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专题 06 二元一次方程组实际应用的五种考
法
类型一、利润问题
例．某商场用相同的价格分两次购进A型和B型两种型号的电脑，前两次购进情况如下表．
A型（台） B型（台） 总进价（元）
第一次 20 30 210000
第二次 10 20 130000
(1)求该商场购进A型和B型电脑的单价各为多少元？
(2)已知商场A型电脑的标价为每台4000元，B型电脑的标价为每台6000元，两种电脑销
售一半后，为了促销，剩余的A型电脑打九折，B型电脑打八折全部销售完，问两种电脑
商场获利多少元？
【答案】(1)A型电脑单价为3000元，B型电脑的单价为5000元
(2)两种电脑商场获利61000元
【详解】（1）解：设A型电脑单价为x元，B型电脑的单价为y元，
，
解得： ，
答：A型电脑单价为3000元，B型电脑的单价为5000元．
（2）A型电脑获利：
（元），
B型电脑获利：
（元），
两种电脑总获利： （元），答：两种电脑商场获利61000元．
【变式训练1】某商场第1次用39万元购进 ， 两种商品，销售完后获得利润6万元，
它们的进价和售价如表（总利润=单价利润×销售量）：
价格商品 进价（元/件） 售价（元/件）
1200 1350
1000 1200
(1)该商场第1次购进 ， 两种商品各多少件？
(2)商场第2次以原进价购进 ， 两种商品，购进 商品的件数不变，而购进 商品的件
数是第1次的2倍， 商品按原售价销售，而 商品打折销售，若两种商品销售完毕，要
使得第2次经营活动获得利润等于5.4万元，则 种商品是按几折销售的？
【答案】(1)商场第1次购进A商品200件，B商品150件
(2)B种商品打九折销售的
【详解】（1）解：设第1次购进A商品x件，B商品y件．
根据题意得： ，
解得： ．
答：商场第1次购进A商品200件，B商品150件．
（2）设B商品打m折出售．
根据题意得： ，
解得： ．
答：B种商品打九折销售的．
【变式训练2】某商场从厂家购进了 两种品牌篮球共80个，已知购买 品牌篮球的总
价比购买 品牌篮球总价的2倍还多200元， 品牌篮球每个进价100元， 品牌篮球每个
进价80元．
(1)求购进 两种品牌篮球各多少个？
(2)在销售过程中， 品牌篮球每个售价150元，售出30个后出现滞销；商场决定打折出售
剩余的 品牌篮球， 品牌篮球每个按进价加价20%销售，很快全部售出，两种品牌篮球
全部售出后共获利2080元，求 品牌篮球打几折出售？
【答案】(1)购进 品牌篮球50个，购进 品牌篮球30个；(2)7折
【详解】（1）解：设购进 品牌篮球 个，则购进 品牌篮球 个，，
解得 ，
故购进 品牌篮球50个，购进 品牌篮球30个；
（2）解：设 品牌篮球打 折出售，依题意有：
，
即： ，
解得： ，
故 品牌篮球打7折出售．
【变式训练3】平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为50%；
乙种商品每件进价50元，售价80元．
(1)甲种商品每件进价为______元，每件乙种商品所赚利润______元；
(2)若该商场进货时同时购进甲、乙两种商品共62件，恰好总进价为2600元，求购进甲、
乙商品各多少件？如果这些商品全部出售，商场共获利多少元？
(3)在“五一”期间，该商场只对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金
优惠措施
额
少于等于450 不优惠
超过450，但不超过600 按打九折
超过600 其中600部分八点二折优惠，超过600的部分打三折优惠
按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在商场购买乙种商
品多少件？
【答案】(1)40，30
(2)购进甲商品50件，购进乙商品12件，全部出售，商场共获利1360元．
(3)小华在该商场购买乙种商品7件或8件．
【详解】（1）解：设甲商品的进价为x，
，解得： ，
每件乙种商品所赚利润： （元），故答案为：40，30；
（2）设购进甲商品a件，购进乙商品b件，
，解得： ，
∴购进甲商品50件，购进乙商品12件，（元），
答：购进甲商品50件，购进乙商品12件，全部出售，商场共获利1360元．
（3）设购买乙商品y件，
当商品原价超过450元，但不超过600元时： ，
解得： ；
当商品原价超过600元时： ，
解得： ；
答：小华在该商场购买乙种商品7件或8件．
【变式训练4】饮品店的老板为了吸引顾客，推出两种新产品，冰淇淋红茶和热可可，以
下是这两种新饮品在一周内的销售情况：
老板将这两种新饮品每天销售的总成本记录如下：
周
时间 周一 周二 周三 周五 周六 周日
四
总成本 480 780 720 1280
(1)根据以上信息，将上面的表格补充完整；
(2)在试推广阶段，老板将冰淇淋红茶和热可可的售价均定为20元，平均每天卖出160杯冰
淇淋红茶和200杯热可可．随着天气越来越炎热，人们对饮品的需求量逐渐增多，老板对
饮品的价格进行了调整．如果将冰淇淋红茶的售价上涨 ，销售量仍会上涨25%，如果
将热可可的售价下降10%，销售量依然会下降10%．经过计算，这样调整价格后的总利润
比原来平均每天的总利润多了440元，求a的值．
【答案】(1)840，960，1400；(2)16
【详解】（1）销售情况整理如下：周 周
周一 周二 周四 周五 周日
三 六
冰淇淋红茶(杯) 40 60 80 30 40 10 80
热可可(杯) 10 30 20 60 40 50 60
总成本 480 780 720 1280
设每杯冰淇淋红茶成本x元，每杯热可可成本y元，
则 ，解得 ，∴周二总成本为： (元)，
周三总成本为： (元)，周六总成本为： (元)，
即表格中从左到右填入：840，960，1400
（2）调价后每杯冰淇淋红茶的利润为 （元），平均每天售卖
杯；调价后每杯热可可的利润为 元，平均每天售
卖 杯．
列方程得： ，解得
