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期末重难点真题特训之压轴满分题型（60题12个考点）专练
【精选最新考试题型专训】
压轴满分题一、二次根式的化简压轴题
1．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）已知 ， ，
，…， ，其中n为正整数．设 ，
则 值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及实数数字类的规律探索；探索规律，准确计算是解题关键．
根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案．
【详解】解：由题意，可得
，
，
，
……
，
∴．
故选：A．
2．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）若 的最大值为 ，最小值为 ，则 的值
为 .
【答案】
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据二次根式有意义的条件和二次根式的非负性，根据二
次根式有意义的条件和二次根式的非负性即可求出x的取值范围和y的取值范围，然后将等式两边平方得
到 ，利用偶次方的非负数和二次根式的非负数求出 的最大值和
最小值，从而求出 的最大值和最小值，即为 ，代入即可．
【详解】解：∵
∴ ，
解得： ，
将等式两边平方，得 ，
∴ ，∴
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
又∵ ，
∴ ，
∴
∴
故答案为： ．3．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）观察下列各式： ，
，
，
请利用你所发现的规律．
(1)写出第4个式子______；
(2)写出第 个式子______，并证明其正确性（用 含的等式表示， 为正整数）．
(3)计算 ．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
(3)
【分析】本题考查了分式，二次根式的运算以及配方法，熟练掌握分式和二次根式的运算性质，配方法，
理解题干中的规律并且证明其规律是解题的关键．
（1）根据题干给的规律，可直接写出结果；
（2）根据题干给的规律，可直接写出第 个式子；要证明等式成立，由于左侧是二次根式的形式，右侧是
分式的形式，因此考虑对于左侧二次根式的被开方式子凑成完全平方形式，然后可以去掉根号．所以对于
左侧二次根式被开方式子通分整理后，得到 ，由此即可证明等式
成立；
（3）根据前面证明所得到的式子，利用 ，以及 化简，即可求得结果；
【详解】（1）解：根据题干中的规律，可得
第4个式子为： ；
（2）解：根据题干中的规律，可得
第 个式子为： ；
证明： 左边
右边，
等式成立；
（3）解： ， ，
原式．
4．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）阅读下面材料并解决有关问题：
（一）由于 ，所以 ，即 ，并且当 时， ；对于两个
非负实数 ， ，由于 所以 ，即 ，所以 ，
并且当 时， ；
（二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把
分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称
为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：
；
(1)在① 、② 、③ 、④ 这些分式中，属于假分式的是________（填序号）；
(2)已知： ，求代数式 的值；
(3)当 为何值时， 有最小值？并求出最小值．（写出解答过程）
【答案】(1)①②④
(2)
(3) 时， 有最小值，最小值为3
【分析】本题为新定义问题，创新题，考查了分式的计算，二次根式的变形，完全平方公式的应用等知识，
理解题目中的相关材料，并根据题意灵活应用是解题关键．
（1）根据真分式、假分式的定义逐项判断即可求解；
（2）先根据 ，得到 ，进而得到 ，即可得到 ，利用倒数的定义即可求出 ；
（3）先求出 ，再将 变形为 根据（一）结论得到
，即可求出当且仅当
，即 时， 有最小值，最小值为3．
【详解】（1）解：①是假分式，符合题意；
②是假分式，符合题意；
③是真分式，不合题意；
④是假分式，符合题意．
故答案为：①②④．
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：由题意， ，
∴ ．
原式．
当且仅当 ，即 时，等号成立．
∴原式的最小值为3．
5．（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使
不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如， ，求证： ．证明：左边
右边．
阅读材料二：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a，b，则面积为 ，四个直角三角
形面积和小于正方形的面积得： ，当且仅当 时取等号．在 中，若
，用 代替a，b得， ，即 ，我们把(*)式称为基本不等式．例
如：在 的条件下， ， ，当且仅当 ，即 时， 有最小值，最小
值为 2．
阅读材料三：正实数a，b满足 ，求 的最小值?
其中一种解法是： ，当且仅当 且 时，即
且 时取等号．
请同学们根据以上所学的知识解决下列问题．
(1)若 ，求 的最小值________；若 ，求 的最小值________．(2)已知 且 ，求 的最小值是?
(3) ，且 ，不等式 恒成立，求 的范围?
(4)已知 且 ，求 的最小值?
【答案】(1)4，6
(2)
(3)
(4)4
【分析】本题考查了不等式的性质，完全平方公式的应用，利用二次根式的性质进行化简．理解题意，熟
练掌握不等式的性质，完全平方公式的应用，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．
（1） 时， ，根据 ，计算求解，然后作答
即可；当 时， ，根据
，计算求解，然后作答即可；
（2）同理（1），根据
，计算求解，然后作答即可；
（3）同理（1），根据，计算求解即可；
（4）由 ，可得 ，根据
求解，进而可得 ，然后作答即可．
【详解】（1）解：当 时， ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时， 有最小值，最小值为4；
当 时， ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时， 有最小值，最小值为6；
故答案为：4，6；
（2）解：∵ 且 ，
∴ ， ，
∴
，
当且仅当 ，即 时， 有最小值，最小值为 ；
（3）解：∵ ，且 ，则 ， ，∴
，
当且仅当 ，即 时， 有最小值，最小值为 ，
∵ 恒成立，
∴ 的最小值，即 ；
（4）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当且仅当 ，即 时， 有最小值，最小值为4．
压轴满分题二、分母有理化压轴题
1．（23-24八年级下·重庆江津·阶段练习）某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有
二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如 ， ．通过查阅相关
资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，得到了一些结论：
① ；②设有理数 ， 满足： ，则 ；
③ ；
④已知 ，则 ；
⑤ ．
以上结论正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，对各个项利用有理化因式进行变形计算后即可判断，在二次根
式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
【详解】解：① ，故错误；
②设有理数 ， 满足： ，
，
，
，故错误；
③ ，
，
，，故正确；
④
，
而 ，
，故错误；
⑤ ，
，
，
，故正确；
综上所述，正确的为③⑤，为2个，
故选：B．
2．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）可以用配方法化简二重根式，
例如： ，
请化简式子： ．
【答案】2
【分析】先把 ， 分别化为 与 ，再化简，结合分母有理化，最后计算加
减运算即可．【详解】解：
；
故答案为：2
【点睛】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的混合运算，分母有理化，掌握二次根式的化简的方法
与技巧是解本题的关键．
3．（23-24八年级下·北京朝阳·期中）阅读下面材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分
母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：
，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处
理一些二次根式的最值问题．例如：比较 和 的大小可以先将它们分子有理化如下：
， ，因为 ，所以 ．再例如：
求 的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而
，当x＝2时，分母 有最小值2，所以y的最大值是
2．
解决下述问题：(1)由材料可知，__________ ；
(2)比较 和 的大小；
(3)式子 的最小值是__________．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，分子有理化：
（1）根据分子有理化的方法进行求解即可；
（2）利用分子有理化得到 ， ，然后比较 和 的大小即
可得到 与 的大小；
（3）利用二次根式有意义的条件得到 ，而 ，利用当 时， 有最
小值 ， 有最小值0得到 的最小值．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ．
（2） ，
，而 ， ，
，
；
（3）由 ， ， 得 ，
，
当 时， 有最大值，则 有最小值 ，此时 有最小值0，所以 的最小值
为 ．
4．（22-23八年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知 ，求 的值．小明是这样分析与解答的：
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)若 ，求 的值；
(2)计算： ；
(3)比较 与 的大小，并说明理由．
【答案】(1)2
(2)(3) ，理由见详解
【分析】（1）结合题意，求得 ，然后代入求值即可；
（2）将原式整理为 ，即可获得答案；
（3）比较 与 的大小，即可获得答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
（2）
．
故答案为： ；
（3） ，理由如下：
∵ ，
∴ ，∴ ， ，
∵ ，
，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了分母有理化、二次根式混合运算、代数式求值、利用平方差公式和完全平方公式
进行运算等知识，正确理解题意，结合题目中解题思路进行分析是解题关键．
5．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）阅读材料，并完成下列任务：
材料一：裂项求和
小华在学习分式运算时，通过具体运算： ， ， ，……
发现规律： （n为正整数），并证明了此规律成立．
应用规律：快速计算 ．
材料二：根式化简
例1 ；
例2
任务一：化简．
(1)化简：(2)猜想： ___________________（n为正整数）．
任务二：应用
(3)计算： ；
任务三：探究
(4)已知
，
比较x和y的大小，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4) ，理由见解析
