文档内容
好题精选·同步精练 4.1 整式
第一课时 单项式
知识点1 单项式的定义及相关概念
1．（23-24七年级上·新疆喀什·期末）下列式子中，（ ）是单项式．
3 2 2a+3b 1
A． B． C． D．
π a 3 a+b
【答案】A
【分析】根据单项式的定义（由数或字母的积组成的整式：字母和数字的乘积的形式，单独的字母也是单
项式）对题目中的四个选项逐一进行判断即可得出答案．此题主要考查了单项式的定义，熟练掌握单项式
的定义是解决问题的关键．
3
【详解】解：A、 是单项式，故选项A符合题意；
π
2
B、 不是整式，不是单项式，故选项B不符合题意；
a
2a+3b
C、 是多项式，不是单项式，故选项C不符合题意；
3
1
D、 不是整式，不是单项式，故选项D不符合题意；
a+b
2 b+2
2．（23-24七年级上·云南文山·阶段练习）在式子2x+3 y， ，0.5 ，−2x，3a2b， 中，单项式的
a 2
个数是（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个【答案】C
【分析】本题主要考查了单项式的定义，利用单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独
的一个数或字母也是单项式，进而得出答案．
2 b+2
【详解】解：代数式2x+3 y， ，0.5 ，−2x，3a2b， 中，0.5，−2x，3a2b是单项式，故单项
a 2
式的个数有3个．
．
3．（22-23九年级上·广东湛江·期中）单项式−2πx y2z的系数是（ ）
A．−2 B．−2π C．2 D．2π
【答案】C
【分析】本题考查了单项式的知识，根据单项式系数的定义“数字因数”即可求解，掌握单项式的定义是
解题的关键．注意：π是常数．
【详解】解：单项式−2πx y2z的系数是−2π，
．
4．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）单项式−2x2y的系数和次数分别是（ ）
A．2、3 B．−2、3 C．2、2 D．−2、2
【答案】C
【分析】本题考查单项式中的系数和次数，根据系数和次数的概念求解即可．
【详解】解：单项式−2x2y的系数是−2，次数是1+2=3．
故答案为：B
5．（23-24七年级上·上海·阶段练习）下列各式是5次单项式的是（ ）
A．5x5y B．−x y4 C．23xy D．x2+x3
【答案】C
【分析】本题考查单项式的次数的定义：单项式中所有字母指数的和为单项式的次数．利用单项式中所有
字母指数的和为单项式的次数逐一判断即可．【详解】解：A、单项式5x5y的次数是1+5=6次，本选项不符合题意；
B、单项式−x y4的次数是1+4=5次，本选项符合题意；
C、单项式23xy的次数是1+1=2次，本选项不符合题意；
D、x2+x3是多项式不是单项式，其次数是3次，本选项不符合题意；
．
6．（2024·内蒙古包头·三模）若单项式−3x2y的系数是m，次数是n，则mn的值为（ ）
A．9 B．3 C．−3 D．−9
【答案】D
【分析】本题考查单项式，根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的
和叫做单项式的次数可得m、n的值，进而可得mn的值．解题的关键是掌握单项式的相关定义．
【详解】解：∵单项式−3x2y的系数是−3，次数是3，
∴m=−3，n=3，
∴mn=−3×3=−9，
∴mn的值为−9．
故选：D．
a3b
7．（23-24七年级上·江西九江·期中）单项式− 的系数、次数是（ ）
3
A．系数是3，次数是3 B．系数是−1，次数是3
1 1
C．系数是− ，次数是3 D．系数是− ，次数是4
3 3
【答案】D
【分析】本题考查单项式的知识，解题的关键是掌握单项式的定义．根据单项式的定义，逐项判断即可．
a3b 1
【详解】解：∵单项式− 的系数是− ，次数是3+1=4．
3 3
故选：D．8．（23-24七年级下·宁夏固原·开学考试）下列结论正确的是 （ ）
πx y2 1
A．单项式 的系数是 ，次数是4 B．33ab3 的次数是6次
5 5
