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8.3实际问题与二元一次方程组
考点一、利用二元一次方程组解实际应用 问题的一般过程：
审题并找出数量关系式 —> 设元（设未知数） —> 根据数量关系式列出方程
组 —> 解方程组 —> 检验并作答（注意：此步骤不要忘记）
考点二、列方程组解应用题的常见题型：
（1）、和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系式是：较大量 - 较小量 =
相差量 ，总量 = 倍数 × 倍量；
（2）、产品配套问题：解这类题的基本等量关系式是：加工总量成比例；
（3）、速度问题：解这类问题的基本关系式是：路程 = 速度 × 时间，包括
相遇问题、追及问题等；
（4）、航速问题：①、顺流（风）：航速 = 静水（无风）时的速度 + 水
（风）速；
②、逆流（风）：航速 = 静水（无风）时的速度 – 水
（风）速；
（5）、工程问题：解这类问题的基本关系式是：工作总量 = 工作效率×工作
时间，（有时需把工作总量看作1）；
（6）、增长率问题：解这类问题的基本关系式是：原量×（1+增长率）= 增
长后的量，原量×（1-减少率）= 减少后的量；
（7）、盈亏问题：解这类问题的关键是从盈（过剩）、亏（不足）两个角度
来把握事物的总量；
（8）、数字问题：解这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关
概念、特征及其表示；
（9）、几何问题：解这类问题的基本关系是有关几何图形的性质、周长、面
积等计算公式；
（10）、年龄问题：解这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数相等。题型一：方案问题
1．（2022秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期中）国家“双减”政策实施后，某校
开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的
同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副
20元，共有多少种购买方案？（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2023秋·甘肃白银·八年级统考期末）请根据图中提供的信息，回答下列问题．
(1)KN95型口罩与普通医用口罩的单价分别是多少元？
(2)甲、乙两家药店同时出售同样的KN95型口罩与普通医用口罩．5月，两家药店开展促
销活动．甲药店规定：这两种口罩都打九折．乙药店规定：买一个KN95型口罩赠送一个
普通医用口罩．若某家庭想要买20个KN95型口罩和50个普通医用口罩，请问选择哪家药
店购买更合算，并说明理由．
题型二：行程问题
3．（2023秋·陕西宝鸡·八年级统考期末） 、 两地相距 千米，一列慢车从 地开出，
一列快车从 地开出．如果两车同时开出相向而行，那么 小时后相遇；如果两车同时开
出同向（沿 方向）而行，那么快车 小时可追上慢车，求快车与慢车的速度各是多少？
4．（2022秋·陕西渭南·八年级统考期末）为了参加国际铁人三项（游泳、自行车、长跑）
系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑项目进行了专项训练．在某次训练中，李明
骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长
跑路段共长5千米，共用时15分钟，求自行车路段和长跑路段的长度．题型三：工程问题
5．（2023秋·广东深圳·八年级深圳中学校考期末）玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙
两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的
由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选
一个公司单独完成．
(1)设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则可列出方程为
．
(2)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？
(3)如果从节的开支的角度考虑呢？请说明理由．
6．（2023秋·山西运城·八年级统考期末）目前，近几年来，新能源汽车在中国已然成为汽
车工业发展的主流趋势，某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装288
辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．
他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装． 生产开始后，调研部门发现：2名
熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆
电动汽车．
(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
(2)如果工厂抽调n（0＜n＜5）名熟练工，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一
年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
题型四：数字问题
7．（2022秋·江西抚州·八年级统考期末）我们知道：如果 ，其中m，n为有理数，
x为无理数，那么 且 ．
(1)如果 ，其中a，b为有理数，那么 _______， ________．
(2)若x，y均为有理数，并且满足 ，求 的值．
8．（2022春·重庆开州·八年级统考期末）若一个四位正整数 满足： ，我
们就称该数是“和同数”．比如：对于四位数5263，∵ ，∴ 是“和同数”，对于四位数1276，∵ ，∴1276不是“和同数”．
(1)直接写出最小的“和同数”和最大的“和同数”；
(2)若m是一个“和同数”，满足个位上的数字是百位上的数字的两倍，且千位上的数字与
十位上的数字之和能被7整除，请求出所有满足条件的m的值．
题型五：分配问题
9．（2022秋·全国·八年级专题练习）某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产
安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些
新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发
现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安
装14辆电动汽车．
(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
(2)如果工厂招聘 名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一
年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
10．（2022秋·广东深圳·八年级校联考期中）一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人
的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．
调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车
一次可以满载运输2500件．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
(2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，
问有哪几种租车方案?
