文档内容
专题 03 多边形及其内角和
考点一 多边形对角线条数问题 考点二 多边形截角后的边线问题
考点三 对角线分成三角形个数问题 考点四 多边形内角和问题
考点五 多边形截角后的内角和问题 考点六 多边形外角和的实际应用
考点七 多边形内角和与外角和的综合
考点一 多边形对角线条数问题
例题：（2021·江西景德镇·七年级期末）一个多边形从一个顶点引出的对角线有6条，则此多边形的边数是
________ 条．
【答案】9
【解析】
【分析】
根据从每一个顶点处可以作的对角线的条数为（n−3）计算即可得解．
【详解】
解：∵过一个多边形的一个顶点的对角线有6条，
∴此多边形的边数为6＋3＝9，
故答案为：9．
【点睛】
本题考查多边形的对角线问题，掌握“从n边形的一个顶点出发可以引(n−3)条对角线”是解题的关键.
【变式训练】
1．（2022·陕西·西安工业大学附中三模）一个正多边形的每个外角为 ，则这个正多边形的对角线共有
_________条．
【答案】20
【解析】
【分析】
根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数= ，进而求得多边形的对角线条数．【详解】
解：这个正多边形的边数： ，
则对角线的条数是： ．
故答案是：20．
【点睛】
本题考查多边形内角与外角．解题的关键在于掌握正多边形的外角和为 ，并且正多边形的每一个外角
都相等．
2．（2022·安徽阜阳·八年级期末）夏夏和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入
其中，请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：
…
多边形的顶点数 4 5 6 7 8
…
…
从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 ①
…
…
多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 ②
…
(1)观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中①________；
②________.
(2)拓展应用：
有一个76人的代表团，由于任务需要每两人之间通1次电话（且只通1次电话），他们一共通了多少次电
话?
【答案】(1)① ，②
(2)他们一共通了2850次电话
【解析】
【分析】
（1）根据前面5个图形归纳类推出一般规律，由此即可得出答案；
（2）将问题转化为一个多边形的顶点数为76个，求这个多边形对角线的总条数与边数之和，再结合（1）的结论即可得．
(1)
解：多边形的顶点数为4时，从一个顶点出发的对角线的条数为 ，多边形对角线的总条数为
，
多边形的顶点数为5时，从一个顶点出发的对角线的条数为 ，多边形对角线的总条数为
，
多边形的顶点数为6时，从一个顶点出发的对角线的条数为 ，多边形对角线的总条数为
，
多边形的顶点数为7时，从一个顶点出发的对角线的条数为 ，多边形对角线的总条数为
，
多边形的顶点数为8时，从一个顶点出发的对角线的条数为 ，多边形对角线的总条数为
，
归纳类推得：当多边形的顶点数为 时，从一个顶点出发的对角线的条数为 ，多边形对角线的总条数
为 （其中 ，且n为整数），
故答案为： ， ．
(2)
解：由题意，将问题转化为一个多边形的顶点数为76个，求这个多边形对角线的总条数与边数之和，
则 ，
答：他们一共通了2850次电话．
【点睛】
本题考查了多边形的对角线条数问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
考点二 多边形截角后的边线问题例题：（2022·全国·八年级）若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（
）
A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8
【答案】C
【解析】
【分析】
实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到．
【详解】
解：如图，原来多边形的边数可能是5，6，7．
故选C
【点睛】
本题考查的是截去一个多边形的一个角，解此类问题的关键是要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何
一种情况．
【变式训练】
1．（2021·湖北十堰·八年级期中）一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（
）
A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18
【答案】A
【解析】
【分析】
分三种情况讨论，当截线不经过多边形的顶点时，当截线经过多边形的一个顶点时，当截线经过多边形的
两个顶点时，再利用数形结合的方法可得答案.