C．单项式−xyz的系数是−1， 次数是 4D．多项式2x+xy−3是二次三项式
【答案】D
【分析】本题考查了单项式和多项式，单项式的系数是数字因数，单项式的次数是字母指数和，注意π是
常数不是字母．根据单项式的系数是数字因数，单项式的次数是字母指数和，可判断A、B、C，根据多项
式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数，每个单项式是多项式的项，可判断D．
πx y2 π
【详解】解：A、单项式 的系数是 ，次数是3，故A错误，不符合题意；
5 5
B、单项式33ab3的次数是4，故B错误，不符合题意；
C、单项式−xyz的系数是−1，次数是3，故C错误，不符合题意；
D、多项式2x+xy−3是二次三项式，故D正确，符合题意；
故选：D．
x3 y
9．（23-24七年级下·青海西宁·开学考试）单项式− 的系数是 ，次数是 ．
5
1
【答案】 − 4
5
【分析】此题主要考查了单项式，根据单项式的系数和次数的定义：单项式中的数字因数叫做这个单项式
的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，即可得解．
x3 y 1
【详解】解：单项式− 的系数是− ，次数是3+1=4
5 5
1
故答案为：− ，4．
5
2x2y3
10．（23-24七年级下·浙江杭州·开学考试）单项式 − 的系数与次数的乘积为 ．
5
【答案】−2【详解】本题考查了单项式的系数与次数，掌握单项式的系数与次数的定义是解题的关键．单项式中的数
字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．分别求出单项式
2x2y3
− 的系数与次数，再求乘积即可．
5
2x2y3 2
【解答】解：∵单项式 − 的系数为： − ，次数为：5，
5 5
2x2y3 2
∴单项式− 的系数与次数的乘积为：− ×5=−2．
5 5
故答案为：−2．
11．（19-20七年级上·河南商丘·期中）请你写出一个只含有字母a，b，且它的系数为−3、次数为3的单
项式 ．
【答案】−3a2b（答案不唯一）
【分析】本题考查的知识点是单项式的定义，单项式的系数、次数，解题关键是熟练掌握单项式的定义．
单项式指数或字母的积，可以是单独的一个数或一个字母；单项式的系数是指代数式的单项式中的数字因
式，单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和，符合以上定义的单项式即为本题的解．
【详解】解：根据单项式的定义，单项式的系数、次数含义可得，
−3a2b 符合题意，可为本题的解．
故答案为：−3a2b（答案不唯一）．
12．（23-24七年级上·广东汕头·期中）按一定规律排列的单项式：−a2，4a3，−9a4，16a5，−25a6，
…，第n个单项式是 ．（用含n的代数式表示）
【答案】
(−1) nn2an+1
【分析】本题考查了单项式规律题，结合题意确定单项式变化规律是解题关键．由题意可知，奇数个数的
系数为负，偶数个数的系数为正，系数的绝对值分别为序数的平方，次数为序数加1，即可求解．
【详解】解：根据题意，−a2，4a3，−9a4，16a5，−25a6，…，
则第 个单项式是 ．
n (−1) nn2an+1故答案为： ．
(−1) nn2an+1
13．（23-24七年级上·全国·课堂例题）填表：
3a24b3c
单项式 − −3abπ−r2 3−2ax3b5
23
系数
次数
3 4
【答案】− ,−3, π,−4,−1,6,2,3,8,1
2 3
【分析】先找出每个单项式中所有字母的指数，然后分别求得每个单项式中所有字母的指数和即可得到每
个单项式的次数，据此完成表格．
【详解】
3a2b34c
单项式 − −3abπ−r3 22−a3xb5
2 3
3 4
系数 − −3 π−4 −1
2 3
次数 6 2 3 8 1
【点睛】本题主要考查的是单项式的概念，掌握单项式的系数和次数的定义是解题的关键．
14．（24-25七年级上·全国·假期作业）写出满足条件的单项式．
(1)写出所有系数是2，且只含字母x和y的五次单项式；
