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专题08 《二元一次方程组》计算题、解答题、应用题重点题
型分类
专题简介：本份资料专攻《二元一次方程组》中“解二元一次方程组”、“有关二元一次
方程（组）解答题”、“列方程组解应用题”重点题型；适用于老师给学生作复习培训时
使用或者考前刷题时使用。
考点1：解二元一次方程组
方法点拨：（1）代入消元法。我们先把第一个方程看成只有一个未知数（另一
个字母看成已知数），通过移项去括号等把它写成字母等于的形式，然后我们
把第二个方程里面的那个字母换成刚才我们得到的代数式，这样我们就得到了
一个一元一次方程。把这个一元一次方程解出来，得到其中一个未知数的值。
代入到方程组中其中一个方程，就得到了一个未知数的值，到这里，方程组就
被我们解出来了。（2）加减消元法。得到一个二元一次方程组，我们通过乘以
一个数，想办法把两个方程中其中相对应的一个未知数的系数化为相同相反的
数。然后让这两个式子做差或和，便可以消去一个未知数，得到一个一元一次
方程，以下步骤和代入消元法里面的一样。
1．解方程组
【答案】
【分析】解法一：将方程②变形，利用代入法求解；
解法二：将方程②乘以2，利用加减法求解．
【详解】解： ，
解法一：由②，得x＝－2y．③
将③代入①，得－6y＋4y＝6．
解这个一元一次方程，得y＝－3．
将y＝－3代入③，得x＝6．
所以原方程组的解是 ．
解法二：②×2，得2x＋4y＝0．③
①－③，得x＝6．
将x＝6代入②，得y＝－3．
所以原方程组的解是 ．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，正确掌握解二元一次方程组的方法：代入法和加
减法，并根据每个方程的特点选择适合的解法是解题的关键．
2．解方程组：
【答案】【分析】利用加减法② ①求解 再求解 从而可得答案.
【详解】解：
② ①得：
解得：
把 代入①得：
所以方程组的解是：
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握“利用加减消元法解二元一次方程
组”是解本题的关键.
3．解下列方程组
(1) （代入消元法）
(2) （加减消元法）
【答案】(1) (2)
【分析】（1）将①变形为 ，然后将其代入②求解得出 ，然后将其代入③得
求解即可得；
（2）①+②得 ，得出 ，将其代入①求解，由此即可得出方程组的解．
(1)解：由①得： ③，
把③代入②得， ，
解得 ，
把 代入③得： ，
原方程组的解为： ；
(2)解：①+②得： ，
解得 ，
把 代入①得 ，
解得 ，
．
∴
【点睛】题目主要考查解方程组的方法：代入消元法和加减消元法，熟练掌握两个方法是
解题关键．4．解方程（组）：
(1)
(2)
【答案】(1)y=-1
(2)
【分析】（1）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把y系数化为1，即可求出解；
（2）方程组利用代入消元法求出解即可．
(1)解：去分母得：3（3y-1）-2（5y-7）=12，
去括号得：9y-3-10y+14=12，
移项得：9y-10y=12+3-14，
合并得：-y=1，
解得：y=-1；
(2)解：
①+②得：4x=16，
解得：x=4，
把x=4代入①得：4+2y=10，
解得：y=3，
则方程组的解为
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次方程，熟练掌握方程组及方程的
解法是解本题的关键．
5．解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)【分析】根据加减消元的方法求解即可．
(1)解： ，
由①-②得： ，
∴ ，
把 代入②，解得： ，
∴方程组的解为 ；
(2)解：方程组整理得： ，
由①+②，得： ，
∴ ，
把 代入①，得： ，
∴方程组的解为 ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法
与加减消元法．
6．解方程组
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）利用代入消元法解方程组即可．
(1)解：
把①代入②得： ，即 ，解得 ，
把 代入到①中得： ，∴方程组的解为： ；
(2)解： ，
用①×2-②得： ，解得 ，
把 代入到①中得： ，解得
∴方程组的解为： ．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键在于能够熟知解二元一次方程组
