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专题08 规律题方法总结与例题专训
【知识点睛】
常见规律题类型
周期性循环
特点：常以3个或4个数据为一周期，以此循环往复；总数比较大，常和年份结合考察
处理方法步骤：1.找出第一周期的几个数，确定周期数
2.算出题目中的总数和待求数
3.用总数÷周期数=m……n（表示这列数中有m个整周期，最后余n个）
4.最后余几，待求数就和每周期的第几个一样；
周期性递变循环
特点：常以2个或3个一周期，后边的每组，周期数不变，但是数据的大小会以相同的关系递增或
递减；
处理方法：同周期性循环基本一致，最后一步需要加入递变的关系
递变增减型
特点：分以此递增和以此递减，通常是数据之间的直接变化，偶尔借助图形；常和年份结合考察
处理方法：熟记单独数据规律，直接应用于考察问题；
算式类比性
特点：常给出几个算式或等式，先算简单的，再从简单的类比到复杂题目的计算
处理办法：1.正确计算出前面简单算式的答案
2.找出数字间的规律
3.将简单数字间的关系推导到字母n的关系中
常见数字间固定规律识记：
项数 第1项 第2项 第3项 第4项 …… 第n项 前n项和
① 1 2 3 4 …… n n(n+1)
2
② 1 3 5 7 2n-1 n²
③ 3 5 7 9 2n+1 n（n+2）
④ 2 4 6 8 2n n（n+1）
⑤ 2 4 8 16 2n 2n+1-2
⑥ 2 6 12 20 n（n+1） /
⑦ 1 3 6 10 n(n+1) /
2
规律题解题思想：
1. 裂项相消法：将一项拆分成多项，前后保持相等，然后利用某些项相消的原则简化运算；
2. 错位相减法：适用于两个式子间有相同项的题目，两式相减直接抵消掉中间项，剩余首项、尾项再
计算；
3. 倒序求和发：如：计算1+2+3+……+50，可以设S=1+2+3+……+50，则亦有S=50+49+48+……+1，
∴2S=51×50，∴S=51×25=…k 1 1
= −
n(n+k) n n+k
裂项法公式：
【类题训练】
1．填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a，b的值分别为（ ）
A．16，257 B．16，91 C．10，101 D．10，161
【分析】第二行第一个数的规律是2n+2，第一行第二个数的规律是2n，第二行第二个数是的规律是
b＝ac+1，由此求解即可．
【解答】解：第二行第一个数的规律是2n+2，
∴a＝10，
第一行第二个数的规律是2n，
∴c＝16，
第二行第二个数是的规律是b＝ac+1，
∴b＝160+1＝161，
故选：D．
2．观察下列一组数： ， ， ， ， ，…，它们是按一定规律排列的，那么这组数的第
2022个数是（ ）
A． B． C． D．
【分析】通过观察发现，分子是 2n+1，分母是 2n，并且负正数交替出现，由此可得规律为
，从而可求第2022个数．
【解答】解：∵ ＝（﹣1）1 ，
＝（﹣1）2 ，
＝（﹣1）3 ，
…，∴第n个数为： ，
∴第2022个数为： ＝ ．
故选：D．
3．一只小球落在数轴上的某点P ，第一次从P 向左跳1个单位到P ，第二次从P 向右跳2个单位到
0 0 1 1
P ，第三次从P 向左跳3个单位到P ，第四次从P 向右跳4个单位到P ……若按以上规律跳了100
2 2 3 3 4
次时，它落在数轴上的点P 所表示的数恰好是2021，则这只小球的初始位置点P 所表示的数是（
100 0
）
A．1971 B．1970 C．﹣1971 D．﹣1970
【分析】根据题意，可以先设这只小球的初始位置点P 所表示的数是a，然后再写出几个点所表示
0
的数，从而可以发现数字的变化特点，然后即可写出点P 所表示的数，从而可以求得点P 所表示
100 0
的数．
【解答】解：设这只小球的初始位置点P 所表示的数是a，
0
则P 表示的数是a﹣1，
1
P 表示的数是a+1，
2
P 表示的数是a﹣2，
3
P 表示的数是a+2，
4
…，
∴P 表示的数是a+50，
100
∵点P 所表示的数恰好是2021，
100
∴a+50＝2021，
解得a＝1971，
故选：A．
4．有一列数a ，a ，a ，…，a ，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若