答：a的值为16．
类型二、方案问题
例．某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够
的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，
也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每
月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．
(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
(2)如果工厂招聘 名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一
年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
【答案】(1)每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，新工人每月分别安装2辆电动汽车；
(2)①调熟练工1人，新工人8人；②调熟练工2人，新工人6人；③调熟练工3人，新工
人4人；④调熟练工4人，新工人2人．
【详解】（1）解：设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，新工人每月分别安装y辆电
动汽车，
根据题意得 ，解之得 ．
答：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，新工人每月分别安装2辆电动汽车；
（2）设调熟练工m人，
由题意得， ，整理得， ，
∵ ，
∴当 ，2，3，4时， ，6，4，2，
即：①调熟练工1人，新工人8人；②调熟练工2人，新工人6人；③调熟练工3人，新工
人4人；④调熟练工4人，新工人2人．
【变式训练1】一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之
手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车与3辆
大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
(2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，
问有哪几种租车方案?
(3)在（2）的条件下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．请选
出费用最少的租车方案，并求出最少的租车费用．
【答案】(1)1辆小货车一次满载运输300件物资，1辆大货车一次满载运输400件物资
(2)共有3种租车方案，方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；方案2：租用5辆小货车，4
辆大货车；方案3：租用1辆小货车，7辆大货车
(3)租用1辆小货车，7辆大货车，最少租车费为3900元
【详解】（1）解：设1辆小货车一次满载运输x件物资，1辆大货车一次满载运输y件物
资，
依题意得： 解得：
答：1辆小货车一次满载运输300件物资，1辆大货车一次满载运输400件物资．
（2）接：设租用小货车a辆，大货车b辆，
依题意得：300a+400b=3100，
∴ ．
又∵a，b均为非负整数，
∴ 或 或 ，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；
方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；
方案3：租用1辆小货车，7辆大货车．
（3）解：方案1所需租车费为400×9+500×1=4100（元）；
方案2所需租车费为400×5+500×4=4000（元）；
方案3所需租车费为400×1+500×7=3900（元）．∴费用最少的租车方案为：租用1辆小货车，7辆大货车，最少租车费为3900元．
【变式训练2】某企业有 ， 两条加工相同原材料的生产线，在一天内， 生产线共加
工 吨原材料，加工时间为 小时；在一天内， 生产线共加工 吨原材料，加工时
间为 小时．
(1)当 时，两条生产线的加工时间分别时多少小时？
(2)第一天，该企业把5吨原材料分配到 ． 两条生产线，两条生产线都在一天内完成了
加工，且加工时间相同，则分配到两条生产线的的吨数是多少？
(3)第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给 生产线分配了
吨原材料，给 生产线分配了 吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配
到的所有原材料，且加工时间相同，则 和 有怎样的数量关系？若此时 与 的和为6
吨，则 和 的值分别为多少吨？
【答案】(1)两条生产线的的加工时间分别为5小时和5小时
(2)分配到 生产线2吨，分配到 生产线3吨
(3) 与 的关系为 ，当 吨时， 为2吨， 为4吨
【详解】（1）解：当 时， ， ；
即两条生产线的的加工时间分别为5小时和5小时．
（2）解∶设分配到 生产线 吨，则分配到 生产线 吨，根据题意得：
，解得 ，
即分配到 生产线2吨，则分配到 生产线3吨；
（3）解：根据题意得： ，整理得： ，
∵ ，∴ ， ，
答： 与 的关系为 ，当 吨时， 为2吨， 为4吨．
【变式训练3】一工厂有60名工人，要完成1200套产品的生产任务，每套产品由4个A型
零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现
将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套．
(1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件?每天能生产多少套产品?
