文档内容
28.1 锐角三角函数（第3课时）
教学目标
1．通过探究三角尺的边角关系，推导并掌握特殊角（30°，45°，60°角）的正弦值、
余弦值、正切值．
2．会运用特殊角的锐角三角函数值进行有关计算，会根据特殊角的三角函数值判断三
角形的形状或求特殊角．
教学重点
掌握特殊角（30°，45°，60°角）的正弦值、余弦值、正切值．
教学难点
会灵活运用特殊角的三角函数值解决问题．
教学过程
知识回顾
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记
作cos A，即cos A＝ ＝ ；
把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tan A，即tan A＝ ＝ ．【设计意图】回顾上节课学习的“锐角的余弦、正切”，为本节课的学习内容作铺垫．
新知探究
一、探究学习
【问题】如图，两块三角尺中有几个不同的锐角？这几个锐角的正弦值、余弦值和正
切值各是多少？
【师生活动】教师引导学生思考、交流，得出：两块三角尺中有3个不同的锐角，分
别是30°，45°和60°角．
教师提示：设图中两块三角尺较短的边长分别为a，d，利用勾股定理和锐角三角函数
的定义可以求出这些锐角三角函数值．
教师先带领学生求出30°和60°角的正弦值、余弦值和正切值，再让学生独立求出45°
角的正弦值、余弦值和正切值．
解：如图，设BC＝a．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC＝2a．
由勾股定理得AC＝ ＝ ．
∴sin 30°＝ ＝ ＝ ，cos 30°＝ ＝ ＝ ，
tan 30°＝ ＝ ＝ ．
∴sin 60°＝ ＝ ＝ ，
cos 60°＝ ＝ ＝ ，
tan 60°＝ ＝ ＝ ．
如图，设EF＝d．
在Rt△DEF中，∠F＝90°，∵∠D＝∠E＝45°，∴DF＝EF＝d．
由勾股定理得DE＝ ＝ ．
∴sin 45°＝ ＝ ＝ ，
cos 45°＝ ＝ ＝ ，
tan 45°＝ ＝ ＝1．
【新知】30°，45°，60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角A
30° 45° 60°
锐角三角函数
sin Acos A
tan A 1
【设计意图】让学生通过自主探索，求出特殊角的三角函数值，进一步体会锐角的度
数与比值之间的对应关系，加深对锐角三角函数概念的理解，提高分析问题、解决问题的
能力．
二、典例精讲
【例1】求下列各式的值：
（1）cos2 60°＋sin2 60°； （2） －tan 45°．
【师生活动】教师提示：sin2 60°表示(sin 60°)2，即(sin 60°)·(sin 60°)．学生根据提示，
独立完成，教师指导、讲解．
【答案】解：（1）cos2 60°＋sin2 60°＝ ＋ ＝1；
（2） －tan45°＝ ÷ －1＝0．
【归纳】有关特殊角的三角函数值的计算，先直接写出三角函数值，将运算转化为实
数的混合运算，然后根据实数的运算法则计算．
【设计意图】通过例1，考察学生是否会运用特殊角的锐角三角函数值进行计算．
【例2】（1）如图（1），在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝ ，BC＝ ，求∠A的
度数；
（2）如图（2），AO是圆锥的高，OB是底面半径，AO＝ OB，求α的度数．【师生活动】学生小组讨论，尝试作答，教师指导、讲解，并给出提醒：当A，B均
为锐角时，若A≠B，则sin A≠sin B，cos A≠cos B，tan A≠tan B．
【答案】解：（1）∵sin A＝ ＝ ＝ ，
∴∠A＝45°．
（2）∵tan α＝ ＝ ＝ ，
∴α＝60°．
【归纳】由锐角三角函数值确定特殊角的一般步骤：
第1步：通过边之间的关系或者其他关系得到锐角三角函数值；
第2步：根据特殊角的锐角三角函数值，确定锐角的度数．
【设计意图】通过例2，让学生学会根据特殊角的三角函数值求特殊角．
【例 3】已知△ABC 中的∠A 与∠B 是锐角，且∠A 与∠B 满足(1－tan A)2＋
＝0，试判断△ABC的形状．
【师生活动】学生小组讨论，尝试作答，教师指导、讲解．
【答案】解：∵(1－tan A)2＋ ＝0，
∴tan A＝1，sin B＝ ．
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝180°－45°－60°＝75°．
∴△ABC是锐角三角形．
【设计意图】通过例3，让学生学会根据特殊角的三角函数值判断三角形的形状．
课堂小结板书设计
一、特殊角的三角函数值
二、应用特殊角的三角函数值判断三角形的形状或求特殊角
课后任务
完成教材第67页练习第1～2题．
教学反思
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