【分析】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简．
（1）根据题目中的例子可以写出答案；
（2）根据例2，可以写出相应的猜想；
（3）根据分母有理化，可得二次根式的化简，根据二次根式的加减，即可得到答案；
（4）结合例1，例2的规律进行计算即可；
【详解】（1）
（2），
，
，
故答案为： ；
（3）
；
（4）
，
，，
故 ．
压轴满分题三、用勾股定理解三角形
1．（2024·江苏扬州·二模）如图，在 中，若 ， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】该题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，等知识点，解题的关键是正确作出辅助线．
过点 作 交 于点 ，根据 ，即可证明 ，根据等腰三角形性质可得
，设 ，则 ，在 中，根据勾股定理算出 ，解得 ，
，再过点 作 交 于点 ，设 ，则 ，在 中，根据勾
股定理列方程，解出 ，求出 ，则 ， ， ，在 中，根据勾股定
理即可算出 ．
【详解】过点 作 交 于点 ，
，
即 ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
则 ，
在 中， ，解得： ，
即 ， ，
过点 作 交 于点 ，
设 ，则 ，
在 中， ，
解得： ，
∴ ，则 ， ， ，
在 中， ，
故选：A．
2．（2024·四川内江·二模）如图，在 中， ， ，P是 的中点，若点D
在直线 上运动，连接 ，以 为腰，向 的右侧作等腰直角三角形 ，连接 ，则在点D的
运动过程中，线段 的最小值为 ．
【答案】
【分析】取 的中点 ，连接 ，先证得 ，得出 ，根据点到直线的距离可知当时， 最小，然后根据等腰直角三角形的性质求得 时 的值，即可求得线段PF的
最小值．
【详解】解：如图，取 的中点 ，连接 ，
∵ 为等腰直角三角形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，P为 中点，Q是 的中点，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵点D在直线 上运动，
∴当 时， 最小，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∴线段 的最小值是为1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质以及垂线段最短问题，通过分析条件添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
3．（23-24八年级下·重庆·期中）已知 是等边三角形，点 为射线 上一动点，连接 ，以
为边在直线 右侧作等边 ．
(1)如图1，点 在线段 上，连接 ，若 ，且 ，求线段 的长；
(2)如图2，点 是 延长线上一点，过点 作 于点 ，求证： ；
(3)如图3，若 ，点 在射线 上运动，取 中点 ，连接 ，请直接写出 的最小值．
【答案】(1) ；
(2)见解析；
(3)EG的最小值为 ．
【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，垂线段最短．
（1） 过 作 于 ，交 的延长线于点 ，证明 ，结合三角形特殊角的特征，
运用勾股定理计算 ，继而得到 ．（2）延长过 到点 ，使得 ，先证明 ，得到 ，
，从而得到 ，继而得到 ，得到
，证明 ，利用等腰三角形的性质证明即可．
（3）根据 ，得到 ．得到 是 的角平分线，利用垂线段最短
即可求解．
【详解】（1）解： ， 都是等边三角形
， ， ，
，
，
在 与 中
，
，
过 作 于
∴
∴
（2）如图，延长过 到点 ，使得 ，， 都是等边三角形，
， ，
， ．
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）根据（1）得 ，
．
是 的角平分线，当 时， 最短，
， 中点 ，
，
， ，
故 的最小值为 ．
4．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在两个等腰直角 和 中， ，
连结 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，当 时，求 的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】( )根据等腰三角形的性质得出 ， ，再推导出 ，根据 证明
三角形全等即可；
( )由平行线的性质得到 ，由等腰直角三角形的性质可得 ，进而得
，再根据全等三角形的性质可得 ， ，
根据勾股定理得出 ，即可得到 的长；本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，由等腰直角三
角形和平行线的性质得出 是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵等腰直角 和 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵等腰直角 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ．
5．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）【问题呈现】“一直线三等角”，是几何证明的常见模型．
（1）如图1， 和 均为等边三角形，点D为 边上一个动点， ，点O为 边中点，
连接 ，写出图中全等的三角形______．线段 的最小值______．【问题探索】
（2） 是等腰直角三角形， ，点E是 上一点， ，交 于
D．
①如图①试探究 数量关系，并给予证明；
②如图②，若 ，点F是 的中点，求 的长．
【灵活运用】
（3）如图3，四边形 中，对角线 相交于点E， ，
，求四边形 的面积．
【答案】（1） ， ；（2）① ，证明见解析；② ；（3）
．
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性
质与判定，含30度角的直角三角形的性质等等：
（1）连接 ，证明 ，得到 ，则 ，可得点E在射线
上运动，故当 时， 有最小值，此时 ，据此求解即可；（2）①如图所示，过点C作 交 延长线与F，连接 ，证明 是等腰直角三角形，得到
，再证明 ， ，得到 ，则
，由勾股定理即可得到 ；②如图所示，过点C作 于G，则
，进而得到 ，再求出 ，由勾股定理得
；
（3）如图所示，在 延长线上截取 ，连接 ，过点A作 于H证明
，得到 ，在 中， ，则
，可得 ， ，再由
即可得到答案．
【详解】解：（1）如图所示，连接 ，
∵ 都是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点E在射线 上运动，
∴当 时， 有最小值，
∴此时 ，
∵点O为 边中点，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ 的最小值为 ；
（2）① ，证明如下：
如图所示，过点C作 交 延长线与F，连接 ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， 由勾股定理得 ，
在 中， 由勾股定理得 ，
∴ ；
②如图所示，过点C作 于G，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ；
（3）如图所示，在 延长线上截取 ，连接 ，过点A作 于H，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
压轴满分题四、勾股定理与折叠问题
1．（2021·重庆南岸·一模）如图，在纸片 中， ，折叠纸片，使点 落在
的中点 处，折痕为 ，则 的面积为（ ）
A． B．10 C．11 D．
【答案】A
【分析】过点D作AB的垂线，垂足为G，过D作CF的垂线，垂足为H，过A作BC的垂线，垂足为N，
分别求出△DEA和△DFC的面积，利用S DEF＝ ×（S ABC－S DEA－S DFC）可得结果．
△ △ △ △
【详解】解：过点D作AB的垂线，垂足为G，∵∠BAC＝120°，
∴∠GAC＝60°，∠GDA＝30°，
∴AG＝ ，DG＝ ，
设AE＝x， 则BE＝12－x＝DE，
在Rt△DGE中， ，
即 ，
解得：x＝ ，
∴S ADE＝ DG×AE＝ ＝ ，
△
过D作CF的垂线，垂足为H，过A作BC的垂线，垂足为N，
∵ ，
∴AN＝ AB＝6，BN＝ ，
∴BC＝ ，
设DF＝y，
则CF＝ ，
DH＝ ，CH＝ ，
则有 ，即 ，
解得： ，
则S DFC＝ ，
△
∴S DEF＝ ×（S ABC－S DEA－S DFC）
△ △ △ △
＝＝
＝
故选A．
【点睛】此题主要考查了翻折变换以及勾股定理、等腰三角形的性质等知识，正确得出AE、BF的长是解
题关键．
2．（2024八年级下·广东·专题练习）如图，将长方形纸片 沿 折叠，使点A落在 边上点 处，
点D的对应点为 ，连接 交边 于点E，连接 ，若 ， ， 点为 的中点，则线
段 的长为 ．
【答案】
【分析】连接 ，勾股定理求得 ，进而证明 ，设 ，根据 ，以及
三边关系建立方程组，解方程组求解即可．
【详解】如图，连接 ，
折叠
， ，
四边形 是长方形， ， ，
， ，设
则
是 的中点，
在 中，
在 中，
即
解得
，
又∵
设
在 中
即 ①
又
②
由①可得 ③
将②代入③得 ④
②-④得
解得即
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠问题，因式分解，三角形全等的性质与判定，解二元一次方程组，掌
握折叠的性质是解题的关键．
3．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知矩形 ， ， ，点P是射线 上的动点，
连接 ， 是由 沿 翻折所得到的图形．
(1)当点Q落在边 上时， ；
(2)当直线 经过点D时，求 的长；
(3)如图2，点M是 的中点，连接 、 ．
① 的最小值为 ；
②当 是以 为腰的等腰三角形时，请直接写出 的长．
【答案】(1)
(2) 或
(3) 或 或
【分析】（1）根据折叠的性质和勾股定理进行求解即可；
（2）分点 在线段 上，点 在线段 的延长线上，两种情况，进行讨论求解；
（3）①连接 ，勾股定理求出 的长，折叠求出 的长，根据 ，求出最小值即可；
②分 和 两种情况，再分点 在线段 上，点 在线段 的延长线上，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：当点Q落在边 上时，如图所示，
∵矩形 ， ， ，
∴ ， ，
∵翻折，
∴ ，
∴ ，
在 中， ；
故答案为： ；
（2）当直线 经过点D时，分两种情况：
当点 在线段 上时，如图：
∵翻折，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则： ， ，
在 中， ，即： ，
∴ ；∴ ；
②当 在线段 的延长线上时：
∵翻折，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则： ， ，
在 中， ，即： ，
∴ ；
∴ ；
综上： 或 ；
（3）①连接 ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵翻折，
∴ ，
∵ ，∴当 三点共线时， 的值最小，
即： ；
故答案为： ；
②当 时，如图：
∵翻折，
∴ ，
设 ，则： ，
在 中， ，即： ，
解得： ，
即： ；
当 ，点 在线段 上时，如图：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，点 在 上，
由（1）知： ，
∴ ，
∴ ；
当点 在 的延长线上时：如图：此时点 在 上，连接 ，∵翻折，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
综上： 或 或 ．