(3)在（2）的条件下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．请选
出费用最少的租车方案，并求出最少的租车费用．
题型六：销售、利润问题
11．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）为倡导环保，自带水杯已成为一种好习惯，某
超市销售甲、乙两种型号的水杯，进价和售价均保持不变，其中甲种型号的水杯进价为25
元/个，乙种型号的水杯进价为45元/个，下表是两个月两种型号水杯销售情况：销售数量（个）
销售收入（元）
时间
（销售收入=售价×销售数量）
甲种型号 乙种型号
第一月 22 8
第二月 38 24
求甲、乙两种型号水杯的售价．
12．（2023秋·福建宁德·八年级统考期末）某超市代理销售 两种鲜牛奶，这两种鲜奶
的成本价和销售价如表格所示，它们的保质期为一天，当天未售出的鲜奶必须全部销毁．
该超市某天用1320元购进 两种鲜奶共200瓶，卖出180瓶，当天共获得570元的利润．
价
格 成本价（元/瓶） 销售价（元/瓶）
类别
种鲜奶 5 8
种鲜奶 9 14
(1)求该超市这一天购进 种鲜奶各多少瓶；
(2)小明列出方程 来解决另一个问题，你认为小明要解决的问题可
能是什么？小明所列的方程组解决这个问题能得出正确的答案吗？若可以，请求结果；若
不可以，请列出正确的方程或方程组，不必求解．
题型七：和差倍分问题
13．（2023秋·江西九江·八年级统考期末）2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”
深受国内外人们的喜爱，在奥运期间非常畅销．某官方旗舰店销售的“冰墩墩”和“雪容
融”陶制品分为大套装和小套装．已知购买3个小套装和购买2个大套装的价格一样，5个
小套装和3个大套装共570元．求两种套装的单价分别是多少元？
15．（2023秋·四川眉山·八年级统考期末）已知一个长方形草坪，若它的长增加 米，宽减少 米，则面积保持不变；若它的长减少 米，宽增加 米，则面积仍保持不变．
(1)求：长方形草坪的长和宽；
(2)如图，在长方形草坪内部修两条互相垂直，宽为1米的小路，求原长方形草坪剩余部分
的面积．
16．（2022秋·八年级课时练习）如图，某校劳动小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，
用篱笆围成一个面积为 的矩形劳动基地ABCD，边AD的长不超过墙的长度，在BC边
上开设宽为1m的门EF（门不需要消耗篱笆）．设AB的长为x（m），BC的长为y
（m）．
(1)若围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长为10m，求AB和BC的长度．
(2)若AB和BC的长都是整数（单位：m），且围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长小
于10m，请直接写出所有满足条件的围建方案．
题型九：表格或者图示信息题
17．（2021秋·陕西榆林·八年级统考期末）某山区有23名中、小学生因贫困失学需要资助，
已知资助一名中学生的学习费用为 元，资助一名小学生的学习费用为 元．某校学生积
极捐助，初中各年级学生捐款数额与用其恰好资助贫困中学生和小学生人数的部分情况如
下表：
捐款数额 资助贫困中学生人数 资助贫困小学生人数
年级
（元） （名） （名）
初一年
4000 2 4
级初二年
4200 3 3
级
初三年
7400
级
(1)求 、 的值；
(2)初三年级学生的捐款恰好解决了其余贫困中小学生的学习费用，求初三年级学生的捐款
可资助的贫困中、小学生人数分别为多少．
18．（2022秋·广东佛山·八年级统考期中）一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，
除了医务人员主动请缨走向抗疫前线，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲、乙两种货
车向武汉运送爱心物资，两次满载的运输情况如表：
甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 物资总量（吨）
第一次 2 1 10
第二次 1 2 11
(1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？
(2)现有31吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，
问有哪几种租车方案？
题型十：古代问题
19．（2023秋·河北保定·八年级校考期末）《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方
便，我们把它改为横排，如图1，图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未
知数x，y的系数与相应的常数项．把图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表
述出来，就是 ．
(1)类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为：________．
(2)解由图2列出的方程组．20．（2022秋·全国·八年级）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，
直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、
2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少
两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)若某商人准备用20两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请你
帮商人设计一种购买方案．
一、单选题
21．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）若方程组
