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专题 03 二次根式规律探究
专题说明
以二次根式的运算为载体的规律探究题是中考常考题型之一,这类题新颖、
独特、综合性强.解此类题先要通过观察题目中所给出的若干个与二次根式有关
的算式,从中寻找它们的共性,进而归纳、猜想出一般的结论,再利用探究的结论解
决新的问题.
【典例分析】
【典例1】（2021春•西山区期末）阅读材料，回答问题：
观察下列各式
＝1+ ﹣ ＝1 ；
；
．
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题：
（1）猜想： ＝ ＝ ；
（2）归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：
＝ ＝ ；
（3）应用：用上述规律计算 ．【变式1-1】（2021•白银模拟）观察下列各式：
＝1+ ＝1+（1﹣ ）；
＝1+ ＝1+（ ﹣ ）；
＝1+ ＝1+（ ﹣ ）……
请利用你发现的规律，计算：
+ + +…+ 其结果为 ．
【变式1-2】（2021春•利辛县期末）观察下列各式：
＝1+ ﹣ ＝1 ； ＝1+ ﹣ ＝1 ；
＝1+ ﹣ ＝1 ，…
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题
①猜想： ＝ ＝ ；
②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用 n（n 为正整数）表示的等式：
＝ ＝ ；
③应用：计算 ．【典例2】（2021秋•思明区校级期末）观察下列各式，发现规律：
＝2 ； ＝3 ； ＝4 ；…
（1）填空： ＝ 5 ， ＝ 6 ；
（2）计算（写出计算过程）： ；
（3）请用含自然数n（n≥1）的代数式把你所发现的规律表示出来．
【变式 2-1】（2022 春•黄梅县期中）小明做数学题时，发现 ＝ ；
＝ ； ＝ ； ＝ ；…；按此规律，若
＝ （a，b为正整数），则a+b＝ ．
【变式2-2】（2020秋•栾城区期末）在学习二次根式时，思思同学发现一个这
样的规律 ＝2 ； ＝3 ； ＝4 ，假设说思思发现的规
律是正确的，请你写出 ＝4 后面连续的一个等式 ．
【变式2-3】（2021春•惠州期末）观察下列各式及其验算过程：
＝2 ，验证： ＝ ＝ ＝2 ；
＝3 ，验证： ＝ ＝ ＝3 ．
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用 n（n为大于1的整数）表示的等式
并给予验证．
【夯实基础】
1．（2021春•饶平县校级期中）观察分析，探求规律，然后填空： ，2，
， ， ，…， （请在横线上写出第100个数）．
2．（2021春•西乡塘区校级月考）观察：① ＝ ﹣1，② ＝
﹣ ，③ ＝2﹣ ．……按此规律，第8个等式的是 ．
3．（2022春•舒城县校级月考）观察下列运算：
①由（ +1）（ ﹣1）＝1，得 ；
②由（ + ）（ ﹣ ）＝1，得 ；
③由 ，得 ；
…
（1）由上述规律，直接化简： ＝ ；
（2）通过观察你得出什么规律？用含 n（n≥0且为整数）的式子表示出来
＝ ﹣ ；
（3）利用（2）中你发现的规律计算
＝ ．4．（2021春•霍邱县期中）观察与思考：①2 ＝ ； ＝ ；
．
式①验证：2 ＝ ＝ ＝ ＝ ；
式②验证：3 ＝ ＝ ＝ ＝ ．
（1）仿照上述式①、式②的验证过程，请写出式③的验证过程；
（2）猜想5 ＝ ；
（3）试用含n（n为自然数，且n≥2）的等式表示这一规律，并加以验证．
5.（2020秋•安国市期中）观察下列各式及验证过程
＝ ，验证： ＝ ＝ ＝ ；
＝ ，验证： ＝ ＝ ＝ ；＝ ，验证： ＝ ＝ ＝ ；
（1）按照上述三个等式及其验证过程的基本思路，猜想 ＝
；
（2）按照上述三个等式及其验证过程的基本思路，猜想 的变形结果并进
行验证；
（3）针对上述各式反映的规律，写出用n（n≥2的自然数）表示的等式，并进行验证．
6．（2020春•官渡区期末）观察下列各式：
，
，
，
请你根据上面三个等式提供的信息，解答下列问题：
（1）归纳规律： ＝ ；（n≥1，且n为整数）（直
接写出结果）
（2）利用规律计算 ．
