文档内容
人教版初中数学七年级下册
8.3.1 实际问题与二元一次方程组（1） 教学设计
一、教学目标：
1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题;
2.学会利用二元一次方程组解决和差倍分等问题.
二、教学重、难点：
重点：根据题意找出等量关系，列二元一次方程组.
难点：正确找出问题中的两个等量关系.
三、教学过程：
复习回顾
忆一忆
{2x−3y= 16 ¿¿¿¿ {x= ____ ¿¿¿¿
1.方程组 的解是
2.列方程解应用题的一般步骤是什么？
一审：审题，弄清题意及题目中的数量关系；二设：设未知数，可直接设元，也可间接设元；
三列：根据题目中的等量关系，列出方程(组)；四解：解所列方程(组)，求出未知数的值；
五检：检验解是否是方程(组)的解，是否符合题意；六答：写出答案(包括单位名称).
试一试
悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟；归时四分行六百，风速多少才算准.
分析：顺风速度=悟空行走速度+风速，逆风速度=悟空行走速度-风速.
1000
{
x+y= ¿¿¿¿
4
解：设悟空行走速度为 x 里/分，风速为 y 里/分，依题意可列出方程组{x= 200 ¿¿¿¿
解这个方程组，得
答：风速为50里/分.
知识精讲
探究：养牛场原有 30 头大牛和 15 头小牛，1 天约用饲料675 kg；一周后又购进 12 头大
牛和 5 头小牛，这时一天约用饲料 940 kg.饲养员李大叔估计平均每头大牛 1 天约需饲料
18～20 kg，每头小牛1天约需饲料 7～8 kg.你能够通过计算检验他的估计吗？
解：设每头大牛和每头小牛 1 天各约用饲料 x kg和y kg. 根据两种情况的饲料用量，找出
{__________________________
¿¿¿¿
相等关系，列方程组
{x= ____ ¿¿¿¿
解这个方程组，得
答：每头大牛1天约需饲料20 kg，每头小牛1天约需饲料5 kg.因此，饲料员李大叔对大牛
的食量估计_______，对小牛的食量估计______.
【针对练习】随着养牛场规模逐渐扩大，李大叔需聘请饲养员协助管理现有的42头大牛和20
头小牛，已知甲种饲养员每人可负责 8头大牛和4头小牛，乙种饲养员每人可负责 5头大牛
和2头小牛，请问李大叔应聘请甲乙两种饲养员各多少人？
解：设李大叔应聘请甲种饲养员x人，乙种饲养员y人，则：
解得答：李大叔应聘请甲种饲养员4人，乙种饲养员2人.
【总结提升】用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1)审题：弄清题意和题目中的_________；
(2)设元：用___________表示题目中的未知数；
(3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组；
(4)解方程组：利用__________法或___________解出未知数的值；
(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.
典例解析
例1.2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受国内外人们的喜爱，在奥运期间非常
畅销．某官方旗舰店销售的“冰墩墩”和“雪容融”陶制品分为大套装和小套装．已知购买
3个小套装和购买2个大套装的价格一样，5个小套装和3个大套装共570元．求两种套装的
单价分别是多少元？
解：设大套装单价为x元，小套装单价为y元，则
{ 3 y=2x
5 y+3x=570
{x=90
解得：
y=60
答：大套装单价为90元，小套装单价为60元.
【针对练习】2021年7月21日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务
教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》．某学校积极响应“双减”政策，为了丰富
学生校园生活，经研究决定准备购买一批体育健身器材．已知购买2个篮球和3个排球共花
费440元，购买4个篮球和1个排球共花费480元．求篮球和排球的单价．
解：设篮球的单价是x元，排球的单价是y元，{2x+3 y=440
根据题意，得
4x+ y=480
{x=100
解得
y=80
答：篮球的单价是100元，排球的单价是80元．
例2.某城市规定：出租车起步价所包含的路程为0～3km，超过3km的部分按每千米另收费.
甲说：“我乘这种出租车走了11km，付了17元.”
乙说：“我乘这种出租车走了23km，付了35元.”
请你算一算：出租车的起步价是多少元？超过3km后，每千米的车费是多少元？
分析：本问题涉及的等量关系有：总车费=0～3km的车费(起步价)+超过3km的车费.
解 设出租车的起步价是x元,超过3km后每千米收费y元.
根据等量关系,得{x+(11−3)y=17
x+(23−3)y=35
{ x=5
解这个方程组，得
y=1.5
答：这种出租车的起步价是5元，超过3km后每千米收费1.5元.
【针对练习】某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分.市第二中学足球
队比赛11场，没有输过一场，共得27分，试问该队胜几场，平几场？
分析：题中的未知量有胜的场数和平的场数，等量关系有：
胜的场数+平的场数=11；
胜场得分+平场得分=27.
解：设市第二中学足球队胜x场，平y场.依题意可得
{ x+ y=11
3x+ y=27
{x=8
解得
y=3
答：该市第二中学足球队胜8场，平3场.
例3.列方程组解应题某校为7年级寄宿学生安排宿舍，每间宿舍住 5人，则有4人住不下；若每间住6人，则有一间只住4人，求该年级寄宿的学生人数和宿舍间数？
解：设寄宿生人数为x人，宿舍间数为y间，
{ x−5 y=4
由题意，得
x−(y−1)=4
{x=34
解得：
y=6
答：寄宿生人数为34人，宿舍间数为6间．
【针对练习】某校组织学生到县体育场参加中考体育考试，原计划租用45座的客车若干辆，
但是有15人没有座位，若租用60座的客车，则可以少租一辆车，还多出 15个座位，问：参
加体育考试的学生有多少人？原计划租45座的客车多少辆？
解：设参加体育考试的学生有x人，原计划租45座的客车y辆，由题意得：
{ x=45 y+15
x=60(y−1)−15
{x=285
解得：
y=6
答：参加体育考试的学生有285人，原计划租45座的客车6辆.