(2)现工厂要在20天内完成1200套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独
立进行A型零件的加工，且每人每天只能加工4个A型零件．
①设每天安排x名熟练工人和m名新工人生产A型零件，求x的值（用含m的代数式表
示）
②请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务?
【答案】(1)工厂每天应安排24名工人生产A型零件，每天能生产36套产品
(2)① ；②至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务【解析】(1)
解：设工厂每天安排 名工人生产A型零件，则工厂每天安排 名工人生产B型零件，
由题意得： ，解得 ， （套）
所以，工厂每天应安排24名工人生产A型零件，每天能生产36套产品．
(2)
①设每天安排x名熟练工人和m名新工人生产A型零件，则安排 名熟练工人生产B
型零件，
由题意得， ，
整理得 ；
②设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，
则安排 名熟练工人生产B型零件，
由题意得 ，解得 ，
所以，至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务．
【变式训练4】今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，已知：用2辆A
型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨，
某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好
每辆车都装满．
(1)1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案；
(3)若A型车每辆需租金每次100元，B型车租金每次120元，请选出最省钱的租车方案，
并求出最少租车费．
【答案】(1)1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运4吨
(2)该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5
辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车．
(3)租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为940元
【解析】（1）解：设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y
吨，
依题意，得： ，
解得： ．答：1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运4吨．
（2）依题意，得：3a＋4b＝31，
∴ ，
又∵a，b均为正整数，
∴ 或 或 ，
∴该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；
方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；
方案3：租用1辆A型车，7辆B型车．
（3）方案1所需租金为100×9＋120×1＝1020（元）；
方案2所需租金为100×5＋120×4＝980（元）；
方案3所需租金为100×1＋120×7＝940（元）．
∵1020＞980＞940，∴最省钱的租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为
940元．
类型三、几何图形问题
例．如图，某校劳动小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，用篱笆围成一个面积为
的矩形劳动基地ABCD，边AD的长不超过墙的长度，在BC边上开设宽为1m的门EF（门
不需要消耗篱笆）．设AB的长为x（m），BC的长为y（m）．
(1)若围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长为10m，求AB和BC的长度．
(2)若AB和BC的长都是整数（单位：m），且围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长小
于10m，请直接写出所有满足条件的围建方案．
【答案】(1)AB＝4，BC＝3；(2)AB＝2，BC＝6或AB＝3，BC＝4
【详解】（1）根据题意得： ，即 ．
代入 得： ，整理得： ．
解得： 或 ．
当 时， ，不符合题意；当 时， ，符合题意．
则AB=4,BC=3．
（2）根据题意得： ，即 ．∵AB，BC为整数，即x，y为整数，且 ．
∴当y=6时，x=2；当y=4时，x=3．
则满足条件的围建方案为：AB=2,BC=6或AB=3,BC=4．
【变式训练1】现要在长方形草坪中规划出3块大小，形状一样的小长方形（图中阴影部
分）区域种植鲜花．
