文档内容
人教版初中数学七年级下册
5.2.3 平行线判定方法的综合运用 同步练习
夯实基础篇
一、单选题：
1．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的度数是（
）
A．第一次右拐50°，第二次左拐130° B．第一次左拐50°，第二次右拐50°
C．第一次左拐50°，第二次左拐130° D．第一次右拐50°，第二次右拐50°
【答案】B
【分析】根据两条直线平行的性质：两条直线平行，同位角相等．再根据题意得：两次拐的方向不相同，
但角度相等．
【详解】解：如图，第一次拐的角是∠1，第二次拐的角是∠2，由于平行前进，可以得到∠1=∠2．
因此，第一次与第二次拐的方向不相同，角度要相同，
故只有B选项符合，
故选B．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，注意要想两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则拐的方向
应相反，角度应相等．
2．工人师傅对如图所示的零件进行加工，把材料弯成了一个40°的锐角，然后准备在A处第二次加工拐弯，
要保证弯过来的部分与BC保持平行，弯的角度是( )
A．40° B．140° C．40°或140° D．50°
【答案】C
【分析】需要分类讨论：从点A处向左边弯和从点A处想右边弯两种情况．【详解】
如图1，
作AE∥BC，
则∠CBA+∠EAB=180°，
∵∠CBA=40°，
∴∠EAB=140°，
如图2，作AE∥BC，
则∠CBA=∠EAB=40°；
综上所述，弯的角度是40°或140°．
故选C．
【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，注意：两直线平行，同旁内角互补．
3．如图，下列条件：① ；② ；③ ；④ ，其中能判断直线 与 平
行的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据平行线的判定方法，对各条件逐一判断即可．
【详解】解：①∵∠1与∠2无特殊位置关系，
∴由∠1=∠2不能得到l//l，故本条件不合题意；
1 2
②∵∠4=∠5，
∴l//l（同位角相等，两直线平行），故本条件符合题意；
1 2
③∵∠2+∠4=180°，
∴l//l（同旁内角互补，两直线平行），故本条件符合题意；
1 2④∵∠1=∠3，
∴l//l（内错角相等，两直线平行），故本条件符合题意．
1 2
故选：C．
【点睛】本题考查了行线的判定方法，解题的关键是熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键．
平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两
直线平行．
4．如图，以下条件能判定EG∥CH的是（ ）
A．∠FEB＝∠ECD B．∠AEG＝∠DCH
C．∠GEF+∠HCE=180° D．∠HCE＝∠CEG
【答案】D
【分析】根据内错角相等两直线平行判断即可；
【详解】解：A．∠FEB＝∠ECD，不能判断EG∥CH，不符合题意；
B．∠AEG＝∠DCH，没有∠AEC=∠DCE的条件，不能求得∠HCE＝∠CEG，不符合题意；
C．∠GEF+∠HCE=180°，没有点C、E、F共线的条件，不能求得∠HCE＝∠CEG，不符合题意；
D．∠HCE＝∠CEG，可判断EG∥CH，符合题意；
故选： D．
【点睛】本题考查了相交线和平行线，掌握内错角相等两直线平行是解题关键．
5．如图，下列判断中错误的是（ ）
A．因为∠1=∠2，所以 B．因为∠5=∠BAE，所以
C．因为∠3=∠4，所以 D．因为∠5=∠BDC，所以
【答案】B【分析】根据平行线的判定定理求解判断即可．
【详解】因为∠1=∠2，所以AE∥BD，故A正确，不符合题意；
因为∠5=∠BAE，所以AB∥CD，故B错误，符合题意；
因为∠3=∠4，所以AB∥CD，故C正确，不符合题意；
因为∠5=∠BDC，所以AE∥BD，故D正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
6．将一块直角三角板ABC按如图方式放置，其中∠ABC＝30°，A、B两点分别落在直线m、n上，∠1＝
20°，添加下列哪一个条件可使直线m∥n( )
A．∠2＝20° B．∠2＝30° C．∠2＝45° D．∠2＝50°
【答案】D
【分析】根据平行线的性质即可得到∠2=∠ABC+∠1，即可得出结论．
【详解】∵直线EF∥GH，
∴∠2=∠ABC+∠1=30°+20°=50°，
故选D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
7．如图下列推断错误的是（ ）
A．由 ，得 B．由 ，得
C．由 ，得 D．由 ，得
【答案】C
【分析】根据题意，结合图形，由平行线的判定方法对选项一一分析，选择正确答案．【详解】选项A、B、D都正确（都是依据“同位角相等，两直线平行”判定的）；
因为 与 、 与 都不是“三线八角”，
所以不能判定 ，
故C选项错误.
