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2024 届高三第一次教学质量检测模拟试题（二）
一、单选题（本大题共8小题，共40分）
1. 设全集 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 若复数 的实部和虚部相等，则实数 的值为（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
3. 已知 、 、 是不重合的直线， 、 是不重合的平面，对于下列命题
①若 ， ，则
② 且 ，则
③ 且 ，则
④若 、 是异面直线， ， ， 且 ，则
其中真命题的序号是（ ）
A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③
4. 斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为
“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列 可以用
如下方法定义： .若此数列各项除以4的余数依次构成一个新
数列 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
5. 若双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为2，过右焦点且垂
直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离之和为8，则双曲线的
方程为（ ）A. B. C. D.
6. 定义在R上的奇函数 满足 ，且 时， ，则
（ ）
A. B. 1 C. 7 D.
7. 在三棱锥 中， 平面 ， 是边长为3的正三角形， ，则该三棱锥的
外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 函数 满足 ，当 时都有 ，且对任意的 ，
不等式 恒成立．则实数 的取值范围是（ ）
.
A B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分）
9. 已知向量 ， ， ，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 存在 ，使得
C. 向量 是与 共线的单位向量 D. 在 上的投影向量为
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 若离散型随机变量 的数学期望为 ，方差为 ，则 ，
B. 假定生男孩、生女孩是等可能的，在一个有两个孩子的家庭中，两个孩子都是女孩的概率是C. 份不同的礼物分配给甲 乙 丙三人，每人至少分得一份，共有 种不同分法
D. 个数学竞赛名额分配给 所学校，每所学校至少分配一个名额，则共有 种不同分法
11. 已知函数 在一个周期内的图象如图所示，其中图象最
高点、最低点的横坐标分别为 、 ，图象在 轴上的截距为 ．则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的最大值为2
C. 在区间 上单调递增
D. 为偶函数
12. 设椭圆 的右焦点为 ，直线 与椭圆交于 两点，则（ ）
A. 为定值
B. 的周长的取值范围是
C. 当 时， 为直角三角形D. 当 时， 的面积为
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已知数列 各项均为正数，若 ，且 ，则 通的项公式为______．
14. 已知有三个条件：① ；② ；③ ，中能成为 的充分条件的是_____ 填序号
15. 如图，正方形 、 的边长都是1，而且平面 、 互相垂直，点 在 上移
动，点 在 上移动，若 ，则 的长的最小值为_________．
16. 设函数 是定义在实数集 上的偶函数，且 ，当 时， ，则函
数 在 上所有零点之和为___________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且满足 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求 的面积 .
18. 已知 是等比数列，前n项和为 ，且 .
（Ⅰ）求 的通项公式；（Ⅱ）若对任意的 是 和 的等差中项，求数列 的前2n项和.
19. 中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排
放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和(简称“双碳目标”)，此举展现了我国应对气候变化的坚定决
心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化．
新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某一地区电
动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量 y(单位：万台)关于x(年份)的线
性回归方程为 ＝4.7x－9495.2，且销量y的方差 ，年份x的方差为 ．
（1）求y与x的相关系数r，并据此判断电动汽车销量y与年份x的相关性强弱；
（2）该机构还调查了该地区100位购车车主性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
购买非电动汽
购买电动汽车 总计
车
男性 30 20 50
女性 15 35 50
总计 45 55 100
能否有99%的把握认为购买电动汽车与性别有关?
（3）在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取11人，再从这11人中随机抽取4人，记这4人
中，男性的人数为X，求X的分布列和数学期望．
参考公式；
(i)线性回归方程： ，其中 ， ；
(ii)相关系数： ，若r＞0.9，则可判断y与x线性相关较强；
(iii) ，其中n＝a＋b＋c＋d．
附表：
α 0.100 0.050 0.010 0.001.
2706 3.841 6.635 10.828
20. 如图， 是边长为3的正方形， 平面 ， ， ， 与平面
所成角为 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
21. 已知抛物线 上的点 与焦点 的距离为 ，且点 的纵坐标为 .
（1）求抛物线 的方程和点 的坐标；
（2）若直线 与抛物线 相交于 两点，且 ，证明直线 过定点.
22. 已知函数 ，且 在点 处取得极值.
（1）求实数 的值；
（2）若关于 的方程 在区间 上有解，求 的取值范围.
