文档内容
专题06 整式的加减专题复习——规律探究（原卷版）
第一部分 典例剖析+针对训练
类型一 数式规律
典例1（2021秋•南岗区校级期中）有一列数，按一定规律排列而成：﹣1，3，﹣9，27，
﹣81，243，…，其中某三个相邻数的和是 1701，则这三个数中最小的数是
．
典例2（2022秋•涟水县校级月考）观察下面三行数，并按规律填空：
①﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64， ， ，…；
②0，6，﹣6，18，﹣30，66， ，…；
③﹣3，3，﹣9，15，﹣33，63， ，…．
（1）按第①行数的规律，分别写出第7和第8个数；
（2）请你分别写出第②③行的第7个数；
（3）取每行数的第9个数，计算这三个数的和．
针对训练1
1．（2021•武汉）按照一定规律排列的n个数：﹣2、4、﹣8、16、﹣32、64、…，若最后
三个数的和为768，则n为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
2．（2021秋•新洲区期中）有一串数：﹣2018，﹣2014，﹣2010，﹣2006，﹣2002…按一
定的规律排列，那么这串数中前 个数的和最小．
类型二 数阵、数表规律
典例3（2020秋•江汉区月考）将全体正偶数排成一个三角形数阵：按照以上规律排列，第
25行第20个数是 ．
典例4（2019秋•江汉区期中）有这样一对数，如下表，第n+3个数比第n个数大2（其中
n是正整数）
第1个 第2个 第3个 第4个 第5个 ……
a b c
（1）第5个数表示为 ；第7个数表示为 ；
（2）若第10个数是5，第11个数是8，第12个数为9，则a＝ ，b＝ ，c＝；
（3）第2019个数可表示为 ．
针对训练2
1．（2021秋•播州区期中）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三
行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平
行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为 a ，第二个数记为
1
a ，第三个数记为a ，…，第n个数记为a ，则a ＝ ，a ＝ ．
2 3 n 6 2020
2．（2018秋•江夏区期中）已知一列数：1、﹣2、3、﹣4、5、﹣6、……，将这列数排成
下列形式：
按照上述规律排列下去，第10行数的第1个数是（ ）
A．﹣46 B．﹣36 C．37 D．45
3．（2017秋•海淀区校级期中）如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都
填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．
（1）可求得x＝ ，第2017个格子中的数为 ．
（2）判断：前m个格子中所填整数之和是否可能为2018？若能，求出m的值，若不能，
请说明理由．
（3）若取前3格子中的任意两个数记作a、b，且a≥b，那么所有的|a﹣b|的和可以通过
计算|9﹣★|+|9﹣☆|+|★﹣☆|得到，其结果为 ；若a、b为前19格子中的任意两个
数记作a、b，且a≥b，则所有的|a﹣b|的和为 ．
类型三 图形的增长规律
典例4（2021•汉川市模拟）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把 1、3、6、10、…，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、…，这样的数称为“正方形数”．从图中可以
发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．则第 10
个图形中右下方的“三角形数”中的所有点数是 ．
典例5（2020秋•江夏区期中）按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第 14个图
案中黑色小正方形地砖的数量是（ ）
A．360 B．363 C．365 D．369
针对训练3
1．（2021秋•中山市期中）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，
依照此规律，第10个图形共有 个〇．
2．（2018秋•硚口区期中）对于大于或等于2的整数的平方进行如下“分裂”，如下分别
将22、32、42分裂成从1开始的连续奇数的和，依此规律，则20182的分裂数中最大的
奇数是 ．
3．（2022•仙居县校级开学）如图，都是由棱长为 1的正方体叠成的立体图形，例如第
（1）个图形由1个正方体叠成，第（2）个图形由4个正方体叠成，第（3）个图形由
10个正方体叠成，依次规律，第（10）个图形由（ ）个正方体叠成．A．120 B．165 C．220 D．286
类型四 乘方规律
典例6（2022•内蒙古）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝
16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72022的结果的个位数字是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．8
典例 7（2022 秋•东港区校级月考）求 1+2+22+23+……+22007 的值，可令 S＝
1+2+22+23+……+22007，则2S＝2+22+23+24+……+22008，因此2S﹣S＝22009﹣1，即S＝
22009﹣1，仿照以上推理，计算出1+3+32+33+……+32022值为 ．
针对训练4
1．（2021秋•罗湖区期中）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣
2；……，已知按一定规律排列的一组数：2501，2502，2503，……，2999，21000．若2500＝
a，用含a的式子表示这组数之和是（ ）
A．2a2﹣2a B．2a10﹣2a5﹣2 C．2a2﹣a D．2a20﹣a
2．（2019秋•汾阳市期末）任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数
的和，如：23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后，其中
有一个奇数是203，则m的值是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
3．在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图所示：