【详解】
解：如图，当截线不经过多边形的顶点时，被截后的多边形比原多边形增加一条边，
所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为15边形，如图，当截线经过多边形的一个顶点时，被截后的多边形与原多边形边数相同，
所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为16边形，
如图，当截线经过多边形的两个顶点时，被截后的多边形比原多边形少一条边，
所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为17边形，
故选：
【点睛】
本题考查的是用直线截多边形的一个角后，被截后的多边形的边数与原多边形的边数之间的关系，解题的
关键是清晰的分类讨论.
2．（2021·内蒙古·呼和浩特市实验中学八年级期中）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变
成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ___．
【答案】十七边形，或十八边形，或十九边形
【解析】
【分析】
结合题意，根据多边形截角后边数的性质，分三种截下的方式分析，即可得到答案．
【详解】
把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，有三种截下的方式：
下图为多边形局部图，如按下图所示沿虚线截下三角形：∴原多边形纸片的边数是：十七边形
如按下图所示沿虚线截下三角形：
∴原多边形纸片的边数是：十八边形
如按下图所示沿虚线截下三角形：
∴原多边形纸片的边数是：十九边形
∴原多边形纸片的边数可能是：十七边形，或十八边形，或十九边形
故答案为：十七边形，或十八边形，或十九边形．
【点睛】
本题考查了多边形的知识；解题的关键是熟练掌握多边形的性质，从而完成求解．
考点三 对角线分成三角形个数问题
例题：（2022·山东枣庄·七年级期末）过多边形一个顶点的所有对角线把这个多边形分成了7个三角形，则
这个多边形的边数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12【答案】A
【解析】
【分析】
由过n边形一个顶点的所有对角线把这个n边形分成了n－2个三角形，列出等式计算即可．
【详解】
解：∵过n边形一个顶点的所有对角线把这个n边形分成了n－2个三角形，
∴n－2=7，
∴n=9，
故选：A．
【点睛】
本题考查多边形的对角线把多边形分成三角形的个数，能熟练掌握多边形的边数与多边形对对角线分成的
三角形的个数之间的关系是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东·烟台市福山区教学研究中心期中）n边形从一个顶点出发可以画a条对角线，将这个n边
形分成b个三角形，则a，b可以分别用n表示, 则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】
经过n边形从一个顶点出发可以画（ ）条对角线，分成 个三角形，即可得答案；
【详解】
解：n边形从一个顶点出发可以画（ ）条对角线，所以 ，将这个n边形分成 个三角形，
所以 ，
所以 ；
故答案为： ．
【点睛】
本题考查多边形的对角线，解题关键是根据从一个顶点出发可以画的对角线的条数．
2．（2022·江西吉安·七年级期末）从一个顶点引出的对角线把十边形分成互不重叠的三角形的个数为
______个．
【答案】8【解析】
【分析】
n边形从一个顶点可以引（n-3）条对角线，可以将多边形分成（n-2）个三角形，据此解答．
【详解】
解：从一个顶点引出的对角线把十边形分成互不重叠的三角形的个数为10-2=8个，
故答案为：8．
【点睛】
此题考查了多边形从一个顶点引出的对角线分多边形为三角形的个数，熟记规律是解题的关键．
考点四 多边形内角和问题
例题：（2022·江西九江·八年级期末）一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形为（ ）
A．九边形 B．十边形 C．十一边形 D．十二边形
【答案】D
【解析】
【分析】
根据多边形内角和公式“ ”进行计算，即可得．
【详解】
解：由题意得，
，
故选D．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握多边形内角和公式．
【变式训练】
1．（2022·江苏·南师附中新城初中七年级期中）若一个多边形的内角和是 1980°，则这个多边形的边数为
________．
【答案】
【解析】
【分析】
设这个多边形为 边形，根据多边形的内角和公式： （ 且 为整数）求解即可．【详解】
解：设这个多边形为 边形，由题意得：
，
解得： ，