(1)如图 ，大长方形的相邻两边长分别为60m和45m，求小长方形的相邻两边长．
(2)如图 ，设大长方形的相邻两边长分别为a和b，小长方形的相邻两边长分别为 和 ．
①1个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不
是，请说明理由．
②若种植鲜花的面积是整块草坪面积的 ，求x和y满足的关系式（不含a，b）．
【答案】(1)小长方形的相邻两边长是 ，
(2)① 个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是定值 ；②
【详解】（1）解：设小长方形的相邻两边长分别为 和 ，
依题意，可有 ，
解得 ，
故小长方形的相邻两边长分别是10，25；
（2）①∵1个小长方形的周长为 ，
个大长方形的周长为 ，
∴ ．
故 个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是定值 ；
依题意有： ，
整理，得 ．故 和 满足的关系式为 ．
【变式训练2】某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，
该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材
再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：cm）
(1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值______．
(2)在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得
到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒．
①两种裁法共产生A型板材______张，B型板材______张（用m、n的代数式表示）；
②当 时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能
是______个．（在横线上直接写出所有可能答案，无需书写过程）
【答案】(1)
(2)① ； ；②24，27，30
【详解】（1）由题意得： ，
解得 ；
故答案为：60，40；
（2）①由图示裁法一产生A型板材为：2×m=2m，裁法二产生A型板材为：1×n=n，
所以两种裁法共产生A型板材为2m+n（张），
由图示裁法一产生B型板材为：1×m=m，裁法二产生A型板材为，2×n=2n，
所以两种裁法共产生B型板材为（m+2n）张；
故答案为：2m+n；m+2n；
②当30≤m≤40时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是
24或27或30个．
由图可知，做一个横式无盖礼品盒需A型板材3张，B型板材2张．
∵所裁得的板材恰好用完，
∴ ，化简得m=4n．∵n，m皆为整数，
∴m为4的整数倍，
又∵30≤m≤40，
∴m可取32，36，40，
此时，n分别为8，9，10，可做成的礼品盒个数分别为24，27，30．
故答案为： 24或27或30．
【变式训练3】某工厂将一批纸板按甲，乙两种方式进行加工，再用加工出来的长方形
板块和正方形 板块制作成如图所示的底面为正方形的长方体有盖礼盒. 设x块纸板按甲方
式进行加工，y块纸板按乙方式进行加工.
(1)补全表格.
x块甲方式加工的纸板 y块乙方式加工的纸板
板块 2x
板块
(2)若现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的 ， 板块恰好用完，能做多少个礼盒？
(3)若现有 板块4块，纸板a块，要使礼盒制作完毕后的 ， 板块恰好用完，则a的最
小值为___________. (请直接写出答案)
【答案】(1)4y，6x；(2)12；(3)9
【详解】（1）解：由甲、乙两种加工方式所裁剪的A版块、B版块的数量可知，
x块纸板按甲方式进行加工，可得到A版块2x块，B版块6y块，y块纸板按乙方式进行加
工，可得A版块6y块，
故答案为：6y，4y；
（2）由题意可得， ，
解得： ，
即有4块采用甲方式进行加工，10块采用乙方式加工，使加工出的A，B板块恰好用完，此时，礼盒的个数为6×4÷2=12（个）；
（3）由题意得， ，解得x= ，
∵x、a都是正整数，∴a的最小整数值为9，
故答案为：9．
【变式训练4】（1）如图1，已知A、B两个边长不相等的正方形纸片并排放置，若m7，
n3，试求A、B两个正方形纸片的面积之和．
（2）如图1，用m、n表示A、B两个正方形纸片的面积之和为 ．（请直接写出答案）
（3）如图2，若A、B两个正方形纸片的面积之和为5，且图2中阴影部分的面积为2，试
求m、n的值．
（4）现将正方形纸片A、B并排放置后构造新的正方形得图3，将正方形纸片B放在正方
形纸片A的内部得图4，若图3和图4中阴影部分的面积分别为12和1，则A、B两个正方
形纸片的面积之和为 ．【答案】（1）29；（2） ；（3）3，1；（4）13
【详解】（1）解：设正方形 纸片边长为 ，正方形 纸片边长为 .
则
解之得：
所以，
答： 、 两个正方形纸片得面积之和为 .