【点睛】本题考查折叠问题，全的三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，综合性强，
难度大，属于压轴题．利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
4．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如图，在 中， ， ，点D为线段 延长
线上一点，以 为腰作等腰直角 ，使 ，连接 ．
(1)请判断 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若 ， ，求线段 的长；
(3)如图2，在（2）的条件下，将 沿线段 翻折，使点A与点E重合，连接 ，求线段 的长．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)
(3)【分析】（1）证明 ，则 ，如图1，记 的交点为 ，根据
， ，可得 ，
进而可得 ；
（2）如图2，过 作 于 ，则 ， ，由勾股定理得，
，计算求解即可；
（3）由翻折的性质可知， ， ， ，如图3，过 作 于
，过 作 于 ，证明 ，则 ， ，由勾
股定理得， ，计算求解即可．
【详解】（1）解： ，理由如下：
∵等腰直角 ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
如图1，记 的交点为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；（2）解：∵ ， ，
∴ ，
如图2，过 作 于 ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
∴线段 的长为 ；
（3）解：由翻折的性质可知， ， ，
∴ ，
如图3，过 作 于 ，过 作 于 ，
∴ ，
同理（2）可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
由勾股定理得， ，
∴线段 的长为 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形
的性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，折叠的性质是解题的关键．
5．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图1，在长方形 中， ，点E为 边上
一动点，将 沿着直线 翻折后得到 ，请解决下列问题．
(1)当点E为 边的中点时， ________；
(2)连接 ，当 为等腰三角形时，请在图2中画出对应的图形，并求出此时 的面积；
(3)连接 ，当 为直角三角形时，求出此时 ________．
【答案】(1)
(2) 的面积为12或
(3) 或
【分析】（1）在 中，根据勾股定理求 即可；（2）分两种情况：①当点F在长方形 内部， 时；②当点F在长方形 外部，
时分别计算 面积即可；
（3）分两种情况：①当 时，利用方程根据勾股定理求出 ；②当 时，利用方程
根据勾股定理求出 即可．
【详解】（1）解：在长方形 中， ，
， ，
点E为 边的中点，
，
在 中，根据勾股定理，得：
；
故答案为： ；
（2）解：①当点F在 中点M、N所在直线上时，如图：
直线 为矩形 对称轴，
，四边形 为矩形，
由折叠可知： ，
，即 为等腰三角形，
；
②当 时， 作 ，交 的延长线于点M，作 ，垂足为点N，如图：
，，
四边形 为矩形，
， ，
， ，
，
在 中， ，根据勾股定理，得：
，
，
；
综上所述，当 为等腰三角形时， 的面积为12或 ；
（3）解：点E在 上运动，则 ，
①当 时，
三点在同一直线上，
在 中，根据勾股定理，得：
，
，
由折叠知： ，
在 中，根据勾股定理，得：
，
解得： ；
②当 时，即点F落在 时，在 中，根据勾股定理，得：
，
，
在 中，根据勾股定理，得：
，
解得： ；
综上所述，当 为直角三角形时，求出此时 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形性质、等腰三角形性质及直角三角形性质，解题关键是分类讨论，
注意不要漏掉其中一种的情况．
压轴满分题五、勾股定理的应用
1．（22-23八年级下·辽宁丹东·期中）如图，已知直线 交x、y轴于A、B两点，以 为边作等
边 （A、B、C三点逆时针排列），D、E两点坐标分别为 ，连接 ，则
的最小值为（ ）A．6 B． C．6.5 D．7
【答案】D
【分析】在 轴上方作等边 ，证明 ，所以点 的轨迹为定直线 ，作点 关
于直线 的对称点 ，连接 ，当点 、 、 在同一条直线上时， 的
值最小，再根据勾股定理，即可解答；
【详解】 点B在直线 上，
在 轴上方作等边
即
又∵
∴
∴点 的轨迹为定直线
作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，
∴当点D、C、 在同一条直线上时， 的值最小即
的最小值
故选：D
【点睛】本题考查最短路径，勾股定理，轴对称等知识点，解题关键是熟练掌握以上知识点、根据条件的
问题作出辅助线．
2．（23-24九年级下·江苏盐城·期中）如图，在 中， ， ，点 在边
上， ，动点 在 边上，连接 、 ，当 的结果为整数时，此时点 的个数为
．
【答案】【分析】作 ，点 在线段 上，且 ，连接 ，连接 交 于点 ，根
据两点之间线段最短，结合勾股定理，求出“当点 、 、 在同一直线上时，即点 运动到 时
的最小值”，从 向 两端运动， 逐渐变大，利用勾股定理，分别求出“当点 运动
到和点 重合时”和“当点 运动到和点 重合时”， 的值，根据 的数值变化范围，分
析得出当 的结果为整数时，此时点 的个数即可．
【详解】解：如图，作 ，点 在线段 上，且 ，连接 ，连接 交
于点 ，
∵在 中， ， ， ，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当点 、 、 在同一直线上时，即点 运动到 时 最小 ，
当点 运动到和点 重合时， ，
当点 运动到和点 重合时， ，∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵大于 并小于等于 的整数有“ ， ”这 个，
大于 并小于 的整数有“ ， ， ， ， ， ， ”这 个
∴线段 上有 个点 的位置，使得 的结果为整数；线段 上有 个点 的位置，使得
的结果为整数，
∴ ，即当 的结果为整数时，此时点 的个数为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了动点与最小路径问题，结合勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握知
识点、分类讨论、数形结合是解题的关键．
3．（21-22九年级下·河南洛阳·阶段练习）[提出问题]
如图1，A，B是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得这个点到点A，B的距离的和最短？
[分析问题]
如图2，若A，D两点在直线l的异侧，则连接AD，与直线l交于一点，根据“两点之间线段最短”，可知
该点即为点C，因此，要解决上面提出的问题，只需要将点B（或点A）移到直线l的另一侧的点D处，且
保证 （或 ）即可．
[解决问题]：
(1)在图1中确定点C的位置（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)如图3，在菱形 中， ，E是BC边的中点，P是对角线AC上的一个动点，则
的最小值为_____．
【答案】(1)见解析；
(2) ．【分析】（1）根据最短路径直接画图即可；
（2）同（1）一样，对称后连线，求出最短途径，作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出最短路径
的值．
【详解】（1）如图，点C即为所求；
（2）连接DE，作 ，交BC延长线于H，
∵四边形 是菱形，
∴点B、D关于AC对称 ，
∴ 的最小值即为DE的长，
∵ ，
∴ ，
∵点E为BC的中点，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得， ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为：
【点睛】此题考查最短路径以及勾股定理，解题关键是先对称然后连线，找出最短路径，然后通过直角三
角形三边关系求出最短路径．
4．（22-23八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一条河流的 段长为 ，在 点的正北方 处有
一村庄 ，在 点的正南方 处有一村庄 ，计划在 上建一座桥 ，使得桥 到 村和 村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题：
(1)将桥 建在何处时，可以使得桥 到 村和 村的距离和最小？请在图中画出此时 点的位置；
(2)小明发现：设 ，则 ，则 ，根据（1）中的结论可以
求出当 ______时， 的值最小，且最小值为______；
(3)结合（1）（2）问，请直接写出下列代数式的最小值：
① 的最小值______；
② 的最小值为______．
【答案】(1)见解析
(2) ；
(3)① ；②
【分析】（1）直接根据两点之间线段最短，连接 ，交 于点 即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理得出 的长度，根据勾股定理求出 即为最小值；
（3）①根据题意可知 的最小值 ，计算即可；
②将 转换为 ，然后根据上述规律求最小值
即可．
【详解】（1）解：如图，点 即为所作：；
（2）过点 作 ，交 与点 ,
则 ， ，
，
设 为 ，则 ，
则 ，
即 ，
解得 ，
，当 时，最小值为 ，
故答案为： ； ；
（3）① 的最小值 ，
故答案为： ；
②
的最小值 ，
故答案为： ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，考查了数形结合的思想，读懂题意，将已知式子转换为相应的图形
进行解答是本题的关键．
5．（23-24八年级上·河南平顶山·期中）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，
人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个
新的证法．
小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然， ，
．请用a、b、c分别表示出梯形 、四边形 、 的面积，再探究这三个图形面积
之间的关系，可得到勾股定理：
______，
______，
______，
则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理 ．
知识运用：
（1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），
， ，垂足分别为A、B， 千米， 千米，则两个村庄的距离为______千米
（直接填空）；
（2）在（1）的背景下，若 千米， 千米， 千米，要在 上建造一个供应站P，使
得 ，求出 的距离．
知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式 的最小值 ．
【答案】小试牛刀： ； ； ； ；
知识运用：（1）41；（2） （千米）；
知识迁移：20．
【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积；
知识运用：（1）连接 ，过点 作 的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得
．
（2）作 的垂直平分线，交 于点 ，分别在 和 中用勾股定理表示出 与 联立
方程求解即可．
知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可．
【详解】解：小试牛刀：
，
，
，
则它们满足的关系式为： ．
知识运用：
（1）如图2①，连接 ，作 于点E，
，