的方法．
7．解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1) (2)
【分析】（1）用加法消元法求解；
（2）用减法消元法求解．
(1)∵
①＋②得： ，
，
将x＝3代入①中得： ，
得 ，
∴原方程组的解是 ．
(2)将方程组变形为 ，
② ，得 ③，
③－①，得 ，
把 代入②，得 ．
∴原方程组的解是 ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，根据题目特点，灵活选择解题方法是解题的
关键．
8．解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】用代入消元法或加减消元法解二元一次方程即可．
(1)原方程可转化为 ，
由①，得 ③，
把③代入②，得 ，
把 代入①，得 ，
故原方程组的解为 ．
(2)原方程组可转化为 ，
由①×4+②×5得： ，解得 ，
把 代入②式得： ，故原方程组的解为 ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用
含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次
方程组的解，这种方法叫做代人消元法，简称代入法．当二元一次方程组的两个方程中间
一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未
知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．
9．解方程组：
(1) ；
(2) ．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）②﹣①得出4y＝12，求出y，再把y＝3代入②求出x即可；
（2）整理后①+②得出6x＝12，求出x，再把x＝2代入①求出y即可．
(1) ，
②﹣①，得4y＝12，
解得：y＝3，
把y＝3代入②，得x+3＝15，
解得：x＝12，
所以方程组的解是 ；
(2) ，
原方程组化为： ，
①+②，得6x＝12，
解得：x＝2，
把x＝2代入①，得6+2y＝4，
解得：y＝﹣1，
所以方程组的解是 ．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是消元，常用消元的方法有代入消元法
和加减消元法．
10．下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组： ．
解：① ，得 ③， 第一步，
② ③，得 ， 第二步，
． 第三步，
将 代入①，得 ． 第四步，所以，原方程组的解为 ． 第五步．
填空：
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做______．
、代入消元法
、加减消元法
(2)第______步开始出现错误，具体错误是______；
(3)直接写出该方程组的正确解：______．
【答案】(1)B
(2)二； 应该等于
(3)
【分析】（1）②−③消去了x，得到了关于y的一元一次方程，所以这是加减消元法；
（2）第二步开始出现错误，具体错误是−3y−（−4y）应该等于y；
（3）解方程组即可．
(1)解：② ③消去了 ，得到了关于 的一元一次方程，
故答案为： ；
(2)解：第二步开始出现错误，具体错误是 应该等于 ，
故答案为：二； 应该等于 ；
(3)解：② ③得 ，
将 代入①，得： ，
原方程组的解为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二
元方程转化为一元方程是解题的关键．
考点2：有关二元一次方程（组）解答题
方法点拨：（1）解含参的二元一次方程组，也就是说将二元一次方程组中的字
母参数看作是数字，求解出二元一次方程组的解，这个解中一般会包含着字母
参数；（2）根据解的关系求解字母参数，将第一步中解出来的解代入到解的关
系中，就变成了关于字母参数的方程，求解即可。（3）1、将不含参数的方程
组合新的方程组，求解；2、将解代入含有参数的方程组中，解出字母参数。
1．已知方程组 的解 、 的值之和等于2，求 的值．【答案】k=4
【分析】由原方程组中两个方程相减可得 与 结合成新的方程组，求解
的值，再求解 即可.
【详解】解： 方程组 ，
① ②得： ③，
又由题意得： ④，
由③和④组成新的方程组 ，
解得： ，
．
【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，结合已知条件熟练的构建新的二元一次方程组
是解本题的关键.