7．（2022秋•南山区校级期中）著名数学教育家 G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，
发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材
料，再解决问题：
数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的
性质化去里面的一层根号．
例如： ＝ ＝ ＝
＝1+ ．
解决问题：
（1）在括号内填上适当的数： ＝ ＝
③
①： ，②： ，③ ．
（2）根据上述思路，化简并求出 + 的值．
8．（2021春•蒙阴县期中）观察下列等式：
第1个等式：a ＝ ＝ ﹣1；第2个等式：a ＝ ＝ ﹣ ；
1 2
第3个等式：a ＝ ＝2﹣ ；第4个等式：a ＝ ＝ ﹣2；
3 4
…
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n个等式：a ＝ ；
n
（2）求a +a +a +…+a 的值．
1 2 3 n
9．（2022秋•祁东县校级期中）【阅读理解】阅读下列材料，然后解答下列问
题：我们知道形如 ， 的数可以化简，其化简的目的主要先把原数分母中
的 无 理 数 化 为 有 理 数 ， 如 ： ，
，这样的化简过程叫做分母有理化．我们把
叫做 的有理化因式， 叫做 的有理化因式．
（1） 的有理化因式是 ， 的有理化因式是 ；
（2）化简： ；
（ 3 ） 利 用 你 发 现 的 规 律 计 算 ：
的值．
10．（2022秋•浦东新区期中）观察下列运算：
（1）由 ，得 ﹣1
（2）由 ，得
……
问题：（1）通过观察你得出什么规律？用含n的式子表示出来；
（2）利用（1）中发现的规律计算：
．【能力提升】
11．（2020春•微山县期末）在学完二次根式的乘除法之后，小明借助计算机
完成了以下计算： ＝10， ＝100， ＝
1000， ＝10000，…．通过计算，小明发现了其中规律，那么按照上述规律，计算 的结果是（ ）
A．102020 B．102021 C．102022 D．102019
12．（2020•曾都区模拟）请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：① ；
② ；③ ；④ ，观察你计算的结果，用
你发现的规律得出 的值为（ ）
A．350 B．351 C．352 D．353
13．（2022春•香河县期中）观察下列运算：
（1）由（ +1）（ ﹣1）＝1，得 ＝ ﹣1；
（2）由（ + ）（ ﹣ ）＝1，得 ＝ ﹣ ；
（3）由（2+ ）（2﹣ ）＝1，得 ＝ ；
（4）把上述规律用含n的式子表示出来 ．
14．（2022春•翔安区期末）观察下列一组等式，然后解答后面的问题
（ +1）（ ）＝1，（ + ）（ ﹣ ）＝1，（ + ）（
﹣ ）＝1…
（1）观察上面规律，计算下面的式子 + + +…+
（2）利用上面的规律
比较 ﹣ 与 ﹣ 的大小．
15．（2022春•东莞市校级期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．
OA 2＝（ ）2+1＝2，s ＝ ；OA 2＝12+（ ）2＝3，S ＝ ；…
2 1 3 2
OA 2＝12+（ ）2＝4，S ＝ ；…
4 3
（1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律：OA 2＝ ，S
n n
＝ ．
（2）若一个三角形的面积是2 ，计算说明它是第几个三角形？
（3）求出S 2+S 2+S 2+…+S 2的值．
1 2 3 9
16．（2021春•饶平县校级期末）观察下列等式：回答问题：
① ＝1+ ﹣ ＝1
② ＝1+ ﹣ ＝1
③ ＝1+ ﹣ ＝1 ，…
（1）根据上面三个等式的信息，猜想 ＝ ；
（2）请按照上式反应的规律，试写出用n表示的等式；
（3）验证你的结果．17．（2020秋•嘉祥县期末）探索规律
观察下列各式及验证过程：n＝2时，有式①： ；n＝3时，有式②：
；
式①验证：
式②验证：
（1）针对上述式①、式②的规律，请写出n＝4时的式子；
（2）请写出满足上述规律的用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并加以验证．
