文档内容
第八章 二元一次方程组
8.1 二元一次方程组
一、温故知新（导）
1、什么是方程？
含有未知数的等式叫做方程 .
2、什么是方程的解？
能够使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解 .
3、什么叫一元一次方程？
含有一个未知数（元），未知数的次数都是 1 ，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程 .
4、在引言篮球联赛中的问题，你能用学过的知识解决问题吗？
解：设这个队胜x场，则负（10-x）场，根据题意列方程
2x+（10-x）=16,
解这个方程，得
x=6，
10-6=4，
答：这个队胜6场，负4场.
5、在上述问题中，存在两个未知数，一个是胜几场，另一个是负几场，能不能根据题意直接设两个
未知数？设两个未知数又会得到什么样的方程？这就是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天
的学习目标和重难点。
学习目标
1、了解二元一次方程（组）的概念，识别二元一次方程（组）.
2、理解二元一次方程（组）的解.
学习重难点
重点：了解、识别二元一次方程（组）；
难点：二元一次方程（组）的解.
二、自我挑战（思）
1、引言中的问题包含了哪些必须同时满足的条件?设胜的场数是x，负的场数是y，你能
用方程把这些条件表示出来吗?
胜 的场数＋ 负 的场数＝总场数； 胜场 积分＋ 负场 积分＝总积分，
这两个条件可以用方程表示为：
x+y=10，
2x+y=16.
2、这两个方程有什么特点?与一元一次方程有什么不同?
都含有两个未知数、未知项的次数是1次、等号的两边都是整式.
与一元一次方程不同的是：一元一次方程只有一个未知数，这两个方程都有两个未知数.
3、二元一次方程的定义： 含有 两 个未知数，并且含有未知项的次数都是 1 ，像这样的方程叫做二元一次方程.
4、上面问题中包含两个必须同时满足的条件，也就是未知数 x，y必须同时满足方程x+y=10 ①和
{ x+ y=10
2x+y=16②，把这两个方程合在一起，写成 ，就组成了一个 方程组 .
2x+ y=16
5、二元一次方程组定义：含有 两 个未知数，含有每个未知数的项的次数都是 1 ，并且一
共有 两 个方程组成的方程组叫做二元一次方程组.
6、满足方程 ①，且符合问题实际意义的x，y的值有哪些？把它们填入表中.
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
7、从上表可知，x=0，y=10；x=1，y=9；…；x=10，y=0使方程x+y=10的两边的值相等，它们都是
方程x+y=10的 解 .如果不考虑方程x+y=10与上面实际问题的联系，那么x=-1，y=11；x=0.5，
y=9.5；…也都是这个方程的 解 .
8、二元一次方程解的定义：使二元一次方程两边的值相等的 未知数 的值，叫做二元一次方程的
解 .
9、上表中，哪对x，y的值还能满足方程②？
x=6，y=4即满足方程①，又满足方程②.
10、二元一次方程组解的定义： 二元一次方程组的两个方程的 公共解 ， .叫做二元一次方程
组的 解 .
三、互动质疑（议、展）
1、由二元一次方程的定义可以看出，二元一次方程必须同时具备三个条件：（1）含有 两 个未
知数；（2）未知项的次数是 1 次；（3）等号的两边是 整 式.
2、二元一次方程有 无数 对解.
3、二元一次方程组一般有 一 组解或 无 解.
3、实例：
例1. 已知方程（m-3）xn-1+ =0是关于x、y的二元一次方程，求m、n的值．
ym2−8
解：由题意，得
n-1=1，且m-3≠0，m2-8=1，
解得n=2，m=-3．
{m＝2
例2.已知 是关于m,n的二元一次方程3m+an=18的一组解，求a的值．
n＝3
{m＝2
解：将 代入3m+an=18，得3×2+3a=18，
n＝3
解得a=4，
即a的值为：4．
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、下列是二元一次方程的是（ ）
A．2x=3 B．2x2=y-1
1
C．y+ ＝−5 D．x-6y=0
x1、解：A．2x=3，是一元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B．2x2=y-1，未知项2x2是2次不是1次，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
1
C．y+ =-5，等号的左边不是整式，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
x
D．x-6y=0，是二元一次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
{ x＝2
2、下列二元一次方程，以 为解的是（ ）
y＝−1
A．x=3y-1 B．2x+y=5 C．x-3y=5 D．y-2x=5
{ x＝2
2、解：A．把 代入x=3y-1得2≠-4，故A选项不符合题意；
y＝−1
{ x＝2
B．把 代入2x+y=5得3≠5，故B选项不符合题意；
y＝−1
{ x＝2
C．把 代入x-3y=5得5=5，故C选项符合题意；
y＝−1
{ x＝2
D．把 代入y-2x=5得-5≠5，故D选项不符合题意；故选：C．
y＝−1
3、下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
{1 1
{x+6＝13 { x+ y＝15 + =3 {x＝1
① ；② ；③ x y ；④
y−x＝2 4 y−3x＝3 y＝2
x+ y＝2
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③
{x+6＝13
3、解：① 符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组；
y−x＝2
{ x+ y＝15
② 符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组；
4 y−3x＝3
{1 1
+ =3 1 1
③ x y 方程组含有 ， 不是整式，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次
x y
x+ y＝2
方程组；
{x＝1
④ 符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组；
y＝2
综上，①②④是二元一次方程组．
故选：C．
1
4、已知2xn-3- y2m+1=0是关于x,y的二元一次方程，则m+n= ．
3
1
4、解：∵2xn-3- y2m+1=0是关于x,y的二元一次方程，
3
{ n−3＝1 {m＝0
∴ ，∴ ，∴m+n=4，故答案为：4．
2m+1＝1 n＝4
{x=1 { x=0
5、已知 ， 都是方程ax-y=b的解，则a= ．b= .