2．已知关于x,y的方程组 的解是正数，化简
【答案】5a+1
【分析】先求出方程组的解，然后根据方程组的解是正数可知4a+5是正数，a-4的取值范
围，再根据绝对值的意义化简即可．
【详解】解： ，
①+②，得
2x=8a+10，
∴x=4a+5，
把x=4a+5代入②，得
4a+5+y=3a+9，
∴y=-a+4，
∴ ,
∵方程组的解是正数，
∴ ，即4a+5是正数，a-4是负数
∴ = ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，以及化简绝对值，求出方程组的解集是解答
本题的关键．3．在解方程组 时，甲由于粗心看错了方程组中的a，求出方程组的解为
，乙看错了方程组中的b，求得方程组的解为 ，甲把a看成了什么？乙把b
看成了什么？求出原方程组的正确解．
【答案】甲把a看4，乙把b看成了 ，原方程组的正确解是
【分析】把 代入①可解得看错的a，代入②可解得正确的b，把 代入①可解
得正确的a，代入②可解得看错的b，进一步即可求出结果；
【详解】解：由题意把 代入①得a+6=10，得看错的a=4，把 代入②得
1+6b=7，解得正确的b=1；
把 代入①得-a+12=10，得正确的a=2，把 代入②得-1+12b=7，解得看错的
b= ，
则原方程组为 ，解得 ；
所以甲把a看4，乙把b看成了 ，原方程组的正确解是 ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组的
解法是关键．
4．若关于x,y的方程组 与 的解相同，求a,b的值；
【答案】
【分析】由题意可先解方程组 ，求出x、y后代入含a、b的两个方程，进一步即
可求出结果；
【详解】解：解方程组 ，得 ，
代入 ，得 ，
解得
【点睛】本题考查了同解方程组，正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组的解法是关键．5．已知关于 ， 的方程组 ，若该方程组的解 ， 的值互为相反数，求
的值和方程组的解．
【答案】 ，
【分析】根据x、y互为相反数得出y=－x，代入方程组中的两个方程求解即可．
【详解】解：因为 ， 的值互为相反数，所以 ．
将 代入 中，得 ，
解得 ，所以 ，所以原方程组的解是 ，
将 ，代入 中，得： ．
【点睛】本题考查相反数、解二元一次方程组，理解相反数的意义以及二元一次方程组的
解，正确求出方程组的解是解答的关键．
6．甲、乙两同学同时解方程组 ，甲看错了方程①中的m，得到的方程组的
解为 ，乙看错了方程②中的 ，得到的方程组的解为 ，求原方程组的正确
解．
【答案】
【分析】把 代入方程组第二个方程求出n的值，把 代入第一个方程求出m的
值，确定出原方程组，再求解即可．
【详解】解：
把 代②得：-12+n=-5，即n=7；
把 代入①得：4m-4=12，即m=4，
故方程组为 ，③×3-②×2得：-23y=46，即y=-2，
把y=-2代入③得：x= ．
则方程组的解为 ．
【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，解答此题关键是将每一个解代入没有看错的方
程中，分别求m、n的值，再解方程组即可．
7．对 ， 定义一种新运算 （中 ， 均为非零常数）．例如：
；已知 ， ．
（1）求 ， 的值；
（2）若关于 的不等式组 恰好只有 个整数解，求 的取值范围．
【答案】（1）a=1，b=-3；（2）
【分析】（1）根据题中的新定义列出关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a与
b的值；
（2）根据题中的新定义列出不等式组，根据不等式组恰好只有 个整数解，确定出k的范
围即可．
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴ ，
解得： ；
（2）∵a=1，b=-3，
∴ ，
∴ 可变形为 ，
化简得： ，
解得： ，
∵不等式组恰好只有 个整数解，
∴ ，解得： ．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本
题的关键．
8．解关于x、y的二元一次方程组 时，小虎同学把c看错而得到 ，而正
确的解是 ，试求a+b+c的值．
【答案】19
【分析】把正解代入第二个方程即可求出c．由看错c，但两个解都适合方程组的第一个方
程，由此可得关于a、b的方程组，解方程组即可求出a，b，再将a、b、c代入代数式求值
即可．
【详解】解：∵方程组的正确解为 ，
∴把 代入方程cx﹣7y=8，可得3c+14=8，
