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专题 03 二次根式规律探究
专题说明
以二次根式的运算为载体的规律探究题是中考常考题型之一,这类题新颖、
独特、综合性强.解此类题先要通过观察题目中所给出的若干个与二次根式有关
的算式,从中寻找它们的共性,进而归纳、猜想出一般的结论,再利用探究的结论解
决新的问题.
【典例分析】
【典例1】（2021春•西山区期末）阅读材料，回答问题：
观察下列各式
＝1+ ﹣ ＝1 ；
；
．
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题：
（1）猜想： ＝ ＝ ；
（2）归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：
＝ ＝ ；
（3）应用：用上述规律计算 ．
【答案】（1） 1+ ﹣ 1 （2） 1+ ﹣ 1+ （3）9
， ，【解答】解：（1）根据题意可得： ＝1+ ＝1 ；
故答案为：1+ ﹣ ，1 ；
（2）根据题意可得： ＝1+ ﹣ ＝1+ ；
故答案为： ＝1+ ﹣ ＝1+ ；
（3）
＝1+1﹣ +1+ ﹣ +1+ ﹣ +•••+1+
＝10﹣
＝9 ．
【变式1-1】（2021•白银模拟）观察下列各式：
＝1+ ＝1+（1﹣ ）；
＝1+ ＝1+（ ﹣ ）；
＝1+ ＝1+（ ﹣ ）……
请利用你发现的规律，计算：
+ + +…+ 其结果为 ．【答案】2019
【解答】解：由题意可得：
原式＝1+（1﹣ ）+1+（ ﹣ ）+1+（ ﹣ ）+……+1+（ ﹣ ）
＝2019+1﹣
＝2019 ．
故答案为：2019 ．
【变式1-2】（2021春•利辛县期末）观察下列各式：
＝1+ ﹣ ＝1 ； ＝1+ ﹣ ＝1 ；
＝1+ ﹣ ＝1 ，…
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题
①猜想： ＝ ＝ ；
②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用 n（n 为正整数）表示的等式：
＝ ＝ ；
③应用：计算 ．
【答案】① 1+ ﹣ 1 ② 1+ ﹣ ， ③1
，【解答】解：①猜想： ＝1+ ﹣ ＝1 ；
故答案为：1+ ﹣ ，1 ；
②归纳：根据你的观察，猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：
＝1+ ﹣ ＝ ；
③应用：
＝
＝
＝1+ ﹣
＝1 ．
【典例2】（2021秋•思明区校级期末）观察下列各式，发现规律：
＝2 ； ＝3 ； ＝4 ；…
（1）填空： ＝ 5 ， ＝ 6 ；
（2）计算（写出计算过程）： ；
（3）请用含自然数n（n≥1）的代数式把你所发现的规律表示出来．
【解答】解：（1）根据题意得： ＝5 ； ＝6 ；
故答案为：5 ；6 ；
（ 2 ） ＝ ＝ ＝＝2015 ；
（3）归纳总结得： ＝（n+1） （自然数n≥1）．
【变式 2-1】（2022 春•黄梅县期中）小明做数学题时，发现 ＝ ；
＝ ； ＝ ； ＝ ；…；按此规律，若
＝ （a，b为正整数），则a+b＝ ．
【答案】
【解答】解：根据题中的规律得：a＝8，b＝82+1＝65，
则a+b＝8+65＝73．
故答案为：73．
【变式2-2】（2020秋•栾城区期末）在学习二次根式时，思思同学发现一个这
样的规律 ＝2 ； ＝3 ； ＝4 ，假设说思思发现的规
律是正确的，请你写出 ＝4 后面连续的一个等式 ．
【答案】 ＝ 5
【解答】解：第1个等式为 ＝ ＝2 ；
第2个等式为 ＝ ＝3 ；
第3个等式 ＝ ＝4 ，
所以第4个等式为 ＝ ＝5 ．故答案为： ＝5 ．
【变式2-3】（2021春•惠州期末）观察下列各式及其验算过程：
＝2 ，验证： ＝ ＝ ＝2 ；
＝3 ，验证： ＝ ＝ ＝3 ．
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 的变形结果
并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用 n（n为大于1的整数）表示的等式
并给予验证．
【解答】解：（1）∵ ＝2 ， ＝3 ，
∴ ＝4 ＝4 ＝ ，
验证： ＝ ＝ ，正确；
（2）由（1）中的规律可知3＝22﹣1，8＝32﹣1，15＝42﹣1，
∴ ＝ ，
验证： ＝ ＝ ；正确；
【夯实基础】
1．（2021春•饶平县校级期中）观察分析，探求规律，然后填空： ，2，
， ， ，…， （请在横线上写出第100个数）．【答案】10 ．
【解答】解：因为2＝ ，2 ＝ ＝ ，
所以此列数为： ， ， ， ，… ，
则第100个数是： ＝10 ．
故答案是：10 ．