的解x与y相等，则a的值等于（ ）
A．0 B．－1 C．1 D．2
22．（2023秋·河北保定·八年级统考期末）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有
甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱
各几何?”题目大意是；甲、乙两人各带了若干钱如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有
钱50；如果乙得到甲所有钱的 ，那么乙也共有钱50．间：甲，乙两人各带了多少钱?设
甲，乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．23．（2023秋·甘肃酒泉·八年级统考期末）某班为奖励在校运动会上取得较好成绩的运动
员，花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件
12元，求甲、乙两种奖品各买多少件?该问题中，若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，
则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
24．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）列方程组解应用题：为了丰富学生的课外体育
活动，八年级2班需要购买排球和跳绳，根据下列对话，求出肖雨所购买的排球和跳绳的
单价．
25．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）某商场计
划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分
别是：甲每台1500元，乙每台2100元，丙每台2500元．
(1)若商场购进甲x台，乙y台，则购进甲、乙一共花费______元．（用含x、y的代数式表
示）
(2)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的
进货方案．
(3)若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一
台丙种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售获利最
多，你会选择哪种进货方案？
26．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）已知某景点的门票价格如下表：
购票人数/人 1~50 51~100 100以上
每张门票价/元 12 10 8
某校八年级（一）、（二）两个班共 人去游览该景点，其中（二）班人数多于（一）班人数，且（一）班人数不少于（二）班人数的一半，如果两个班以班为单位各自购票，
那么两个班需要支付的总费用为 元．
(1)请通过列二元一次方程组的方法，分别求两个班的学生人数；
(2)如果两个班合在一起统一购票，试问此时两个班需要支付的总费用将比以班为单位各自
购票的方式节约多少呢？
一、单选题
27．（2022秋·山东济南·八年级统考期末）《九章算术》中记载一题目，译文如下，今有
人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？
设合伙人数为 人，物价为 钱，以下列出的方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
28．（2023秋·四川达州·八年级校考期末）甲、乙两个两位数，若把甲放在乙数的左边，
组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数
小1188，求这两个数，如果甲数为x，乙数为y，则得方程组是（ ）
A． B．
C． D．
29．（2023秋·福建三明·八年级统考期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，
不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一
根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多
少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
30．（2023秋·河北保定·八年级统考期末）“今有人盗库绢，不知所失几何．但闻草中分
绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹，问人、绢各几何？（选自《孙子算
经》）”．大意为：有盗贼窃去库存的绸缎，不知究竟窃去多少，有人在草丛中听到这帮
盗贼分赃的情况，如果每个盗贼分得6匹，就多出6匹；如果每个盗贼分得7匹，就缺少7匹，盗贼有几人？失窃的绸缎有几匹？嘉嘉准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列
出一个方程是 ，则符合题意的另一个方程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
31．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）一个长方
形的长减少7cm，宽增加3cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等．则这个
长方形的宽为______cm．
32．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）顺风旅行
社组织200人到花果岭和云水涧旅游，到花果岭的人数比到云水润的人数的2倍少1人，
则到云水涧旅游的人数为______．
33．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书，
许多问题浅显有趣，其中下卷第31题“雉兔同笼”流传尤为广泛，漂洋过海流传到了日本