解得c=﹣2；
把小虎求得的解和正确解分别代入方程ax+by=2，可得， ，
解得 ，
∴a+b+c=10+11﹣2=19．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的看错解问题，正确理解题意、熟练掌握二元一次方
程组的解法是解题的关键．
9．已知 ， 是实数，且 与 互为相反数，求实数 的倒数．
【答案】2
【分析】根据平方的非负性以及算术平方根的非负性，列出关于 的方程组，进而求得
的值，再求得代数式的值．
【详解】解：∵ 与 互为相反数，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
所以， ，所以，实数 的倒数 ．
【点睛】本题考查了平方的非负性以及算术平方根的非负性，解二元一次方程组，负整指
数幂，求得 的值是解题的关键．
10．对于实数 定义两种新运算“※”和“*”： (其中 为常数，
且 )，若对于平面直角坐标系 中的点 ，有点 的坐标 与之对应，
则称点 的“ 衍生点”为点 ，例如： 的“ 衍生点”为 ，即
．
（1）点 的“ 衍生点”的坐标为
（2）若点 的“ 衍生点” 的坐标为 ，求点 的坐标；
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）直接利用新定义进而分析得出答案；
（2）直接利用新定义结合二元一次方程组的解法得出答案；
【详解】解： 点 的“ 衍生点” 的坐标为 ，即 ；
设
依题意，得方程组
解得
点 ；
【点睛】本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握新定义并列出相关的方程和方程组是
解题的关键．
考点3：列方程组解应用题
方法点拨：首先，二元一次方程应用题最重要的就是设正确的未知量为未知数，
有时候并不是直接设要求的量为未知量，而是设其他的量，间接求出问题所要
求的量。具体怎么设是具体情况而定。
其次，确定未知量直接的关系，因为是二元一次方程，所以一般需要列出两个
等式。如果一下子写不出的话可以尝试多读几遍题目或者换个未知量设为未知
数。
1．为缓解电力供需矛盾，促进能源绿色低碳发展，某市推行峰谷分时电价政策．峰谷分时
电价为：峰时（8:00～22:00）每度电0.55元，谷时（22:00～次日8:00）每度电0.3元．小
颖家10月份用电120度，缴纳电费61元．
(1)求小颖家10月份，峰时、谷时各用电多少度？
(2)为响应节电政策，小颖11月份计划将20%的峰时用电转移至谷时，这样在她用电量保持
不变的情况下能节省电费多少元？
【答案】(1)小颖家10月份峰时用电100度，谷时用电20度
(2)在她用电量保持不变的情况下能节省电费5元．【分析】（1）设小颖家10月份峰时用电x度，谷时用电y度，根据“10月份用电120度，
缴纳电费61元”列出二元一次方程组求解即可；
（2）计算出变化后的电费，用61相减即可．
(1)设小颖家10月份峰时用电x度，谷时用电y度，根据题意得，
解得，
答：小颖家10月份峰时用电100度，谷时用电20度
(2)
=
=5（元）
答：在她用电量保持不变的情况下能节省电费5元．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目
给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
2．已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15和16两部分，求这个等腰三
角形的腰长和底边的长．
【答案】腰长10，底边长11或腰长 ，底边长 ．
【分析】分情况讨论，根据题意分成的两部分为 和 ，①当
时，②当 ，设等腰三角形的腰长为 ，底为 ，根
据题意列方程组，解方程组求解即可．
【详解】设等腰三角形的腰长为 ，底为 ，
①当 时，如图
解得
②当 ，如图解得
综上所述，腰长10，底边长11或腰长 ，底边长 ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
3．某工厂计划生产甲、乙两种产品，已知生产每件甲产品需要4吨A种原料和2吨B种原
料，生产每件乙产品需要3吨A种原料和1吨B种原料．该厂现有A种原料120吨，B种原
料50吨．
(1)甲、乙两种产品各生产多少件，恰好使两种原料全部用完？
(2)在（1）的条件下，计划每件甲产品的售价为3万元，每件乙产品的售价为5万元，可全
部售出．根据市场变化情况，每件甲产品实际售价比计划上涨a%，每件乙产品实际售价比