2．（2021春•西乡塘区校级月考）观察：① ＝ ﹣1，② ＝
﹣ ，③ ＝2﹣ ．……按此规律，第8个等式的是 ．
【答案】 ＝ 3 ﹣ 2
【解答】解：通过观察等式的中被开方数与等式的序号的关系找到规律为：
第n个式子为： ，
∴第8个等式的是： ＝ ，
即： ＝3﹣2 ．
故答案为： ＝3﹣2 ．
3．（2022春•舒城县校级月考）观察下列运算：
①由（ +1）（ ﹣1）＝1，得 ；
②由（ + ）（ ﹣ ）＝1，得 ；
③由 ，得 ；
…
（1）由上述规律，直接化简： ＝ ；
（2）通过观察你得出什么规律？用含 n（n≥0且为整数）的式子表示出来＝ ﹣ ；
（3）利用（2）中你发现的规律计算
＝ ．
【解答】解：（1）∵（ +2）（ ﹣2）＝1，
∴ ＝ ﹣2，
故答案为： ﹣2；
（2）∵（ + ）（ ﹣ ）＝1，
∴ ＝ ﹣ ，
故答案为： ﹣ ；
（3）
＝2 ﹣2 +2 ﹣2 +4 ﹣2 +2 ﹣4
＝2 ﹣2
＝6﹣2 ，
故答案为：6﹣2 ．
故答案为：a2b．
4．（2021春•霍邱县期中）观察与思考：①2 ＝ ； ＝ ；
．
式①验证：2 ＝ ＝ ＝ ＝ ；式②验证：3 ＝ ＝ ＝ ＝ ．
（1）仿照上述式①、式②的验证过程，请写出式③的验证过程；
（2）猜想5 ＝ ；
（3）试用含n（n为自然数，且n≥2）的等式表示这一规律，并加以验证．
【解答】解：（1）4 ＝ ＝ ＝ ＝ ；
（2）5 ＝ ，
故答案为： ；
（3）n ＝ ；
证明：n ＝ ＝ ＝ ＝ ．
5.（2020秋•安国市期中）观察下列各式及验证过程
＝ ，验证： ＝ ＝ ＝ ；
＝ ，验证： ＝ ＝ ＝ ；
＝ ，验证： ＝ ＝ ＝ ；
（1）按照上述三个等式及其验证过程的基本思路，猜想 ＝
；
（2）按照上述三个等式及其验证过程的基本思路，猜想 的变形结果并进
行验证；（3）针对上述各式反映的规律，写出用n（n≥2的自然数）表示的等式，并进行验证．
【答案】（1） （2）略 （3）
【解答】解：（1）猜想 ＝ ，验证： ＝ ＝
＝ ；
故答案为： ；
（ 2 ） 猜 想 ＝ ， 验 证 ： ＝ ＝
＝ ；
（3） ＝ ；
验证： ＝ ＝ ＝
6．（2020春•官渡区期末）观察下列各式：
，
，
，
请你根据上面三个等式提供的信息，解答下列问题：
（1）归纳规律： ＝ ；（n≥1，且n为整数）（直接写出结果）
（2）利用规律计算 ．
【答案】（1）1+ ﹣ （2）2019
【解答】解：（1）观察所给三个等式发现规律：
归纳规律： ＝1+ ﹣ ；（n≥1，且n为整数）
故答案为：1+ ﹣ ；
（2）根据以上规律可得：
原式＝1+（1﹣ ）+1+（ ﹣ ）+1+（ ﹣ ）+…+1+（ ﹣ ）
＝（1+1+1+…+1）+（1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）
＝2019+（1﹣ ）
＝2019 ．
7．（2022秋•南山区校级期中）著名数学教育家 G•波利亚，有句名言：“发
现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，
发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材
料，再解决问题：
数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的
性质化去里面的一层根号．
例如： ＝ ＝ ＝
＝1+ ．
解决问题：
（1）在括号内填上适当的数： ＝ ＝③
①： ，②： ，③ ．
（2）根据上述思路，化简并求出 + 的值．
【解答】解：（1）由题意得， ＝ ＝
3+ ，
则①＝5，②＝ ，③＝3+ ，
故答案为：①5；② ；③3+ ；
（2） +
＝
＝
＝5﹣
＝7．
8．（2021春•蒙阴县期中）观察下列等式：
第1个等式：a ＝ ＝ ﹣1；第2个等式：a ＝ ＝ ﹣ ；
1 2
第3个等式：a ＝ ＝2﹣ ；第4个等式：a ＝ ＝ ﹣2；
3 4
…
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n个等式：a ＝ ；
n
（2）求a +a +a +…+a 的值．
1 2 3 n
【解答】解：（1）a ＝ ＝ ﹣ ，
n
故答案为： ﹣ ；
（2）a +a +a +…+a ，
1 2 3 n＝ ﹣1+ ﹣ +…+ ﹣ ，
＝ ﹣1．
9．（2022秋•祁东县校级期中）【阅读理解】阅读下列材料，然后解答下列问
题：
我们知道形如 ， 的数可以化简，其化简的目的主要先把原数分母中
的 无 理 数 化 为 有 理 数 ， 如 ： ，
，这样的化简过程叫做分母有理化．我们把
叫做 的有理化因式， 叫做 的有理化因式．
（1） 的有理化因式是 ， 的有理化因式是 ；
（2）化简： ；