，
，
有勾股定理得到：
（千米）
∴两个村庄相距41千米．
（2）连接 ，作 的垂直平分线交 于点 ，设 千米，则 千米，
在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
解得， ，
即 千米．
知识迁移：
如图3，过 作点 的对称点 ，连接 交 于点 ，
过 作 ，
根据对称性： ，
设 ，则 ，有勾股定理得，
，
．
∴代数式 的最小值为：．
【点睛】本题考查了四边形综合以及用数形结合方式来证明勾股定理，解答本题的关键在于勾股定理的应
用、最短线路问题、线段的垂直平分线以及用面积法证明勾股定理，本题是一道综合型较强的题目．
压轴满分题六、平行四边形的判定与性质
1．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，平行四边形 的对角线 ， 相交于点O，
平分 ，分别交 ， 于点E，P，连接 ， ， ，则下列结论：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】①先根据角平分线和平行线的性质得： ，则 ，由有一个角是60度的等
腰三角形是等边三角形得： 是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得： ，最
后由平行线的性质可作判断；②先根据三角形中位线定理得： ， ，根据勾股定理
计算 ， 的长，即可求 的长；③因为 ，根据平行四边形的面积公式可作判断；④根
据平行四边形的性质和三角形中位线定理可作判断；⑤由 求解 ，再进一步可得
答案．
【详解】解：①∵ 平分 ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故①正确；
②∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
③由②知： ，
∴ ，故③正确；
④由②知： 是 的中位线，
∴ ，∵ ，
∴ ，故④正确；
⑤∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故⑤错误；
本题正确的有：①②③④，共4个，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三角形的外角性质、含
的直角三角形性质、三角形的中位线性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边
形的性质，证明 是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平行四边形 中， ， ， ，点M在
上，且 ，点N在 上．若 平分四边形 的面积，则 的长度为
．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质，先作
出辅助线，根据平行四边形的性质以及边长得到 的长，再根据面积平分可得到 ，再
根据证明出平行四边形以及直角三角形的勾股定理可得到结果，数形结合，作辅助线是解题的关键．【详解】解：如图，取 中点O，连接 并延长交 于点N，过A作 于点G，过M作
于点H，如图所示：
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分四边形 的面积，
∴ 经过平分四边形 的中心O，
∵在平行四边形 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 的长为 ，
故答案为： ．
3．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图， 中， ，点 为边 上一点．
(1)如图1，若 于点 ， ，求 的长；
(2)如图2，已知 ，延长 至点 ，以 、 为边作 ，连接 、 ，若 于
点 ，求证： ；
(3)如图3，已知 ，将 沿直线 翻折，点 落在点 ，在线段 上求一点 ，使得
的值最小，请直接写出最小值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由勾股定理可得 ，再根据 ，进行计算即可得到答案；
（2）在线段 上取一点 ，使 ，证明 得到 ， ，再证明
得到 ，即可得证；
（3）由折叠的性质可得 ， ，将 绕点 逆时针旋转
得到 ，连接 ，由旋转的性质可得 ， ， ，
，连接 ，则 ，则当 、 、 、 四点在一条直
线上时， 的值最小，最小值为 ，作 交 的延长线于点 ，根据含30度角的
直角三角形的性质可得 ，由勾股定理可得 ，从而得到 ，最后再由勾股定理求
出 的长即可得到答案．【详解】（1）解： ， ，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图，在线段 上取一点 ，使 ，
于点 ，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，
，
，
，
；（3）解： 在 中， ， ，将 沿直线 翻折，使点 落点 处，
， ，
如图，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，
则 ， ， ， ，
，
连接 ，则 ，
当 、 、 、 四点在一条直线上时， 的值最小，最小值为 的长度，
作 交 的延长线于点 ，
，
，
，
，
，
，
，
，，
的最小值为 ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、三角形全等的判定与性质、旋转的性质、含30度角直角三角形的性质、
折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
4．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图， 为 的对角线， ， 平分
，点F为射线 上一点．
(1)如图1，当点F在 的延长线上，且 ，连接 与 交于点G．
①求证： ；
②若 ，求 的长；
(2)如图2，当点F在线段 上，连接 与 交于点H，若 ， ，试探究
三条线段之间的数量关系．
【答案】(1)①见解析；②
(2)
【分析】（1）①由 ，可得 ， ， ，则 ， ，
由 ，可得 ，则 ，由 平分 ，可得 ，
则 ，进而可证 ；②由勾股定理得， ，如图1，过G作 于 ，
证明 ，则 ， ，设 ，则 ，由勾股定理得， ，即 ，计算求解然后作答即可；
（2）由 ，可得 ，由 ，可求 ， ，
由 ，可得 ，则 ，
，如图2，以 为顶点作 ，交 的延长线于 ，则
， ， ，由
， ，可得 ，即 ，
可得 ．
【详解】（1）①证明：∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②解：由勾股定理得， ，
如图1，过G作 于 ，
由①可知， 平分 ，
∵ ，
∴ ，即 ，∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
由勾股定理得， ，即 ，
解得， ，
∴ 的长为 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图2，以 为顶点作 ，交 的延长线于 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的判定，角平分线，等腰三角形的判定与性质，三角形内
角和定理，勾股定理等知识．熟练掌握平行四边形的性质，平行线的判定，角平分线，等腰三角形的判定
与性质，三角形内角和定理，勾股定理是解题的关键．
5．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）如图，在四边形 中， ，且
．
(1)写出A，C，D三点的坐标．
(2)点P从点A出发，以 的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以 的速度向点O运动．规
定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为 ．
①求t为多少时， ．
②如图2，当 时，点E为 的中点，点F在 上， ，求点F的坐标．
【答案】(1) ， ，
(2)① 或 时， ；②
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定、勾股定理、等腰三角形的性质等，解题关键是熟练运用平行四边形的性质与判定得出线段之间的关系，列出方程．
（1）根据非负数的性质求出字母的值，写出坐标即可；
（2）①分 和 两种情况，根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质列出方程即可；
②延长 交于点M，过Q作 于H，证明 ，设 ，根据勾股定理列出方程即
可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴A，C，D三点的坐标为 ， ， ；
（2）解：①∵ ， ，
∴ 轴．
当 时，四边形 为平行四边形，此时 ，
∴ ，解得 ．
当 时，过C作 交 于E，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，∴ ，过C作 于H，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ．
∴ ，解得 ．
综上： 或 时， ．
②当 时四边形 为平行四边形．
由①可知此时 ，
∴ ， ，则 ，
延长 ， 交于点M，过Q作 于H，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，即： ，
∴ ，
∴ ．
设 ，则 ， ， ， ，
∵ ，
即 ，
解得： ，∴ ，
∴ ．
压轴满分题七、矩形的判定与性质
1．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，点 是矩形 边 上一点，连接 ，将 沿 翻
折，点 落在点 处， 的角平分线与 的延长线交于点 ，若 ，当点 从点 运
动到点 时，则点 运动的路径长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】过点M作 ，交 延长线于G， 延长线于H，可证明四边形 为正方形，当点E
与D重合时， ，设 ，在 中，由勾股定理即可求解．
【详解】过点M作 ，交 延长线于G， 延长线于H
则四边形 为矩形
∵ 平分
∴
∵
∴∴
由折叠可得：
∴
∴四边形 为正方形
∴
∴
当点E与D重合时，
设 ，则
在 中， ，解得
∴
∴当点 从点 运动到点 时，则点 运动的路径长是
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质
及矩形的性质是解题的关键．
2．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）如图，矩形 中，点E在 边上， ，将
沿 翻折得到 ，连接 ，若 ，则点F到 的距离为 ．
【答案】
【分析】先求出 ，证明出 ，连接 交 于点 ，过点 作 于点 ，过点 作
于点 ，利用面积法求出 ，证明 ，从而得到 ， ， ，再利用面积法即
可求出 ，从而解决问题．
【详解】解： 将 沿 翻折得到 ，
，
，
， ，，
，
，
，
是矩形，
，
， ，
由勾股定理，得 ，
连接 交 于点 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，如图，
则 ， ，
，
，
，
，
， ，
，
， ，
，
，
，，
， ，
，
．
【点睛】本题考查翻折的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩
形的性质，面积法，通过作辅助线发现 是解题的关键．
3．（23-24八年级下·湖南永州·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 坐标为 且
．
(1)求对角线 的长度；
(2)把矩形沿直线 对折使点 落在点 处， 与 相交于点 ，求四边形 的周长；
(3)若点 在坐标轴上，平面内是否存在点 ，使以点 为顶点的四边形为矩形？若存在，请
直接写出点 的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)存在， 点坐标为 或 或 或 ．
