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2022-2023 学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编
专题 05 等腰三角形的判定与性质
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021八上·陇县期末）如图，在 中， ， ，
， ， ，则 （ ）
A．10 B．11 C．13 D．15
【答案】B
【完整解答】解：延长BE交AC于M，
∵BE⊥AE，
∴∠AEB＝∠AEM＝90°
∴∠3＝90°﹣∠1，∠4＝90°﹣∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∴AB＝AM=5，
∵BE⊥AE，
∴BM＝2BE=6，
∵∠4是△BCM的外角
∴∠4＝∠5+∠C
∵∠ABC＝3∠C，
∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C
∴∠5＝∠C
∴CM＝BM=6，
∴AC=AM+CM＝AB+2BE=11.
故答案为：B.
【思路引导】延长BE交AC于M，对图形进行角标注，根据等角的余角相等可得∠3＝∠4，由等腰三角
形的性质可得BM＝2BE=6，由外角的性质可得∠4＝∠5+∠C，则∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5，推出∠5
＝∠C，则CM＝BM=6，然后根据AC=AM+CM进行计算.
2．（2分）（2021八上·临沭月考）如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，P为射线OC上一点，如果射
线OA上的点D，满足△OPD是等腰三角形，那么∠ODP的度数为（ ）
A．30° B．120°
C．30°或120° D．30°或75°或120°
【答案】D
【完整解答】解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝30°，
①当D在D 时，OD＝PD，
1
∵∠AOP＝∠OPD＝30°，
∴∠ODP＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
②当D在D 点时，OP＝OD，
2
则∠OPD＝∠ODP＝ （180°﹣30°）＝75°；
③当D在D 时，OP＝DP，
3
则∠ODP＝∠AOP＝30°；
综上所述：120°或75°或30°，故答案为：D．
【思路引导】先求出∠AOC＝30°，再分类讨论，结合图形求解即可。
3．（2分）（2021八上·东莞期中）如图， 中，点 在 上，连接BD，
∠ABD=2∠DBC，∠ADB=2∠C，∠DBC=∠A，则图中共有等腰三角形（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【完整解答】解：图中共有等腰三角形3个，理由如下：
∵∠ADB＝∠C＋∠DBC，∠ADB＝2∠C，
∴∠DBC＝∠C，
∴△BCD是等腰三角形，DB＝DC，
∵∠ABD＝2∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴△ABD是等腰三角形，AB＝AD，
∵∠DBC＝∠A，
∴∠A＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形，AB＝CB，
故答案为：D．
【思路引导】根据等腰三角形的判定定理分别求出DB=DC，AB=AD，AB=CB即可。
4．（2分）（2021八上·江津期末）如图，在 中， ， ，以点 为圆心，任意长为半径画弧分别交 ， 于点 和 ，再分别以点 ， 为圆心，大于
的长为半径画弧，两弧交于点 ，连接 并延长交 于点 .则下列说法中正确的个
数是（ ）
① 是 的平分线；② ；③点 在 的中垂线上；④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【完整解答】解：由题意得： 是 的平分线，故①正确；
∵ ， ，
∴∠BAC= ，
∵ 是 的平分线，
∴∠CAD=∠BAD= ，
∴ ，故②正确；
过点D作DE⊥AB于E，∵∠BAD= ，
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰三角形，
∴AE=BE，
∴点 在 的中垂线上，故③正确；
∵ 是 的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴CD=DE，∠C=∠AED= ，
又∵AD=AD，
∴Rt ACD≌Rt AED，
∴S △ =S ，△
ACD AED
△ △
∵AE=BE，DE⊥AB，
∴S =S ，
AED BED
△ △
∴ ，故④错误.
故答案为：C.
【思路引导】根据题意作图可知： 是 的平分线，由此判断①正确；
先求得∠BAC= ，由 是 的平分线，求得∠CAD=∠BAD= ，即可得到
，判断②正确；
过点D作DE⊥AB于E，根据∠BAD= ，证得△ABD是等腰三角形，得到AE=BE，即可判断
③正确；
证明Rt ACD≌Rt AED，得到S =S ，根据等底同高得到S =S ，即可得到
ACD AED AED BED
△ △ △ △
△ △
，判断④错误.
