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专题 05 函数动点之线段与面积最值
典例分析：
典例1
如图，抛物线y＝ax2+2x+c．与x轴交于A，B两点，与y轴交于C（0，3），直
线y＝﹣x﹣1经过点A且与抛物线交于另一点D．
（1）求抛物线的解析式；（2）若P是位于直线AD上方的抛物线上的一个动点，连接PA，PD，求△PAD的面积的最大值．
解题思路：：（1）根据y＝﹣x﹣1经过点A，可求出点A的坐标，将点A、C的坐标代入y＝
ax2+2x+c即可求出抛物线的解析；
（2）联立抛物线和一次函数y＝﹣x﹣1的解析式列方程解出可得点D的坐标，过点P作PE∥y
轴，交AD于E，设 P （ t ，﹣ t 2 +2 t +3 ），则 E （ t ，﹣ t ﹣ 1 ） （点）， 表示 PE 的长 （线），根据
三角形面积公式可得△ APD 的面积 (式)，配方后可得结论．
答案详解：解：（1）∵直线y＝﹣x﹣1经过点A，
∴令y＝0，则0＝﹣x﹣1，
∴x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
将A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c得：
{a−2+c=0
，
c=3
{a=−1
解得： ，
c=3
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）﹣x2+2x+3＝﹣x﹣1，
解得：x ＝﹣1，x ＝4，
1 2
∴D（4，﹣5），
过点P作PE∥y轴，交AD于E，设P（t，﹣t2+2t+3），则E（t，﹣t﹣1），
∴PE＝（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t﹣1）＝﹣t2+3t+4，
1 5 5 3 125
∴△PAD的面积= •PE•（4+1）= （﹣t2+3t+4）=− （t− ）2+ ，
2 2 2 2 8
5 125
当t= 时，△PAD的面积最大，且最大值是 ．
2 8
典例2
1
=
如图，二次函数y 2x2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点（点B在点C的左
侧），一次函数y＝kx+1的图象经过点B和二次函数图象上另一点A．其中点A的坐标为（4，
3）．
（1）求二次函数和一次函数的解析式；
（2）若抛物线上的点P在第四象限内，过点P作x轴的垂线PQ，交直线AB于点Q，求线段
PQ的最大值．
1
解题思路：（1）先把A点坐标代入y＝kx+1可求出k，从而得到一次函数解析式为y= x+1，则
2
易得B（﹣2，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；1 1
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征， 设 P （ x ， x 2 − x ﹣
2 2
1 1 1 1
3 ）， Q （ x ， x +1 ）， （点） 则PQ= x +1 ﹣（ x 2 − x ﹣ 3 ）， （线） 把解析式配成顶点式得
2 2 2 2
1 9
到PQ=− （ x ﹣ 1 ） 2+ ， （式） 然后根据二次函数的性质求PQ的最大值．
2 2
答案详解：解：（1）把A（4，3）代入y＝kx+1得：
4k+1＝3，
1
解得：k= ，
2
1
∴一次函数解析式为y= x+1，
2
1
当y＝0时， x+1＝0，
2
解得x＝﹣2，
则B（﹣2，0），
1
把B（﹣2，0），A（4，3）代入y= x2+bx+c得：
2
{2−2b+c=0
2− ，
8+4b+c=3
{ 1
b=−
解得： 2
c=−3
1 1
∴抛物线解析式为y= x2− x﹣3；
2 2
1 1 1
（2）设P（x， x2− x﹣3），则Q（x， x+1），
2 2 2
1 1 1
∴PQ= x+1﹣（ x2− x﹣3）
2 2 2
1
=− x2+x+4
2
1 9
=− （x﹣1）2+ ，
2 2
9
∴当x＝1时，PQ最大，最大值为 ．
2实战训练
一．线段最值--纵横差与改邪归正
1．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）
两点，与x轴交于点B．若点P是线段BC上的动点，过点P作直线PM∥y轴，交抛物线于点
M．求线段PM的最大值．
3 9
2．如图，已知抛物线的解析式为 y=− x2− x+3，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交点于
4 4
点C．
（1）请分别求出点A、B、C的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接AC、BC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°，点A、C的对应点分别为M、N，求点
M、N的坐标；
（3）若点P为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使|NP﹣BP|最大时点P的坐标，
并请直接写出|NP﹣BP|的最大值．
1 3
3．如图，已知二次函数y= x2﹣x− 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
2 2
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求直线BC的函数表达式；（3）若D是线段OB上一个动点，过D作x轴的垂线交直线BC于E点，交抛物线于F点，求
线段EF的最大值．
4．如图：对称轴x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标