计划下降10%，结果全部出售的总销售额比原计划增加了3.5万元，求a的值．
【答案】(1)甲生产15件，乙生产20件，恰好使两种原材料全部用完
(2)
【分析】（1）设甲生产x件，乙生产y件，根据题意得， ，进行计算即可
得；
（2）用市场变化后的总销售额减去原计划的总销售额即可得．
(1)解：设甲生产x件，乙生产y件，根据题意得，
由②得， ③
将③代入①得：
，将 代入③得： ，
解得
则甲生产15件，乙生产20件，恰好使两种原材料全部用完．
(2)解：根据题意得，
．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，
找出等量关系．
4．为巩固拓展脱贫攻坚成果，开启乡村振兴发展之门，某村村民组长组织村民加工板栗并
进行销售．根据现有的原材料，预计加工规格相同的普通板栗、精品板栗共4000件．某天
上午的销售件数和所卖金额统计如下表：
普通板栗（件） 精品板栗（件） 总金额（元）
甲购买情况 2 3 350
乙购买情况 4 1 300
(1)求普通板栗和精品板栗的单价分别是多少元．
(2)根据（1）中求出的单价，若普通板栗和精品板栗每件的成本分别为40元、60元，且加
工普通板栗a件（ ），则4000件板栗的销售总利润为w元．问普通板栗和
精品板栗各加工多少件，所获总利润最多？最多总利润是多少？
【答案】(1)普通板栗的单价为55元，精品板栗的单价为80元；
(2)普通板栗加工1000件，精品板栗加工3000件，所获总利润最多，最多总利润是75000
元．
【分析】（1）设普通板栗的单价为x元，精品板栗的单价为y元，根据表格列出二元一次
方程组，求解即可得；
（2）加工普通板栗a 件，则加工精品板栗 件，根据题意可得利
润的函数关系式 ，根据一次函数的性质及自变量的取值范围可得当
时，所获总利润w最多，代入求解即可得．
(1)解：设普通板栗的单价为x元，精品板栗的单价为y元，由题意得：
，
解得 ，答：普通板栗的单价为55元，精品板栗的单价为80元；
(2)解：加工普通板栗a 件，则加工精品板栗 件，
由题意得： ，
∵ ， ，
∴当 时，所获总利润w最多，
，
∴ ，
答：普通板栗加工1000件，精品板栗加工3000件，所获总利润最多，最多总利润是75000
元．
【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用及一次函数的最大利润问题，理解题意，列
出方程及函数解析式是解题关键．
5．对于任意一个四位正整数m，若满足百位数字比千位数字大1，个位数字比十位数字大
1，且各个数位上的数字不为零，我们就把这个数叫作“虎虎生威数”，将“虎虎生威
数”m的千位、个位上的数字交换位置，百位、十位上的数字也交换位置，得到一个新的
数 ，记 ．
(1)最小的虎虎生威数是______； ______；
(2)已知p，q都是虎虎生威数，其中 ， （
， ：且均为整数），若 ，且满足
是11的倍数，求p、q的值．
【答案】(1)1212，4
(2) ，
【分析】（1）根据“虎虎生威数”的定义和 进行计算求解即可；
（2）根据 求出 和 ，再根据 是11的倍数，求出q的值，根
据 求出p的值即可．
(1)解：根据“虎虎生威数”的定义可知千位上的数最小为1，则百位上的数为2，十位上
的数最小为1，则个位上的数为2，最小的虎虎生威数是1212；
；
故答案为：1212，4．
(2)解：∵p，q都是虎虎生威数， ，∴ ， ，
；
同理 ；
∵ 是11的倍数， ，
∴ ，
；
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
．
【点睛】本题考查了新定义和二元一次方程，解题关键是准确理解题意，列出二元一次方
程求解．
6．茜茜数码专卖店销售容量分别为 、 、 、 和 的五种移动 盘，2020年
10月1日的销售情况如下表：
盘容量
1 2 4 8 16
销售数量
5 6 3
（只
(1)由于不小心，表中销售数量中， 和 销售数量被污染，但知道 的销售数量比
的销售数量的2倍少2只，且5种 盘的销售总量是30只．求 和 的销售数量．
(2)若移动 盘的容量每增加 ，其销售单价增加10元，已知2020年10月1日当天销售
这五种 盘的营业额是2730元，求容量为 的移动 盘的销售单价是多少元？
【答案】(1)容量为 的移动 盘的销售数量为6只，容量为 的移动 盘的销售数量为
10只；
(2)容量为 的移动 盘的销售单价是80元．
【分析】（1）设容量为 的移动 盘的销售数量为x只，容量为 的移动 盘的销售数
量为y只，根据题意列出二元一次方程组求解即可得；