【分析】（ ）由四边形 是矩形得 ， ，又 ，然后根据 角所对直
角边是斜边的一半即可求解；
（ ）由折叠性质可知， ， 垂直平分 ，证明 是等边三角形，即可证明四边形是菱形，设 ，则 ，最后理性质和勾股定理即可求解；
（ ） 当 是矩形 的边时，分点 在 轴上，当点 在 轴上， 当 是矩形的对角线时，
分点 在 轴上，当点 在 轴上 即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵点 坐标为 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：由折叠性质可知， ， 垂直平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴四边形 ；
（3）存在，如图，当 是矩形 的边时，当点 在 轴上，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
过点 ，作 于点 ，
则 ， ，
∴ ，
当点 在 轴上， ，∴ ，
过点 作 轴于点 ，
则 ，
∴ ，
∵ ，
；
如图，当 是矩形的对角线时，
当点 在 轴上时，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
当点 在 轴上时，则点 为 ，
综上所述，平面内存在点 ，以点 为顶点的四边形为矩形，点 的坐标为或 或 或 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质和勾股定理，熟练掌握知
识点的应用是解题的关键．
4．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图1，将矩形 放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且
点B，C分别位于x轴，y轴上． 若 满足 ；
(1)求点A的坐标；
(2)取 中点 ，连接 ， 与 关于 所在直线对称，连接 并延长， 交x轴于点
P．
①求 的长；
②如图2，点D位于线段 上，且 ．点E为平面内一动点，满足 ， 连 ．请你求出线
段 长度的最大值．
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）由 可得 ， ，即可求解；
（2）①证明 ，得到 ，可得 ，即可求解；
②取 的中点 ，连接 ， ．当点 、 、 三点共线时， 的长度最大，进而求解．
【详解】（1）解： ．
∴ ， ，解得 ， ，
点 的坐标为 ；
（2）解：① 与 关于 所在直线对称，
， ， ，
如图，连接 ，
，
， ，
设 ， ，
在 中， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
点 为 的中点，
；
②取 的中点 ，连接 ， ．，点 是 的中点， ．
，
，
，
由中点坐标公式可知：点 的坐标为 ，
，
，
当点 、 、 三点共线时， 的长度最大，
则 的最大值为 ，
的最大值为 ．
【点睛】本题主要考查算术平方根和绝对值的非负性、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、轴对称的
性质及勾股定理、坐标与图形等知识，熟练掌握矩形的性质及勾股定理是解题的关键；
5．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）综合与探究
如图，将矩形 放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为 ，
且满足 ，点D是射线 上的一个动点，将 沿直线 翻折，点A的对应点为
．(1)点B的坐标为________；若 ，则点D的坐标为________．
(2)如图1，若点 落在矩形的对角线 上，求点D的坐标．
(3)在（2）的条件下，若M是平面内一点，使四边形 是平行四边形，则点M的坐标为________．
(4)若点 落在矩形 的对称轴上，则 的长为_________．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
(4) 或 或
【分析】（1）利用二次根式有意义可求出a、b的值，利用含 的直角三角形的性质得出 ，然
后利用勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理求出 ，进而求出 ，在 中，利用勾股定理求出 ，即可求解；
（3）利用等面积求出 ，利用勾股定理求出 ，即可求解；
（4）根据矩形 的对称轴有两条，分点 分别落在这两条对称轴上讨论即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点B的坐标为 ，
∴ ， ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴点D的坐标为 ，
故答案为： ， ；
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵翻折，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴点D的坐标为 ；
（3）解：由（2）知
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
过M作 于H，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴点M的坐标为 ，
故答案为： ；
（4）解：当点 落在与x轴平行的对称轴上时，
如图，设 为矩形 的对称轴，连接 ，
则 ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵翻折，
∴ ，
由（1）知 ；
当点 落在与x轴垂直的对称轴上时，
当点 在矩形 内部时，如图，设 为矩形 的对称轴，∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
当点 在矩形 外部时，如图，设 为矩形 的对称轴，
同理 ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
综上， 的长为 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形与折叠，勾股定理，含 角的直角三角形的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握折叠变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．
压轴满分题八、菱形的判定与性质
1．（2024·河南·二模）如图，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形 的顶点A，B分别在y轴的正
半轴和x轴的正半轴上，且 ，当B在x轴的正半轴上运动时，点A随之在y轴的正半轴上运动，
菱形 的形状保持不变，求在运动过程中，点D到点O的最大距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，作出合适的辅助线，运用勾股定理，利用三角形三边关系找
到何时距离为最大值是解题的关键．取 的中点E连接 、 ，作 垂直 的延长线于点F，求出
， ，然后利用三角形三边关系，当O，E，D在同一条直线上时，点D到点O的距离最大
即可求解．
【详解】如图，取 的中点E连接 、 ，
， ．
∴ ，
作 垂直 的延长线于点F，
∵
∴ ，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴在 中， ，
在运动过程中，当O，E，D在同一条直线上时，点D到点O的距离最大为 ．
故选B．
2．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如果菱形有一条对角线等于它的边长，那么称此菱形为“完美菱
形”．如图，已知“完美菱形” 的边长为 是它的较短对角线，点 分别是边 上的两
个动点，且 ，点 为 的中点，点 为 边上的动点，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查轴对称 最短路线问题，菱形的性质，勾股定理，用一条线段的长表示两线段和的最小
值是解题的关键．
连接 ， ，易知 ，因为 ，所以求 的最小值只要求出 的
最小值，然后减去1即可，再利用将军饮马模型构造出 的最小值时的线段，利用勾股定理求出即
可．
【详解】解：设 与 的交点为 ，连接 ， ，
四边形 是菱形，
，
，
，
的最小值为 ，
作点 关于 的对称点 ，延长 交 于点 ，连接 ， ， ，，
，
的最小值为 ，
四边形 是菱形， ，
，
四边形 是“完美菱形”，
∴菱形的边只能和较短对角线相等，
∵ 的边长为8，
， ，
， ，
， ，
由对称性和菱形的性质，知 ，
，
的最小值为 ，
故答案为： ．
3．（23-24八年级下·广西防城港·期中）【探究与证明】
数学课上，老师让同学们以小组为单位，翻折矩形纸片 进行探究活动．同学们经过动手操作探究，
发展空间观念，积累数学活动经验．
【问题情境】如图，在矩形 中， ，将矩形纸片进行折叠．【动手操作】（ ）如图 ，奋斗小组将该矩形沿对角线 折叠，点 的对应点为点 ，则 与
的关系为：
（ ）在（ ）的条件下，求 的值．
【类比操作】（ ）如图 ，希望小组将矩形 沿着 （点 分别在边 ，边 上）所在的直
线折叠，点 的对应点为点 ，连接 ，求证：四边形 是菱形．
【答案】（ ） ；（ ） ；（ ）证明见解析．
【分析】（ ）由矩形的性质得 ， ，由折叠的性质得 ， ，
进而得 ， ，由 即可得 ；
（ ）由 得 ，设 ，则 ，
在 中，由勾股定理可得 ，解方程即可求解；
（ ）证明 即可求证；
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，菱形的判定，
掌握矩形和折叠的性质是解题的关键．
【详解】解：（ ）∵四边形 为矩形，
∴ ， ，
由折叠可得， ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（ ） ，
，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
，
即 ；
（ ） 四边形 为矩形，
，
，
由折叠性质可得， ，
，
，
，
四边形 为菱形．
4．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，矩形 的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的
坐标为 ，点D为对角线 的中点，点P是 边上一动点，直线 交 边于点E．
(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)若 的面积与四边形 的面积之比为 ，求点P的坐标；
(3)设点Q是x轴上方平面内的一点，以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)
(3) 或 或
【分析】（1）先证 ，推出 ，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；
（2）先求出 ，根据 可得 ，进而可证 ，再
求出 的长即可；
（3）分 为对角线时、 为对角线时、 为对角线时三种情况，利用顶点坐标关系列式求解即可．
【详解】（1）证明： 四边形 是矩形，
，
，
点D为对角线 的中点，
，
在 和 中，
，
，
，
又 ，
四边形 为平行四边形；
（2）解： 矩形 中点B的坐标为 ，
， ，
，
由（1）知 ，
，
，
，
，，点D为对角线 的中点，
，
中 边上的高为3，
，
，
点P的坐标为 ；
（3）解：由（2）知 ，
．
以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形时，设 ，
分三种情况：
当 为对角线时， ，
，
， ，
， ，
， ，
；
当 为对角线时， ，
，
解得 ， （舍），
，
， ，， ，
， ，
；
当 为对角线时， ，
，
解得 ，
，
， ，
， ，