所以这个多边形的边数是 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了多边形的内角与外角，解答本题的关键在于熟练掌握多边形的内角和公式： （
且 为整数）．
2．（2022·福建省福州屏东中学七年级期末）已知一个正n边形的每个内角都为135°，则边数n为______．
【答案】8
【解析】
【分析】
根据多边形的内角和公式（n−2）180°列方程求解即可．
【详解】 ⋅
解：由题意得，（n−2）180°＝135°n，
解得n＝8． ⋅ ⋅
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式并列出方程是解题的关键．
考点五 多边形截角后的内角和问题
例题：（2022·河北·模拟预测）若过多边形的一个顶点作一条直线，把这个多边形截掉两个角，它的内角
和变为1260°，则这个多边形原来的边数为（ ）
A．12 B．10 C．11 D．10或11
【答案】D
【解析】
【分析】
分从顶点到顶点裁剪和从顶点到边裁剪两种情况求解．
【详解】多边形裁掉2个角，有两种情况，从顶点到顶点裁剪，从顶点到边裁剪．
∵新多边形内角和为1260°，
∴根据多边形内角和公式180°×（n-2）=1260°，
解得：n=9，
∴新多边形的边数为9．
①从顶点到顶点裁剪，多边形会减少两个角，则原多边形的边数为11；
②从顶点到边裁剪，多边形会减少一个角，则原多边形的边数为10．
故选：D．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和，熟练掌握截角的方法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏·七年级）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为 ，则原多边形的
边数是( )
A． 或 B． C． 或 D． 或 或
【答案】D
【解析】
【分析】
因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的
内角和即可解决问题．
【详解】
解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°（n≥3且n是整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能
增加了一条，也可能不变或减少了一条，
根据题意得（n﹣2）•180°＝2520°，
解得：n＝16，
则多边形的边数是15或16或17．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和定理，本题容易出现的错误是：认为截取一个角后角的个数减少1．熟练
掌握多边形的内角和定理是解题的关键．
2．（2021·山西吕梁·八年级期中）已知一个包装盒的底面是内角和为720°的多边形，它是由另一个多边形
纸片剪掉一个角以后得到的，则原多边形是_______边形．【答案】五或六或七
【解析】
【分析】
首先求得内角和为 的多边形的边数，再分三种情况考虑截角，即可得出答案．
【详解】
解：设内角和为 的多边形的边数是 ，
，
解得： ，
包装盒的底面是六边形，
如图1所示，截线不过顶点和对角线，则原来的多边形是五边形；
如图2所示，截线过一个顶点，则来的多边形是六边形；
如图3所示，截线过一条对角线，则来的多边形是七边形．
故答案为：五或六或七．【点睛】
本题考查多边形知识，注意截去一个角有三种情况需要考虑．
考点六 多边形外角和的实际应用
例题：（2022·全国·八年级课时练习）如图，孔明在驾校练车，他由 点出发向前行驶250米到 处，向左
转45度，继续向前行驶同样的路程到 处，再向左转45°，按这样的行驶方法，回到 点总共行驶了
______米．
【答案】800
【解析】
【分析】
根据题意可知该汽车所走的路程正好是一个外角为45°的多边形的周长，根据多边形外角和等于360度，求
出多边形边数，再根据每次旋转后，行驶的路程相等，即可求出多边形的周长．
【详解】
解：根据题意，多边形边数为：360÷45=8，
又∵每次旋转后，他行驶的路程相等，
∴他走回点A时共走的路程是8×100=800（米）．
即回到A点共走了800米．
故答案为：800．
【点睛】
本题主要考查多边形的外角和定理，即任意多边形的外角和都是360°．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，小明从正八边形（各边相等，各内角也相等）草地的一边AB上
一点S出发，步行一周回到原处在步行的过程中，小明转过的角度的和是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正八边形的内角和求出每个内角，再求出每次转过的角度45°，一共转8次，利用45°×8计算即可.