【点睛】本题考查平行线的判定方法．同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两
直线平行．
二、填空题：
8．如图，当∠1＝_________时，AB∥EF；当∠2＝________时，DE∥BC；当∠1＝_________时，
DF∥AC．
【答案】 ∠BDF ∠EDF ∠CEF
【分析】由内错角相等，两直线平行可进行判定．
【详解】由内错角相等，两直线平行可知，当∠1＝∠BDF时，AB∥EF；
由内错角相等，两直线平行可知，当∠2＝∠EDF时，DE∥BC；
由内错角相等，两直线平行可知，当∠1＝∠CEF时，DF∥AC.
故答案为∠BDF；∠EDF；∠CEF
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解答此题的关键．
9．如图填空：
(1)∵∠1＝∠A(已知)，
∴_________( )；
(2)∵∠1＝∠D(已知)，
∴________( )；(3)∵______＝∠F(已知)，
∴AC∥DF( )．
【答案】 AB∥DE 内错角相等，两直线平行 AC∥DF 内错角相等，两直线平
行 ∠ACB 同位角相等，两直线平行
【分析】找出给出的两个角的截线，然后根据平行线的判定进行解答即可．
【详解】解：（1）∠1和∠A是由AB、DE被AC所截形成的内错角，
故∵∠1=∠A（已知），
∴AB∥DE（内错角相等，两直线平行）；
（2）∠1和∠D是由AC、DF被DE所截形成的内错角，
故∵∠1=∠D（已知），
∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行）；
（3）AC、DF被BF所截形成的同位角是∠ACB和∠F，
故∵∠ACB=∠F（已知），
∴AC∥DF（同位角相等，两直线平行）．
故答案为（1）AB∥DE，内错角相等，两直线平行；（2）AC∥DF，内错角相等，两直线平行；（3）
∠ACB，同位角相等，两直线平行
【点睛】本题考查了平行线的判定，正确的找出两个角的截线和被截线是解决此题的关键．
10．如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠4．试说明DF∥AE．请你完成下列填空，把证明过程补充完
整．
证明：∵_________（___________）
∴∠CDA=90°，∠DAB=90°（_________）．
∴∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°．
又∵∠1=∠4，
∴_____（_____），
∴DF∥AE（______）．
【答案】CD⊥DA，DA⊥AB；已知；垂直定义；∠2=∠3；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行【分析】先根据垂直的定义，得到 ， ，再根据等角的余角相等，得出 ，
最后根据内错角相等，两直线平行进行判定即可．
【详解】证明：∵ CD⊥DA，DA⊥AB （已知）
∴∠CDA=90°，∠DAB=90° ( 垂直定义 )．
∴∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°．
又∵∠1=∠4，
∴∠2=∠3 ( 等角的余角相等 )，
∴DF∥AE ( 内错角相等，两直线平行 )．
故答案为：．CD⊥DA，DA⊥AB ， 已知；垂直定义；∠2=∠3 ，等角的余角相等；内错角相等，两直
线平行．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定以及垂直的定义，解题时注意：内错角相等，两直线平行．
11．如图，点D在AB上，点E，F均在AC上，已知∠1＝∠2，要使图中DE∥BC，且DF∥BE，则应补
上的一个条件是________(填一个即可)．
【答案】答案不唯一，如∠1＝∠DEB
【分析】补上的一个条件是：∠1=∠DEB，再由∠1=∠2可得∠DEB =∠2，再根据内错角相等，两直线平
行可得DE∥BC,继而求解.
【详解】补上的一个条件是：∠1=∠DEB，
∵∠1=∠DEB，
∴DF∥BE，
∵∠1=∠2，
∴∠DEB =∠2，
∴ED∥BC．故答案为∠1=∠DEB(答案不唯一)．
【点睛】本题考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行；同位角相
等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
12．如图，点 是 延长线上一点，在下列条件中：① ；② ；③ 且 平分
；④ ，能判定 的有__．（填序号）
【答案】③④
【分析】根据平行线的判定方法分别判定得出答案．
【详解】①中， ， （内错角相等，两直线平行），不合题意；
②中， ， （同位角相等，两直线平行），不合题意；
③中， 且 平分 ， ， ，故此选项符合题意；
④中， ， （同旁内角互补，两直线平行），故此选项符合题意；
答案：③④．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．
三、解答题：
13．如图，一束光线在两面玻璃墙内进行传播，路径为A→B→C→D，根据光的反射性质，∠1＝∠2，
∠3＝∠4，若∠2＋∠3＝90°，试探究直线AB与CD是否平行？并说明理由．
【答案】AB∥CD.