， ，
；
综上可知，点Q的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考查坐标与图形，矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，
第三问有一定难度，注意分情况讨论是解题的关键．
5．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形 中， ，点 从点 出发向点
运动，运动到点 停止，同时，点 从点 出发向点 运动，运动到点 即停止，点 的速度都是每
秒1个单位，连接 ．设点 运动的时间为 秒(1)当 为何值时，四边形 是矩形；
(2)当 时，判断四边形 的形状，并说明理由；
(3)当 为何值时， ；
(4)整个运动当中，直接写出线段 扫过的面积是多少？
【答案】(1)
(2)菱形
(3) 或
(4)64
【分析】（1）由矩形性质得出 ， ，由已知可得， ，
，当 时，四边形 为矩形，得出方程，解方程即可；
（2） 时， ， ，得出 ， ， ， ，则四边形 为平行四
边形，在 中，由勾股定理求出 ，得出 ，即可得出结论；
（3）过点P作 ，垂足为点E，用t的代数式表示出 ，而 ，在 中运用勾股
定理建立方程，解方程即可；
（4）连接 、 ， 、 相交于点 ，线段 扫过的面积 的面积 的面积，即可
得出结果．
【详解】（1）解： 在矩形 中， ， ，
， ，
由已知可得， ， ，
在矩形 中， ， ，
当 时，四边形 为矩形，，
解得： ，
当 时，四边形 为矩形；
（2）解：四边形 为菱形；理由如下：
，
， ，
， ，
， ，
四边形 为平行四边形，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
在 中， ，
，
平行四边形 为菱形，
当 时，四边形 为菱形；
（3）解：过点P作 ，垂足为点E，
∴
+
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
则 ，
∴在 中，由
得： ，解得： 或 ，
∴当 或 ， ．
（4）解：连接 、 ， 、 相交于点 ，如图3所示，
当点Q在点B时，点P在点D处，当点Q运动到点C时，则点P运动到点A处，
∴则整个运动当中，线段 扫过的面积是： 的面积 的面积，如图3所示：
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积 的面积 矩形 的面积，
整个运动当中，线段 扫过的面积 矩形 的面积 ．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的判定、勾股定理、平行四边形的判定、三角形面积公式以
及分类讨论等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题关键．
压轴满分题九、正方形的判定与性质
1．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在正方形 中， 是 边上的一点， ， ，将正方形边 沿 折叠到 ，延长 交 于 ，连接 ，现在有如下结论：① ；②
；③ ；④ ．其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．证明
， 即可说明①正确；可以证明 ，显然 不是等边三角形，
可得结论②错误；证明 ， 即可说明③正确；证明 ，求出 的面积即
可证明④错误．
【详解】解：如图，连接 ．
四边形 是正方形，
， ，
由翻折可知： ， ， ， ，
， ， ，
，
， ，
设 ，
，故①正确；
在 中， ，，
，
，
，
，
， ，
，
，
不是等边三角形，
，故②错误；
，
，
，
， ，
，
∴ ，故③正确，
， ，
，
，故④错误，
综上所述：结论正确的是①③，共2个，
故选：B．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形 中， ， 是对角线 上两点 点 靠近点 ，
且 ，当 的最小值为 时， 的长为 ．【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，线段和的最值问题，勾股定理；平移
至 ，则 ，连接 ，得出四边形 是平行四边形，则 ， ，根
据题意可得 ，在 中，勾股定理求得 ，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，平移 至 ，则 ，连接 ,
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴
∵在正方形 中， ， 是对角线 上两点
∴
∴
在 中，∴
故答案为： ．
3．（23-24八年级下·黑龙江鸡西·阶段练习）如图，点P是正方形 对角线 上一动点，点E在射
线 上，且 ，连接 ，O为 中点．
(1)如图1，当点P在线段 上时，试猜想线段 与线段 的数量关系和位置关系，并说明理由；
(2)如图2，当点P在线段 上时，直接写出线段 和线段 之间的数量关系；
(3)如图3，把正方形 改为菱形 ，其他条件不变，当时 ，连接 ，猜想线段
与线段 的数量关系，并说明理由．
【答案】(1) 且 ，理由见解析
(2)
(3) ，理由见解析
【分析】（1）根据点 在线段 上时，利用三角形的全等判定可以得出 ；
（2）利用三角形全等得出， ，由 ，得出 ，要证 ；从三方面分析，当
点 在线段 上( 与 、 不重合)时，当点 与点 重合时，点 恰好在 中点处，当点 在 的
延长线上时，分别分析即可得出；
（3）由四边形 是菱形且 知 ，由菱形是关于对角线对称
的轴对称图形可得 ，结合 得 ，证 是等边
三角形即可得证．
【详解】（1）解： 且 ，
理由如下：当点 在线段 上( 与 、 不重合)时，
∵正方形 是对角线，
，
又 ，
，
，
又 ，
，
，
，
由四边形 内角和为 ，
，
，
，
且 ；
（2）仍然成立，
∵四边形 是正方形， 为对角线，
，
，
，
，
又 ，
．
当点 与点 重合时，点 恰好在 中点处，此时， ．
当点 在 的延长线上时，如图．∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ 仍然成立，
（3）数量关系： ，
理由：如图3，
∵四边形 是菱形，且 ，
∴ ，
∴ ，
∵点 在对角线 上，
∴由菱形是关于对角线对称的轴对称图形可得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题是四边形的综合问题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边
对等角的性质．解题的关键是掌握以上知识点．
4．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图 ，在正方形 中， 、 两点分别在边 和 上，
于点 ，交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)如图 ，过 作 的垂线分别交 、 于 、 两点，求证： ；
(3)如图 ，若 、 和 三点分别为 、 和 的中点， ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）过点E作 于点M，根据正方形的性质，利用“ASA”证明 ，即可得
出结果；
（2）过点F作 于点N，先证明四边形 为矩形，得出 ，再根据“ ”证明
，可得出 ，即可得出结果；
（3）连接 并延长交 于点K，连接 ，过点E作 于点I，设正方形边长为 ，则 ，
， ，根据已知条件证明，利用“ ”证明 ，得出
，求出 ， ，证明四边形 为矩形，求出
，证明 ，得出 ，算出 ，根据勾股定理算出，根据中位线性质，得出 ，即可得出结果．
【详解】（1）证明：过点E作 于点M，如图所示：
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
，
，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）证明：过点F作 于点N，如图所示：
，
∴ ，
∵四边形 为正方形，
∴ ，，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
同理可得：四边形 为矩形，
∴ ，
， ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ．
（3）解：连接 并延长交 于点K，连接 ，过点E作 于点I，如图所示：
设正方形边长为 ，则 ， ，
∵点F为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵点M为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
∴ ，
， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点M、N分别为 、 的中点，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，
垂线的定义，中位线的性质，根据题意作出合适的辅助线，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关
键．
5．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在正方形 中，点M在 上，点N在 的延长线上，且
，连接 ，设 交 于点E．
(1)如图1，求 的度数；
(2)如图2，点F为 上一点，连接 交 于点G，且 ，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点M作 交 于点H，若 ，且 ，求正方形的边长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)18
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出正确的辅助线是解题的关
键．
（1）连接 ，证明 ，即可得到 ，即可解答；
（2）过点 作 交 于点 ，证明 ，可得 ，即可解答；
（3）连接 证明 ，设 ，则 ， ， ，设 ，利用勾
股定理用 表示出 ，可得 ，取 的中点 证明 ，可得 ，
即可解答．
【详解】（1）解：如图，连接 ，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
，即 ，
；
（2）证明：如图，过点 作 交 于点 ，
，
，
在 和 中，，
，
，
,
，
,
，
，
，即 ；
（3）解：如图，连接 ，
，
，
，
设 ，则 ， ， ， ，
，
根据勾股定理可得 ，
可得方程 ，
可得 ，
即 ，
可得 （舍），
，
如图，取取 的中点 ，，
，
，
,
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
正方形 的边长为 ．
压轴满分题十、一次函数的图象与性质
1．（2024八年级·全国·竞赛）将函数 的图象记为 ．若一次函数 的图象与 有交点，
则 的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图象性质与不等式的关系，找出一元一次不等式是解题的关键；根据 的非负性得 或 两种情况，分类讨论得一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
【详解】图象如图所示：设 ,
当 时， ，
，
当 时， ，
，
过点 ，当y过 处，即同时过A、B时，
将 代入 得：
解得：
当 时， 的图象与 在第一象限有交点，
时，当 与 平行时， 的图象与 无交点，
，
时， 的图象与 在第二象限有交点，故选：D
2．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）在平面直角坐标系 中，一次函数 和
，无论 取何值，始终有 ， 的取值范围为 .
【答案】 且
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，由题意可知 ，且 在 的上方，则 ，当
经过点 时， ， 此时两直线相交，即可得到 时， ，熟练掌握一次