1 2 3 n
a ＝2，则a 为（ ）
1 2022
A． B．2 C．﹣1 D．2022
【分析】分别求出a ＝2，a ＝ ，a ＝﹣1，a ＝2，可得规律每3个数循环一次，则a ＝a ＝2．
1 2 3 4 2022 3
【解答】解：∵a ＝2，
1∴a ＝1﹣ ＝ ，
2
a ＝1﹣2＝﹣1，
3
a ＝1+1＝2，
4
……
∴每3个数循环一次，
∵2022÷3＝674，
∴a ＝a ＝﹣1，
2022 3
故选：C．
5．如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0
所对应的点与数轴上的数﹣2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的
数﹣2022将与圆周上的哪个数字重合（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】据圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次，则根据规律即可解答．
【解答】解：圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次，
则与圆周上的0重合的数是﹣2，﹣6，﹣10…，即﹣（-2+4n），
同理与3重合的数是：﹣（-1+4n），
与2重合的数是﹣4n，
与1重合的数是﹣（1+4n），其中n是正整数．
而﹣2022＝﹣（-2+4×506），
∴数轴上的数﹣2022将与圆周上的数字0重合．
故选：A．
6．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2022应标在（ ）
A．第506个正方形的右上角B．第506个正方形的左下角
C．第505个正方形的右上角
D．第505个正方形的左下角
【分析】根据图形的变化可知，每四个数一个正方形，2022÷4＝505......2，即可判断2022在第506
个正方形右上角的位置．
【解答】解：根据图形的变化可知，每四个数一个正方形，且四个数在正方形上的相对位置是相同
的，
∵2022÷4＝505......2，
∴2022在第506个正方形右上角位置上，
故选：A．
7．等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）纸板ABC在数轴上的位置如图所示，点A、B
对应的数分别为2和1，若△ABC绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点C所
对应的数为0，则翻转2023次后，点C所对应的数是（ ）
A．﹣2021 B．﹣2022 C．﹣2023 D．﹣2024
【分析】作出草图，不难发现，每3次翻转为一个循环组依次循环，用2013除以3，根据正好能整
除可知点C在数轴上，然后进行计算即可得解．
【解答】解：如图，每3次翻转为一个循环组依次循环，
∵2023÷3＝674…1，
∴翻转2023次后点C在数轴上，
∴点C对应的数是0﹣674×3＝﹣2022．
故选：B．
8．下列图形都是由圆和几个黑色围棋子按一定规律组成，图①中有4个黑色棋子，图②中有7个黑
色棋子，图③中有 10 个黑色棋子，…，依次规律，图 中黑色棋子的个数是（ ）A．6067 B．6066 C．6065 D．6064
【分析】由题意可知：图①中有3+1＝4个黑色棋子，图②中有3×2+1＝7个黑色棋子，图③中有
3×3+1＝10个黑色棋子，…，依此规律，图n中黑色棋子的个数是3n+1，由此进一步求得答案即可．
【解答】解：∵图①中有3+1＝4个黑色棋子，
图②中有3×2+1＝7个黑色棋子，
图③中有3×3+1＝10个黑色棋子，
…
图n中黑色棋子的个数是3n+1，
∴图2022中黑色棋子的个数是3×2022+1＝6067．
故选：A．
9．算筹是古代用来进行计算的工具，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有
纵横两种形武（如图）．当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排
列，但各位数码的筹式需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位、十万位数用