(2)系数是−5，含a，b两个字母，且a的指数是2，单项式的次数是6；
9
(3)系数是− ，次数是3，含x，y两个字母，且y的指数是2．
2【答案】(1)2x2y3，2x3y2，2x4 y，2x y4
(2)−5a2b4
9
(3)− x y2
2
【分析】本题考查了单项式，利用单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和．
（1）直接利用单项式的定义分析得出答案；
（2）根据单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，可得答案；
（3）根据单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，可得答案．
【详解】（1）解：由题意可得：2x2y3，2x3y2，2x4 y，2x y4；
（2）解：由题意可得：−5a2b4；
9
（3）解：由题意可得：− x y2．
2
15．（21-22七年级上·全国·课后作业）用单项式填空，并指出它们的系数和次数：
（1）每包书有12册，n包书有______册；
（2）底边长为acm，高为
ℎ
cm的三角形的面积是______cm2；
（3）棱长为acm的正方体的体积是______cm3．
（4）一台电视机原价b元，现按原价的9折出售，这台电视机现在的售价是______元；
（5）一个长方形的长是0.9m，宽是bm，这个长方形的面积是______m2．
1 1
【答案】（1）12n，它的系数是12，次数是1；（2） aℎ，它的系数是 ，次数是2；（3）a3，它的系
2 2
数是1，次数是3；（4）0.9b，它的系数是0.9，次数是1；（5）0.9b，它的系数是0.9，次数是1．
【分析】（1）总册数等于12乘以书包的个数即可列式，然后根据单项式的系数和次数的定义得出系数和
次数；
（2）根据三角形面积计算公式列式，然后根据单项式的系数和次数的定义得出系数和次数；（3）根据正方体的体积等于棱长的立方列式，然后根据单项式的系数和次数的定义得出系数和次数；
（4）根据售价等于原价乘以0.9列式，然后根据单项式的系数和次数的定义得出系数和次数；
（5）根据长方形面积等于长×宽列式，，然后根据单项式的系数和次数的定义得出系数和次数．
【详解】解：（1）12n，它的系数是12，次数是1；
1 1
（2） aℎ，它的系数是 ，次数是2；
2 2
（3）a3，它的系数是1，次数是3；
（4）0.9b，它的系数是0.9，次数是1；
（5）0.9b，它的系数是0.9，次数是1．
【点睛】本题考查了列代数式和单项式的相关定义．注意：表示数与字母的积的代数式叫单项式（单独的
一个数字或字母也是单项式），单项式中的数字因数，叫单项式的系数，单项式中所有字母的指数的和，
叫单项式的指数．
16．（23-24七年级上·四川成都·期中）已知 是关于x，y的五次单项式，则m的值是
(m−4)x2y|m|−1
．
【答案】−4
【分析】本题考查了单项式的次数，根据“单项式的次数是所有字母的指数和”即可解答．
【详解】解：∵ 是关于x，y的五次单项式，
(m−4)x2y|m|−1
∴m−4≠0,2+|m|−1=5，
解得：m=−4，
故答案为：−4．17．（23-24六年级下·全国·假期作业）若 是关于x，y的五次单项式，求a，b应满足的条件．
(a+3)xb y2
【答案】a≠−3,b=3
【分析】本题考查单项式，掌握单项式的次数是所有字母的指数和，对于一个次数不小于1的单项式，其
系数不能为0是解题的关键．
【详解】因为 是关于x，y的五次单项式．
(a+3)xb y2
所以a+3≠0,b+2=5，
解得a≠−3,b=3．
18．（18-19七年级上·广西·单元测试）若3xmyn是含有字母x和y的五次单项式，求mn的最大值．
【答案】9
【分析】根据单项式的概念即可求出答案．
【详解】解：∵3xmyn是含有字母x和y的五次单项式，
∴m+n=5，且m、n均为正整数．
当m=1,n=4时，mn=14=1；
当m=2,n=3时，mn=23=8；
当m=3,n=2时，mn=32=9；
当m=4,n=1时，mn=41=4，
故mn的最大值为9.