为（﹣3，0），且点（2，5）在抛物线y＝ax2+bx+c上．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点C为抛物线与y轴的交点．
①在对称轴直线x＝﹣1上找到一点P，使得△PBC的周长最小，求出P点的坐标．
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
1
5．如图1，抛物线y=− x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B点，与y轴交于点C（0，2）．
2
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上，且满足∠PAB＝∠ACO，求点P的坐标；
（3）如图2，若点D是在直线BC上方的抛物线的一点，作DE⊥BC于点E，求线段DE的最大
值．6．如图，抛物线y＝ax2+2x+c．与x轴交于A，B两点，与y轴交于C（0，3），直线y＝﹣x﹣1经
过点A且与抛物线交于另一点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P是位于直线AD上方的抛物线上的一个动点，连接PA，PD，求△PAD的面积的最大值；
（3）在第（2）问的条件下，求点P到直线AD的最大值．
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，B（1，0），与y轴交于D（0，3），直线与
抛物线交于B、C两点，其中C（﹣2，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥BC，抛物线上是否存在一点P
使得线段PE最大，若存在，请求出点P的坐标和线段PE的最大值，若不存在，请说明理由．
二．面积最值--改邪归正纵横积
8．如图，已知抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求△ACD面积的最大值．
9．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在第二象限内的抛物线
上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大，求出点P的坐标．
10．已知，抛物线y＝x2+2x﹣3，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，抛
物线的顶点为点D．
（1）求AB的长度和点D的坐标；
（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，求出PB+PC的值最小时P点的坐标；
（3）点M是第三象限抛物线上一点，当S△MAC 最大时，求点M的坐标，并求出S△MAC 的最大值．
11．在平面直角坐标系中，直线 l：y＝2mx+n与x轴交于点A（﹣1，0），若抛物线y＝﹣x2+（m+n）x+n+2的顶点为M．
（1）当抛物线也经过点A（﹣1，0）时，求顶点M的坐标；
（2）说明直线与抛物线有两个交点；
（3）在（1）的条件下，抛物线与x轴的另一交点为B，与y轴交于点C，连接BC，点D是第
一象限内抛物线上的一个动点，连接AD，与BC，y轴分别交于点E，F，记△DBE，△CEF的
面积分别为S ，S ，求S ﹣S 的最大值．
1 2 1 2
12．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（2，0），B（﹣4，0）两点．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）若抛物线交y轴于点C，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若
存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）在抛物线第二象限的图象上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，请直接
写出点P的坐标和△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由．
1
13．如图，二次函数y=− x2+bx+c经过点B（4，0）和点E（﹣2，﹣3）两点，与x轴的另一个
2
交点为A．点D是线段BE上的动点，过点D作DF⊥BE，交y轴于点F，交抛物线于点P．
（1）求出抛物线和直线BE的解析式；
（2）当△FDC≌△BOC时，求出此时点D的坐标；
（3）设点P的横坐标为m．
①请写出线段PD的长度为（用含m的式子表示）；
②当m为何值时，线段PD有最大值，并写出其最大值为多少？注：①②直接写出结果即可．14．已知，如图，抛物线与x轴交点坐标为A（1，0），C（﹣3，0），
（1）如图1，已知顶点坐标D为（﹣1，4）或B点（0，3），选择适当方法求抛物线的解析式；
（2）如图2，在抛物线的对称轴DH上求作一点M，使△ABM的周长最小，并求出点M的坐标；
（3）如图3，将图2中的对称轴向左移动，交x轴于点P（m，0）（﹣3＜m＜﹣1），与抛物线，
线段BC的交点分别为点E、F，用含m的代数式表示线段EF的长度，并求出当m为何值时，
线段EF最长．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA＝OC＝4OB，动点P在过
A，B，C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在直线AC上方的抛物线上，当四边形PCOA的面积最大时，求出此时点P的坐标；
（3）过动点P作PE垂直于y轴于E，交直线AC于D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接
EF，求线段EF的最小值．