（2）设甲、乙两个正方形纸片的边长分别为x，y；
由题意 ，
解得
∴ + =
（3）解：设正方形 纸片边长为 ，正方形 纸片边长为 .
则
又 ，
又 ，
（4）设正方形A、B的边长为c、d，则：
由图4得：（c−d）2＝1，即：c2−2cd＋d2＝1，由图3得：（c＋d）2−c2−d2＝12，即2dc＝12，
∴c2＋d2−12＝1，
∴c2＋d2＝13，
即正方形A、B的面积和为13．
类型四、行程问题
例．如图， ， 两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到 地的距离是
到 地距离的 倍，现该食品厂从 地购买原料，全部制成食品制作过程中有损耗 卖到
地，两次运输 第一次： 地 食品厂，第二次：食品厂 地 共支出公路运费 元，
铁路运费 元．已知公路运费为 元 千米 吨 ，铁路运费为 元 千米 吨 ．
(1)求该食品厂到 地， 地的距离分别是多少千米？
(2)求该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？
(3)若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利
863800元，求卖出的食品每吨售价是多少元？（利润 总售价 总成本 总运费）
【答案】(1)这家食品厂到 地的距离是 千米，到 地的距离是 千米
(2)该食品厂买进原料 吨，卖出食品 吨
(3)卖出的食品每吨售价是 元
【详解】（1）解：设这家食品厂到 地的距离是 公里，到 地的距离是 公里，
根据题意，得： ，
解得： ，
答：这家食品厂到 地的距离是 千米，到 地的距离是 千米．
（2）解：设该食品厂买进原料 吨，卖出食品 吨，
由题意得： ，
解得： ，
答：该食品厂买进原料 吨，卖出食品 吨．
（3）解：设卖出的食品每吨售价为 元，
由题意得： ，
解得： ，
答：卖出的食品每吨售价是 元．【变式训练1】小华从家里出发到学校去上学，前 路段小华步行，其余路段小华骑自行
车． 已知小华步行的平均速度为60m/min，骑自行车的平均速度为200m/min，小华从家
里到学校一共用了22min．
(1)小红同学提出问题：小华家里离学校有多少m？ 前 路段小华步行所用时间是多少
min？ 请你就小红同学提出的问题直接设出未知数列方程组进行解答．
(2)请你再根据题目的信息，就小华走的“路程”或“时间”，提出一个能用二元一次方程
组解答但与第（1）问不完全相同的问题，并设出未知数、列出方程组．
【答案】(1)3000m，10min；(2)见解析
【详解】（1）解：设小华家里离学校有 m，前 路段小华步行所用时间是 min． 根据
题意得，
，解得
答：小华家里离学校有3000m，前 路段小华步行所用时间是10min．
（2）小华从家里到学校去上学步行了多少m？小华骑自行所用时间是多少min？
设小华从家里到学校去上学步行了sm，小华骑自行所用时间是多少tmin，根据题意得，
【变式训练2】货车从 地出发将一批防疫物资运往 地． 、 两地相距164千米，货车
匀速行驶一段路程后，出现了故障，司机师傅立刻抢修，排除了故障后，继续运送物资赶
往 地．已知货车离开 地行驶的路程 （ ）与离开 的时间 （ ）之间的函数关系
如图所示．
(1)填表：（分别写出①、②、③处的数据）
离开 地的时间 0.5 0.8 2 2.2 3.4离开 地行驶的路程 20 ① 80 ② ③
(2)填空：
①货车行驶 时出现的故障；
②修车所用的时间为 ；
③货车如果没出现故障，一直匀速行驶，会比实际早到多长时间？
【答案】(1)① 32，② 80，③ 92
(2)① 80，② 1.2，③ 0.5小时
【解析】（1）
设 ，
，
当x=0.8时，
由图知，x=2.2时，y=80，
设
当x=3.4时，
故答案为：32；80；92．
（2）
①根据图像知货车行驶80km时出现故障，
故答案为：80；
②行驶路程不变时，即为修车时间，
修车时间为：3.2-2=1.2（h）；
故答案为：1.2(h)
③出故障前货车匀速的速度为 ，
则货车到达目的地所用时间为
即货车如果没出现故障，一直匀速行驶，会比实际早到4.6-4.1=0.5（h）
【变式训练3】马拉松长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离约为42千米．如
下是关于某市今年全程马拉松比赛的部分信息．
①在起点，沿途每隔5千米处及终点提供水，运动饮料，水果等补给，最后两个补给站之间为2千米；
②在起点，终点和沿途等距离设置若干个固定医疗站
若每个补给站安排1个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排2个值班员，则需要
64个值班员；若每个补给站安排2个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排3个值
班员，则需要99个值班员．
（1）本次马拉松比赛共设置______个补给站；
（2）沿途中，每两个固定医疗站之间距离是多少？
（3）沿途中，补给站和固定医疗站重合处距离起点多少千米？
【答案】（1）10；（2）1.5千米；（3）15千米或30千米．
【详解】解：（1）∵在起点、沿途每隔5千米一个补给站，最后两个补给站相隔2千米，
