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专题 04 勾股定理基本应用
专题说明
勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几
何问题的最重要的工具之一。勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的
数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不
具有这一特征。
解题思路
考点1 求线段长
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形 ABC的两直角边长分别
a，b c a2 b2 c2
为 ，斜边长为 ，那么 .
考点2 求面积
类型一 直角三角形中求斜边上的高
类型二 结合乘法公式巧求面积或长度
类型三 巧妙割补求面积
类型四 “勾股树”及其拓展类型求面积
考点3 解直角三角形
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边
在 中， ，则 ， ，
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系
③可运用勾股定理解决一些实际问题
【典例分析】
【考点1 求线段长】
【典例1-1】（2022八下·德阳期末）已知△ABC中，BC＝4，AB＝5，∠C＝
90°，则AC＝（ ）
A．6 B．√41 C．4 D．3
【典例1-2】（2021八上·龙泉期末）若直角三角形的两边长分别是5和12，则
它的斜边长是( )A．13 B．13或 √119 C．√119 D．12或13
【变式1-1】（2021八上·丹东期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，如果AB=8，
BC=6，那么AC的长是（ ）．
A．10 B．2√7 C．10或2√7 D．7
【变式1-2】（2021八上·槐荫期末）直角三角形的两直角边长分别为5和12，
则斜边长为（ ）
A．13 B．14 C．√89 D．1
【变式1-3】（2020秋•宝安区期末）若一直角三角形的两边长分别是 6，8，则
第三边长为（ ）
A．10 B． C．10或 D．14
【考点2 求面积】
【典例2】（2020春•东城区校级期末）若三个正方形的面积如图所示，则正方
形A的面积为（ ）
A．6 B．36 C．64 D．8
【变式2-1】（2021八上·临漳期中）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，
分别以AB、BC、AC为边向外作正方形，若三个正方形的面积分别为225、
400、S，则S的值为（ ）
A．25 B．175 C．600 D．625
【变式2-2】（2021秋•和平区期末）如图，分别以此直角三角形的三边为直径
在三角形外部画半圆，若S ＝9 ，S ＝16 ，则S ＝ ．
1 2 3
π π【变式2-3】（2021八上·渠县期中）如图所示的图形中，所有的四边形都是正
方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正
方形A，B，C，D的面积和是 cm2.
【典例3】（2021八上·佛山月考）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为
1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）
2 3 4
A． √5 B． √5 C． √5 D．√5
5 5 5
【变式3-1】（2021八上·通州期末）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，
BD⊥AC，垂足为D．如果AC=6，BC=3，则BD的长为（ ）
3 3√3
A．2 B． C．3√3 D．
2 2
【变式3-2】（2021八上·六盘水月考）如图，在4×4的正方形网格中，每个小
正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD⊥BC于点D，则AD的长为（ ）
A．√2 B．2 C．√5 D．3
【考点3 解直角三角形】
【典例 4】（2021 秋•紫金县期中）如图，在△ABC 中，∠ADC＝∠BDC＝
90°，AC＝20，BC＝15，BD＝9，求AD的长．
【变式4-1】（2021八上·北镇期中）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，
若AB＝5，BD＝3，AD＝4，AC＝8，求CD的长．
【变式4-2】（2021八上·连南期中）已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于
D，若AB＝5，CD＝3，求BC的长．【夯实基础】
1．（2022 秋•城关区校级期末）如图，两个较大正方形的面积分别为 225，
289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．64
2．（2022秋•渝中区校级期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角
形都是直角三角形，若正方形 A、B、C、D的面积分别是6、10、4、6，则
最大正方形E的面积是（ ）
A．20 B．26 C．30 D．52
3．（2022秋•绥中县校级期末）若直角三角形的两边长分别为 a，b，且满足
（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为（ ）
A．25 B．7 C．25或7 D．25或164．（2022秋•青岛期末）如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，
可得△ABC，则AC边上的高是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022春•灵宝市校级月考）如图，以直角三角形的三边a，b，c为边，向
外作正方形，等腰直角三角形，等边三角形和半圆，上述四种情况的面积关
系满足S +S ＝S 的图形有（ ）
1 2 3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2022春•潜山市月考）如图，点E是正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°．
若AE＝2，BE＝3，则正方形ABCD的面积为（ ）
A．10 B．13 C．36 D．169
7．（2022秋•兴庆区校级月考）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝8，BC
＝4，则正方形ABDE的面积为（ ）A．18 B．48 C．65 D．72
8．（2022秋•徐汇区期末）一个直角三角形两条直角边的比是 3：4，斜边长为
10cm，那么这个直角三角形面积为 ．
【答案】 24 cm 2
9．（2022秋•邢台期末）已知平面直角坐标系中，点 P（m﹣2，4）到坐标原
点距离为5，则m的值为 ．
10．（2022秋•门头沟区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝
8．求BC边上的高的长．
11．（2022秋•绿园区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB
于点D，AC＝20，BC＝15．
求：（1）CD的长；
（2）AD的长．
12．（2022秋•茂南区期末）如图，在由边长为 1的小正方形组成的网格中，
△ABC的顶点A，B，C恰好在格点（网格线的交点）上．（1）求△ABC的周长．
（2）求△ABC的面积．
【能力提升】
13．（2022秋•二七区校级期末）如图，已知直角三角形ABC的周长为24，且
阴影部分的面积为24，则斜边AB的长为 ．
14．（2022秋•卧龙区校级期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边
形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若
AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝ ．
14．（2022秋•佛山校级期末）如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，
AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间
为t秒．（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
15．（2022 秋•二道区校级期末）定义：如图，点 M，N 把线段 AB 分割成
AM、MN、NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称
点M、N是线段AB的勾股分割．
（1）已知M、N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，
BN＝6，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝30，
AM＝5，求BN的长．
16．（2022秋•通川区校级期末）已知，如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝
6，BC＝4，以斜边 AC 为底边作等腰三角形 ACD，腰 AD 刚好满足
AD∥BC，并作腰上的高AE．
（1）求证：AB＝AE；（2）求等腰三角形的腰长CD．
