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第六章 平面向量、复数章末检测
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求.
1．若复数 是纯虚数，则实数 的值为
A． 或 B． C． D． 或
2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是 ，则 （ ）
A．1＋3i B．1－3i C．－1＋3i D．－1－3i
3．在平行四边形 中， 为对角线 上靠近点 的三等分点，延长 交 于 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
4．已知 ， ， ， ，若 ，则 与 的夹角为
A．30° B．60° C．120° D．150°
5． 中，内角 、 所对的边分别为 、 ，若 ，则角 等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示；测量队员在山脚A测得山顶 的仰角为 ，沿着倾斜角为 的斜坡向上走 到达 处，在 处测得山顶 的仰角为 ．若 ， ， ，（参考数据： ， ，
， ， ， ），则山的高度约为（ ）
A．181.13 B．179.88 C．186.12 D．190.21
7．在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ， ， ，则 的面积
为（ ）
A． B． C．12 D．16
8．在直角梯形ABCD中 ， ，点E为BC边上一点，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知 为虚数单位，复数 ，下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．若 ，则
D．若 ，则10．已知 为 的外接圆圆心， ，下列说法正确的是（ ）
A． 三点共线
B．
C．
D．向量 在向量 上的投影向量为
11．在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，则下列判断中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则该三角形有两解
C． 周长有最大值12 D． 面积有最小值
12．已知 的内角 所对的分别是 ，且 ， 是 外一点，若
， ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若 ，则 四点共圆
C． 是等边三角形
D．四边形 面积的最大值为
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知复数 ，则 ．14．已知非零向量 ， 的夹角为 ， ， ，则 ．
15．抚仙湖，位于澄江市、江川区、华宁县之间，湖面积仅次于滇池和洱海，为云南省第三大湖，也是我
国最大的深水型淡水湖泊．如图所示，为了测量抚仙湖畔M，N两点之间的距离，现取两点E，F，测得
公里， ， ， ，则M，N两点之间的距离为 公
里．
16．设 为单位向量，它们的夹角为 ， ， (x，y∈R)，若 ，则 的最
小值为 ．
四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤.
17．在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ，且满足 .
（1）求边长 ；
（2）若 是锐角三角形，且面积 ，求 外接圆的半径 .
18．如图，在 中， ， ， ，P是 内一点，且 .（1）若 ，求线段 的长度；
（2）若 ，设 ，求 .
19．在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个补充
在下面问题中，并解答．
问题：在 中，角 所对的边分别为 ，且________．
（1）求C；
（2）若 的面积为 为 的中点，求 的值．20．在 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
(1)求证： ；
(2)若 ，求边 的最小值.
21．在 中，角 所对的边分别为 ，且满足.
(1)求角A；
(2)若 为 的中点，且 的角平分线交 于点 ，且 ，求边长 .22．如图，某公园内有两条道路 ， ，现计划在 上选择一点 ，新建道路 ，并把 所在的
区域改造成绿化区域．已知 ， ．
（1）若绿化区域 的面积为 ，求道路 的长度；
（2）若绿化区域 改造成本为10万元 ，新建道路 成本为10万元 ．设 ，
当 为何值时，该计划所需总费用最小？