∴共设置补给站（42 2）÷5+1+1=10（个），
故答案为：10
（2）设有x个固定医疗站，两站重合的有y个，
根据题意得： ，
解得： ，
∴42÷（29-1）=1.5（千米），
答：沿途中，每两个固定医疗站之间距离是1.5千米．
（3）设从起点到终点方向上第m个补给站和第n个固定医疗站重合，
∵沿途中，每两个固定医疗站之间距离是1.5千米，在起点、沿途每隔5千米一个补给站，
∴5m=1.5n，
∴m= n，
∵m、n是正整数，
∴当n=10时，m=3，此时距离起点的距离=5×3=15（千米），
当n=20时，m=6，此时距离起点的距离=5×6=30（千米），
当n=30时，m=9，此时距离起点的距离=5×9=45＞42，不合题意，舍去，
综上所述：沿途中，补给站和固定医疗站重合处距离起点15千米或30千米．
【变式训练4】“滴滴打车”深受大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，
其中里程费按p元/千米计算，耗时费按q元/分钟计算，小明、小亮两人用该打车方式出
行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如表：
时间（分钟） 里程数（千米） 车费（元）
小
7 5 12.1
明小
6 4.5 10.8
亮
（1）求p，q的值；
（2）“滴滴”推出新政策，在原有付费基础上，当里程数超过8千米后，超出的部分要加
收0.6元/千米的里程费．某天，小丽两次使用“滴滴打车”共花费52元，总里程20千米，
已知两次“滴滴打车”行驶的平均速度为40千米/小时，求小丽第一次“滴滴打车”的里
程数？
【答案】（1）p=2；q=0.3；（2）7或13．
【详解】解：（1）由题意 ，
解得 ；
（2）不妨设第一次的路程为x千米，有三种可能：
①第一次路程不超过8千米，第二次的路程超过8千米，
2×20+0.3（20÷40）×60+（20-x-8）×0.6=52，解得x=7；
②第一次路程超过8千米，第二次的路程也超过8千米，
2×20+0.3（20÷40）×60+（x-8）×0.6+（20-x-8）×0.6=52，不存在；
③第一次路程超过8千米，第二次的路程不超过8千米，
2×20+0.3（20÷40）×60+（x-8）×0.6=52，解得x=13．
类型五、工程问题
例．目前，近几年来，新能源汽车在中国已然成为汽车工业发展的主流趋势，某汽车制造
厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装288辆．由于抽调不出足够的熟练工来完
成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行
电动汽车的安装． 生产开始后，调研部门发现：2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆
电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．
(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
(2)如果工厂抽调n（0＜n＜5）名熟练工，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一
年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
【答案】(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装4辆，2辆电动汽车
(2)4种，方案①招聘10名新工人，抽调1名熟练工；方案②招聘8名新工人，抽调2名熟
练工；方案③：招聘6名新工人，抽调3名熟练工；方案④招聘4名新工人，抽调4名熟
练工
【详解】（1）解：设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y
辆电动汽车， 依题意得： ，解得： ．
答：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车．
（2）设招聘y名新工人，
依题意得： ，
∴ ．
∵ ，且n，y均为正整数，
∴ 或 或 或 ，
∴工厂有4种新工人的招聘方案， 方案1：招聘10名新员工，抽调1名熟练工；
方案2：招聘8名新员工，抽调2名熟练工；
方案3：招聘6名新员工，抽调3名熟练工；
方案4：招聘4名新员工，抽调4名熟练工．
【变式训练1】一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付
两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用
3480元．
(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元；
(2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用少？
(3)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独
做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）问的条件及结
