文档内容
7.3 定义、命题、定理 导学案
一、学习目标
1.通过具体实例，了解定义、命题、定理的意义；结合具体实例，会区分命题的题设和结论.
2.知道证明的意义和证明的必要性；知道数学思维要合乎逻辑；会用综合法的证明格式；了解反例的
作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的．
3.经历几何命题的证明过程，增强推理能力，会用数学的思维思考现实世界；经历确立几何命题的过
程，体会数学命题中条件和结论的表述，感悟数学表达的准确性和严谨性，会用数学的语言表达现实世界．
重点：对命题结构的认识和理解证明要步步有据.
难点：掌握综合法证明的逻辑顺序和方法，能够清晰、严谨地进行书面证明表达.
二、学习过程
（一）复习引入
问题 根据以往学过的内容填空.
（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作 ；
（2）使方程左右两边的值相等的未知数的值叫作 ；
（3）从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线叫作 ；
（4）直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作 .
这样的描述称为数学对象的定义.它揭示了数学对象的本质特征.
追问 你能再举出一些学过的定义的例子吗？
（二）合作探究
探究1 判断下列语句是否正确.
（1）等式两边加同一个数，结果仍相等；（ ）
（2）对顶角相等；（ ）
（3）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（ ）
（4）两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补；（ ）
（5）如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除.（ ）
像这样可以判断为正确(或真)或错误(或假)的陈述语句叫作 .
被判断为正确(或真)的命题叫作 ，被判断为错误(或假)的命题叫作 .
学科网（北京）股份有限公司 1追问1 判断下列语句是不是命题，如果是，请判断它们的真假.
（1）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.（ ）
（2）取线段AB的中点C.（ ）
（3）如果两个角互补，那么它们是邻补角.（ ）
（4）两点确定一条直线.（ ）
（5）当直线a，b不相交时，我们说直线a与b互相平行.（ ）
（6）过直线外一点作已知直线的垂线.（ ）
（7）对顶角相等吗？（ ）
追问2 你能再举出一些学过的真命题的例子吗？
探究2 请同学们观察下列命题，并思考命题是由几部分组成的.与同伴交流.
（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（2）如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除；
（3）两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（4）同位角相等，两直线平行.
（5）如果两个角互补，那么它们是邻补角.
数学中的命题常可以写成“ ”的形式. 命题由 和 两部分组成.
“如果”后接的部分是 ,“那么”后接的部分是 .
探究2 你能将下列命题写成“如果+题设，那么+结论”的形式吗？
（1）等式两边加同一个数，结果仍相等；
（2）对顶角相等；
（3）互为相反数的两个数的绝对值相等；
（4）绝对值相等的两个数互为相反数；
（5）两直线平行，内错角相等.
改写后：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
学科网（北京）股份有限公司 2（5） ；
追问 从题设和结论的角度，如何理解真命题和假命题？
如果题设成立， ，这样的命题就是真命题.
如果题设成立， ，这样的命题就是假命题.
巩固练习：指出下列命题的题设和结论.
（1）若a=b，则5a=5b.
（2）如果AB⊥CD，垂足为O，那么∠AOC=90°.
（3）如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3.
（4）两直线平行，同位角相等.
探究3 下列真命题，它们的正确性是经过推理证实的吗？
（1）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
（2）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（3）同位角相等，两直线平行；
（4）内错角相等，两直线平行.
的正确性是经过长期实践和验证，被公认为正确且无需证明的，这样的真命题叫作
.
的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作 .
追问 你能再举出一些学过的基本事实和定理的例子吗？
基本事实 定理
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能做出判断，这个推理过程叫作证明.
（三）典例分析
例1 证明命题：“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一
条”.
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学科网（北京）股份有限公司 3证明的每一步推理都要有依据，不能想当然. 依据是 等.
例2 判断命题“相等的角是对顶角”的真假，并说明理由.
判断一个命题是错误的，只要举出一个例子( )，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.
（四）巩固练习
1. 在下面的括号内填上推理的依据.
如图，∠A+∠B=180°，求证∠C+∠D=180°. A D
证明：∵∠A+∠B=180°，
∴AD∥BC（ ）.
∴∠C+∠D=180°（ ）. B C
2. 命题“同位角相等”是正确的吗？如果是，说出理由，如果不是，请举出反例.
3. 完成下面的证明.
（1）如图（1），AB∥CD，BC∥ED.求证∠B+∠D=180°.
证明：∵AB∥CD，
∴∠B= ( )， A B E
∵BC∥ED，
∴∠C+∠D=180°( ).
C D
∴∠B+∠D=180°.
（2）如图（2），∠ABC=∠A’B’C’，BD，B’D’分别是∠ABC，∠A’B’C’的平分线. 求证∠1=∠2.
证明：∵BD，B’D’分别是∠ABC，∠A’B’C’的平分线，
1
∴∠1= ∠ABC，∠2= ( ).
2
又 ∠ABC=∠A’B’C’，
A A'
D D'
学科网（北京）股份有限公司 4
1 2
B C B' C'1 1
∴ ∠ABC= ∠A’B’C’，
2 2
∴∠1=∠2( ).
4. 完成下面的证明．
如图，AB∥EF，∠D＝∠E，∠B+∠D＝180°．求证：BC∥DE．
证明：∵∠D＝∠E(已知)；
∴CD∥ ( )；
∵AB∥EF(已知)；
∴AB∥ ( )；
∴∠B＝ ( )；
∵∠B+∠D＝180°(已知)；
∴ +∠D＝180°( )；
∴BC∥DE( )．
（五）归纳总结
定义、命题、定理
对数学对象的清晰、明确的描述称为数学对象的定义.它揭示了数学对象
定义
的本质特征.
可以判断为正确(或真)或错误(或假)的陈述语句叫做命题.
被判断为正确(或真)的命题叫做真命题，
命题
被判断为错误(或假)的命题叫做假命题.
命题由题设和结论两部分组成.
基本事实 经过长期实践和验证，被公认为正确且无需证明的真命题叫作基本事实.
定理 经过推理证实的真命题叫做定理.
一个命题的正确性通常需要经过推理才能做出判断，这个推理过程叫做
证明
证明.
符合命题的题设，但不满足结论的例子叫作反例.它可以用来判断一个命
反例
题是错误的.
（六）感受中考
1.(2022•梧州、盘锦、绥化)下列命题中，假命题是 .
①﹣2的绝对值是﹣2；
②对顶角相等；
③如果直线a∥c，b∥c，那么直线a∥b；
④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
学科网（北京）股份有限公司 5⑤如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等.
2. (2021•金华)某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（ ）
如图，已知直线l ，l ，l ，l ．若∠1＝∠2，则∠3＝∠4． l
1 2 3 4 3
3
请完成下面的说理过程．
l
1 1
解：已知∠1＝∠2，
根据（内错角相等，两直线平行），得l 1 ∥l 2 ． 2 4 l 2
再根据（※），得∠3＝∠4． l 4
A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，同旁内角互补
3. （2019•常州）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可
以为（ ）
A．﹣2 B．﹣1/2 C．0 D．1/2
（七）小结梳理
数学语句
定义 命题
无需证明 基本事实
本质特征 成立 真命题
题设 ＋ 结论 证明 定理
不成立 假命题 反例
（八）布置作业
1.必做题：习题7.3 第1题，第2题.
2.探究性作业：习题7.3 第4题.
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