（2）设容量为 的移动 盘的销售单价是m元，则容量为 的移动 盘的销售单价是
元，容量为 的移动 盘的销售单价是 元，容量为 的移动 盘的销售单价是 元，容量为 的移动 盘的销售单价是 元，根据题意列出一元
一次方程求解即可得．
(1)设容量为 的移动 盘的销售数量为x只，容量为 的移动 盘的销售数量为y只，
依题意得： ，
解得： ．
答：容量为 的移动 盘的销售数量为6只，容量为 的移动 盘的销售数量为10只．
(2)设容量为 的移动 盘的销售单价是m元，则容量为 的移动 盘的销售单价是
元，容量为 的移动 盘的销售单价是 元，容量为 的移动 盘的销售
单价是 元，容量为 的移动 盘的销售单价是 元，
依题意得： ，
解得： ．
答：容量为 的移动 盘的销售单价是80元．
【点睛】题目主要考查二元一次方程组及一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解
题关键．
7．若m是一个两位数，与它相邻的11的整数倍的数为它的“邻居数”，与它最接近的
“邻居数”为“最佳邻居数”，m的“最佳邻居数”记作n，令 ；
若m为一个三位数，它的“邻居数”则为111的整数倍，依次类推．
例如：50的“邻居数”为44与55， ， ，
∵ ，∴55为50的“最佳邻居数”，∴ ，
再如：492的“邻居数”为444和555， ， ，
∵ ，∴444是492的“最佳邻居数”．
(1)求 和 的值；
(2)若p为一个两位数，十位数字为a，个位数字为b，且 ．求p
的值．
【答案】(1) ，
(2)p的值为81．
【分析】（1）根据“最佳邻居数”的定义计算即可；
（2）先确定 的范围，再分类讨论，确定“最佳邻居数”，根据题意列出方程求解
即可．
(1)解：∵83的邻居数为77和88，∴ ， ．
∵ ，
∴88是83的最佳邻居数，
∴ ．
∵268的邻居数为222和333，
∴ ， ．
∵ ，
∴222是268的最佳邻居数．
∴ ．
(2)解：∵ ，且 ， ，
∴ 必大于34，
∴ 不会在300与333之间， ．
情况1，当 的最佳邻居数为333时， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，且为整数，
∴ ．
情况2，当 的最佳邻居数为444时， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，且为整数此方程无解．
综上所述，p的值为81．
【点睛】本题考查了新定义和二元一次方程，解题关键是准确理解题意，根据题意得出二
元一次方程，求解正整数解．
8．为纪念一二·九运动86周年，我校组织八年级学生远赴新密参观豫西抗日纪念馆，学校
负责人前去联系车辆，目前有甲、乙两种类型的客车供学校租用，据了解：3辆甲型客车
与4辆乙型客车的总载客量为276人，2辆甲型客车与3辆乙型客车的总载客量为199人．
(1)请帮算一算：1辆甲型客车与1辆乙型客车的载客量分别是多少人？
(2)我校八年级学生共850人，拟租用甲、乙两型客车共20辆，一次将全部师生送到指定地
点．若每辆甲型客车的租金为800元，每辆乙型客车的租金为1000元，请给出最节省费用
的租车方案，并求出最低费用．
【答案】(1)1辆甲型客车与1辆乙型客车的载客量分别是32,45人(2)最节省费用的租车方案为甲型车3辆，乙型车17辆，最低费用为19400元
【分析】（1）设1辆甲型客车与1辆乙型客车的载客量分别是 人，由题意知
计算求解即可．
（2）设租用甲型客车 辆，乙型客车 辆，由题意知 ，解得：
，费用 ，可知 时费用最低，进而得出
结果．
(1)解：设1辆甲型客车与1辆乙型客车的载客量分别是 人
由题意知
解得
∴1辆甲型客车与1辆乙型客车的载客量分别是 人．
(2)解：设租用甲型客车 辆，乙型客车 辆
由题意知
解得：
费用
费用最低时，
辆
元
∴最节省费用的租车方案为甲型车3辆，乙型车17辆，最低费用为19400元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用等知识．解题的关键
在于正确的列方程和不等式．
9．如图，长方形ABCD中放置了9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中
阴影部分的面积．【答案】82
【解析】
【详解】解：设小长方形长为x，宽为y。
依题意，得
解此方程组，得
所以S ＝22×（7＋3×3）－10×3×9＝82。
阴影
答：图中阴影部分的面积为82。
10．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一