函数的图象及性质，通过所给的条件确定两条直线的位置关系是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴直线经过定点 ，
∵无论 取何值，始终有 ，
∴ ，且 在 的上方，
∴ ，
当 经过点 时，
，
∴ ， 此时两直线相交，
∴ 时， ，
即 且 ，
故答案为： 且 ．
3．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴，y轴分别交于点 ，经过点C的直线与x轴交于点 ．
(1)求直线 的解析式；
(2)点G是线段 上一动点，连接 ，若 把 分成两个三角形，且满足 ，求点
G的坐标；
(3)已知D为 的中点，点E是平面内一点，当 是以 为直角边的等腰直角三角形时，直接写出
点E的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点E的坐标为 或 或 或
【分析】（1）根据题意，求得点C的坐标，结合B的坐标，利用待定系数法求解析式即可；
（2）求出 ，设 ，根据 得到 ，根据三角形的面积即可求得
的值，进而求得G点的坐标；
（3）分类讨论：①当点D为直角顶点时，②当点C为直角顶点时，根据等腰直角三角形以及全等三角形
的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵直线 与x轴，y轴分别交于点 ，
∴令 ，则 ，解得 ，
令 ，则 ，
∴ ， ，
设直线 的解析式为 ，∵直线 过点 ， ，
，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
（2）解：如图，
∵ ， ， ，
， ，
，
设 ，
当 ，即 时，
由 可得 ，
，
；
（3）解： ，D为 的中点，
∴ ，
①当点D为直角顶点时，如图，过点D作 轴于点F，过点E作 于点G，交x轴于点H，
是等腰直角三角形，
， ，
，
∴
，
， ，
∵ ， ，
， ， ，
， ，
，
同理可得 ，
∴点E的坐标为 或
②当点C为直角顶点时，如图，过点 作 轴于 ，过点E作 轴于 ，同①可得 ，
， ，
∵ ， ，
， ， ，
，
，
同理可得 ．
综上所述，点E的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、等腰直角三角形的性质、三角形的面积
及分类讨论思想等．在(1)中注意待定系数法的应用步骤，在(2)中利用三角形的面积公式是解题的关键，在
（3）中确定出E点的位置是解题的关键．
4．（23-24八年级下·湖北荆门·阶段练习）如图，直线 分别与 轴交于 两点，点 的
坐标为 ，过点 的直线交 轴正半轴于点 ，且 ．
(1)直接写出 两点的坐标；
(2)在 轴上方是否存在点 ，使以点 为顶点的三角形与 全等？若存在，求出点 的坐标，
若不存在，请说明理由；
(3)点 是 轴上的一点，连接 ，将 沿直线 翻折，当点 的对应点 恰好落在 轴上时，求此
时直线 的函数表达式．【答案】(1)点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；
(2) 或 ；
(3) 或 ．
【分析】( )由直线 过点 ，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出 的值，进而可得出点 的坐标
及 的长度，结合 ，可求出点 的坐标；
( )分 和 两种情况解答即可求解；
( )设 ，则 或 ，在 中，利用勾股定理可得出关于 的方程，解之得到
点 的坐标，再利用待定系数法即可求出；
本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标与图形，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的性质，运用分
类思想是解题的关键．
【详解】（1）解：直线 过点 ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
∴点 的坐标为 ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵点 在 轴正半轴，
∴点 的坐标为 ；
（2）解：分 和 两种情况考虑，如图 ，
当 时，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ；
当 时， ， ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ；
综上所述，点 的坐标为 或 ；
（3）解：依照题意画出图形，如图 所示，
由翻折得， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴设 ，则 或 ，
在 中， ，
∴ ，
即 或 ，
解得 或 ，
∴点 的坐标为 或 ，
设直线 的函数表达式为 ，∴ 或 ，
解得 或 ，
∴直线 的函数表达式为 或 ．
5．（2024·河北邯郸·二模）如图，直线 与直线 交于点 ，与y轴交于
点P，直线 经过点 ，且与y轴交于点Q，直线 分别交y轴、直线 、 于A，B，C三点．
(1)求m的值及直线 的函数表达式；
(2)当点A在线段 上（不与点P，Q重合）时，若 ，求a的值；
(3)设点 关于直线 的对称点为K，若点K在直线 ，直线 与x轴所围成的三角形内部（包括边
界），求a的取值范围．
【答案】(1) ，
(2) 或
(3)
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）当 时，点 ，再将 分别代入直线 、 的解析式，可求出点B、C的坐标，当时，分两种情况讨论，情况一：当点 在点 下方时；情况二：当点 在点 上
方时，分别求解即可；
（3）设对称点 ，当点 落在直线 上时， ，进而求出a的值；当点 落在
轴上时， ，进而求出a的值，因此即可得出直线 与 轴所围成的三角形内部（包括边界）时，a的
取值范围．
【详解】（1）将点 代入 ，
得 ，
解得 ．
点 ，
将点 ，点 代入 ，
得 ，
解得 ，
直线 的函数表达式为 ；
（2）由题意可得 ， ，
直线 分别交 轴、直线 于点 ，点 ，点C，
当 时，点 ，
由 ，解得 ，
则点 ，
由 ，解得 ，则点 ，
当 时，
情况一：当点 在点 下方时，如图1，此时点 为 的中点．
，
解得 ，且 ，符合题意；
情况二：如图2，当点 在点 上方时，
，
，
解得 ，且 ，符合题意．
综上所述，当 或 时， ；
（3）设点 关于直线 的对称点 ，
当点 落在直线 上时， ，
此时 ，
当点 落在 轴上时， ，
此时 ，点 在直线 ，
直线 与 轴所围成的三角形内部（包括边界）时，a的取值范围为 ．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数图像交点问题、待定系数法求函数解析式等问题，
明确两直线平行则k值相等是解题的关键．
压轴满分题十一、一次函数与方程、不等式
1．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数 和
，无论 取何值，始终有 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一次函数综合问题， 充分掌握一次函数的图象和性质是求解本题的关键．先判断两直
线平行，始终有 ，求解当 过 时， ，再利用数形结合的方法解题
即可．
【详解】解：由题意可知：∵一次函数 的图象过定点 ，
一次函数 过定点 ，
∵无论 取何值，始终有 ，
∴两直线平行，才会始终有 ，
∴ ，
当 过 时，
∴ ，
解得： ，
此时两条直线相交，如图，
∴ 且 ，
当 时，如图，不符合题意；
故选：D
2．（23-24八年级下·甘肃张掖·阶段练习）一次函数 与 的图象如图所示，
当 时， ，则满足条牛的k的取值范围是 ．【答案】 且
【分析】本题考查根据两条直线的交点求不等式的解集，联立 与 ，求出两条直线交点
的横坐标，根据当 时， ，结合图象列不等式，即可求解．
【详解】解：联立 与 ，
得 ，
解得 ，
即一次函数 ( )与 的图像的交点的横坐标为 ，
当 时， ，
，
∴ ，
解得 ；
当 时， 与 两条直线平行，且 的图象在直线 的下方，所以，当 时，
，满足题意；
又 ，
满足条件的 的取值范围是 且 ，
故答案为： 且 ．3．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交
于点 ，直线 与直线 相交于点 .
(1)求点 的坐标；
(2)点 是直线 上一点，求当 时，点 的坐标；
(3)若直线 ，当 时，对 的每一个值都有 ，直接写出 的取值范围.
【答案】(1)点 的坐标为
(2) 或点
(3)
【分析】本题考查一次函数的图像和性质，掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的旋转是解题
的关键．
（1）利用待定系数法求出直线 的解析式，然后联立解方程组求交点坐标即可；
（2）先求出点A的坐标，然后设点 ，根据 列方程解题即可；
（3）利用数形结合，分 和 两种情况，利用直线旋转进行解题即可．
【详解】（1）解：将点 代入 ，得 ，解得 ..
解方程组 ，解得 .
点 的坐标为 ；
（2）直线 与 轴的交点 ，设点 ，
.
当 时，有 或 ，解得 或 .
则点 或点 ；
（3）解：由题可知直线 是绕原点旋转的直线，
当 时，直线 自 开始逆时针旋转，设 与 的交点为点N，当N的坐标为 时， ，
∴此时 的取值范围为 ；
当 时，直线 自 开始顺时针旋转到 时，均满足题意，即 ，
∴此时 的取值范围为 ；
综上所述 的取值范围为 ．
4．（23-24八年级下·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴
交点 ，点 在 轴上，点 在 轴正半轴上，且 ．点 是直线 与线段 的交点．(1)求直线 的解析式；
(2)若 为直线 上一动点，连接 ，当 时，求点 的坐标；
(3)如图2，连接 ，在直线 上是否存在动点 ，便得 ，若存在，请直接写
出点 的坐标，若不存在．请说明理由．
【答案】(1)直线 的解析式为：
(2)点 的坐标
(3)存在，点 的坐标为 ， ，理由见详解
【分析】（1）根据直线 ，点 的坐标分别求出点 的坐标，由此即可求解；
（2）根据题意分别算出 的坐标，算出 的面积，再算出 的面积，设 ，
根据 ，即可求解；
（3）根据题意可得 ，图形结合，分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：直线 与 轴交于点 ，与 轴交点 ，
∴令 时， ；令 时， ；
∴ ， ，
∴ ，则 ，
∵点 是直线 与线段 的交点，
∴当 时， ，∴ ，
设直线 的解析式为： ，
∴ ，
解得， ，
∴直线 的解析式为： ；
（2）解：由（1）可知直线 的解析式为： ，
令 时， ，则 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵点 为直线 上一动点，且直线 的解析式为 ，
∴设 ，如图所示，连接 ，
∴ ，，
当点 在 轴右边时， ，
∴ ，
解得， （不符合题意，舍去）；
当点 在 轴左边时， ，
∴ ，
解得， ，
∴ ；
当 时，
∴ ，
解得， ，
∴ ；
综上所述，点 的坐标 ；
（3）解：存在，点 的坐标为 ， ，理由如下，
已知 ， ，
∴直线 的解析式为： ，
∴ ， ， 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴若 ，则 ，
第一种情况，如图所示，连接 交 于点 ，∵ ， ，
∴ 是等腰三角形， ， ，
∵ 是 的外角，即 ，
∴点 即为所求点的位置，
设直线 的解析式为 ， ， ，
∴ ，
解得， ，
∴直线 的解析式为： ，
联立直线 与直线 的解析式，
∴ ，
解得， ，
∴ ；
第二种情况，如图所示， 关于 的对称，则 ，∴ ，
由第一种情况可得， ， ，
根据中点坐标公式得， ，
综上所述，存在，点 的坐标为 ， ．
【点睛】本题主要考查一次函数图象的性质，一次函数与二元一次方程组求交点，相似三角形的判定和性
质，角度的和差计算的方法，掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