【详解】
解：∵ABCDEFGH为正八边形，
∴每个内角为（8-2）×180°÷8=135°，
小明每转一次转过的角为180°-135°=45°，
步行一周回到原处，小明一共转八次所有转过的角度之和为45°×8=360°，
故选:D．
【点睛】
本题考查正八边形的内角和、每个内角、外角与外角和，掌握正多边形相关知识是解题关键．
2．（2022·江苏扬州·七年级期中）学校准备组织花样跑操比赛，体育委员李明设置的跑操线路如图所示，
从A点出发沿直线前进10米到达B点后向左旋转α度，再沿直线前进10米，到达点C后，又向左旋转相
同的角度，照这样走下去，他第一次回到出发地点时，共走了100米，则他每次旋转的角度α为___度．
【答案】36
【解析】【分析】
先求出边数，再根据外角和定理计算角的度数．
【详解】
解：100÷10=10，
根据题意得 =36°，
故答案为：36．
【点睛】
此题考查多边形外角，熟练掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．
考点七 多边形内角和与外角和的综合
例题：（2022·辽宁·沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）八年级期中）一个多边形的内角和是它
的外角和的3倍，则这个多边形是______边形．
【答案】八
【解析】
【分析】
根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．
【详解】
解：设多边形的边数是n，根据题意得，
（n﹣2）•180°＝3×360°，
解得n＝8，
∴这个多边形为八边形．
故答案为：八
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键，要注意“八”不能
用阿拉伯数字写．
【变式训练】
1．（2022·山东济南·八年级期末）如果一个多边形的内角和等于其外角和的两倍，则这个多边形是
________边形．
【答案】六##6
【解析】【分析】
任何多边形的外角和是360°，内角和等于外角和的2倍则内角和是720°．n边形的内角和是（n-2）•180°，
如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【详解】
解：根据题意，得（n-2）•180=720，
解得：n=6．
故这个多边形的边数为6，
所以，这个多边形是六边形．
故答案为：六．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和以及外角和，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决，
难度适中．
2．（2022·吉林·长春外国语学校七年级阶段练习）已知一个多边形的内角和与外角和的差是1440°，求这
个多边形的边数．
【答案】12
【解析】
【分析】
设这个多边形的边数为n，然后根据多边形内角和公式，结合所有多边形外角和都为360度列出方程求解
即可．
【详解】
解：设这个多边形的边数为n，
由题意得： ，
解得 ，
∴这个多边形的边数为12．
【点睛】
本题主要考查了多边形内角和与外角和综合，熟知多边形内角和公式和多边形外角和为360度是解题的关
键．一、选择题
1．（2022·全国·八年级）若一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】
【分析】
设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到(n﹣2)×180°=720°，然后解方程即可．
【详解】
解：（n−2）×180°＝720°，
∴n−2＝4，
∴n＝6．
∴这个多边形的边数为6．
故选：C．
【点睛】
设这个多边形的边数为n，由多边形的内角和是720°，根据多边形的内角和定理得（n－2）180°=720°．解
得n=6.故选C.本题主要考查多边形的内角和定理，熟练掌握多边形的内角和定理是解答本题的关键.
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校七年级期中）一个多边形的内角和是外角的2倍，则这个多边
形共有（ ）对角线
A．0条 B．2条 C．5条 D．9条
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据该多边形的内角和是外角和2倍，可得出：（n-2）•180=360×2，求出多边形的边数n，再根据n边
形对角线的总条数为： ，求解即可．
【详解】
设这个多边形有n条边，由题意得：
(n−2)×180=360×2，
解得：n=6，从这个多边形的对角线的条数是 =9，故D正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了多边形内角与外角以及多边形的对角线，解答本题的关键在于根据该多边形的内角和是外角和
2倍，得出：（n-2）•180=360×2．
3．（2019·全国·七年级单元测试）一个n边形削去一个角后变成(n+1)边形，其内角和变为2 520°，则原多
边形的边数是 ( )
A．7 B．10 C．14 D．15
【答案】D
【解析】
【分析】
根据多边形内角和公式可得：(n+1)边形内角和＝(n+1-2)×180=2520度，可求得结果.
