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专项 25 解分式方程（两大类型）
【典例1】（2022秋•文登区期中）解方程：
（1） ； （2） ．
【解答】解：（1）去分母得：5（2x+1）＝x﹣1，
解得：x＝﹣ ，
检验：把x＝﹣ 代入得：（x﹣1）（2x+1）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣ ；
（2）去分母得：x（x+2）﹣x2+4＝8，
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入得：（x+2）（x﹣2）＝0，
∴x＝2是增根，分式方程无解．
【变式1-1】（2022秋•房山区期中）解方程： ＝3．
【解答】解：去分母得：x+x﹣4＝3（x﹣2），
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入得：x﹣2＝0，
∴x＝2是增根，分式方程无解．
【变式1-2】（2022秋•莱州市期中）解分式方程：
（1） ﹣ ＝1 （2）3﹣ ＝ ．
【解答】解：（1）方程两边同乘（x+1）（ x﹣1），
得（x+1） 2+2＝（x+1）（ x﹣1），
解方程，得x＝﹣2，
经检验，x＝﹣2是原方程的根；（2）方程两边同乘以（x﹣2），
得3（x﹣2）﹣（x﹣1）＝﹣1，
解方程，得x＝2，
经检验，x＝2是原方程的增根，原方程无解．
【变式1-3】（2022秋•岳阳县校级月考）解方程：
（1） ； （2） ．
【解答】解：（1） ，
﹣ ＝1，
方程两边都乘以2x﹣5，得x﹣5＝2x﹣5，
解得：x＝0，
检验：当x＝0时，2x﹣5≠0，
所以x＝0是原方程的解，
即原方程的解是x＝0；
（2） ，
＝ ，
方程两边都乘x（x+1）（x﹣1），得2x＝x﹣1，
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，x（x+1）（x﹣1）＝0，
所以x＝﹣1是增根，
即原方程无解．
【典例2】（2022春•泰和县期末）阅读下面材料，解答后面的问题
解方程： ．
解：设 ，则原方程化为： ，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，
解得：y＝±2，经检验：y＝±2都是方程 的解，∴当y＝2时， ，解得：x＝﹣1，
当y＝﹣2时， ，解得：x＝ ，经检验：x＝﹣1或x＝ 都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或 x＝ ．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
（1）若在方程 中，设 ，则原方程可化为： ；
（2）若在方程 中，设 ，则原方程可化为： ；
（3）模仿上述换元法解方程： ．
【解答】解：（1）将 代入原方程，则原方程化为 ；
（2）将 代入方程，则原方程可化为 ；
（3）原方程化为： ，
设 ，则原方程化为： ，
方程两边同时乘y得：y2﹣1＝0
解得：y＝±1，
经检验：y＝±1都是方程 的解．
当y＝1时， ，该方程无解；
当y＝﹣1时， ，解得： ；
经检验： 是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为 ．
【变式2-1】（2022春•普陀区校级期中）用换元法解方程：x2﹣x﹣ ＝4．【解答】解：x2﹣x﹣ ＝4，
设x2﹣x＝a，则原方程化为：
a﹣ ＝4，
方程两边都乘a，得a2﹣12＝4a，
即a2﹣4a﹣12＝0，
解得：a＝6或﹣2，
当a＝6时，x2﹣x＝6，
即x2﹣x﹣6＝0，
解得：x ＝3，x ＝﹣2，
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当a＝﹣2时，x2﹣x＝﹣2，
即x2﹣x+2＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×2＝﹣7＜0，
所以此方程无实数根，
经检验x ＝3和x ＝﹣2都是原方程的解，
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即原方程的解是x ＝3，x ＝﹣2．
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【变式2-2】（2021春•平阴县期末）请阅读下面解方程（x2+1）2﹣2（x2+1）﹣3＝0的过
程．
解：设x2+1＝y，则原方程可变形为y2﹣2y﹣3＝0．
解得y ＝3，y ＝﹣1．
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当y＝3时，x2+1＝3，
∴x＝± ．
当y＝﹣1时，x2+1＝﹣1，x2＝﹣2，此方程无实数解．
∴原方程的解为：x ＝ ，x ＝﹣ ．
