文档内容
28.1 锐角三角函数（第2课时）
教学目标
1．感知当直角三角形的锐角度数确定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都确
定这一事实．
2．理解锐角的余弦、正切的定义，知道锐角三角函数的概念，能应用锐角的正弦、余
弦、正切进行证明和计算．
3．经历对余弦、正切的概念及应用的探究过程，逐步培养观察、比较、分析、概括的
思维能力．
教学重点
理解并掌握锐角的余弦、正切的定义，并能灵活应用它们进行证明和计算．
教学难点
余弦、正切的概念的探究过程；会选择适合的方法求锐角三角函数．
教学过程
知识回顾
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的 对边与斜边的比 叫做∠A的正
弦，记作sin A，即sin A＝ ＝ ．
【设计意图】回顾上节课学习的“锐角的正弦”，为本节课的学习作铺垫．新知探究
一、探究学习
【问题】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A确定时，∠A的对边与斜边的比随
之确定．此时，其他边之间的比是否也随之确定呢？为什么？
【师生活动】教师引导学生思考、交流，并用准确的数学语言归纳自己的猜想．
【猜想】在Rt△ABC中，当∠A确定时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边
的比都是确定的．
【探究】如图，任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，
那么 与 相等吗？ 与 呢？你能解释一下吗？
【师生活动】学生先独立思考，再小组讨论，完成作答．
【答案】解： ＝ ， ＝ ．
理由如下：∵∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，
∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．
∴ ＝ ＝ ．
即 ＝ ， ＝ ．【新知】类似正弦的情况，如图，在Rt△ABC中，当∠A确定时，∠A的邻边与斜边
的比、∠A的对边与邻边的比都是确定的．
我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即cos A＝ ＝
；把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tan A，即tan A＝ ＝ ．
【提醒】（1）余弦、正切是在直角三角形中相对于锐角定义的，反映了直角三角形边
与角的关系，不能在非直角三角形中套用；
（2）余弦、正切是一个比值，是两条线段长度的比，是没有单位的数值，只与角的大
小有关，与三角形的大小无关．
【新知】对于锐角A的每一个确定的值，sin A有唯一确定的值与它对应，所以sin A
是A的函数．同样地，cos A，tan A也是A的函数．
∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数．
【提醒】锐角三角函数的实质是一个比值，这些比值只与锐角的大小有关．当锐角A
的大小确定后，sin A，cos A，tan A就都确定了，所以sin A，cos A，tan A都是以锐角A
为自变量的函数．
【设计意图】引导学生仿照研究锐角的正弦的思路和方法，自己完成锐角的余弦、正
切的探索过程，培养学生的推理论证意识，让学生更好地理解锐角三角函数的概念．
二、典例精讲
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求sin A，cos A，tan
A的值．【师生活动】学生独立完成，教师指导、讲解．
【答案】解：由勾股定理，得AC＝ ＝ ＝8．
∴sin A＝ ＝ ＝ ，cos A＝ ＝ ＝ ，tan A＝ ＝ ＝ ．
【归纳】直接用定义法求锐角三角函数值：
第1步：根据已知条件，选择合适的定理（如勾股定理等）求出所需的边长；
第2步：根据锐角三角函数的定义进行求解．
【设计意图】通过例1，考察学生是否会直接用定义法求出锐角三角函数值．
【例2】已知α是锐角，且cos α＝ ，求sin α及tan α的值．
【师生活动】学生小组讨论，尝试作答，教师指导、讲解．
【答案】解：如图，在Rt△ABC中，令∠A＝α，∠C＝90°．
∵cos α＝ ，
∴可设AC＝4k，AB＝5k(k＞0)．
∴BC＝ ＝3k．
∴sin α＝ ＝ ＝ ，tan α＝ ＝ ＝ ．
【归纳】设参数法求锐角三角函数值．已知锐角的一个三角函数值，求该角的另外两个三角函数值，可设参数解答．没有给
出图形的题目，一般应先根据题目已知条件画出符合题意的图形，再采用设参数法，并结
合勾股定理及锐角三角函数的定义来解决，注意在最后计算时约去参数．
【设计意图】通过例2，让学生学会用参数法求锐角三角函数值．
【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12，求∠B的三角函数值．
【师生活动】教师提示：求锐角的三角函数值必须在直角三角形中，若题目中没有直
角三角形，则可作辅助线构造直角三角形解决问题．
学生根据提示，思考作答，教师指导、讲解．
【答案】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝ BC＝6．
在Rt△ABD中，AD＝ ＝ ＝2 ，
∴sin B＝ ＝ ＝ ，
cos B＝ ＝ ＝ ，
tan B＝ ＝ ＝ ．
【归纳】构造直角三角形求锐角三角函数值的步骤：
第1步：观察所要求的锐角是否在某一个直角三角形中；第2步：若在直角三角形中，则根据锐角三角函数的定义直接求出其锐角三角函数值；
若在锐角（或钝角）三角形中，则应先作辅助线构造以该角为内角的直角三角形，再根据
锐角三角函数的定义求其锐角三角函数值．
【设计意图】通过例3，让学生学会构造直角三角形求锐角三角函数值．
【例4】如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若
AC＝2，求tan D的值．
【师生活动】学生独立思考，尝试作答，教师指导、讲解．
【答案】解：如图，连接BC．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∵AB＝2×3＝6，
∴BC＝ ＝ ＝4 ．
∵∠D＝∠A（圆周角定理的推论），
∴tan D＝tan A＝ ＝ ＝2 ．
【归纳】用等角转化法求锐角三角函数值．
求锐角三角函数值的方法有很多，如设参数法、构造法等，但当直接利用这些方法都
不能求解时，可将角进行转化，把所求角转化为与之相等的角．找相等的角的方法有很多
种，可借助平行线、等腰三角形、同弧所对的圆周角相等、三角形全等（或相似）等知识
来寻找，要根据题目中的条件灵活选用方法．
【设计意图】通过例4，让学生学会用等角转化法求锐角三角函数值，能根据题中的条件灵活选用求锐角三角函数的方法．
课堂小结
板书设计
一、锐角三角函数
二、求锐角三角函数的方法
课后任务
完成教材第65页练习第1～2题．
教学反思
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