5．（2分）（2020八上·濮阳期末）如图，在 中， 、 分别平分 、 ，过点D作直线平行于 ，分别交 、 于点E、F，当 大小变化时，线段 和 的大小关系
是
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【完整解答】解： ，
，
平分 ，
，
，
，
同理 ，
，
即 .
故答案为：C.
【思路引导】由平行线的性质得∠EDB=∠DBC，由角平分线的定义得∠EBD=∠DBC，从而得
∠EDB=∠EBD
，利用等角对等边可得ED=BE，同理可证DF=FC，利用线段的和差即可求解.
6．（2分）（2021八上·滑县期末）如图，点 是 的 ， 的平分线的交点，交 于点 ， 交 于点 ，若 的周长为 ，那么
的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【完整解答】∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ABO=∠BOD，∠ACO=∠EOC，
∵点 是 的 ， 的平分线的交点，
∴∠ABO=∠OBD，∠ACO=∠OCE；
∴∠OBD =∠BOD，∠EOC=∠OCE；
∴BD=OD，CE=OE；
∴△ODE的周长=OD+DE+OE=BD+DE+EC= BC
∵ 的周长为 ，
∴BC=9cm．
故答案为：B．
【思路引导】由平行线的性质可得∠ABO=∠BOD，∠ACO=∠EOC，由角平分线的定义可得
∠ABO=∠OBD，∠ACO=∠OCE；于是∠OBD =∠BOD，∠EOC=∠OCE；由等角对等边可得BD=OD，
CE=OE；根据三角形的周长等于三角形的三边之和可得△ODE的周长=OD+DE+OE=BD+DE+EC= BC，把
△ODE的周长代入等式计算即可求解.
7．（2分）（2021八上·柯桥月考）如图，在△ABC中，AC＝BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，
且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点
P的个数为（ ）A．3 B．4 C．6 D．7
【答案】C
【完整解答】解：如图所示，作AB的垂直平分线，
①作AC的垂直平分线交AB的垂直平分线于一点P，得到△ABC的外心P，为满足条件的一个点；
②以点C为圆心，以AC长为半径画圆，交AB的垂直平分线于两点，P，P 为满足条件的点；
2 3
③分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，P 为满足条件的点；
4
④分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，得到P、 P 为满足条件的点；
5 6
综上所述，满足条件的所有点P的个数有6个.
故答案为：C.
【思路引导】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出AB和AC的垂直平分线，得到
△ ABC的外心满足条件；再根据圆的半径相等，以点C为圆心，以AC长为半径画圆，与AB的垂直平分
线相交于两点；分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，与AB的垂直平分线相交于一点；再分别以
点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，与⊙C相交于两点，即可解答.8．（2分）（2018八上·天台期中）如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G,过点G作
EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：①EF=BE+CF；②∠BGC=90+
∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；④设GD=m，AE+AF=n,则 =mn.其中正确的结论有(
)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【完整解答】解：①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG．
∵EF∥BC，
∴∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，
∴∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠CGF，
∴BE=EG，GF=CF，
∴EF=EG+GF=BE+CF，故本小题正确；
②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴∠GBC+∠GCB= （∠ABC+∠ACB）= （180°-∠A），
∴∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）=180°- （180°-∠A）=90°+ ∠A，故本小题正确；
③∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴点G是△ABC的内心，
∴点G到△ABC各边的距离相等，故本小题正确；
④连接AG，∵点G是△ABC的内心，GD=m，AE+AF=n，
∴S = AE•GD+ AF•GD= （AE+AF）•GD= nm，故本小题错误．
AEF
△
故答案为：C．
【思路引导】利用角平分线的性质可证得∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG，再根据平行线的性质，可证得
∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，再证明∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠CGF，就可得出BE=EG，GF=CF，
从而可证 ① 的结论；利用角平分线的定义及三角形的内角和定理，可对 ② 作出判断；BG、CG是
△ABC的两个角的平分线的交点，可证得点G时内心，利用三角形角平分线上的点到角两边的距离相等，
可对③作出判断；由已知条件：点G是△ABC的内心，GD=m，AE+AF=n，就可得出△AEF的面积=
（AE+AF）•GD，代入计算，可对 ④ 作出判断，综上所述，可得出正确结论的个数。
9．（2分）（2018八上·江苏月考）已知：如图△ABC中，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为
BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足.下列结论：①△ABD≌△EBC；
②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝AE＝EC；④BA+BC＝2BF.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【完整解答】解：①∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△EBC中，{ BE＝BA
∠ABE＝∠CBE, ，
BD＝BC
∴△ABD≌△EBC（SAS），
∴①正确；
②∵BD为△ABC的角平分线，BE=BC，BD=BA，
∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，
∵△ABD≌△EBC
∴∠BCE=∠BDA，
∴∠BDC+∠BCE=∠BDA+∠BDC=180°，
∴②正确；
③∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCE=∠BDA，
∴∠DCE=∠DAE，
∴△ACE为等腰三角形，
∴AE=EC，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD=EC，
∴AD=AE=EC，
∴③正确；
④过E作EG⊥BC于G点，
∵E是∠ABC角平分线上的点，∴EG=EF，
在Rt BEF和Rt BEG中，
{BE＝△ BE △
, ，
EG＝EF
∴Rt BEF≌Rt BEG（HL），
∴BF△=BG， △
在Rt CEG和Rt AFE中，
△ △{EG＝EF
, ，
AE＝CE
∴Rt CEG≌Rt AFE（HL），
∴AF△=CG， △
∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BG+BF=2BG，
∴④正确.