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我们将上述解方程的方法叫做换元法，
请用换元法解方程：（ ）2﹣2（ ）﹣8＝0．
【解答】解：（ ）2﹣2（ ）﹣8＝0，设 ＝a，
则a2﹣2a﹣8＝0，
解得a＝﹣2或a＝4，
当a＝﹣2时， ＝﹣2，解得x＝ ，经检验x＝ 是分式方程的解，
当a＝4时， ＝4，解得x＝﹣ ，经检验x＝﹣ 是分式方程的解，
∴原分式方程的解是x ＝ ，x ＝﹣ ．
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1．（2022秋•招远市期中）解分式方程：
（1） ﹣ ＝ ；
（2） ﹣3＝ ．
【解答】解：（1）去分母得：3（x+3）﹣（x﹣3）＝18，
解得：x＝3，
检验：把x＝3代入（x2﹣9）得：9﹣9＝0，
则原分式方程无解；
（2）去分母得：1﹣3（x﹣2）＝1﹣x，
解得：x＝3，
检验：把x＝3代入（x﹣2），得：3﹣2≠0，
则x＝3是原分式方程的解．
2．（2022秋•铜仁市校级月考）解方程：
（1） ﹣1＝ ；
（2） ﹣1＝ ．【解答】解：（1） ﹣1＝ ，
方程两边都乘x﹣2，得4x﹣（x﹣2）＝﹣3，
解得：x＝﹣ ，
检验：当x＝﹣ 时，x﹣2≠0，
所以x＝﹣ 是原方程的解，
即原方程的解是x＝﹣ ；
（2） ﹣1＝ ，
方程两边都乘（x﹣1）（x+3），得x（x+3）﹣（x﹣1）（x+3）＝4，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，（x﹣1）（x+3）＝0，
所以x＝1是增根，
即原方程无解．
3．（2021秋•莱芜区期中）解方程：
（1） + ＝3；
（2） ﹣1＝ ．
【答案】（1） x＝2.5 （2）x＝1
【解答】解：（1）方程两边都乘以x﹣3，得2﹣x﹣1＝3（x﹣3），
解得：x＝2.5，
检验：当x＝2.5时，x﹣3≠0，所以x＝2.5是原方程的解，
即原方程的解是x＝2.5；
（2）原方程化为： ﹣1＝ ，
方程两边都乘以（x+3）（x﹣1），得x（x+3）﹣（x+3）（x﹣1）＝4，
解得：x＝1，检验：当x＝1时，（x+3）（x﹣1）＝0，所以x＝1是增根，
即原方程无解．
4．（2021春•北碚区校级期末）解下列分式方程
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）x＝﹣ 是原分式方程的解
（2）x＝0是原方程的增根，原分式方程无解
【解答】解：（1）整理，得： ，
去分母，得：﹣2x﹣（x﹣3）＝4，
解得：x＝﹣ ，
经检验：当x＝﹣ 时，x﹣3≠0，
∴x＝﹣ 是原分式方程的解，
（2）整理，得： ，
，
去分母，得：2（x+4）＝4（x+2），
解得：x＝0，
经检验：当x＝0时，（x+4）（x﹣4）≠0，x（x+2）＝0，
∴x＝0是原方程的增根，
原分式方程无解．
5．（2021春•渝中区校级月考）解分式方程：
（1） +1＝﹣ ；
（2） + ＝ ．【答案】（1）x＝﹣1是原方程的根 （2）x＝﹣ 是原方程的根
【解答】解：（1）方程两边都乘以x（x﹣1）得：（1﹣x）（x﹣1）+x（x﹣1）＝﹣
2，
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，x（x﹣1）≠0，
∴x＝﹣1是原方程的根；
（2） ，
方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）得：2（x﹣1）﹣3x＝x+1，
解得：x＝﹣ ，
检验：当x＝﹣ 时，（x+1）（x﹣1）≠0，
∴x＝﹣ 是原方程的根．
6.（2021春•虹口区校级期末） ﹣ ＝1．
【答案】原方程的解为x＝﹣5
【解答】解：去分母得：2x（x+1）﹣12＝x2﹣x﹣2，
去括号得：2x2+2x﹣12＝x2﹣x﹣2，
移项合并同类项得：x2+3x﹣10＝0，
解得x ＝﹣5，x ＝2，
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经检验，当x＝2时x2﹣x﹣2＝0，当x＝﹣5时x2﹣x﹣2≠0，
∴原方程的解为x＝﹣5．
7.（2021•碑林区校级模拟）解方程： ﹣ ＝1．
【答案】x＝4是原分式方程的解
【解答】解：整理，得： ，
方程两边同时乘以x（x﹣2），得：x2﹣8＝x（x﹣2），
去括号，得：x2﹣8＝x2﹣2x，移项，合并同类项，得：2x＝8，
系数化1，得：x＝4，
检验：当x＝4时，x（x﹣2）≠0，
∴x＝4是原分式方程的解
8．（春•徐汇区校级期中）解方程：3x2+ +5x﹣ ＝20
【解答】解：3x2+ +5x﹣ ＝3（x﹣ ）2+18+5（x﹣ ）＝20，
设x﹣ ＝y，
方程变形得：3y2+5y﹣2＝0，
解得：y ＝﹣2，y ＝ ，
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∴x﹣ ＝ 或x﹣ ＝﹣2，
解得：x＝ 或x＝﹣3，x＝1，
经检验：x＝ 或x＝﹣3，x＝1是分式方程的根．
