文档内容
仁寿一中南校区 2024 届高三数学模拟（一）
理科数学试题
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
.
1 设集合 ， ，则 （ ）
.
A B. C. D.
2. 若复数z满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 若 ，则下列结论正确的是（ ）
.
A B. C. D.
4. 在 中，点 为边 上一点， ，若 ，则 （ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D.
5. 已知 ， ，则 （ ）
A. B. 1 C. D.
6. 已知 是等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
的
7. 通常人们用震级来描述地震 大小，地震震级是对地震本身大小的相对量度，用 表示，强制性国家
标准GB17740-1999《地震震级的规定》规定了我国地震震级的计算和使用要求，即通过地震面波质点运动
最大值 进行测定，计算公式如下 （其中 为震中距），已知
某次某地发生了 级地震，测得地震面波质点运动最大值为 ，则震中距大约为（ ）
A. B. C. D.8. 如图，在直三棱柱 中， 面 ， ，则直线 与直线 夹
角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
9. 若函数 （ ）在区间 上恰有唯一极值点，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知直线 ： 既是曲线 的切线，又是曲线 的切线，则 （ ）
A. 0 B. C. 0或 D. 或
12. 若函数 的定义域为 ，且 偶函数， 关于点 成中心对称，则下列说法正
确的个数为（ ）
① 的一个周期为2 ②
③ 的一条对称轴为 ④
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13. 已知等比数列 的各项均为正数，设 是数列 的前 项和，且 ， ，则
______．
14. 已知 是椭圆 上的点， 、 分别是椭圆的左、右焦点，若 ，则
的面积为______．
15. 已知 ，则 ______．
16. 已知函数 ，若 恒成立，则 的取值范围为______．
三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
（一）必考题：共60分.
17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知 ，且 ．
（1）求角B的大小；
（2）若 ，求△ABC的面积S．
18. 2022年北京冬奥会即第24届冬季奥林匹克运动会在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行.
某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取男生、女生各200人，对冰壶运动有
兴趣的人数占总数的 ，女生中有80人对冰壶运动没有兴趣.
有兴趣 没有兴趣 合计
男
女 80
合
计
（1）完成上面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？
（2）按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取9人，若从这9人中随机选出2人作为冰
壶运动的宣传员，设X表示选出的2人中女生的人数，求X的分布列和数学期望.附： .
.
0.100 0.050 0.025 0010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
19. 如图，在四面体 中， 均为等边三角形， ，点 为 的中点，
．
（1）证明：直线 平面 ；
（2）设点 在 上， ，求二面角 的余弦值．
20. 已知椭圆C： 的离心率为 ，且过点 .
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知O为坐标原点，A，B，P为椭圆C上不同的三点，若 .试问：△ABP的面积是否
为定值？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由.
21. 已知函数 ，当 时， ．
（1）求 的取值范围；
（2）求证： （ ）．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4—4：坐标系与参数方程]
22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线 的参数方程为 其中t为参数， ，曲线 的
参数方程为 （ 为参数）．以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）求曲线 ， 的极坐标方程；
（2）若 ，曲线 ， 交于M，N两点，求 的值．
[选修4—5：不等式选讲]
23. 已知函数 的最大值为 .
（1）求 的值；
（2）若正数 ， ， 满足 ，求证： .