户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分：（水价计费＝自来水销售费用＋污水处理
费用）
污水处理价格 每户每月用水量
自来水销售价格
（单价：元/吨） （单价：元/吨）
17吨及以下 a 0.80
超过17吨不超过
b 0.80
30吨的部分
超过30吨的部分 6.00 0.80
已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．
(1)求a，b的值．
(2)6月份小王家用水32吨，应交水费多少元．
(3)若林芳家7月份缴水费303元，她家用水多少吨？
【答案】(1)
(2)129.6元
(3)57.5吨
【分析】（1）根据“4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元”，
列出方程组，即可求解；
（2）用(30-17)×4.2加上17×2.2再加上超过30吨的部分的污水处理的费用再加上自来水销
售费用，即可求解；
（3）由(2)知，用水32吨需交水费129.6元，因为303>129.6，所以林芳家7月份用水量超
过30吨，然后设林芳家七月份用水x吨，根据题意列出方程，即可求解．
(1)解：(1)由题意得： ，解得 ；
(2)(30-17)×4.2+17×2.2+（32-30）×6+32×0.8
=129.6(元).
答：当月交水费129.6元；
(3)由(2)知，用水32吨需交水费129.6元，因为303>129.6，所以林芳家7月份用水量超过
30吨，
设林芳家七月份用水x吨，
则(30-17)×4.2+17×2.2+(x-30)×6+x×0.8=303(元)，
6.8x=391，
解得：x=57.5，
即七月份林芳家用水57.5吨．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等
量关系是解题的关键．
11．一艘轮船在相距120千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小
时，从乙地到甲地逆流航行用10小时．（请列方程或方程组解答）
(1)求该轮船在静水中的速度和水流速度；
(2)若在甲、乙两地之间的丙地新建一个码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用
的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少千米？
【答案】(1)静水中的速度是16千米/小时，水流速度是4千米/小时
(2)75千米
【分析】（1）设该轮船在静水中的速度是x千米/小时，水流速度是y千米/小时，根据路
程=速度×时间，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设甲、丙两地相距a千米，则乙、丙两地相距（120-a）千米，根据时间=路程÷速度，
即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【小题1】解：设该轮船在静水中的速度是x千米/小时，水流速度是y千米/小时，
依题意，得： ，
解得： ，
答：该轮船在静水中的速度是16千米/小时，水流速度是4千米/小时．
【小题2】
设甲、丙两地相距a千米，则乙、丙两地相距（120-a）千米，
依题意，得： ，
解得：a=75，答：甲、丙两地相距75千米．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次
方程．
12．如图，已知点A、点B在数轴上表示的数分别是-20、64，动点M从点A出发，以每秒
若干个单位长度的速度向右匀速运动，动点N从点B出发，以每秒若干个单位长度的速度
向左匀速运动．若点M、N同时出发，则出发后12秒相遇；若点N先出发7秒，则点M出
发10秒后与点N相遇．动点M、N运动的速度分别是多少？
【答案】动点M每秒运动5个单位长度，动点N每秒运动2个单位长度
【分析】设动点M、N运动的速度分别是每秒x、y个单位长度，根据“若点M、N同时出
发，则出发后12秒相遇；若点N先出发7秒，则点M出发10秒后与点N相遇．”列出方
程组，解出即可．
【详解】解：设动点M、N运动的速度分别是每秒x、y个单位长度，
∵点A、B表示的数分别是-20、64，
∴线段AB长为 ，
∴由题意有 ，
解得
∴动点M每秒运动5个单位长度，动点N每秒运动2个单位长度．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的
关键．