【点睛】考查单项式的次数即单项式中所有字母的指数和，解题关键是运用单项式的概念和分类讨论的思
想．
1
19．（22-23七年级上·广东东莞·期中）若3ax2y|2−b|是关于x，y的单项式，且系数为− ，次数是3，求
3
a和b的值．
1
【答案】a=− ，b=1或b=3
9【分析】本题主要考查单项式次数和系数的问题，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的
1
指数之和叫做单项式的次数，据此可得3a=− ，|2−b|+2=3，解之即可得到答案．
3
1
【详解】解：∵3ax2y|2−b|是关于x，y的单项式，且系数为− ，次数是3，
3
1
∴3a=− ，|2−b|+2=3，
3
1
∴a=− ，2−b=±1
9
∴b=1或b=3．
20．（23-24七年级上·广西桂林·期中）已知单项式6x2y4与yzm+2的次数相同，求3m−2的值．
【答案】7
【分析】本题考查了单项式的次数，代数式求值；根据单项式次数的概念列式求出m，然后代入计算即可．
【详解】解：∵单项式6x2y4与yzm+2的次数相同，
∴2+4=1+m+2，
∴m=3，
∴3m−2=3×3−2=7．
21．（23-24七年级上·广东东莞·期中）若单项式8x|m|y与单项式−9x6 y2的次数相同，求m2−2m+3的值．
【答案】38或66．
【分析】此题考查了单项式有关概念，根据单项式次数的定义来求解，解题的关键是需灵活掌握单项次数
的定义，单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
【详解】解：由题意得：|m|+1=6+2，
∴|m|=7，
解得：m=7或−7，
∴当m=7时，m2−2m+3=49−14+3=38，
当m=−7时，m2−2m+3=49+14+3=66，∴m2−2m+3的值为38或66．
2
22．（2023七年级上·全国·专题练习）已知单项式− x y2m−1与−22x2y2的次数相同．
3
(1)求m的值；
2
(2)求当x=−9，y=−2时单项式− x y2m−1的值．
3
【答案】(1)2
(2)−48
【分析】（1）根据单项式的次数的定义，即可得到一个关于m的方程，解方程即可求得m的值；
（2）首先根据（1）的结果求得代数式，然后把x，y的值代入即可求解．
2
【详解】（1）∵单项式− x y2m−1与−22x2y2的次数相同，
3
∴1+2m−1=2+2，
解得：m=2；
（2）∵m=2，
2 2
∴− x y2m−1=− x y3，
3 3
则当x=−9，y=−2时，
2
原式=− ×(−9)×(−8)=−48．
3
【点睛】本题考查了单项式的次数的定义，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．根据定义求得m的
值是关键．
10x y3
23．（24-25七年级上·全国·假期作业）（1）已知关于x，y的单项式−3πx2b+1y2与 的次数相同，
7
求b的值；（2）若 是关于 的四次单项式，求 ， 的值，并写出这个单项式．
(m+2)x2m−2n2 x m n
1
【答案】（1）b= ；（2）m=2，n=0，4x4
2
【分析】本题考查了单项式，单项式的次数是字母指数的和．
（1）根据单项式的次数，可得方程，根据解方程，可得答案．
（2）根据单项式的定义列方程求解即可．
10x y3 10x y3
【详解】解：（1）∵关于x，y的单项式−3πx2b+1y2与 的次数相同，单项式 的次数是4，
7 7
∴2b+1+2=4，
1
解得b= ；
2
（2） 是关于 的四次单项式，
∵(m+2)x2m−2n2 x
∴2m=4，n=0，m+2≠0，
解得m=2，n=0．
单项式是4x4．
24．（24-25七年级上·全国·假期作业）【观察与发现】
x2y，−3x2y2，5x2y3，−7x2y4，9x2y5，−11x2y6，…，
