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2022-2023 学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编
专题 06 二次函数与一元二次方程
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021秋•望城区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表
格，则下列结论：①c＝2；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx＝0的两根为x＝﹣2，x＝0；④7a+c＜0．
1 2
其中正确的有（ ）
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 …
y … 1.875 3 m 1.875 0 …
A．①④ B．②③ C．③④ D．②④
2．（2分）（2019•长沙县校级开学）将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，
图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（
）
A．﹣ 或﹣12 B．﹣ 或2 C．﹣12或2 D．﹣ 或﹣12
3．（2分）（2021春•天心区校级月考）已知抛物线y＝x2+bx+c过A（m，n），B（m﹣4，n），且它与x
轴只有一个公共点，则n的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．6 D．16
4．（2分）（2021秋•长沙期中）二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2（a＜b）与x轴的两个交点的横坐标
分别为m和n，且m＜n，下列结论正确的是（ ）
A．m＜a＜n＜b B．a＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．a＜m＜n＜b
5．（2分）（2021•岳麓区校级开学）已知m＞0，关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为
x，x（x＜x），则下列结论正确的是（ ）
1 2 1 2
A．x＜﹣1＜2＜x B．﹣1＜x＜2＜x C．﹣1＜x＜x＜2 D．x＜﹣1＜x＜2
1 2 1 2 1 2 1 26．（2分）（2022春•长沙期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值
y的部分对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 2 …
y … m 2 2 n …
且当x＝ 时，对应的函数值y＜0．有以下结论：①abc＞0；②m+n＜﹣ ；③关于x的方程
ax2+bx+c＝0的负实数根在﹣ 和0之间；④P（t﹣1，y）和P（t+1，y）在该二次函数的图象上，
1 1 2 2
则当实数t＞ 时，y＞y．
1 2
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
7．（2分）（2021春•岳麓区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个
结论：
①abc＞0；
②b2＜4ac；
③2c＜3b；
④a+b＞m（am+b）（m≠1）；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．
其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．（2分）（2020•雨花区校级一模）对于函数y＝x2﹣2|x|﹣3，下列说法正确的有（ ）个
①图象关于y轴对称；②有最小值﹣4；③当方程x2﹣2|x|﹣3＝m有两个不相等的实数根时，m＞﹣3；
④直线y＝x+b与y＝x2﹣2|x|﹣3的图象有三个交点时，﹣ ＜b≤﹣3．
A．1 B．2 C．3 D．49．（2分）（2021•雨花区校级模拟）能使分式方程 +2＝ 有非负实数解且使二次函数y＝x2+2x﹣k
﹣1的图象与x轴无交点的所有整数k的积为（ ）
A．﹣20 B．20 C．﹣60 D．60
10．（2分）（2020•雨花区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1，2）和点N
（1，﹣2），交x轴于A，B两点，交y轴于C．则：①b＝﹣2； ②该二次函数图象与y轴交于负半轴；
③存在这样一个a，使得M、A、C三点在同一条直线上； ④若a＝1，则OA•OB＝OC2．以上说法正确的
有（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
评卷人 得 分
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2019秋•岳麓区校级月考）已知二次函数y＝x2﹣2x+k的部分图象如图所示，若关于x的一
元二次方程x2﹣2x+k＝0的一个解为x＝3，则另一个解x＝ ．
1 2
12．（2分）（2021•天心区开学）对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值
范围是 ．
13．（2分）（2020秋•长沙期末）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为
x、x，一元二次方程x2+b2x+14＝0的两实根为x、x，且x﹣x＝x﹣x＝3，则二次函数的顶点坐标
1 2 3 4 2 3 1 4
为 ．
14．（2分）（2021秋•雨花区月考）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣
2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为 ．15．（2分）（2019春•天心区校级月考）抛物线y＝2（x﹣2）2﹣6的顶点为C，已知直线y＝﹣kx+3过点
C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 ．
16．（2分）（2021春•开福区校级月考）已知二次函数y＝a（x+b）2+3（a≠0）的图象如图，有下列4个
结论：①顶点坐标为（1，3）；②b＝1；③（﹣3，y）、（0，y）、（3，y）是抛物线上三点，则y