故答案为：D.
【思路引导】根据角平分线的定义得出∠ABD=∠CBD，从而利用SAS判断出△ABD≌△EBC；根据三角
形的内角和及等边对等角得出∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，根据全等三角形的对应角相等得出
∠BCE=∠BDA，从而即可根据等量代换及平角的定义得出∠BDC+∠BCE=∠BDA+∠BDC=180°；根据角
的和差、三角形外角定理及等式的性质得出∠DCE=∠DAE，根据等角对等边得出AE=EC，再根据全等三
角形对应边相等得出AD=EC，故AD=AE=EC；过E作EF⊥BC于F点，根据角平分线上的点到角两边的
距离相等得出EG=EF，从而利用HL判断出Rt BEF≌Rt BEG，推出BF=BG，再利用HL判断出
Rt CEF≌Rt AGE，推出AG=CF，最后根据线△段的和差△及等量代换得出BA+BC=BG+GA+BF-
CF△=BG+BF=2△BG，综上所述即可得出答案。
10．（2分）（2018八上·新乡期末）如图，在Rt ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平分线AP和
∠ACB外角的平分线CF相交于点D，AD交CB于△点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交
CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA=45°；
②AF-CG=CA；③DE=DC；④FH=CD+GH；⑤CF=2CD+EG．其中正确的有（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①②④⑤ D．①②③⑤
【答案】D
【完整解答】①利用公式：∠CDA= ∠ABC=45°，①正确；
②如图：延长GD与AC交于点P'，由三线合一可知CG=CP'，
∵∠ADC=45°，DG⊥CF，
∴∠EDA=∠CDA=45°，
∴∠ADP=∠ADF，
∴△ADP'≌△ADF（ASA），
∴AF=AP'=AC+CP'=AC+CG，故②正确；
③如图：
∵∠EDA=∠CDA，
∠CAD=∠EAD，
从而△CAD≌△EAD，
故DC=DE，③正确；
④∵BF⊥CG，GD⊥CF，
∴E为△CGF垂心，
∴CH⊥GF，且△CDE、△CHF、△GHE均为等腰直角三角形，
∴HF=CH=EH+CE=GH+CE=GH+ CD，故④错误；
⑤如图：作ME⊥CE交CF于点M，则△CEM为等腰直角三角形，从而CD=DM，CM=2CD，EM=EC，
∵∠MFE=∠CGE，
∠CEG=∠EMF=135°，
∴△EMF≌△CEG（AAS），
∴GE=MF，
∴CF=CM+MF=2CD+GE，
故⑤正确；
故答案为：D
【思路引导】根据题意易求出∠ADC的度数，可对①作出判断；延长GD与AC交于点P'，利用等腰三角
形三线合一的性质，可得出CG=CP'，再证明CG=CP，AP=AF，就可证得AF=AC+CG，可对②作出判断；
证明△CAD≌△EAD，利用全等三角形的性质，就可判断△CDE的形状，可对③作出判断；易证E为
△CGF垂心，就可证得△CDE、△CHF、△GHE均为等腰直角三角形，可证得HF=GH+ CD，可对
④作出判断；作ME⊥CE交CF于点M，可知△CEM为等腰直角三角形，从而CD=DM，CM=2CD，
EM=EC，再证明△EMF≌△CEG，利用全等三角形的性质，可证GE=MF，然后就可得出CF=2CD+EG，
综上所述，可得出正确的序号。
二．填空题（共9小题，满分18分，每小题2分）
11．（2分）（2021八上·云梦期末）如图，在 中， ， ，点 在线段 上运
动（ 不与 ， 重合），连接 ，作 ， 与 交于 .在点 的运动过程中，
的度数为 时， 的形状是等腰三角形.