（ 3 ） 利 用 你 发 现 的 规 律 计 算 ：
的值．
【解答】解：（1） 的有理化因式是 ， 的有理化因式是 ﹣ ，
故答案为： ， ﹣ ；
（2）
＝
＝＝3 +4；
（3）
＝（ ﹣1+ ﹣ + ﹣ +•••+ ﹣ ）（ +1）
＝（ ﹣1）（ +1）
＝2022﹣1
＝2021．
10．（2022秋•浦东新区期中）观察下列运算：
（1）由 ，得 ﹣1
（2）由 ，得
……
问题：（1）通过观察你得出什么规律？用含n的式子表示出来；
（2）利用（1）中发现的规律计算：
．
【解答】解：（1） ＝ ﹣ （n为正整数）；
（2）原式＝（ ﹣1+ + ﹣ +•••+ ﹣ ）（
+1）
＝（ ﹣1）（ +1）
＝2019﹣1
＝2018．【能力提升】
11．（2020春•微山县期末）在学完二次根式的乘除法之后，小明借助计算机
完成了以下计算： ＝10， ＝100， ＝
1000， ＝10000，…．通过计算，小明发现了其中规律，
那么按照上述规律，计算 的结果是（ ）
A．102020 B．102021 C．102022 D．102019
【答案】B
【解答】解：∵ ＝10， ＝100＝102，
＝1000＝103， ＝10000＝104，…．
∴ ＝102021．
故选：B．
12．（2020•曾都区模拟）请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：① ；
② ；③ ；④ ，观察你计算的结果，用
你发现的规律得出 的值为（ ）
A．350 B．351 C．352 D．353
【答案】B
【解答】解： ＝1；
＝1+2＝3；
＝1+2+3＝6；＝1+2+3+4＝10，
所以 ＝1+2+3+…+26＝ ＝351．
故选：B．
13．（2022春•香河县期中）观察下列运算：
（1）由（ +1）（ ﹣1）＝1，得 ＝ ﹣1；
（2）由（ + ）（ ﹣ ）＝1，得 ＝ ﹣ ；
（3）由（2+ ）（2﹣ ）＝1，得 ＝ ；
（4）把上述规律用含n的式子表示出来 ．
【解答】解：（3）由（2+ ）（2﹣ ）＝1，得 ＝2﹣ ，
故答案为：2﹣ ；
（4）观察规律得：由（n+ ）（n﹣ ）＝1，得 ＝n﹣
，
故答案为： ＝n﹣ ．
14．（2022春•翔安区期末）观察下列一组等式，然后解答后面的问题
（ +1）（ ）＝1，（ + ）（ ﹣ ）＝1，（ + ）（
﹣ ）＝1…
（1）观察上面规律，计算下面的式子 + + +…+（2）利用上面的规律
比较 ﹣ 与 ﹣ 的大小．
【解答】解：（1）
＝ +…+（ ）
＝
＝
＝10﹣1
＝9；
（2）∵ ＝ ，
＝ ，
又∵ ，
∴ ，
即 ＞ ．
15．（2022春•东莞市校级期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问
题．
OA 2＝（ ）2+1＝2，s ＝ ；OA 2＝12+（ ）2＝3，S ＝ ；…
2 1 3 2
OA 2＝12+（ ）2＝4，S ＝ ；…
4 3
（1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律：OA 2＝ ，S
n n
＝ ．
（2）若一个三角形的面积是2 ，计算说明它是第几个三角形？
（3）求出S 2+S 2+S 2+…+S 2的值．
1 2 3 9【解答】解：（1）因为每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得：
OA ＝ ，OA ＝ ，OA ＝ …OA ＝ ，所以OA 2＝n．S ＝ •1• ＝
1 2 3 n n n
故：答案为n 与
（2）当S ＝2 时，有：2 ＝ ，解之得：n＝32
n
即：说明它是第32个三角形．
（3）S 2+S 2+S 2+…+S 2
1 2 3 9
＝ + +…+
＝11.25
即：S 2+S 2+S 2+…+S 2的值为11.25．
1 2 3 9
16．（2021春•饶平县校级期末）观察下列等式：回答问题：
① ＝1+ ﹣ ＝1
② ＝1+ ﹣ ＝1
③ ＝1+ ﹣ ＝1 ，…
（1）根据上面三个等式的信息，猜想 ＝ ；
（2）请按照上式反应的规律，试写出用n表示的等式；
（3）验证你的结果．【解答】解：（1）根据上面三个等式的信息，猜想 ＝1 ，
故答案为：1 ；
（2） ＝1+ ﹣ ．
（3） ＝
＝
＝
＝
＝1+ ﹣ ．
17．（2020秋•嘉祥县期末）探索规律
观察下列各式及验证过程：n＝2时，有式①： ；n＝3时，有式②：
；
式①验证：
式②验证：
（1）针对上述式①、式②的规律，请写出n＝4时的式子；
（2）请写出满足上述规律的用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并加以验证．
【答案】（1）略 （2）略【解答】解：（1） ．
∵ ．
（2） ；
．