则第4个方框中x+y的值是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
类型五 幻方规律
典例8（2021秋•江阴市期中）小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻
圆”游戏，现在将﹣1、2、﹣3、4、﹣5、6、﹣7、8分别填入图中的圆圈内，使横、竖
以及内外两圈上的4个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中
a+b的值为（ ）A．﹣6或﹣3 B．﹣8或1 C．﹣1或﹣4 D．1或﹣1
典例9（2020•冷水江市一模）我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将 1～9
这九个数字填入3×3的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等．如图
的幻方中，m＝ ．
针对训练5
1．（2021秋•南安市期中）现有七个数﹣1，﹣2，﹣2，﹣4，﹣4，﹣8，﹣8将它们填入
图1（3个圆两两相交分成7个部分）中，使得每个圆内部的4个数之积相等，设这个积
为m，如图2给出了一种填法，此时m＝64，在所有的填法中，m的最大值为 ．
2．将9个数填入幻方的九个方格中，使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个
数的和相等，如表一：按此规律将满足条件的另外6个数填入表二，则表二中这9个数
的和为 （用含a的整式表示）．
表一
4 9 2
3 5 7
8 1 6
表二
a+5 a+1a﹣1
类型六 其他规律
典例10（2019秋•武昌区校级期中）某初中七（5）班学生军训排列成7×7＝49人的方阵，
做了一个游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点4个不同学号的学生，被点到的学
生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令，同一名学生可以多次被点，则
15次点名后蹲下的学生人数可能是（ ）
A．3 B．27
C．49 D．以上都不可能
针对训练6
1．（2019秋•硚口区期中）把几个不同的数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，
如：{1，2}；{1，4，7}；…我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素．规
定：当整数x是集合的一个元素时，100﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合又称为
黄金集合，例如{﹣1，101}就是一个黄金集合．若一个黄金集合所有元素之和为整数
m，且1180＜m＜1260，则该黄金集的元素的个数是（ ）
A．23 B．24 C．24或25 D．26
第二部分 专题提优训练
1 1 1 2 3 1 1 1
1．观察下面一列数：1， ，2， ，1，3， ， ， ，4， ， ，1，2，5， ，…（已
2 3 4 3 2 5 2 6
写出了第1至第16个数）．
（1）第7，第8，第9，第10个数的积是 ，前16个数的积是 ；
（2）按此规律，第30个数是 ；
9
（3）在上面这列数中，从左起第m个数记为F（m），当F（m）= 时，求m的值．
2020
2．（2021秋•丹江口市期中）观察一列数：1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，…，将这列数
排成下列形式：
（1）在表中，第12行第6个数是 ；
（2）在表中，“2021”是其中的第 行，第 个数；
（3）将表中第i行的最后一个数记为a，如第1行的最后一个数记为a ，即a ＝1，第2
i 1 1
行的最后一个数记为a ，即a ＝3，如此下去，a ＝﹣6，a ＝﹣10，…，第n行的最后
2 2 3 4
一个数记为a ，则用含n的式子表示|a |为 ；
n n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
（4）在（3）的条件下，计算 + - - + + - - + + ．
a a a a a a a a a a
1 2 3 4 5 6 7 8 9 103．（2022•东莞市校级一模）找出以下图形变化的规律，则第 2022个图形中黑色正方形的
数量是 303 3 ．
4．（2020秋•西城区校级期中）古希腊毕达格拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成
各种形状来研究各种多边形数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…．由于这
些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图 2中的1，4，9，16，…，
这样的数为正方形数．
（1）请你写出一个既是三角形数又是正方形数的自然数 ．
（2）类似地，我们将k边形数中第n个数记为N（n，k）（k≥3）．以下列出了部分k
边形数中第n个数的表达式：
1 1
三角形数：N（n，3）= n2+ n
2 2
正方形数：N（n，4）＝n2
3 1
五边形数：N（n，5）= n2- n
2 2
六边形数：N（n，6）＝2n2﹣n
…
根据以上信息，得出N（n，k）＝ ．（用含有n和k的代数式表示）
5．（2020秋•江夏区校级月考）观察下列等式：12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝
25，…，若12+22+32+42+52+…+n2的个位数字是1（0＜n≤2020，且n为整数），下列
选项中，n的最大值是（ ）A．2001 B．2006 C．2011 D．2019
6．（2021•碧江区 模拟）观察等式：2+22＝23﹣2：2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣
2，…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100，若250＝a，则用含a
的式子表示这组数的和是 ．
7．（2019秋•武汉期中）如图，在边长为1厘米的正方形网格有12个格点，用这些格点做
三角形顶点，一共可以连成面积为2平方厘米的三角形个数为（ ）
A．24 B．32 C．28 D．12
8．（2020秋•盐都区校级期中）有一长方体形状的物体，它的长、宽、高分别为 a，b，c
（a＞b＞c），有三种不同的捆扎方式（如图所示的虚线），哪种方式用绳最少？说明
理由．