【答案】 或
【完整解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°，∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA=DE时，即∠DAE=∠DEA= （180°-40°）=70°，
∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，
∴∠BAD=100°-70°=30°；
∴∠BDA=180°-30°-40°=110°；
③当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°，
∴∠BAD=100°-40°=60°，
∴∠BDA=180°-60°-40°=80°；
∴当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是110°或80°，
故答案为：110°或80°.
【思路引导】利用等边对等角可求出∠C的度数，再利用等腰三角形的定义，分情况讨论：当AD=AE时，
可得到∠AED=40°，利用三角形的一个外角大于和它不相邻的任意一个内角，可知此时不符合； 当
DA=DE时，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠DAE的度数，利用三角形的内角和定
理求出∠BAC，∠BAD的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠BDA的度数；当EA=ED时，
∠ADE=∠DAE=40°， 由此可求出∠BAD的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠BDA的度数.
12．（2分）（2021八上·武汉月考）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是∠BAC的平分线，M是
BC的中点，ME∥AD交AC于F，交BA的延长线于E.则BE＝ .
【答案】5
【完整解答】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵MF∥AD，
∴∠DAC＝∠AFE，∠BAD＝∠E，∴∠E＝∠AFE，
∴AE＝AF；
延长FM至点N，使MN＝FM， ∠BMN＝∠CMF，MB＝CM，
∴△BMN≌△CMF（SAS），
∴CF＝BN，∠N＝∠MFC，
∵∠EFA＝∠MFC，
∴∠N＝∠EFA，
∴∠N＝∠E，
∴BN＝BE，
∴AB＋AC＝AB＋AF＋FC＝AB＋AE＋FC＝BE＋FC，
∵BE＝FC，
∴2BE=10，
∴BE=5.
故答案为：5.
【思路引导】根据平行线的性质得∠DAC＝∠AFN，∠BAD＝∠E，结合角平分线的定义证出∠E＝
∠AFE，根据等角对等边得出AE=AF；延长FM至点N，使MN＝FM，连接AN，证明△BMN≌△CMF，
得出CF＝BN，∠N＝∠MFC，得出BN＝BE，证明得出AB＋AC＝2BE，可求出答案．
13．（2分）（2021八上·下城期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC，交AB于点F，若AF＝8，BF＝7，则CD的长度为 .
【答案】23
【完整解答】解：∵AF＝8，BF＝7，
∴AC=AB=AF+BF=8+7=15，
∵AB＝AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠DEC=90°，
∴∠C+∠D=∠B+∠BFE，
∴∠D=∠BFE=∠AFD，
∴AD=AF=8，
∴CD=AC+AD=15+8=23.
故答案为：23.
【思路引导】由已知条件可得AC=AB=AF+BF=15，由等腰三角形的性质可得∠B=∠C，由等角的余角相
等可得∠D=∠BFE=∠AFD，则AD=AF=8，然后根据CD=AC+AD进行计算.
14．（2分）（2021八上·长沙月考）如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的
平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝7cm，DE＝3cm，求CE的长
为 cm.
【答案】4
【完整解答】解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，∴∠DBF=∠CBF，∠FCE=∠FCG，
∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠FCG，
∴∠DBF=∠DFB，∠FCE=∠EFC，
∴BD=FD，EF=CE，
∴EF=DF-DE=BD-DE=7-3=4，
∴CE=4cm.
故答案为：4.
【思路引导】由角平分线的定义可得∠DBF=∠CBF，∠FCE=∠FCG，由平行线的性质可得
∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠FCG，从而得出∠DBF=∠DFB，∠FCE=∠EFC，根据等角对等边可得
BD=FD，EF=CE，继而得出EF=DF-DE=BD-DE=4，即得结论.