论）
【答案】(1)甲组工作一天，商店应付300元，乙组工作一天，商店应付140元
(2)单独请乙组，商店所需费用少
(3)安排甲乙合作施工更有利于商店
【详解】（1）设甲组工作一天，商店应付x元，乙组工作一天，商店应付y元，
依题意得： ，
解得： ．
答：甲组工作一天，商店应付300元，乙组工作一天，商店应付140元．
（2）300×12＝3600（元），
140×24＝3360（元）．
∵3600＞3360，
∴单独请乙组，商店所需费用少．
（3）选择①：（300+200）×12＝6000（元）；选择②：（140+200）×24＝8160（元）；
选择③：（300+140+200）×8＝5120（元）．
∵5120＜6000＜8160，
∴安排甲乙合作施工更有利于商店．
【变式训练2】杭州某公司准备安装完成5700辆如图所示款共享单车投入市场．由于抽调
不出足够熟练工人，公司准备招聘一批新工人．生产开始后发现：1名熟练工人和2名新
工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天装的共享单车数与3名新工人每天安装
的共享单车数一样多．
(1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？
(2)若公司原有熟练工m人，现招聘n名新工人 ，使得最后能刚好一个月（30
天）完成安装任务，已知工人们安装的共享单车中不能正常投入运营的占5%，求m的值．
【答案】(1)每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享
单车．
(2)m的值为12．
【详解】（1）解：设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装
y辆共享单车，
根据题意得：
解得： ．
答：每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车．
（2）（2）根据题意得：30×（8n+12m）×（1-5%）=5700，
整理得： ，
∵n，m均为正整数，且 ，
∴ （舍）， （舍）， ，
∴m的值为12．
【变式训练3】青山化工厂与A、B两地有公路、铁路相连这家工厂从A地购买一批每吨
1000元的原料经铁路120km和公路10km运回工厂，制成每吨8000元的产品经铁路110km和公路20km销售到B地，已知铁路的运价为1.2元/（吨·千米），公路的运价为1.5
元/（吨·千米），且这两次运输共支出铁路运124800元，公路运费19500元．
（1）设原料重x吨，产品重y吨，根据题中数量关系填写下表（表格内填化简的结果）．
原料x吨 产品y吨 合计（元）
铁路运费
公路运费
根据上表列方程组求原料和产品的重量．
（2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
【答案】（1） ； ；124800； ； ；19500；（2）2555700元．
【详解】解：（1）由题意可得： ；
；
；
；
则有：
原料x吨 产品y吨 合计（元）
铁路运费 124800
公路运费 19500
故答案为： ； ；124800； ； ；19500；
（2）由题意可得： ，
解得： ，
故 （元 ，
答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多2555700元．
【变式训练4】一家商店进行门店升级需要装修，装修期间暂停营业，若请甲乙两个装修
组同时施工，8天可以完成，需付费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独
做12天可以完成，需付费用3480元，问：
（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？
（2）已知甲组单独完成需12天，乙组单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最
少？
（3）装修完毕第二天即可正常营业，且每天仍可盈利200元(即装修前后每天盈利不变)，
你认为商店应如何安排施工更有利？说说你的理由．(可用（1）（2）问的条件及结论)【答案】（1）甲组工作一天商店应付300元，乙组工作一天商店应付140元；（2）单独
请乙组所需费用最少；（3）商店请甲乙两组同时装修，才更有利，理由见解析．
【详解】（1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，
根据题意得： ，
解得： ．
答：甲组工作一天商店应付300元，乙组工作一天商店应付140元．
（2）单独请甲组所需费用为：300×12=3600(元)，
单独请乙组所需费用为：140×24=3360(元)．
∵3600＞3360，
∴单独请乙组所需费用最少．
（3）商店请甲乙两组同时装修，才更有利．理由如下：
单独请甲组完成，损失钱数为：200×12+3600=6000(元)，
单独请乙组完成，损失钱数为：200×24+3360=8160(元)，
请甲乙两组同时完成，损失钱数为：200×8+3520=5120(元)．
∵8160＞6000＞5120，
∴商店请甲乙两组同时装修，才更有利．
