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安徽省 2023 届高三上学期第一次模拟测试
数学参考答案
1．B 2．A 3．D 4．C 5．A 6．A 7．D 8．C 9. C 10. B 11. A
12. A
13．11
14．1
(kπ π )
− ,0 (k∈Z)
6 18
15.
16. .
17. （Ⅰ）由题意 ，
解得 ． （3分）
（Ⅱ）这些应聘者笔试成绩的平均数为 ．
（7分）
（Ⅲ）根据题意，录取的比例为0.75， （8分）
设分数线定为 ，根据频率分布直方图可知 ， （9分）
且 ， （10分）
解得 ．
故估计应该把录取的分数线定为65分． （12分）
18. （1）解：连结EB，在 中， ，
由余弦定理可得，
，所以 同时可得
， ,又由五边形内角和可求得 所以 ，进而四边形
BCDE为等腰梯形过点C作CM⊥BE于M，可求得 进而
（2）解： ，又 ，所以 ，
设 边长为x，则
化简整理得 ，解得 或
又 ，
所以BC的取值范围是 .
19. （1）设 ，取 中点 ，连接 、 ，
∵四边形 是正方形，
∴ 是 的中点，又 是 的中点，∴ ， ，
∵四边形 是直角梯形， ， ，∴ ，
∴四边形 是平行四边形，∴ ，
又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，即 平面 ；
（2） ∵ ， 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，
∵ ，平面 平面 ，
平面 ，平面 平面 ，
∴ 平面 ，∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，
，
∵ ，平面 平面 ，
平面 ，平面 平面 ，
∴ 平面 ，又 平面 ，∴ ，
在 中， ， ， ，在 中， ， ，∴ ，
设点 到平面 的距离为 ，
由 得： ，即 ，
∴ .
20. （Ⅰ）函数 的导函数为 ． （1分）
所以 ．又因为 ，
因此 在 和 处的切线方程分别为 和 ． （4分）
令 ，可得 和 的坐标分别为 和 ，故 ． （6分）
（Ⅱ）因为 在 上单调递增，而 ，
所以必然存在 ，满足 ， （8分）
且当 ）时 ，当 时 ． （9分）
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， 取得最小值 ． （10分）
由 可得 ，所以 ． （11分）
当 时， ，所以 ． （12分）
21.（1）解：椭圆的方程 ，由题可得 ；由 ，结合 ，得 ，
椭圆的标准方程： ；当直线l的斜率不存在时， ，与题意不符，故设直线l的方程为，代入椭圆方程 整理得 ，设 ， ，
，
，
解得 .则直线l的方程为 或 .
（2）解：当直线l的斜率不存在时，直线l与y轴重合，
由椭圆的对称性可知直线 与直线 平行，不符合题意；
由题意可设直线的方程： 代入椭圆方程，
得 ；设 ， ， ， ；
①直线 的方程为 ②则直线 的方程为 ③
由②③得
由①代入，得 ，
解得 ，即 ；且知 ； （常数）
即点P与点Q横坐标之积为定值4.故存在常数
22. （1）依题意：圆 的半径 ，
所以，圆 的标准方程为： ，得 ，
由 ， ， ，
得 的极坐标方程为 ，
由 ，得 的普通方程为 ；
（2）由（1）知 的极坐标方程为 ， 的普通方程为 ，将 代入 得 ， .
设 ，
则 到 的距离 （其中 ）,
，当 时，等号成立，
.
23. 解析 （Ⅰ）当 时， （2分）
当 时，由 得 ；
当 时，由 得 ；
当 时，由 得 ．
综上所述，不等式 的解集为 ． （5分）
（Ⅱ）当 时， ，
当且仅当 时，等号成立，即 的最小值为2． （7分）
因为存在实数 ，使得 成立，所以 ． （9分）
解得 ，因此 的取值范围是 ． （10分）