【详解】
因为(n+1)边形内角和＝(n+1-2)×180=2520度
所以多边形边数n＝2520÷180+1＝15
故选D
【点睛】
本题考查了多边形内角和公式，熟练掌握公式是解题的关键.
4．（2022·福建·模拟预测）将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和
不可能是（ ）
A．360° B．540° C．720° D．730°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意列出可能情况，再分别根据多边形的内角和定理进行解答即可.
【详解】
解：①将长方形沿对角线剪开，得到两个三角形，两个多边形的内角和：180°+180°=360°；
②将长方形从一顶点剪向对边，得到一个三角形和一个四边形，两个多边形的内角和为：180°
+360°=540°；
③将长方形沿一组对边剪开，得到两个四边形，两个多边形的内角和为：180°+540°=720°，④将长方形沿一组邻边剪开，得到一个三角形和一个五边形，其内角和为：180°+540°=720°，
故选D.
【点睛】
本题考查了多边形内角和，分类讨论是解题的关键．
5．（2021·全国·八年级专题练习）把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边
形，则这张纸片原来的形状不可能是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】D
【解析】
【分析】
一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n-1）边形，由此即可解答.
【详解】
当剪去一个角后，剩下的部分是一个四边形，
则这张纸片原来的形状可能是四边形或三角形或五边形，不可能是六边形．
故选D．
【点睛】
剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经
过两条邻边，边数增加一条．
6．（2021·山东淄博·期中）在研究多边形的几何性质时，我们常常把它分割成三角形进行研究．从十边形
的一个顶点引对角线，最多把它分割成三角形的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解析】
【分析】
根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，把n边形分成（n-2）个三角形解答即可．
【详解】
从十边形的一个顶点可以引10-3=7条对角线，可分割成10-2=8个三角形，故C正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了多边形的对角线将多边形分成三角形的个数问题，牢记n边形从一个顶点出发的对角线可把n
边形分成（n-2）个三角形是解题的关键．7．（2022·云南昆明·一模）小丽利用学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，如图所
示，沿直线走6米后向左转 ，接着沿直线前进6米后，再向左转 ……如此走法，当她第一次走到A点
时，发现自己走了72米， 的度数为（ ）
A．30° B．32° C．35° D．36°
【答案】A
【解析】
【分析】
小丽第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形．计算这个正多边形的边数和外角即可．
【详解】
解：∵第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，
∴多边形的边数为：72÷6=12．
根据多边形的外角和为360°，
∴他每次转过的角度θ=360°÷12=30°．
故选：A．
【点睛】
本题考查多边形的外角和．解题的关键时判断出小丽第一次返回点A时，所经过的路径构成一个正多边形．
二、填空题
8．（2021·全国·七年级课时练习）若一个多边形截去一个角后，变成六边形，则原来多边形的边数可能是
_____．
【答案】5，6，7．
【解析】
【分析】
直接画图，动作操作即可知答案.
【详解】
如图可知，原多边形的边数可能为5,6,7
故填5，6，7．【点睛】
本题考查多边形性质，解题关键在于能够画出图形.
