 ，
，
第3个等腰直角三角形的腰长为 ，第3个等腰直角三角形的面积 ，
则第2025个等腰直角三角形的面积是 ；
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（本题3分）如果一个多边形的内角和是 ，那么这个多边形的边数是 ．
【答案】8
【分析】本题考查了多边形内角和，设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和建立方
程即可求解．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得： ，
解得： ；
故答案为：8．
12．（本题3分）调查 名学生的身高，列频数分布表时，学生的身高分布在 个小组中，
第一，二，三，五组的数据个数分别是 ， ， ， ，则第四组的频率是 ．
【答案】0.4
【分析】本题考查了频数和频率，根据共有 名学生，第一，二，三，五组的人数分别是
， ， ， ，求出第四组的频数为 ，这 名学生占总人数的百分比即为第四组的频
率．
【详解】解： 共有 名学生，第一，二，三，五组的人数分别是 ， ， ， ，
第四组的人数是 ，
第四组的频率是 ．
故答案为： ．
13．（本题3分）在平面直角坐标系中，点 在 轴上方且到 轴的距离是3个单位长度，
在 轴左方且到 轴距离是4个单位长度，则点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距
离是横坐标的绝对值是解题的关键．根据题意点A在第二象限，故横坐标为负数，纵坐标
为正数，再根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，y轴的距离是横坐标的绝对值即可得到答案．
【详解】解：∵点 在 轴上方且到 轴的距离是3个单位长度，在 轴左方且到 轴距离
是4个单位长度，
∴点 的坐标为 ，
故答案为： ．
14．（本题3分）如图，在矩形 中，对角线 ， 相交于点 ，过点 的直线分
别交 ， 边于点 ， ，若 ，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了矩形的性质，勾股定理以及全等三角形的判定和性质，首先根据
题意得出矩形的面积，然后结合矩形的性质证明 ，得 、
的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为 的面积．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
又∵ ，
∴
∴ ，
在 中，
∴
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
15．（本题3分）如图，在四边形 中，点E，F分别是 的中点．若
，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形的中位线的判定与性质，勾股定理，作出正确的辅助线是解题的
关键．
设 边的中点为G，连接 ， ，易证 ， ，
， ， ， ．继而证明
．在 中， ．即可解答．
【详解】解：如图，设 边的中点为G，连接 ， ．
∵点E，G分别是 ， 的中点，∴ ， ，
∴ ．
∵点F，G分别是 ， 的中点，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ，
，
∴ ．
在 中， ．
故答案为： ．
16．（本题3分）如图，点A在双曲线 上，点B在双曲线 上，
在x轴上，若四边形 为平行四边形且面积为5，则 等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，关键是由平行于x轴的直线上的点的
纵坐标相等，设出点的坐标，再根据平行四边形的面积公式计算．由 轴，可知， 、
两点纵坐标相等，设 ，求出 的长，再根据平行四边形的面积公式进
行计算即可．
【详解】解： 点 在双曲线 上，点 在双曲线 上， 轴，
设 ，，
，
，
故答案为： ．
17．（本题3分）如图，在 中， ， ， 的平分线交 于点
， 、 分别是 和 上的动点，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质，含 角的直角三角形，垂线段最短，解题的关键
是正确作出辅助线．
作 于点 ，根据垂线段最短可知， 的最小值是线段 的长度，根据
解含 角的直角三角形即可．
【详解】解：如图，作 于点 ，
∵ 平分 ，
作点 关于 的对称点 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值是 ，
故答案为： ．18．（本题3分）已知关于x的分式方程 有正整数解，且关于x的一次函数
的图象不经过第三象限，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了分式方程的求解和一次函数的图象与性质，熟练掌握解分式方程的方
法、熟知一次函数的图象与性质是解题的关键；
先求出分式方程的解，结合分式方程的解是正整数得到a的取值，再根据一次函数的图象
与性质得出a的范围，进而确定符合题意的a的值，再求和即可．
【详解】解：分式方程 去分母，得 ，
整理得： ，
当 ，即 时， ，
∵分式方程 有正整数解，且 ，
∴ 或 或 或 或 ，
∴ ，
∵关于x的一次函数 的图象不经过第三象限，
∴ ，
解得 ，
综上，满足条件的整数 ，
它们的和是 ；
故答案为：2．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．19-20题每题6分，21-22题每题8分，23-24题
每题9分，25-26题每题10分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本题6分）如图，在平面直角坐标系内， 的三个顶点坐标分别为
．(1)在图中，画出 向左平移9个单位得到的 ；