1 2 3 1
＜y＜y；④抛物线与x轴的右交点为（x，0），则2＜x＜3．其中正确的结论有 个．
3 2 2 2
17．（2分）（2019秋•宁乡市期末）如图，点A、B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线的顶点在
线段AB上运动（抛物线随顶点一起平移），与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点D的横坐标的
最大值为8，则点C的横坐标的最小值为 ．
18．（2分）（2019秋•望城区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣3，0）、（1，0），
则这条抛物线的对称轴是直线 ．
19．（2分）（2019秋•岳麓区校级月考）已知二次函数y＝kx2+（2k﹣1）x﹣1的图象与x轴交点的横坐
标为x，x（x＜x），那么下列结论：①方程kx2+（2k﹣1）x﹣1＝0的两根为x，x；②当x＞x时，
1 2 1 2 1 2 2
y＞0；③x＜﹣1，x＞﹣1；④x﹣x＝ ．其中正确结论的序号是 （多填或错填的得0
1 2 2 1分，少填的酌情给分）．
20．（2分）（2021春•长沙期末）若函数y＝mx2+2（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值
为 ．
评卷人 得 分
三．解答题（共8小题，满分61分）
21．（8分）（2018秋•芙蓉区校级期末）已知：关于x的方程mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3＝0．
（1）求证：m取任何实数，方程总有实数根；
（2）若二次函数y＝mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3的图象关于y轴对称；
1
①求二次函数y的解析式；
1
②已知一次函数y＝2x﹣2，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值
2
y≥y均成立；
1 2
（3）在（2）条件下，若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣5，0），且在实数范围内，对于x的
3
同一个值，这三个函数所对应的函数值y≥y≥y均成立，求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式．
1 3 2 3
22．（8分）（2022春•长沙期末）定义：如果抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（x，0），B
1
（x，0），那么我们把线段AB叫做雅礼弦，AB两点之间的距离l称为抛物线的雅礼弦长．
2
（1）求抛物线y＝x2﹣2x﹣3的雅礼弦长；
（2）求抛物线y＝x2+（n+1）x﹣1（1≤n＜3）的雅礼弦长的取值范围；
（3）设m，n为正整数，且m≠1，抛物线y＝x2+（4﹣mt）x﹣4mt的雅礼弦长为l，抛物线y＝﹣x2+
1
（t﹣n）x+nt的雅礼弦长为l，s＝l2﹣l2，试求出s与t之间的函数关系式，若不论t为何值，s≥0
2 1 2
恒成立，求m，n的值．
23．（6分）（2019秋•长沙县期末）如图，已知抛物线 的对称轴是直线x＝3，且与x轴相
交于A，B两点（B点在A点右侧），与y轴交于C点（0，4）．（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；
（2）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求出M点的坐
标．
24．（6分）（2021春•天心区校级月考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣8的图象与x轴交于A（2，0）和
B（﹣8，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得△APC的周长最小，请求出点P的坐标．
25．（6分）（2020•如皋市二模）已知二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与x轴的交点坐标为（m﹣2，0）和
（2m+1，0）．
（1）求b和c（用m的代数式表示）；（2）若在自变量x的值满足﹣2≤x≤1的情况下，与其对应的函数值y的最大值为1，求m的值；
（3）已知点A（﹣1，﹣2m2﹣3m）和点B（2，﹣2m2+6m）．若二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与线段AB
有两个不同的交点，直接写出m的取值范围．
26．（9分）（2019春•岳麓区校级月考）已知抛物线L：y＝ x2+bx﹣2与x轴相交于A、B两点（点A在
点B的左侧），并与y轴相交于点C．且点A的坐标是（﹣1，0）．
（1）求该抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，并求出△ABC的面积；
（3）将抛物线向左或向右平移，得到抛物线L′，L′与x轴相交于A'、B′两点（点A′在点B′的左
侧），并与y轴相交于点C′，要使△A'B′C′和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数
表达式．
27．（9分）（2020•岳麓区校级模拟）抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）与x轴交于点（x，0）和
1
（x，0），与y轴交于点A，点E为抛物线顶点
2
（Ⅰ）当x＝﹣1，x＝3时，求点A，点E的坐标．
1 2
（Ⅱ）若顶点E在直线y＝x上，当点A位置最高时，求抛物线的解析式；
（Ⅲ）若x＝﹣1，b＞0，当P（1，0）满足PA+PE值最小时，求b的值．
128．（9分）（2017•岳麓区校级开学）已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝3时，y有最小值﹣4，且图象经
过点（﹣1，12）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）该抛物线交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，在抛物线对称轴上有一动点P，
求PA+PC的最小值，并求当PA+PC取最小值时点P的坐标．