9．（2022·陕西渭南·三模）如果过某多边形的一个顶点的对角线有5条，则该多边形是______边形．
【答案】8
【解析】
【分析】
根据从n边形的一个顶点可以画（n-3）条对角线，求出边数即可得解．
【详解】
解：∵过某多边形的一个顶点的对角线有5条，
∴n-3=5
∴n=8
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了多边形对角线的公式，牢记公式是解题的关键．
10．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校七年级期中）一个正多边形的边长为3，若其中一个内角为
120°，则这个正多边形的周长为______．
【答案】18
【解析】
【分析】
首先求出这个正多边形的边数，再计算周长即可．
【详解】
解：根据题意得，
解得， ，
又这个正多边形的边长为3，
所以，它的周长为：
故答案为：18【点睛】
本题主要考查了正多边形的内角和，灵活掌握多边形内角和公式是解答本题的关键．
11．（2022·广东揭阳·七年级期末）一个多边形从同一个顶点引出的对角线，将这个多边形分成7个三角形．
则这个多边形有_____条边．
【答案】九##9
【解析】
【分析】
经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n-2）个三角形，根据此关系式求边数，再求出对角线．
【详解】
解：设多边形有n条边，
则n-2=7，
解得：n=9．
所以这个多边形的边数是9，
故答案为：九．
【点睛】
本题考查了多边形的对角线，解决此类问题的关键是根据多边形过一个顶点的对角线与分成的三角形的个
数的关系列方程求解．
12．（2022·江苏·苏州高新区第二中学七年级期末）如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的3个外角，
若∠A＋∠B＝230°，则∠1＋∠2＋∠3＝____°．
【答案】230
【解析】
【分析】
先求出∠A与∠B的外角和，再根据外角和进行求解.
【详解】
∵
∴∠A与∠B的外角和为360°-230°=130°，
∵∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的3个外角，∴ 360°-130°=230°，
故答案为：230.
【点睛】
此题主要考查多边形的外角，解题的关键是熟知多边形的外角和为360°.
13．（2021·浙江丽水·中考真题）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为 ，则原多
边形的边数是__________．
【答案】6或7
【解析】
【分析】
求出新的多边形为6边形，则可推断原来的多边形可以是6边形，可以是7边形．
【详解】
解：由多边形内角和，可得
（n-2）×180°=720°，
∴n=6，
∴新的多边形为6边形，
∵过顶点剪去一个角，
∴原来的多边形可以是6边形，也可以是7边形，
故答案为6或7．
【点睛】
本题考查多边形的内角和；熟练掌握多边形的内角和与多边形的边数之间的关系是解题的关键．
14．（2022·山东·招远市教学研究室期中）从多边形一条边上的一点（不是顶点）处出发，连接各个顶点
得到2021个三角形，则这个多边形的边数为_________．
【答案】2022
【解析】
【分析】
可根据多边形的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到的三角形个数与多边形的边数的关系求解．
【详解】
解：从多边形一条边上的一点（不是顶点）处出发，连接各个顶点得到2021个三角形，
则这个多边形的边数为2021+1=2022．
故答案为：2022．
【点睛】本题考查了多边形的对角线，多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到的三角形个数
=多边形的边数-1．
三、解答题
15．（2022·全国·八年级专题练习）（1）求12边形内角和度数；
（2）若一个n边形的内角和与外角和的差是720°，求n．
【答案】（1）1800°；（2）8
【解析】
【分析】
（1）根据内角和公式，可得答案；
（2）根据多边形内角和公式（n-2）•180°可得内角和，再根据外角和为360°可得方程（n-2）•180°-
360°=720°，再解方程即可．
【详解】
解：（1）由题意，得
（12-2）×180°=1800°；
（2）由题意得：
（n-2）•180°-360°=720°，
解得：n=8．
【点睛】
此题主要考查了多边形的内角和和外角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式与外角和定理．
16．（2022·全国·八年级课时练习）如果一个多边形的各边都相等且各角也都相等，那么这样的多边形叫
做正多边形，如下图所示就是一组正多边形．
（1）观察上面每个正多边形中的∠a，填写下表：
正多边形边
4 5 6 ... n
数
∠a的度数 ...（2）是否存在正n边形使得∠a＝12°？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在，15