15．（2分）（2020八上·兴城期末）如图， 中， ，M、N分别是 、
边上的点，连接 、 ，若 ， ，则 的度数是
．
【答案】40°
【完整解答】解： ， ，
根据等腰三角形的判定定理得： △AMN，△CNB 为等腰三角形，
∴∠ANM=∠AMN，∠CNB=∠CBN ，
，
，
，故答案是： ．
【思路引导】先求出△AMN，△CNB 为等腰三角形，再求出 ，最后计算求解
即可。
16．（2分）（2020八上·天津月考）如图，在 中， 与 的平分线交于点 ，
过点 作 ，分别交 、 于点 、 ．若 的周长为7， 的
周长是12，则 的长度为 ．
【答案】5
【完整解答】∵DE∥BC，
∴∠DOB=∠OBC，
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠OBC，
∴∠DOB=∠DBO，
∴OD=DB，
同理OE=EC，
∴AD+DE+AE=AD+DO+OE+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC
∵ 的周长为7， 的周长是12
∴AD+DE+AE=7，AB+BC+AC=12
∴AB+AC=7
∴BC=5
故答案为：5．【思路引导】根据角平分线及平行线的性质得到DO=DB，OE=EC，再利用三角形的周长计算即可。
17．（2分）（2020八上·濉溪期末）如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACF，直线DE过点
I，且DE∥BC，BD＝8 cm，CE＝5 cm，则DE＝ ．
【答案】3cm
【完整解答】解：∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，
∴∠ABI=∠CBI，∠ECI=∠ICF．
∵DE∥BC，
∴∠DIB=∠CBI，∠EIC=∠ICF，
∴∠ABI=∠DIB，∠ECI=∠EIC，
∴DI=BD=8cm，EI=CE=5cm，
∴DE=DI﹣EI=3（cm）．
故答案为3cm．
【思路引导】根据角平分线的定义，可得∠ABI=∠CBI，∠ECI=∠ICF，根据平行线的性质，可得
∠DIB=∠CBI，∠EIC=∠ICF，利用等量代换可得∠ABI=∠DIB，∠ECI=∠EIC，由等角对等边可得
DI=BD=8cm，EI=CE=5cm，利用DE=DI﹣EI即可求出结论.
18．（2分）（2021八上·咸安期末）如图，在 中， 和 的平分线相交于点O，
过点O作 交 于E，交 于F，过点O作 于D，有下列结论：①
；②点O到 各边的距离相等；③ ；④
.其中正确的结论是 （把你认为正确结论的序号都填上）.【答案】①②③④
【完整解答】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90° ∠A，
∴∠BOC=180° （∠OBC+∠OCB）=90°+ ∠A；故③正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，
∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，
∴BE=OE，CF=OF，
∴EF=OE+OF=BE+CF，
故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴点O到△ABC各边的距离相等，故②正确.
在Rt AMO与Rt ADO中，
∵OM△=OD，AO=A△O，∴Rt AMO≌Rt ADO
∴AM△=AD， △
同理BM=BN，CD=CN，
∵AM+BM=AB，AD+CD=AC，BN+CN=BC，
∴AD= （AB+AC BC）故④正确，
故答案为：①②③④.
【思路引导】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角
和定理，即可求得③ 正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出
EF=BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故②正确；根据HL可以证
出△AMO与△ADO全等，根据全等三角形的对应边相等得出AM=AD，同理BM=BN，CD=CN，最后算
（AB+AC BC）即可得出判断出④.
19．（2分）（2020八上·汉阳期中）如图， 为 的角平分线，且 ， 为
延长线上一点， ，过 作 于 ，下列结论：
① ；② ；③ ；④ .
其中正确的序号是 .
【答案】①②④
【完整解答】解：① 为 的角平分线，
，
又 ， ，，
，
，即①正确；
②在 中， ，
，
在 中， ，
，
，
，
， ， ，
，
为等腰三角形，
，
，
，
，即②正确；
③根据已知条件，可得 不一定成立，故③错误；
④如图，过 作 于 点，是 上的点，
，
在 和 中，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，即④正确.
故答案为：①②④.