(2)在图中，画出以点O为对称中心，与 成中心对称图形的 ；
(3)在直角坐标系内，存在点P，使得以点A， ， ，P四点为顶点的四边形为平行四边
形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．
【答案】(1)见详解；
(2)见详解；
(3)见详解
【分析】本题考查图形与坐标，图形的平移与旋转，
（1）把 向左平移9个单位即可；
（2）以点O为对称中心，画出 各个顶点的对称点，顺次连线即可；
（3）根据平行四边形的性质，画出图形，即可得到P的坐标
【详解】（1）解：如图所示，（2）解：如图所示，
（3）解：如图所示，点P的坐标分别是
20．（本题6分）如图，在四边形 中， ， ， ， ，
．
(1)求 的度数；
(2)求四边形 的面积．
【答案】(1)
(2)36
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是先利用勾股定理求出直角
三角形的斜边，再用勾股定理的逆定理判断另一个三角形是否为直角三角形，进而解决角
度和面积问题．
（1）先在 中用勾股定理求出 的长，再在 中通过勾股定理的逆定理判断
其为直角三角形，从而得出 的度数；（2）把四边形 的面积拆分为 和 的面积之和，分别计算两个直角
三角形的面积后相加得到四边形面积．
【详解】（1）解： ， ， ，
， ，
是直角三角形，
；
（2）解： ，
，
．
21．（本题8分）一次函数 的图像与反比例函数 的图像交
于点 和点 ，与y轴交于点M．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)在y轴上取一点N，当 的面积为4时，求点N的坐标；
(3)将直线 向下平移2个单位后得到直线 ，当函数值 时，求x的取值范围
（直接写出答案）．
【答案】(1) ，
(2) 或(3) 或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求解析式；
（1）将 代入 ，求得 ，进而可得 ，得出 ，进而
待定系数法求得一次函数解析式；
（2）根据 的面积为2，得出 ，根据 ，进而即可求解；
（3）根据一次函数的平移得出 的解析式，进而联立 ，得出交点坐标，进而结合
函数图象，即可求解．
【详解】（1） ，
，
∴
由
得 ， ，
（2） ，
，
，当 时， ，则 ，
或
（3）∵直线 向下平移2个单位长度后得到直线 ，∴
当 时 ，
解得 ，
根据函数图象可得：当 时， 或 ．
22．（本题8分）为弘扬中华优秀传统文化，某校举办了诗词大赛，本次比赛随机抽取了
30名学生参加了诗词积累和诗词运用比赛，该校对他们的这两项成绩（百分制）分别进行
了整理和分析．（A组： ，B组： ，C组： ，D组：
），部分信息如下：
a．诗词积累成绩频数分布直方图和诗词积累成绩扇形统计图分别如图1和图2所示．
b．诗词积累成绩中C组的分数由低到高依次为81，81，82，83，83，84，84，85，86，
88，88，88，89．
c．诗词积累、诗词运用成绩的平均数、中位数、众数、最高分分别如下表所示：
平均 中位 众 最高
数 数 数 分
诗词积
82 m 88 97
累
诗词运
80 84 86 94
用根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中 分；扇形统计图中，C组所对的角心角为 ．
(2)小明同学参加了本次诗词大赛，他的诗词积累、诗词运用都是83分，那么他的成绩排
名靠前的是 （填“诗词积累”或“诗词运用”），理由是 ．
(3)请你选两个角度分析该校学生诗词积累和诗词运用的情况，并提出合理化建议．
【答案】(1) ，
(2)诗词积累，理由见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了频数分布直方图，扇形统计图，中位数，平均数等等，熟知相关
知识是解题的关键．
（1）根据中位数的定义可得m的值；用360度乘以C的人数占比可求出对应的圆心角度
数；
（2）用诗词积累和诗词运用的成绩分别与其对应的中位数比较即可得到结论；
（3）根据平均数和中位数写出合理化的建议即可．
【详解】（1）解；把这30名学生的诗词积累成绩按照从低到高的顺序排列，中位数为第
15名的成绩和第16名成绩的中位数，
∵ ，
∴诗词积累成绩的中位数为 ，即 ；
扇形统计图中，C组所对的角心角为 ；
（2）解：诗词积累排名靠前，理由是：诗词积累成绩83大于其中位数，说明成绩在中等
水平之上；诗词运用成绩小于其中位数，说明成绩在中等水平之下．
（3）解：从平均数看，诗词积累略好于诗词运用；从中位数看诗词运用处于中间的人数的
成绩略好于诗词积累；建议学校活动策划侧重于诗词运用的学习．
23．（本题9分）如图，四边形 的对角线 ， 相交于点 ，其中 ，
， 平分 ， 为 的中点，连接 ．(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的
中线性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
（ ）先证明四边形 是平行四边形， ，再证明 ，得，
然后由菱形的判定即可得出结论；
（ ）由菱形的性质得 ，再由直角三角形斜边上的中线性质得 ，
然后由等腰三角形的性质即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
（2）解：由（ ）知，四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ．
24．（本题9分）为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某公司小金、小衢两位员工每
天骑共享单车上班（每次骑行均按平均速度行驶，其他因素忽略不计）．每次支付费用
元与骑行时间 之间的对应关系如图所示．其中A种共享单车支付费用对应的函数为