【解析】
【分析】
（1）根据正多边形的外角和，求得内角的度数，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理即可求得 的
度数；
（2）根据（1）的结论，将 代入求得 的值即可
【详解】
解：（1） 正多边形的每一个外角都相等，且等于
则正多边形的每个内角为 ，
根据题意，正多边形的每一条边都相等，则 所在的等腰三角形的顶角为： ，另一个底角为
，
当 时，
当 时，
当 时，
故答案为：
（2）存在．设存在正n边形使得 ，
∴ ，解得 ．
【点睛】
本题考查了正多边形的外角和与内角的关系，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据正多边形的外
角与内角互补求得内角是解题的关键．
17．（2021·山东淄博·期中）探究归纳题：(1)试验分析：
如图1，经过A点可以做______条对角线；同样，经过B点可以做______条对角线；经过C点可以做_____
条对角线；经过D点可以做______条对角线．
通过以上分析和总结，图1共有_______条对角线．
(2)拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：图2共有_______条对角线；图3共有______条对角线；
(3)探索归纳：
对于n边形（ ），共有_________条对角线．（用含n的式子表示）
(4)运用结论：
九边形共有________条对角线．
【答案】(1)1，1，1，1，2
(2)5，9
(3)
(4)27
【解析】
【分析】
（1）根据对角线的定义，可得答案；（2）根据对角线的定义，可得答案；（3）根据探索，可发现规律；
（4）根据对角线的公式，可得答案．
(1)
解：经过A点可以做 1条对角线；同样，经过B点可以做 1条；经过C点可以做 1条；经过D点可以做
1条对角线．
通过以上分析和总结，图1共有 2条对角线．
故答案为∶1，1，1，1，2；
(2)
解∶ 运用（1）的分析方法，可得：图2共有 5条对角线；图3共有 9条对角线；
故答案为：5，9；(3)
解∶由（1），（2）可知，对于n边形（n＞3），共有 条对角线；
故答案为： ；
(4)
解：当n=9时， ，
∴十边形有27对角线．
故答案为：27．
【点睛】
本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式 是解题关键．
18．（2021·吉林·永吉县教师进修学校八年级期中）（1）四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°．
①如图1，若∠B＝∠C，则∠C＝__________°；
②如图2，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且 ，则 _________°；
③如图3，若∠ABC和∠BCD的平分线相交于点E，则∠BEC＝_________°；
（2）如图3，当 ， 时，若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，∠BEC与α，β之间的数量
关系为_________；
（3）如图4，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，CP，DP分别平分∠BCD和∠EDC，求∠P的
度数．
【答案】（1）①70°；②60°；③110°；（2） ；（3）60°
【解析】
【分析】（1）①根据四边形内角和为360度进行求解即可；
②先根据平行线的性质求出∠ABE=180°-∠A=40°，再由角平分线的定义求出∠ABC=2∠ABE=80°，再由四边
形内角和为360度进行求解即可；
③先根据四边形内角和为360度求出∠ABC+∠ACB =140°，再由角平分线的定义得到 ，
，最后利用三角形内角和定理求解即可；
（2）同（1）③的方法求解即可；
（3）同（1）③的方法，先求出 ，然后根据角平分线的定义以及三角形内角和定理
求解即可．
【详解】
（1）①∵∠A=140°，∠D=80°，∠B=∠C，
∴
故答案为：70°；
②∵BE∥AD，∠A=140°，
∴∠ABE=180°-∠A=40°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABE=80°，
∴∠C=360°-∠A-∠D-∠ABC=60°，
故答案为：60°；
③∵∠A＝140°，∠D＝80°，
∴∠ABC+∠ACB=360°-∠A-∠D=140°，
∵∠ABC和∠BCD的平分线相交于点E，
∴ ， ，
∴
故答案为：110°；
（2） ， ，∴
∵∠ABC和∠BCD的平分线相交于点E，
∴ ， ，
∴ 故答案为：
；
（3）∵ ，
又∵CP，DP分别平分∠BCD和∠EDC，
∴ ， .
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查了四边形内角和，三角形内角和定理，多边形内角和公式，角平分线的定义，解题的关键在
于能够熟练掌握多边形内角和公式．