【分析】利用平角的定义得到∠ABC＝180°－∠1－∠2，∠BCD＝180°－∠3－∠4，根据∠1＝∠2，∠3＝
∠4，且∠2＋∠3＝90°，得到∠ABC+∠BCD=180°，于是根据同旁内角互补，两直线平行可判断直线AB
与CD平行．
【详解】AB∥CD.理由：
∵∠ABC＝180°－∠1－∠2，∠BCD＝180°－∠3－∠4，∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠ABC＝180°－2∠2，∠BCD＝180°－2∠3，∴∠ABC＋∠BCD＝180°－2∠2＋180°－2∠3＝360°－2(∠2＋∠3)，
∵∠2＋∠3＝90°，
∴∠ABC＋∠BCD＝360°－2×90°＝180°，
∴AB∥CD
【点睛】本题考查了平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行，掌握平行线的判定是解答此题的关键．
14．如图，在海上巡逻的缉私艇正在向北航行，在 处发现在它的北偏东 的 处有一条走私船，缉
私艇马上调转船的方向直追走私船并一举截获．这时从雷达上看出，港口就在正南面．于是船长下令：将
船头调转 ，直接返港．试问：船长下令返航的航向是否正确？
【答案】正确，理由见解析
【分析】只需证明BD//AC即可得出结论．
【详解】解：正确．
∵ ，
∴
∴
∵ 是正北方向
∴ 是正南方向．
∴船长下令返航的航向是正确的．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，注意：内错角相等，两直线平行．
15．完成下面的证明：
已知：如图， 平分 平分 ，且 ．求证： ，
证明： 平分 (已知)
（ ）
平分 (已知)
（ ）
（ ）
(已知)
（ ）
（ ）
【答案】角平分线的定义； ；等式的基本性质；180°；同旁内角互补，两直线平行
【分析】根据角平分线的性质及平行线的判定解决即可．
【详解】解： 平分 (已知)
（角平分线的定义）
平分 (已知)
（ 2 ∠ β ）
（等式的基本性质）
(已知)
（180°）
（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义； ；等式的基本性质；180°；同旁内角互补，两直线平行．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质及判定等，熟练掌握角平分线的性质及平行线的判定
和性质是解决本题的关键．16．如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接
DG，使∠ODG+∠DOG=90°．
(1)求证：∠AOE=∠ODG；
(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)CD OE，理由见解析
【分析】（1）由OD⊥OE得到∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，再利用等角的余角相等即可证明
∠AOE=∠ODG；
（2）证明∠EOC=∠C，利用内错角相等两直线平行，即可证明CD OE．
（1）
证明：∵OD⊥OE，
∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，
∵∠ODG+∠DOG=90°，
∴∠AOE=∠ODG；
（2）
解：CD OE．理由如下：
由（1）得∠AOE=∠ODG，
∵射线OE平分∠AOC，
∴∠AOE=∠EOC，
∵∠ODG=∠C，
∴∠EOC=∠C，
∴CD OE．
【点睛】本题考查了角平分线定义，垂直的定义，平行线的判定，等角的余角相等，正确识图是解题的关
键．
能力提升篇
一、单选题：1．小颖学习了平行线的相关知识后，利用如图所示的方法，折出了“过已知直线AB外一点P和已知直线
AB平行的直线MN”，下列关于MN∥AB的依据描述正确的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．以上选项均正确
【答案】D
【分析】先根据折叠的性质得到折痕都垂直于过点P的直线，根据根据平行线的判定方法求解．
【详解】解：如下图，作以下标记E：
第一步的操作可知PE⊥AB，所以∠PEA=∠PEB=90°，第二步的操作可知MN⊥PE，所以
∠MPE=∠NPE=90°，所以∠PEA=∠PEB=∠MPE=∠NPE=90°，所以可依据A. 同位角相等，两直线平行、
B. 内错角相等，两直线平行、C. 同旁内角互补，两直线平行判断MN∥AB，故A、B、C三个选项都对，
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角
互补，两直线平行．
2．如图（1），在 中， ， 边绕点 按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转的
过程中（图（2）），当 （ ）时， ．
A．42° B．138° C．42°或138° D．42°或128°
【答案】C【分析】结合旋转的过程可知，因为 位置的改变， 与∠ A可能构成内错角，也有可能构成同旁
内角，所以需分两种情况加以计算即可．
【详解】解：如图（2） ，
当∠ACB'=42°时，
∵ ，
∴∠ACB'=∠A．
∴CB'∥AB．
如图（2） ，
当∠ACB'=138°时，
∵∠A=42°，
∴
∴CB'∥AB．
综上可得，当 或 时，CB'∥AB．
故选：C
【点睛】本题考查了平行线的判定、分类讨论的数学思想等知识点，根据CB'在旋转过程中的不同位置，
进行分类讨论是解题的关键．
3．如图，将一张四边形纸片沿EF折叠，以下条件中能得出AD∥BC的条件个数是（ )
①∠2=∠4：②∠2+∠3=180°；③∠1=∠6：④∠4=∠5A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】分别利用同旁内角互补两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行得出答案即
可．
【详解】① ∵∠2=∠4，
∴AD∥BC（同位角相等两直线平行），符合题意；
②∵∠2+∠3=180°，∠5+∠3=180°，
∴∠5=∠2，
∴GF∥HE，
因为GF和HE是由DF和CE折叠得到的，
∴FD∥EC，即AD∥EC，符合题意；
③∠1=∠6，由折叠性质知∠1=∠FEC，
∴∠6=∠FEC，
∴AD∥BC，符合题意：
④由折叠的性质知, ∠GFE=∠DFE，
∴∠DFE=∠5+∠6，
∵∠6+∠DFE=180°，
∴∠5+2∠6=180°，
∵∠4=∠5，
∴∠4+2∠6=180°，
又∵∠4+2∠1=180°，
∴∠6=∠1=∠FEC，
∴AD∥BC，符合题意.故答案为：D.