横式表示；“0”用空位来代替，以此类推例如3306用算筹表示就是 ，则2022用算筹
可表示为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据运算的规则直接判断即可得出结论．
【解答】解：∵各位数码的筹式需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示；十位，千位，十
万位数用横式表示；“0”用空位来代替，
∴2022用算筹可表示为 ，
故选：C．10．根据图中数字的排列规律，在第⑦个图中，a﹣b﹣c的值是（ ）
A．﹣190 B．﹣66 C．62 D．64
【分析】每个图形中，左边三角形上的数字为a＝（﹣1）n•2n，右边三角形上的数字为b＝（﹣1）
n•2n+2，下面三角形上的数字为c＝ （﹣1）n•2n，先把n＝7代入求出a、b、c的值，再进一步求
出a﹣b﹣c的值．
【解答】解：通过观察可得规律：
左边三角形上的数字为a＝（﹣1）n•2n，
右边三角形上的数字为b＝（﹣1）n•2n+2，
下面三角形上的数字为c＝ （﹣1）n•2n，
∵n＝7，
∴a＝（﹣1）×27＝﹣128，b＝﹣128+2＝﹣126，c＝ （﹣128）＝﹣64，
∴a﹣b﹣c＝﹣128+126+64＝62．
故选：C．
11．已知整数m ，m ，m ，m ，…满足下列条件：m ＝0，m ＝﹣|1+m |，m ＝﹣|2+m |，m ＝﹣|
1 2 3 4 1 2 1 3 2 4
3+m |，…，以此类推，m ＝ ．
3 2020
【分析】观察下面的计算结果，发现角码是偶数的，所表示的数是角码一半的相反数．
【解答】解：∵m ＝0，
1
∴m ＝﹣|1+m |＝﹣|1+0|＝﹣1，
2 1
∴m ＝﹣|2+m |＝﹣|2+（﹣1）|＝﹣1，
3 2
m ＝﹣|3+m |＝﹣|3+（﹣1）|＝﹣2，
4 3
m ＝﹣|4+m |＝﹣|4+（﹣2）|＝﹣2，
5 4
m ＝﹣|5+m |＝﹣|5+（﹣2）|＝﹣3，
6 5
m ＝﹣|6+m |＝﹣|6+（﹣3）|＝﹣3，
7 6……
∴m ＝﹣2020÷2＝﹣1010．
2020
故答案为：﹣1010．
12．在2020个“□”中依次填入一列数字m ，m ，m …，m ，使得其中任意四个相邻的“□”中所
1 2 3 2020
填的数字之和都等于15．已知m ＝2，m ＝7，则m +m 的值为 ．
3 6 1 2020
2 7 …
【分析】根据题意任意四个相邻的“□”中所填的数字之和都等于 15，m ＝2，m ＝7，则找出m
3 6 1
和m 之间与已知数据的联系即可．
2020
【解答】解：由题知m +m +m +m ＝15，
1 2 3 4
m +m +m +m ＝15，
2 3 4 5
m +m +m +m ＝15，
3 4 5 6
.....．
m +m +m +m ＝15，
2017 2018 2019 2020
∴m
1
＝m
5
＝m
9
＝...＝m
4n﹣3
，
m 2 ＝m 6 ＝m 10 ＝...＝m 4n﹣2 ，
m 3 ＝m 7 ＝m 11 ＝...＝m 4n﹣1 ，
m ＝m ＝m ＝...＝m ，
4 8 12 4n
∴m ＝m ，m ＝m ，
2020 4 1 5
∵m ＝2，m ＝7，m +m +m +m ＝15，
3 6 3 4 5 6
∴m +m ＝6，
4 5
即m +m ＝6，
1 2020
故答案为：6．
13．有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是1，可发现第一次输出的结果是4，第二次
输出的结果是2，……，请你探索第2021次输出的结果是 ．
【分析】根据题意，可以写出前几个输出结果，从而可以发现输出结果的变化特点，从而可以求得
第2021次输出的结果．【解答】解：由题意可得，
第一次输出的结果是4，
第二次输出的结果是2，
第三次输出的结果是1，
第四次输出的结果是4，
第五次输出的结果是2，
…，
由上可得，输出结果依次以4，2，1循环出现，
∵2021÷3＝673……2，
∴第2021次输出的结果是2，
故答案为：2．
14．如图，数字都是按一定规律排列的，其中x的值是 ．
【分析】通过观察可知，25＝a+b，b＝a+1，x＝25a+b，求解即可．
【解答】解：由题可知，25＝a+b，b＝a+1，
∴a＝12，b＝13，
∵x＝25a+b，