(1)直接写出：第7个单项式是 ；第8个单项式是 ；
(2)第n(n大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数．
【答案】(1)13x2y7，−15x2y8
(2)第 个单项式为： ，它的系数为： ，次数为：
n (−1) n+1 (2n−1)x2yn (−1) n+1 (2n−1) 2+n
【分析】本题是以单项式为背景的规律题目，确定单项式的系数规律、字母指数规律是解题关键．（1）观察单项式的系数、字母指数，即可求解；
（2）根据题意可得出通用规律，即可求解．
【详解】（1）由题意可知：
单项式的系数依次为：1， ，5， ，9， ， ， ，
−3 −7 −11 ... (−1) n+1 (2n−1)
x的指数都是2，y的指数依次为：1，2，3，4，5，6，...，n，
故第7个单项式是：13x2y7，
第8个单项式是：−15x2y8．
故答案为：13x2y7，−15x2y8；
（2）由（1）可得出第 个单项式为： ，它的系数为： ，次数为：
n (−1) n+1 (2n−1)x2yn (−1) n+1 (2n−1)
2+n．
25．（22-23七年级上·云南昆明·期末）在数学活动中，针对题目“按一定规律排列的单项式：−x，3x2，
−5x3．7x4，−9x5，则第n个单项式是什么？”
(1)首先杨老师给出如下四个引导问题：
①这组单项式中不变的是什么？直
接写下来．
②这组单项式中系数的符号规律是
什么？
③这组单项式中系数的绝对值规律
是什么？
④这组单项式的次数规律是什么？
同学们回答完四个问题后，继续进行了以下探究：
⑤猜想出第n个单项式是__________；（只用一个含n的式子表示，n是正整数）⑥第2023个单项式是__________．
(2)接着，数学学习小组对问题进行了迁移．
按一定规律排列的等式：
第一个等式：32−12=8=8×1，
第二个等式：52−32=16=8×2，
第三个等式：72−52=24=8×3，
第四个等式：92−72=32=8×4，
…，
第n个等式是：__________（n是正整数）；
(3)请你利用以上结论计算20232−20212的值．
【答案】(1)⑤ ；⑥
(−1) n (2n−1)xn 4045x2023
(2)
(2n+1) 2−(2n−1) 2=8n
(3)8088
【分析】本题主要考查了数字的变化规律．解题关键是熟练掌握数字的变化情况总结所给式子中存在的规
律．
（1）由所给的单项式得：奇数项为负，偶数项为正，系数的数字部分为奇数，可表示为：2n−1，指数为
从1开始的自然数，据此即可归纳出规律，并求解；
（2）由题意得，相邻奇数的平方差是8的倍数，结合前四个等式即可按规律推得第n个等式；
（3）直接利用（2）中总结出的规律，求解即可．
【详解】（1）⑤观察得：奇数项为负，偶数项为正，系数的数字部分为奇数，可表示为：2n−1，指数为
从1开始的自然数，∴第n个单项式为 ；
(−1) n (2n−1)xn
故答案为： ；
(−1) n (2n−1)xn
⑥根据该规律可得第2023个单项式，
；
(−1) 2023 (2×2023−1)x2023=4045x2023
故答案为：4045x2023 ；
（2）∵第一个等式：32−12=8=8×1，
第二个等式：52−32=16=8×2，
第三个等式：72−52=24=8×3，
第四个等式：92−72=32=8×4，
…，
∴可以看出，相邻两奇数的平方差是8的倍数，
∴按规律，第n个等式是：
（n是正整数）；．
(2n+1) 2−(2n−1) 2=8n
故答案为： ；
(2n+1) 2−(2n−1) 2=8n
（3）由（2）得：
20232−20212
=(1011×2+1) 2−(1011×2−1) 2
=8×1011
=8088，
故20232−20212的值为：8088．