【思路引导】由角平分线的概念可得∠ABD=∠CBD，证明△ABD≌△EBC，得到∠BCE=∠BDA，据此判
断①；根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠BEA= (180°-∠ABE)，∠BDC= (180°-
∠CBD)，推出∠BDC=∠AEB，得到△ACE为等腰三角形，则AE=EC，由全等三角形的性质可得
AD=EC，据此判断②；无法得到AB∥CE，过E作EG⊥BC于G点，证明△BEG≌△BEF，△CEG≌△AEF，得到AF=CG，据此判断④.
20．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC交AB于E，
交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：
①EF=BE+CF；
②∠BGC=90°+ ∠A；
③点G到△ABC各边的距离相等；
④设GD=m，AE+AF=n，则S =mn．
AEF
△
其中正确的结论是 ．
【答案】①②③
【完整解答】解：①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG．
∵EF∥BC，
∴∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，
∴∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠CGF，
∴BE=EG，GF=CF，
∴EF=EG+GF=BE+CF，故本小题正确；
②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴∠GBC+∠GCB= （∠ABC+∠ACB）= （180°﹣∠A），
∴∠BGC=180°﹣（∠GBC+∠GCB）=180°﹣ （180°﹣∠A）=90°+ ∠A，故本小题正确；
③∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴点G是△ABC的内心，
∴点G到△ABC各边的距离相等，故本小题正确；④连接AG，
∵点G是△ABC的内心，GD=m，AE+AF=n，
∴S = AE•GD+ AF•GD= （AE+AF）•GD= nm，故本小题错误．
AEF
△
故答案为：①②③．
【思路引导】①根据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G可得出∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG，再由
EF∥BC可知∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，故可得出BE=EG，GF=CF，由此可得出结论；
②先根据角平分线的性质得出∠GBC+∠GCB= （∠ABC+∠ACB），再由三角形内角和定理即可得出
结论；
③根据三角形内心的性质即可得出结论；
④连接AG，根据三角形的面积公式即可得出结论．
三、解答题(共8题；共60分)
21．（5分）（22021八上·东莞期末）已知：如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，
DE∥AB，交AC于点E．求证：△AED是等腰三角形．
【答案】证明：∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是底边BC上的中线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE∥AB，
∴∠ADE=∠BAD，
∴∠ADE=∠CAD，
∴AE=ED，∴△AED是等腰三角形．
【思路引导】根据等腰三角形的判定与性质即可得出结论。
22．（5分）（2021八上·沿河期末）已知在 中， ， 在 上， 在
的延长线上， 交 于 ，且 ，求证： ．
【答案】证明：过 点作 交 于 点，如图，
， ，
，
，
，
，在 和 中，
，
，
，
．
【思路引导】（1） 过D点作DG∥AE交BC于点G， 根据平行线的性质额等腰三角形的性质得出
∠4=∠3，∠B=∠1，从而得出BD=DG，再利用AAS证出△DFG≌△EFC，得出DG=CE，即可得出
BD=CE.
23．（5分）（2020八上·安丘月考）如图， 的平分线 与 的平分线 相交于
点 ，过点 作 交 于 ，若 ， ，求 的长
【答案】解： BE平分 ABC，
DBE= EBC，
DE BC，
EBC= DEB，
DEB= DBE，
DE=BD，
同理可证：EF=CF，
BD=8，
DE=8，DF=3，
EF=5，
CF=5．
【思路引导】由BE平分 ABC可得 DBE= EBC，由DE ∥ BC可得 EBC= DEB，所
以 DEB= DBE，所以DE=BD，同理可证EF=CF，由已知线段的长度求解即可．
24．（6分）（2021八上·汉阴期末）如图，在 中， ， 于点D，点E在
边 上， 交 的延长线于点F.
（1）（3分）若 ，求 的度数；
（2）（3分）求证： .
【答案】（1）解： ，
.
（2）证明： ， 于点.
【思路引导】（1）利用等边对等角可求出∠B的度数，利用三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，利
用平行线的性质可求出∠AEF的度数；
（2）利用等腰三角形三线合一的性质得∠BAD=∠CAD，再利用平行线的性质得∠F=∠CAD，由此可推
出∠BAD=∠F，利用等角对等边，可证得结论.