5．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线 与 交于点
，且分别交x轴于A、C两点．
(1)求a，b的值及点A，C的坐标；
(2)在直线 上找一点D，使得 是 的面积的2倍，求出点D的坐标；
(3)y轴上有一动点P，直线 上有一动点M，点N在平面上，若四边形 是正方形，求出点N的坐
标．
【答案】(1) ， ， ，
(2) 或
(3) 或
【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理的运用、正方形的存在性问
题等；（1）把 分别代入 与 即可求出a，b的值，分别令 与
即可得到点A，C的坐标；
（2）过 作 交 于 ，则 ，再求出 的面积，根据 是 的
面积的2倍列方程求解即可；
（3）过 作 于 ，过 作 于 ，当四边形 是正方形时，可证得 设
， ，根据全等求出坐标，再根据平移求出点N的坐标．
【详解】（1）把 代入 可得 ，解得 ，
∴ ，
令 ，解得 ，
∴ ，
把 代入 可得 ，解得 ，
∴ ，
令 ，解得 ，
∴ ；
（2）过 作 交 于 ，设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的面积的2倍，
∴ ，
∴ ，解得 或 ，
∴ 或 ；
（3）根据题意设 ， ，
当 在第一象限时，如图，过 作 于 ， 于 ，则
∴ ， ， ， ，
当四边形 是正方形时， ， ，从 平移到 与从 平移到 平移规则一致，
∴∴ ，
∴ ， ，
∴ ，解得
∴ ， ，
∴ 向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度得到
∴ 向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度得到 ；
当 在第四象限时，如图，过 作 于 ， 于 ，则
∴ ， ， ， ，
当四边形 是正方形时， ， ，从 平移到 与从 平移到 平移规则一致，
∴
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，解得∴ ， ，
∴ 向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度得到
∴ 向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度得到 ；
当 在第二象限时，如图，过 作 于 ， 于 ，则
∴ ， ， ， ，
当四边形 是正方形时， ， ，从 平移到 与从 平移到 平移规则一致，
∴
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，解得 不合题意；
综上所述， 或 ．
压轴满分题十二、一次函数的应用
1．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图所示的是“顺风车”与“快车”的行驶里程 （千米）与计费
（元）之间的函数关系图象．有下列说法：①“快车”行驶里程不超过5千米计费8元；②“顺风车”行
驶里程超过2千米的部分，每千米计费1.2元；③点A的坐标是 ；④甲、乙两地之间的路程是15
千米，则“顺风车”要比“快车”少用3.4元，其中正确的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】①根据“滴滴快车”的行驶里程 （公里）与计费 （元）之间的函数关系图象的拐点为 ，
即可得知结论成立；
②根据“单价 超出费用 超出距离”即可算出“顺风车”行驶里程超过2公里的部分，每公里计费价格，
从而得知结论成立；
③设出“滴滴顺风车”与“滴滴快车”超出部分的函数解析式，利用待定系数法求出两个函数解析式，再
联立成方程组，解方程组即可得出A点的坐标，从而得知结论成立；
④将 分别代入 、 中，求出费用即可判定结论成立．
【详解】①根据“滴滴快车”的行驶里程 （公里）与计费 （元）之间的函数关系图象可知：行驶里程
不超过5公里计费8元，即①正确；
②“滴滴顺风车”行驶里程超过2公里的部分，每公里计费为 （元），故②正确；
③设 时，“滴滴快车”的行驶里程 （公里）与计费 （元）之间的函数关系式为 ，
将 ， 代入函数解析式得：
，
解得：
“滴滴快车”的行驶里程 （公里）与计费 （元）之间的函数关系式为 ；
当 时，设“滴滴顺风车”的行驶里程 （公里）与计费 （元）之间的函数关系式为，
将 、 代入函数解析式得：
，
解得：
“滴滴顺风车”的行驶里程 （公里）与计费 （元）之间的函数关系式为
联立 、 得：
，
解得：
点的坐标为 ，故③正确；
④将 分别代入 ， ，
即甲、乙两地之间的里程是15公里，则“顺风车”要比“快车”少用 元，故④正确．
综上可知，正确的结论个数为4个．
故选D．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及解二元一次方程组，解题的关键是：
结合图象找出点的坐标，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式．
2．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点O在原点，顶点A、
B分别在x轴、y轴的正半轴上， ， ，D为 的中点，E、F是边 上的两个动点，且，当四边形 的周长最小时，点E的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数与几何图形的综合应用，在 上截取 ，连接 ，易得四边形 为
平行四边形，进而得到 ，根据 为定值，得到当 最小时，四边形 的周长最
小，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，得到 ，即当 三
点共线时， 最小，四边形 的周长最小，求出直线 的解析式，进而求出点 的坐标即可．
【详解】解：∵矩形 ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ， 的长为定值，
在 上截取 ，连接 ，则： ， ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵四边形 的周长 ，且 的长为定值，
∴当 最小时，四边形 的周长最小，
作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，则： ，
∵
∴当 三点共线时， 最小，四边形 的周长最小，
设直线 的解析式为： ，则： ，解得： ，
∴ ，
当 时， ；
∴ ；
故答案为： ．
3．（2024八年级·全国·竞赛）近两年国际局势出现了一些不安因素，为保障国家安全，需要将
三地的军用物资全部运往 两地，已知 三地的军用物资分别有100吨、100吨、80吨，且运
往 地的数量比运往 地的数量的2倍少20吨．
(1)这批军用物资运往 两地的数量各是多少？
(2)若由 地运往 地的物资为60吨， 地运往 地的物资为 吨， 地运往 地的物资数量少于 地运
往 地的物资数量的2倍，且 地运往 地的物资不超过25吨，则 三地的物资运往 两地的
方案有哪几种？
(3)如果将 三地的军用物资运往 两地的费用如下表：
地 地 地
运往 地的费用（元/吨） 220 200 200
运往 地的费用（元/吨） 250 220 210
那么在（2）的条件下，运送这批物资的总费用是多少？
【答案】(1) 、
(2)5种(3) 或 或 或 或
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用等知识，正确找出题中的等量关系
和不等关系是解题的关键．
（1）设出运往 地的数量为未知数，从而表示出运往 地的数量，进一步列出方程并求解即可；
（2）根据题意得到一元一次不等式组，再找出符合条件的整数值即可；
（3）将总费用表示出来，分别将可取的值代入即可求解．
【详解】（1）解：设运往 地的数量为 吨，则运往 地的数量为 吨，
依题意有： ，
解得： ，
答：运往 地的数量为 吨，运往 地的数量为 吨；
（2）由题意知， 地运往 地的数量为x吨， 地运往 地、 地的数量分别为 吨、
吨， 地运往 地的数量为 吨，则：
，
解得 ；
为整数，故有以下5种方案：
地 地 地
41 79 60
第一
种
59 21 20
42 78 60
第二
种
58 22 20
43 77 60
第三
种
57 23 20
44 76 60
第四
种
56 24 2045 75 60
第五
种
55 25 20
（3）总费用 ，
即 ，
当 时， （元）；
当 时， （元）；
当 时， （元）；
当 时， （元）；
当 时， （元）．
4．（23-24八年级上·安徽滁州·期末）元旦前夕，某盆栽超市要到盆栽批发市场批发A，B两种盆栽共300
盆，A种盆栽盆数不少于B种盆栽盆数，付款总额不超过3320元，两种盆栽的批发价和零售价如下表．设
该超市采购x盆A种盆栽．
品名 批发市场批发价：元/盆 盆栽超市零售价：元/盆
A种盆栽 12 19
B种盆栽 10 15
(1)求该超市采购费用y（单位；元）与x（单位；盆）的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)该超市把这300盆盆栽全部以零售价售出，求超市能获得的最大利润是多少元；
(3)受市场行情等因素影响，超市实际采购时，A种盆栽的批发价每盆上涨了 元，同时B种盆栽
批发价每盆下降了m元．该超市决定不调整盆栽零售价，发现将300盆盆栽全部卖出获得的最低利润是
1460元，求m的值．
【答案】(1)
(2)商场能获得的最大利润为1820元
(3)
【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、解一元一次方程，理解题意，正确列出函
数解析式是解答的关键．
（1）根据题意列函数解析式和不等式组求解即可；（2）设利润为W，根据题意得到总利润 ，利用一次函数的增减性质求解即可；
（3）设利润为W，根据题意得到总利润 ，分 和 ，利用一次函
数的增减性质求解即可．
【详解】（1）解：该超市采购x盆A种盆栽，则采购 盆B种盆栽，
根据题意， ，
由题意得： ，
解得： ，
答：该商场的采购费用y与x的函数关系式为 ；
（2）解：设总利润为W，根据题意得：
，
∵ ，
∴W随x的增大而增大，又 ，
∴当 时，W最大，最大值为1820，
答：商场能获得的最大利润为1820元；
（3）解：设总利润为W元，根据题意得：
，
当 即 时，W随x的增大而增大，
又∵ ，
∴当 时，W有最小值为 ，
解得 ，舍去；
当 即 时，W随x的增大而减小，
又∵ ，∴当 时，W有最小值为 ，
解得： ，
综上分析可知，满足条件的m值为2．
5．（23-24八年级下·江西南昌·期中）如图1，已知函数 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C
与点A关于y轴对称．
(1)求直线 的函数解析式；
(2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线 于点P，交直线 于点Q．
①若 的面积为 ，求点Q的坐标；
②点M在线段 上，连接 ，如图2，若 ，直接写出P的坐标．
【答案】(1) ；
(2)① 或 ；② 或 ．
【分析】（1）先确定出点 坐标和点 坐标，进而求出点 坐标，最后用待定系数法求出直线 解析式；
（2）①先表示出 ，最后用三角形面积公式即可得出结论；
②分点 在 轴左侧和右侧，由对称得出 ， ，所以，当 即
可，利用勾股定理建立方程即可 ，即可求解．
【详解】（1）解：对于 ，
由 得： ，
．由 得： ，
解得： ，
，
点 与点 关于 轴对称．
，
设直线 的函数解析式为 ，
，解得： ，
直线 的函数解析式为
（2）①设点 ，则点 ，点 ，
过点 作 与点 ，
则 ， ，
则 的面积 ，解得： ，
故点 的坐标为 或 ；
②如图2，当点 在 轴的左侧时，
点 与点 关于 轴对称，
，
，，
，
，
，
，
设 ，则 ，
， ， ，
，解得： ，
，
如图2，当点 在 轴的右侧时，
同理可得 ，
综上，点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定，
勾股定理，坐标轴上点的特点，分类讨论是解本题的关键．