∴x＝25×12+13＝313，
故答案为：313．
15．观察图，找出规律．
，则 的值为 ．
【分析】由图形中的数字排列可知：三角形顶点的数字加上左下角的数字再减去右下角的数字就是
运算的结果，由此方法计算得出答案即可．
【解答】解：∵﹣5﹣2﹣3＝﹣10，
﹣6+6﹣（﹣4）＝4，
﹣7﹣10﹣（﹣17）＝0，
∴11﹣12﹣7＝﹣8．故答案为：﹣8．
16．观察以下等式：
第1个等式： ×（2﹣ ）＝1+ ；
第2个等式： ×（2﹣ ）＝1+ ；
第3个等式： ×（2﹣ ）＝1+ ；
第4个等式： ×（2﹣ ）＝1+ ；
第2021个等式： × （ 2 ﹣ ）＝ 1+ ．
【分析】从数字找规律，进行计算即可解答．
【解答】解：第1个等式： ×（2﹣ ）＝1+ ，即： ×（2﹣ ）＝1+ ；
第2个等式： ×（2﹣ ）＝1+ ，即： ×（2﹣ ）＝1+ ；
第3个等式： ×（2﹣ ）＝1+ ，即： ×（2﹣ ）＝1+ ；
第4个等式： ×（2﹣ ）＝1+ ，即： ×（2﹣ ）＝1+ ；
..．
第2021个等式： ×（2﹣ ）＝1+ ，
即： ×（2﹣ ）＝1+ ，
故答案为： ×（2﹣ ）＝1+ ．
17．请你观察： ， ， ；…
+ ＝ + ＝1﹣ ＝ ；
+ + ＝ + + ＝1﹣ ＝ ；…
以上方法称为“裂项相消求和法”．请类比完成：
（1） + + + ＝ ；
（2） + + + +…+ ＝ ；
（3）计算： 的值．
【分析】（1）参照所给的方法进行求解即可；
（2）参照所给的方法进行求解即可；
（3）根据所给的式子，由 ，据此把其余各项进行转化即可求解．
【解答】解：（1） + + +
＝1﹣ +
＝1﹣
＝ ；
故答案为： ；
（2） + + + +…+
＝1﹣ + +…+ ﹣
＝1﹣
＝ ；
故答案为： ；
（3）
＝ + + +
＝ ×（1﹣ ）＝ ×（1﹣ ）
×
＝ ．
18．先阅读下列内容，然后解答问题．
因为 ．
所以 ．
请解答：
（1）应用上面的方法计算： … ．
（2）类比应用上面的方法计算： … ．
【分析】（1）对所求式子的各加数进行拆项，从而可求解；
（2）仿照所给的规律进行求解即可．
【解答】解：（1） …
＝1﹣ + ﹣ + +…+
＝1﹣
＝ ；
（2） …
＝ ×（1﹣ ）+ ×（ ）+ ×（ ）+…+ ×（ ）
＝ ×（1﹣ + +…+ ）
＝ ×（1﹣ ）
＝ ×＝ ．
19．观察以下图案和算式，解答问题：
（1）1+3+5+7+9＝ ；
（2）1+3+5+7+9+…+19＝ ；
（3）请猜想1+3+5+7+……+（2n﹣1）＝ ；
（4）求和号是数学中常用的符号，用 表示，例如 ，其中n＝2是下标，5是上标，3n+1
是代数式， 表示n取2到5的连续整数，然后分别代入代数式求和，即：
＝3×2+1+3×3+1+3×4+1+3×5+1＝46
请求出 的值，要求写出计算过程，可利用第（2）（3）题结论．
【分析】（1）根据连续n个奇数的和等于n2即可得；
（2）利用所得规律计算可得；
（3）利用（1）中所得规律计算可得；
（4）由 ＝21+23+25+……+47+49＝（1+3+5+……+47+49）﹣（1+3+5+……+19），利用
所得规律计算可得．
【解答】解：（1）1+3+5+7+9＝52＝25，
故答案为：25；
（2）1+3+5+7+9+…+19＝102＝100，故答案为：100；
（3）1+3+5+7+……+（2n﹣1）＝n2，
故答案为：n2；
（4） ＝21+23+25+……+47+49
＝（1+3+5+……+47+49）﹣（1+3+5+……+19）
＝252﹣102
＝525．
20．从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如表：
加数m的个数 和S
1 2＝1×2
2 2+4＝6＝2×3
3 2+4+6＝12＝3×4
4 2+4+6+8＝20＝4×5
5 2+4+6+8+10＝30＝5×6
（1）按这个规律，当m＝6时，和为 ；
（2）从2开始，m个连续偶数相加，它们的和S与m之间的关系，用公式表示出来为： ＝
．
（3）应用上述公式计算：
①2+4+6+…+200；
②202+204+206+…+300．
【分析】（1）仔细观察给出的等式可发现从2开始连续两个偶数和1×2，连续3个偶数和是2×3，
连续4个，5个偶数和为3×4，4×5，从而推出当m＝6时，和的值；