25．（9分）（2018八上·长春期末）
（1）（3分）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线交BC于D，求
证：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，连接DE）
（2）（3分）如图2，当∠C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写
出结果，不需要证明．
（3）（3分）如图3，当∠ACB≠90°，∠ACB＝2∠B ，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC
的延长线于点D，则线段 AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．
【答案】（1）证明：在AB上取一点E，使AE=AC
∵AD为∠BAC的平分线
∴∠BAD=∠CAD．
在△ACD和△AED中，∴△ACD≌△AED（SAS）．
∴∠AED=∠C=90°，CD=ED，
又∵∠ACB=2∠B，∠C=90°，
∴∠B=45°．
∴∠EDB=∠B=45°．
∴DE=BE，
∴CD=BE．
∵AB=AE＋BE，
∴AB=AC＋CD．
（2）证明：在AB取一点E使AC=AE，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED，
∴∠C=∠AED，CD=DE，
又∵∠C=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
∵∠AED是△EDC的外角，
∴∠EDB=∠B，
∴ED=EB，
∴CD=EB，
∴AB=AC+CD；（3）解：猜想：AB=CD﹣AC
证明：在BA的延长线上取一点E，使得AE=AC，连接DE，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴∠ACD=∠AED，CD=DE，
∴∠ACB=∠FED，
又∵∠ACB=2∠B
∴∠FED=2∠B，
又∵∠FED=∠B＋∠EDB，
∴∠EDB=∠B，
∴DE=BE，
∴BE=CD，
∵AB=BE-AE
∴AB=CD﹣AC．
【思路引导】（1）证明线段和差可转化为证线段相等，本题采取截长法，利用全等三角形的判定和性质、
等腰三角形的判定和性质即可获得证明；（2）尽管弱化了条件∠ACB≠90°，类比（1）的转化方法不难得
到同样的结论；（3）尽管与（1）相比弱化了条件，同时改变了AD由内角平分线变为外角平分线，但受
（1）的思路启发，同样可采用截长法，利用全等三角形判定和性质、等腰三角形判定和性质、三角形外
角性质，即可找到三条线段的数量关系。本题充分利用角平分线构造全等三角形从而把问题进行转化是解
题的关键，同时要善于把问题前后联系起来，学会类比思考分析。
26．（10分）（2021八上·崇阳期中）（1）（5分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180°−α，BD平分∠ABC.
①如图1，若α=90°，请直接写出AD与CD之间的数量关系_▲_；
②在图2中，①中结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（2）（5分）根据（1）的解题经验，请解决如下问题：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD
平分∠ABC，求证：BD+AD=BC.
【答案】（1）解：①AD=CD
②成立，理由如下：
在BC截取BE=BA，连接DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
又BE=BA，BD=BD，
∴△ABD≌△EBD(SAS)，
∴AD=ED，∠BAD=∠BED，
∵∠BCD=180°−∠BAD，
∴∠BCD=180°−∠BED=∠DEC，
∴CD=ED，
∴AD=CD；
（2）证明：∵在等腰△ABC中，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C= ，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC=20°，
在BC截取BE=BA，在BC截取BF=BD，连接DE、DF，
∴∠BDF=∠BFD= 80°，
∵∠C=40°，
∴∠CDF=80°-40°=40°，
∴DF=FC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
又BE=BA，BD=BD，
∴△ABD≌△EBD(SAS)，
∴AD=ED，∠BAD=∠BED=100°，
∵∠DEF=180°−∠BED=180°−100°=80°，
∴∠DEF=∠DFE=80°，
∴DE=DF，
∴AD=DE=DF=CF；
∴BD+AD=BF+FC=BC.
【完整解答】解：（1）①∵∠BAD=90°，∠BCD=180°−90°=90°，BD平分∠ABC，
∴AD=CD；
故答案为：AD=CD；
【思路引导】（1）①易得∠BAD=∠BCD=90°，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得结论；
②在BC截取BE=BA，连接DE，由角平分线的概念可得∠ABD=∠EBD，利用SAS证△ABD≌△EBD，
得AD=ED，∠BAD=∠BED，结合∠BCD=180°-∠BAD可得∠BCD=∠DEC，推出CD=ED，据此解答；
（2）根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠B=∠C=40°，由角平分线的概念可得
∠ABD=∠CBD=20°，在BC截取BE=BA，在BC截取BF=BD，连接DE、DF，由等腰三角形的性质得∠BDF=∠BFD=80°，结合外角的性质求出∠CDF的度数，推出DF=FC，然后证明△ABD≌△EBD，得到
AD=ED，∠BAD=∠BED=100°，由邻补角的性质可得∠DEF=80°，推出AD=DE=DF=CF，据此证明.