；B种共享单车支付费用是 之内，起步价 元，对应的函数为 ．请根据函数图
象信息，解决下列问题：(1)小金每天早上骑行A种共享单车或B种共享单车去公司上班．已知两种共享单车的平均
行驶速度均为 ，小金家到公司的距离为 ，那么小金选择______种电动车
更省钱（填“A”或“B”）．
(2)当 时，求A、B两种共享单车的支付费用的函数表达式．
(3)一天，小金骑行A种共享单车从家到公司上班，小衢骑行B种共享单车从家到公司上班，
若两人支付费用同为 元，求小金和小衢骑行的时间差．
【答案】(1)B
(2)当 时， ，
(3)小金和小衢骑行的时间差为1分钟
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系，找到函数关系式
是解题的关键．
（1）根据时间 路程 速度求出小金从家到公司所用时间，再根据图象比较 、 的大小
即可；
（2）分别计算A、B两种共享单车每分钟的费用，从而写出对应函数关系式即可；
（3）分别计算当 、 时对应 的值并求差即可．
【详解】（1）解： ，
由图象可知，当 时， ，
小金选择B种电动车更省钱，
故答案为：B；
（2）当 时，A种共享单车每分钟的费用为 ，
B种共享单车每分钟的费用为 ，则 ， ，
当 时，A种共享单车的支付费用的函数表达式 ，B种共享单车的支付费用
的函数表达式 ；
（3）当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
，
答：小金和小衢骑行的时间差为1分钟．
25．（本题10分）综合与探究
如图1，反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点 ， ．
(1)求一次函数 的表达式．
(2)若 是 轴上一动点，连接 ， ，当 的值最小时，求点 的坐标．
(3)如图2，已知直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，连接 ， ， 是直线
上的第一象限内的一点，点 的横坐标为 ，过点 作 轴于点 ，连接 ，若
，求 的值．
【答案】(1)
(2)(3)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合、利用轴对称的性质求两线段和的最小
问题等知识，熟练掌握函数的基本知识是解题的关键；
（1）先把点 ， 代入 求出m、n，再代入一次函数的解析式求解即可；
（2）作点A关于y轴的对称点M，连接 交y轴于点P，则此时 的值最小，待定
系数法求出直线 的解析式，再求出与y轴的交点即可得解；
（3）先求出点C的坐标，然后根据 即可求出三角形 的面积，进
而得到三角形 的面积，即可得出关于a的等式，变形后整体代入所求式子求解即可．
【详解】（1）解：把点 ， 代入 ，可得 ，
∴点 ， ，
把点 ， 代入一次函数 ，得到
，解得： ，
∴ ，
∴一次函数的表达式为 ；
（2）解：作点A关于y轴的对称点M，连接 交y轴于点P，则此时 的值最小，
如图，
∵点 ，
∴点 ，设直线 的解析式为 ，
则 ，解得 ， ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
∴点P的坐标是 ；
（3）解：对于 ，当 时， ，
∴点C的坐标是 ，
则 ，
∵
∴ ，
∵ 是直线 上的第一象限内的一点，点 的横坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
整理可得：
∴ ．
26．（本题10分）如图1，四边形 是正方形，E，F分别在边 和 上，且
（此时 ），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模
型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段 ， ， 之间的关系，将
绕点A顺时针旋转 后解决了这个问题．(1)请直接写出线段 ， ， 之间的关系．
(2)如图3，等腰直角三角形 ， ， ，点E，F在边 上，且
，请写出 ， ， 之间的关系，并说明理由．
(3)如图4，在 中， ， ，点D，E在边 上，且 ，
当 ， 时，求 的长．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
(3)40
【分析】本题主要考查旋转的性质，正方形的性质及全等三角形的判定和性质、勾股定理，
难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）利用旋转的性质，证明 ，得到 ，等量代换，即可证明
；
（2）把 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，根据旋转的性质得
， ，在 中， ，可求得 ，所以
，再证明 ，利用 得到 ．
（3）同（2）方法，把 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，可证明：
，在 中， ， ， ，过点D作 ，垂
足为 ，利用 直角三角形性质和勾股定理求出 即可求出答案．
【详解】（1）解：
证明：由旋转可得 ， ， ，
四边形 为正方形，
，
，
，
，，
在 和 中，
，
，
，
，
；
（2）猜想： ，
证明：把 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，如图3，
， ， ， ，
，
，
，即 ，
，
又 ，
，
，即 ，
在 和 中
，
，
．
（3）证明：把 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，如图4，， ， ，
，
， ，
，
，即 ，
又 ，
，
在 和 中
，
，
过点D作 ，垂足为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
．
∴ ，
∴ ，
∴ ．