（2）根据分析得出当有m个连续的偶数相加是，式子就应该表示成：2+4+6+…+2m＝m（m+1）．
（3）根据已知规律进行计算，得出答案即可．
【解答】解：（1）∵2+2＝2×2，
2+4＝6＝2×3＝2×（2+1），
2+4+6＝12＝3×4＝3×（3+1），
2+4+6+8＝20＝4×5＝4×（4+1），∴m＝6时，和为：6×7＝42；
故答案为：42；
（2）∴和S与m之间的关系，用公式表示出来：2+4+6+…+2m＝m（m+1）；
故答案为：S，m（m+1）；
（3）①2+4+6+…+200
＝100×101，
＝10100；
②∵2+4+6+…+300＝150×151＝22650，
∴202+204+206+…+300．
＝22650﹣10100，
＝12550．
21．观察算式：1×3+1＝4＝22；2×4+1＝9＝32；3×5+1＝16＝42；4×6+1＝25＝52；……
（1）请根据你发现的规律填空：7×9+1＝（ ）2；
（2）用含n的等式表示上面的规律： ；
（3）用找到的规律解决下面的问题：
计算：
【分析】（1）利用有理数的混合运算求解；
（2）利用题中的等式得到n•（n+2）+1＝（n+1）2（n为正整数）；
（3）先通分得到原式＝ × × × ×…× × ，再利
用（2）中的结论得到原式＝ × × × ×…× × ，然后约分即可．
【解答】解：（1）7×9+1＝82；
故答案为8；
（2）n•（n+2）+1＝（n+1）2（n为正整数）；
故答案为：n•（n+2）+1＝（n+1）2（n为正整数）；
（3）原式＝ × × × ×…× ×＝ × × × ×…× ×
＝
＝ ．
22．（1）①观察一列数1，2，3，4，5，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差是一个常数，
这个常数是 ；根据此规律，如果a （n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a ＝ ，
n 18
a
n
＝ ；②如果欲求1+2+3+4+…+n的值，可令S＝1+2+3+4+…+n❶，将①式右边顺序倒置，
得S＝n+…+4+3+2+1❷，由❷式+❶式，得2S＝ ；∴S＝ ；由结论求1+2+3+4+…+55＝
；
（2）①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，
这个常数是 ；根据此规律，如果a （n为正整数）表示这个数列的第 n项，那么a ＝
n 18
，a ＝ ；
n
②为了求1+3+32+33+…+32018的值，可令M＝1+3+32+33+…+32018❶，则3M＝3+32+33+…+32019❷，
由❷式﹣❶式，得3M﹣M＝32019﹣1，∴M＝ ，即1+3+32+33+…+32018＝ ．
仿照以上推理，计算1+5+52+53+…+551．
【分析】（1）①根据数列中每一项与前一项之差是1求解可得；
②将对应位置的数相加，其和为n+1，共n个数，再将两边除以2即可得；
（2）①根据数列中每一项与前一项之比是2求解可得；
②令M＝1+5+52+53+……+551，将等式两边乘以5后相减，再进一步求解可得．
【解答】解：（1）①数列1，2，3，4，5，…中，每一项与前一项之差是一个常数，这个常数是
1，
如果a （n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a ＝18，a ＝n；
n 18 n
②令S＝1+2+3+4+…+n…①
将①式右边顺序倒置，得S＝n+…+4+3+2+1…②
由②加上①式，得2S＝n（n+1），
∴S＝ ，由结论求1+2+3+4+…+55＝ ＝1540，
故答案为：①1，18，n；②n（n+1）， ，1540；
（2）①数列2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常
数是2，
如果a （n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a ＝218，a ＝2n，
n 18 n
故答案为：2，218，2n；
②令M＝1+5+52+53+……+551，
则5M＝5+52+53+……+552，
∴5M﹣M＝552﹣1，
∴4M＝552﹣1，
∴M＝ ，即1+5+52+53+…+551＝ ．