例4.小亮与爸爸、爷爷三人年龄之和为120岁，爷爷的年龄比小亮与爸爸年龄之和多 12岁，
爸爸与小亮年龄之差正好等于爷爷与爸爸年龄之差．他们三人的年龄分别是多少？
解：设小亮的年龄为x岁，爸爸的年龄为y岁，则爷爷的年龄为（120–x–y）岁，根据题意
{120−x−y=x+ y+12
得，
y−x=120−x−y−y
{x=14
解得
y=40
∴120–x–y=66．
答：小亮的年龄为14岁，爸爸的年龄为40岁，爷爷的年龄为66岁．
【针对练习】4月9日上午8时，2017 徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名 34岁的男子带着
他的两个孩子一同参加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话：
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄.
解：设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁，根据题意得：{ x+ y=16
3(x+2)+(y+2)=34+2
{ x=6
解得：
y=10
答：今年妹妹6岁，哥哥10岁．
例5.一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是30；这个两位数除以它的各位数字
之和，商是5、余数是6．这个两位数是多少？
解：设这个两位数的十位数字是x，个位数字是y．
所以可列：{10x+ y−3(x+ y)=30
5(x+ y)+6=10x+ y
{x=6
解得：
y=6
所以10x+ y=66
所以这个两位数是66．
【针对练习】有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，得到的数比原来的数小 45，又
已知百位数字的9倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小3，求原来的三位数．
解：设百位数字为x，由十位数字和个位数字组成的两位数为y，
{ 9x= y−3
由题意得，
100x+ y−45=10 y+x
{x=4
解得：
y=39
则这个三位数为439．
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.某单位组织34人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的人数是到瑞金的人数
的2倍多1人，求到.两地的人数各是多少?设到井冈山的人数为x人，到瑞金的人数为y人，
下面所列的方程组正确的是( )
{x+ y=34 {x+ y=34 {x+ y=34 {x+2y=34
A. B. C. D.
x+1=2y x=2y+1 2x= y+1 x=2y+1
2.某车间有工人54人，每人平均每天加工轴杆15个或轴承24个，一个轴杆与两个轴承配成一套.若分配x个工人加工轴杆，y个工人加工轴承，正好使每天加工的产品成套.下面所列的
方程组正确的是( )
{x+ y=54 { x+ y=54 { x+ y=54 {15x+24 y=54
A. B. C. D.
15x=24 y 15x•2=24 y 15x=24 y•2 15x=24 y
3.根据下图提供的信息，可列出方程组为{__________
求出每只网球拍的价格为____元,
__________
每只乒乓球拍的价格为_____元.
4.计划用化肥xkg给一 块y亩的麦地施肥，若每亩用化肥23kg， 则还差90kg， 若每亩用
18kg， 则还多110kg，
则可列出的方程组为{__________
__________
5.某工厂第一车间比第二车间人数的五分之四少30人,若从第二车间调出10人到第一车间，
则第一车间人数是第二车间人数的四分之三，求两车间原有多少人?
6.王大伯承包了25亩土地，今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，用去了 44000元.其
中种茄子每亩用了1700元，获纯利2400元；种西红柿每亩用了1800元，获纯利2600元.问
王大伯一共获纯利多少元?
7.某厂生产甲、乙两种型号产品，生产一个甲种产品需时间 8s，铜8g; 生产一个乙种产品需
时间6s,铜16g,如果生产甲、乙两种产品共用时 1h,共用铜6.4kg,那么甲、乙两种产品各生
产多少个?
8.请你阅读下面的诗句:“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，
闲了一棵树，鸦树各几何?”求诗中鸦为几只?树为几棵?
9.两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在
较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数.已知前一个四位数比后一个四位
数大2178，求这两个两位数.
【参考答案】
1. B
2. B{2x+ y=200
3. ,80,40
x+2y=160
{23 y−x=90
4.
x−18 y=110
5.解:设第一车间原有x人，第二车间原有y人，依题意可列出方程组
4
{ x= y−30
5
3
x+10= (y−10)
4
{x=170
解这个方程组,得
y=250
答:第一车间原有170人，第二车间原有250人.
6.解:设王大伯种了x亩茄子，y亩西红柿，依题意可列出方程组
{ x+ y=25
1700x+1800 y=44000
{x=10
解这个方程组，得
y=15
王大伯共获纯利: 2400×10+2600×15=63000 (元)
答:王大伯共获纯利63000元.
7.解:设生产甲种产品x个，乙种产品y个，依题意可列出方程组
{8x+6 y=3600
8x+16 y=6400
{x=240
解这个方程组，得
y=280
答:生产甲种产品240个，乙种产品280个.
8.解:设诗中鸦为x只，树为y棵，依题意可列出方程组
{ x=3 y+5
x=5(y−1)
{x=20
解这个方程组，得
y=5
答:诗中鸦为20只，树为5棵.
9.解:设较大的两位数为x，较小的两位数为y，根据题意，列得方程组
{ x+ y=68
(100x+ y)−(100 y+x)=2178{x=45
解这个方程组，得
y=23
答:这两个两位数分别是45和23.
四、教学反思：
通过“古算题”，把同学们带入实际生活中的数学问题情景，学生体会到数学中的“趣”.进
一步强调课堂与生活的联系，突出显示数学教学的实际价值，培养学生的人文精神，使学生
形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识.