等国．“雉兔同笼”题为：“今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉
兔各几何？”设雉（鸡）有x只，兔有y只，则可列方程组为______．
34．（2023秋·重庆南川·八年级统考期末）甲、乙两蔬菜基地生产同一种蔬菜，都计划把
全年的蔬菜销往重庆，这样两蔬菜基地的蔬菜就能占有重庆市场同类蔬菜的 ；由于疫情，
实际情况并不理想，甲蔬菜基地仅有 的蔬菜、乙蔬菜仅有 的蔬菜销到了重庆，两蔬菜
基地的蔬菜仅占了重庆市场同类蔬菜的 ，则甲蔬菜基地该蔬菜的年产量与乙蔬菜基地该
蔬菜的年产量的比为______．
35．（2023秋·甘肃白银·八年级统考期末）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之
和为9，把这个两位数的十位数字和个位数字对调后所得新两位数比原两位数大27，这个
两位数是______．
36．（2023秋·江苏南京·八年级统考期末）如图①，有若干片相同的拼图，若将其沿相同
方向无缝隙拼在一起，它们的底部位于同一条直线上．当分别用3片，10片拼图拼时（如
图②，③所示），对应的长度分别为14，35（单位：cm），则图①中的拼图长
______cm．三、解答题
37．（2023春·重庆北碚·八年级重庆市朝阳中学校考阶段练习）定义：对于三位自然数 ，
各位数字都不为 ，且它的百位数字的 倍与十位数字和个位数字之和恰好能被 整除，则
称这个自然数 为“博雅数”．例如： 是“博雅数”，因为 ， ， 都不为 ，且
， 能被 整除； 不是“博雅数”，因为 ， 不能被
整除．
(1)判断 ， 是否是“博雅数”？并说明理由；
(2)求出百位数字比十位数字大 的所有“博雅数”，并说明理由．
38．（2023秋·辽宁沈阳·八年级统考期末）（列二元一次方程组求解）水果经营户老李用
520元从水果批发市场批发苹果和橙子共50千克，然后到水果市场去卖，已知苹果和橙子
当天的批发价和零售价如下表所示：
品名 苹果 橙子
批发价（元/千克） 8 12
零售价（元/千克） 10 15
(1)求老李购进的苹果和橙子各多少千克？
(2)如果苹果和橙子全部卖完，请直接写出老李能赚___________元．
39．（2023春·河南郑州·八年级郑州外国语中学校考期末）为丰富学生的课余生活，某班
计划购买若干篮球和足球．据了解，买6个篮球和10个足球需要1700元：买10个篮球和
20个足球需要3100元．
(1)求每个篮球和每个足球的价格分别是多少元？
(2)该班计划恰好用3000元购买篮球和足球（两种均购买），求该班共有哪几种采购方案．40．（2023秋·陕西西安·八年级西安市西光中学校考期末）某冬奥会纪念品专卖店计划同
时购进 型和 型两种吉祥物．据了解，8只 型吉祥物和10只 型吉祥物的进价共2000
元；10只 型吉祥物和20只 型吉祥物的进价共3100元．
(1)求 型和 型两种吉祥物每只进价分别是多少元．
(2)该专卖店计划恰好用4500元购进 型和 型两种吉祥物（两种均购买），问专卖店共有
几种采购方案？
41．（2023秋·重庆万州·八年级统考期末）阅读下列材料，解答问题：
若一个自然数能被13整除，则称这个自然数为“一生数”．若一个四位自然数，百位数字
为1，个位数字为4，则称这个四位数为“一世数”．若一个四位自然数既是“一生数”，
又是“一世数”，则称这个数为“一生一世数”．
例如：因为 ，318为整数，所以4134是“一生数”；因为4134是四位数，
且百位数字为1，个位数字为4，所以4134为“一世数”：因为4134既是“一生数”，又
是“一世数”，所以4134为“一生一世数”．
(1)求证：任意一个“一世数”加上千位数字与十位数字3倍的和一定是“一生数”；
(2)若一个四位自然数m是“一生一世数”，记 ，求 的最大值与最小值之差．
42．（2023秋·江西吉安·八年级统考期末）为预防新冠肺炎病毒，市面上 等防护型
口罩出现热销．已知3个A型口罩和2个B型口罩共需31元；6个A型口罩和5个B型口
罩共需70元．
(1)求一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？
(2)小红打算用160元（全部用完）购买A型，B型两种口罩（要求两种型号的口罩均购
买），正好赶上药店对口罩价格进行调整，其中A型口罩售价上涨40%，B型口罩按原价
出售，则小红有多少种不同的购买方案？请设计出来．
43．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期末）据气象局预报，12月初重庆市将有一次强降温雨雪天气．某服装店决定购进 、 两种品牌鹅绒服．购进 种品牌鹅绒服8
件， 种品牌鹅绒服3件，需9200元；若购进 种品牌鹅绒服5件， 种品牌鹅绒服6件，
需9050元．
(1)求购进 、 两种品牌鹅绒服每件各需多少元？
(2)元旦临近，服装店决定再次购买 、 两种品牌鹅绒服共20件，且 种品牌鹅绒服的数
量不超过 种品牌鹅绒服数量的4倍， 种品牌鹅绒服以每件350元的利润销售， 种品
牌鹅绒服按照进价提高25%进行销售，怎样进货才能使该服装店在销售完这批品牌鹅绒服
时获利最多，最多为多少元？（用函数知识解决）
44．（2023秋·福建三明·八年级统考期末）某商场用相同的价格分两次购进A型和B型两
种型号的电脑，前两次购进情况如下表．
A型（台） B型（台） 总进价（元）
第一次 20 30 210000
第二次 10 20 130000
(1)求该商场购进A型和B型电脑的单价各为多少元？
(2)已知商场A型电脑的标价为每台4000元，B型电脑的标价为每台6000元，两种电脑销
售一半后，为了促销，剩余的A型电脑打九折，B型电脑打八折全部销售完，问两种电脑
商场获利多少元？45．（2022秋·山西晋中·八年级统考期末）劳动课上学习了“烹饪与营养”之后，李华知
道了科学膳食与身体健康密切相关．他查询了《中国居民膳食指南（ ）》中的相关信
息，结合妈妈的年龄，准备为妈妈制作一份能量为 千卡（1千卡 卡路里），总质
量为 克的营养早餐现有鸡蛋、牛奶、谷物三类食材，经查询它们的能量含量如下表所
示：
牛奶（每
鸡蛋（每克） 谷物食品（每克）
克）
能量（千
3
卡）
若用以上三类食材制作这份营养早餐，其中鸡蛋约 克，请你帮助李华计算这份早餐中需
要牛奶和谷物各多少克？