y=3 y=−2{x=1 { x=0 {a−3＝b
5、解：把 ， 代入方程ax-y=b,得，
y=3 y=−2 0+2＝b
{a=5
解得： ，故答案为：5，2．
b=2
{x=m
6、若 是方程8x-4y=10的解，求4m-2n-3的值．
y=n
{x=m
6、解：∵ 是方程8x-4y=10的解，
y=n
∴8m-4n=10，即4m-2n=5，
∴4m-2n-3=5-3=2．
六、用
（一）必做题
1、已知方程ax+y=3x-1是关于x,y的二元一次方程，则a满足的条件是（ ）
A．a≠0 B．a≠-1 C．a≠3 D．a≠-3
1、解：方程整理得（a-3）x+y+1=0，
由题意得：a-3≠0，即a≠3，
故选：C．
2、二元一次方程x+2y=5的正整数解有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．无数组
2、解：x+2y=5，x=5-2y,
∵x、y都是正整数，
∴5-2y＞0，
5
即y＜ ，
2
∴y只能为1和2，
∴当y=1时，x=3，
当y=2时，x=1，
{x=3 {x=1
即方程的解有 和 两组，
y=1 y=2
故选：B．
3、下列叙述正确的是（ ）
{x=5
A．方程组 不是二元一次方程组
y=6
B．方程xy=1不是二元一次方程
{x=2 1
C． 既是方程2x-3y=1的解，也是方程 x-2y=1的解
y=1 2
D．任何一个二元一次方程组的解都是唯一存在的
{x=5
3、解：∵方程组 是二元一次方程组，∴A的结论不正确；
y=6
∵方程xy=1是二元二次方程，
∴B的结论正确；
{x=2 1
∵ 是方程2x-3y=1的解，不是方程 x-2y=1的解，
y=1 2
∴C选项的结论不正确；∵一般的二元一次方程组的解都有无数组，
∴D选项的结论不正确．
故选：B．
{ x=3
4、若 是二元一次方程ax+by=-2的一个解，则3a-2b+2024的值为 ．
y=−2
{ x=3
4、解：∵若 是二元一次方程ax+by=-2的一个解，
y=−2
∴3a-2b=-2，
∴3a-2b+2024
=-2+2024
=2022，
故答案为：2022．
1
5、已知方程 x+3y=5，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为
2
{x=a
．
y=1
{x=a 1 1
5、解：把 代入 x+3y=5，得 a+3＝5，
y=1 2 2
解得a=4，
{x=4
∴方程组的解为 ．
y=1
{x=4
∵ 是方程x+y=5的解，
y=1
∴再写一个方程可以为x+y=5（答案不唯一）．
（二）选做题
6、方程（k2-4）x2+（k+2）x+（k-6）y=k+8是关于x、y的方程，试问当 k为何值时，（1）
方程为一元一次方程？（2）方程为二元一次方程？
6、解：（1）因为方程为关于x、y的一元一次方程，所以：
{k2−4=0
① ，解得k=-2；
k+2=0
k−6≠0
{k2−4=0
② ，无解，
k+2≠0
k−6=0
所以k=-2时，方程为一元一次方程．
{k2−4=0
（2）根据二元一次方程的定义可知 ，解得k=2，
k+2≠0
k−6≠0
所以k=2时，方程为二元一次方程．x y x+ y
7、我们称使方程 + = 成立的一对数x,y为“相伴数对”，记为（x,y）．
2 3 2+3
（1）若（6，y）是“相伴数对”，求y的值；
（2）若（a,b）是“相伴数对”，请用含a的代数式表示b.
7、解：（1）∵（6，y）是“相伴数对”，
6 y 6+ y
∴ + ＝ ，
2 3 2+3
27
解得y=- ；
2
（2）∵（a,b）是“相伴数对”，
a b a+b
∴ + = ，
2 3 2+3
9
解得：b＝− a.
4