【点睛】此题考查了平行线的判定，平行线的判定方法有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平
行；同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定是解本题的关键．
二、填空题：
4．在同一平面内有直线a，a，a，a…a ，若a⊥a，a∥a，a⊥a，a∥a，…，按此规律下去，则a
1 2 3 4 2 020 1 2 2 3 3 4 4 5 1
与a 的位置关系是_______．
2 020
【答案】平行
【分析】根据已知的关系推出每4条出现重复：与前面的两条垂直，后面的两条平行，故可求解.
【详解】由a⊥a，a∥a，得a⊥a，
1 2 2 3 1 3
由a⊥a，得a∥a．
3 4 1 4
由此类推：a⊥a，a∥a
1 6 1 8
每4条出现重复：与前面的垂直，后面的平行．
2020÷4＝505，
∴a 与a 的位置关系是平行.
1 2020
【点睛】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分
发生了变化，是按照什么规律变化的．
5．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置
（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝_____时，CD∥AB．
【答案】150°或30°．
【分析】分两种情况，再利用平行线的性质，即可求出∠BAD的度数
【详解】解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD＝∠D＝30°；如图所示，当AB∥CD时，∠C＝∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝60°+90°＝150°；
故答案为：150°或30°．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，平行线的判掌握平行线的判定定理和全面思考并分类讨论是解答
本题的关键.
6．如图，Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=40°，∠C=60°，点D在边OA上，将图中
的△COD绕点O按每秒20°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第______秒时，边CD恰
好与边AB平行．
【答案】10或28.
【详解】解：①两三角形在点O的同侧时，如图1，设CD与OB相交于点E，
∵AB∥CD，
∴∠CEO=∠B=40°，
∵∠C=60°，∠COD=90°，
∴∠D=90°-60°=30°，
∴∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°，
∴旋转角∠AOD=∠AOB+∠DOE=90°+10°=100°，∵每秒旋转10°，
∴时间为100°÷10°=10秒；
②两三角形在点O的异侧时，如图2，延长BO与CD相交于点E，
∵AB∥CD，
∴∠CEO=∠B=40°，
∵∠C=60°，∠COD=90°，
∴∠D=90°-60°=30°，
∴∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°，
∴旋转角为270°+10°=280°，
∵每秒旋转10°，
∴时间为280°÷10°=28秒；
综上所述，在第10或28秒时，边CD恰好与边AB平行．
三、解答题：
7．将一副三角板中的两个直角顶点 叠放在一起（如图①），其中 ， ， .
（1）猜想 与 的数量关系，并说明理由；
（2）若 ，求 的度数；
（3）若按住三角板 不动，绕顶点 转动三角 ，试探究 等于多少度时 ，并简要说
明理由.【答案】（1） ，理由详见解析；（2）135°；（3） 等于 或 时，
.
【分析】（1）依据∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，即可得到∠BCD+∠ACE的度数；
（2）设∠ACE= ，则∠BCD=3 ，依据∠BCD+∠ACE=180°，即可得到∠BCD的度数；
（3）分两种情况讨论，依据平行线的性质，即可得到当∠BCD等于150°或30°时，CE//4B.
【详解】解：（1） ，理由如下：
，
；
（2）如图①，设 ，则 ，
由（1）可得 ，
，
，
；
（3）分两种情况：
①如图1所示，当 时， ，
又 ，
；②如图2所示，当 时， ，
又 ，
.
综上所述， 等于 或 时， .
【点睛】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，
两直线平行.熟练掌握定理并且能够准确识图是解题的关键.