27．（10分）（2020八上·石阡月考）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC
的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD.
（1）（5分）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量
关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；
（2）（5分）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请
写出你的猜想，并对你的猜想给予证明.
【答案】（1）猜想： .
证明：如图②，在 上截取 ，连结 ，
∵ 为 的角平分线时，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，∴ .∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ .
（2）解：猜想： .
证明：在 的延长线上截取 ，连结 .
∵ 平分 ，∴ .
在 与 中， ， ， ，
∴ .
∴ ， .
∴ .
又 ， ， .
∴ .
∴ .
∴ .
【思路引导】（1）在AB上截取AE=AC，连接DE，根据角平分线的概念可得∠BAD=∠CAD，利用
“SAS”证明△ADE≌△ADC，得到∠AED=∠C，ED=CD，结合∠ACB=2∠B可得∠AED=2∠B，结合外
角的性质可得∠B=∠EDB，推出EB=ED，据此解答；（2）在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED，利用“SAS”可证明△ADE≌△ADC，得到
∠AED=∠ACD，ED=CD，推出EB=ED，根据线段的和差关系可得EA+AB=EB=ED=CD，据此解答.
28．（10分）（2021八上·长沙期末）（概念学习）①我们规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一
个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”；
②从三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三
角形，如果分得的两个小三角形中：一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把
这线段叫做这个三角形的“等角分割线”.
（概念理解）（1）如图1，在Rt ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”.
（1）（5分）如图2，在 ABC中，CD为角平分线，∠A=30°，∠B=50°. 求证：CD为 ABC的“等
角分割线”.
（2）（5分）若在 ABC中，∠A=45°，CD是 ABC的“等角分割线”，请直接写出所有符合题意的
∠ACB的度数.
【答案】（1）证明：∵在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=100°
∵CD为角平分线，
∴∠ACD=∠DCB= ∠ACB=50°，
∴∠BCD=∠B，∠DCA=∠B，
∴CD=BD，∴△BCD为等腰三角形
又∵∠ACD=50°，∠B=50°，
∴∠ADC=180°-∠A-∠ACD=100°，
∠ACB=180°-∠A-∠B=100°
∴∠ADC=∠ACB，∠A=∠A，∠ACD=∠B
∴CD为△ABC的等角分割线；
（2）解：当△ACD是等腰三角形，如图2，DA=DC时，∠ACD=∠A=45°，
∴∠ACB=∠BDC=45°+45°=90°，当△ACD是等腰三角形，如图3，
DA=AC时，∠ACD=∠ADC= ，∠BCD=∠A=45°，
∴∠ACB=67.5°+45°=112.5°，
当△ACD是等腰三角形，CD=AC的情况不存在，
当△BCD是等腰三角形，
如图4，
DC=BD时，∠ACD=∠BCD=∠B，
又∵∠BDC=∠A+∠ACD，设 ，
由内角和解得 ∴∠ACB=90°，
当△BCD是等腰三角形，如图5，
DB=BC时，∠BDC=∠BCD，
设∠BDC=∠BCD=x，则∠B=180°-2x，则∠ACD=∠B=180°-2x，由题意得，180°-2x+45°=x，解得，x=75°，
∴∠ACD=180°-2x=30°，
∴∠ACB=105°，
当△BCD是等腰三角形，CD=CB的情况不存在，
综上所述∴∠ACB的度数为112.5°或105°或90°.
【完整解答】（3）解：∠ACB的度数为112.5°或105°或90°.
【思路引导】（1） 根据“等角三角形”的定义求解即可；
（2） 易求出△BCD为等腰三角形，再求出∠ADC=∠ACB，∠A=∠A，∠ACD=∠B ，根据“等角分割
线” 的定义即证；
（3） 当△ACD是等腰三角形，有①AD=CD； ②AD=CA； ③CD=AC的情况不存在 ，据此分别求解；
当△BCD是等腰三角形，有①DC=BD时，②DB=BC时，③CD=CB的情况不存在 ，据此分别求解即可.
