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专题 09 一元一次方程的应用题 十二大题型
一元一次方程的应用题属于必考题，需要完全掌握各个类型的应用题，该专题将应用题分为分段计费、
方案优化选择、行程问题、工程问题、商品销售问题、比赛积分问题、日历问题（数字问题）、配套问题、
调配问题、和差倍分问题（比例问题）、几何图形问题等共进行方法总结与经典题型进行分类。
1.用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为：问题 方程 解答．由此可得解决此类
题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
注意：
（1）“审”指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，及它们之间的关系，寻找等量
关系；
（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；
（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类
量，单位要统一；
（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．
（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；
（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
2 .建立书写模型常见的数量关系
1）公式形数量关系：生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必
须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。
长方形面积=长×宽 长方形周长=2（长+宽） 正方形面积=边长×边长 正方形周长=4边长
2）约定型数量关系：利息问题，利润问题，质量分数问题，比例尺问题等涉及的数量关系，像数学中的
公式，但常常又不算数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。
3）基本数量关系：在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用
方法就不同了。我么把这类数量关系称为基本数量关系。
单价×数量=总价 速度×时间=路程 工作效率×时间=总工作量等。
3.分析数量关系的常用方法
1）直译法分析数量关系：将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的
等量关系，翻译成含有未知数的等式。
2）列表分析数量关系：当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，
利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。
3）图解法分析数量关系：用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直
观形象的体会题意。在行程问题中，我们常常用此类方法。
题型1 分段计费问题
【解题技巧】总费用=未超标部分的费用+超标部分的费用。
已知费用求x需判定x的所属范围；若无法知道费用对应的具体范围时，需对其进行不同范围的分类讨论。
注：需审题仔细，看清计费标准是否有“超过部分”。
常见试题背景：水费、电费、气费、车费、纳税、社保医保体系等
1．（2022·四川德阳·七年级期末）保险公司的汽车保险，汽车修理费是按分段赔偿，具体赔偿细则如下表．
某人在汽车修理后在保险公司得到的赔偿金额是2000元，那么此人的汽车修理费是（ ）元．
汽车修理费x元 赔偿率
0＜x≤500 60%
500＜x≤1000 70%
1000＜x≤3000 80%
… …
A．2687 B．2687.5 C．2688 D．2688.5
【答案】B
【分析】根据表可以首先确定此人的修理费应该大于1000元，并且小于3000元，则赔偿率是80%，则若
修理费是x元，则在保险公司得到的赔偿金额是(x-1000) ×0.8+300+350元 ，就可以列出方程，求出x的值．
【详解】解：∵500×60%＝300（元），
（1000﹣500）×70%＝500×70%＝350（元），
（3000﹣1000）×80%＝2000×80%＝1600（元），
且300＜2000，300+350＝650＜2000，300+350+1600＝2350＞2000，
∴此人的汽车修理费x的范围是：1000＜x≤3000，
可得，300+350+（x﹣1000）×80%＝2000，
解得x＝2687.5，
∴此人的汽车修理费是2687.5元，故选：B．
【点睛】解决问题的关键是读懂题意，确定修理费的范围，正确表示出赔偿金额是解决本题的关键．
2．（2022·湖北恩施·七年级期末）某城市出租车收费标准如下：3下米以内（含3千米）收费5元，超过3千米的部分每千米加收2元（不足一千米按一千米计算）．
(1)若乘坐出租车行驶 千米（ 为整数），完成下列表格．
行驶里程（千
应付车费（元）
米）
(2)周末小华的爷爷准备乘坐出租车到12千米外小华的姑姑家去，但他只有20元钱，爷爷能够全程乘坐出
租车吗？如果能够，他要付多少元车费？如果不能，他至少还要步行几千米？
【答案】(1)见解析 (2)爷爷至少还要步行2千米
【分析】（1）根据3下米以内（含3千米）收费5元，超过3千米的部分每千米加收2元，分段列式计算；
（2）根据当 时， ，得到爷爷不能够全程乘坐出租车，根据 ，
为整数，得到 ，爷爷至少还要步行2千米．
(1)
行驶里程（千米） 应付车费（元）
5
或
(2)解：当 时， ，
所以，爷爷不能够全程乘坐出租车．
，则 ，因为 为整数，所以 ，
所以爷爷至少还要步行2千米．
【点睛】本题主要考查了分段计费，解决问题的关键是熟练掌握每段路程中车费与路程的关系列式计算，
进行判断．
3．（2022·辽宁铁岭·七年级期末）甲、乙两家超市以相同的价格出售相同的商品，为了吸引顾客，各自推
出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按8折优惠；在乙超市累计购买商
品超出100元之后，超出部分按9折优惠．设顾客预计购买x元（ ）的商品．(1)请用含x的代数式
分别表示顾客在甲、乙两家超市购物应付的费用；
(2)小明准备购买500元的商品，你认为他应该去哪家超市？请说明理由；
(3)小明购买多少元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样？【答案】(1)甲超市 元，乙超市 元 (2)甲超市，理由见解析 (3) 元
【分析】（1）分别按照甲乙超市的优惠方法：甲：200+超过200元的部分×0.8，乙：100+超过100元的部
分×0.9；列代数式即可；
（2）把 代入（1）中的代数式进行计算，再比较即可；
（3）利用两家超市的费用相等构建方程，再解方程即可．
(1)解：顾客在甲超市购物应付的费用为 元；
在乙超市购物应付的费用为 元；
(2)他应该去甲超市．理由如下：
当 时，甲： ，
乙： ．
∵ ，∴他应该去甲超市；
(3)根据题意，得 ，解这个方程，得
答：小明购买 元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样．
【点睛】本题考查的是分段计费的问题，列代数式，求解代数式的值，一元一次方程的应用，理解题意，
正确的列出代数式是解本题的关键．
4．（2022·浙江丽水·三模）电信公司推出移动电话A， 两种套餐计费方法，收费标准如下表，一个月累
计通话时间记为 （分）．
A计费方法 计费方法
月租费（元/月） 58 88
不加收通话费时限（分） 150 350
超时部分加收通话费标准（元/分） 0.25 0.20
(1)若 ，则选用哪种套餐话费少？通过计算说明．(2)当 时，按这两种计费方法，所需的
话费会相等吗？若会，求 的值；若不会，说明理由．(3)用A套餐时，一个月累计通话时间410分所需的话费，若改用 套餐，则可多通话多少分钟？
【答案】(1)选择A套餐 (2)会，当 时，所需的话费相等
(3)改用 套餐，则可多通话115分钟
【分析】（1）直接将 代入两种套餐计算出费用即可比较；
（2）根据话费相等，列出方程 ，解出t的值即可；
（3）根据题意列出方程即可求解．
(1)A套餐收费： ；
套餐收费： ．所以选择A套餐．
(2)当 时， ，
解得 ．∴当 时，所需的话费相等．
(3)根据题意得方程 ，
解得 ， ．
答：改用 套餐，则可多通话115分钟．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键在于找到题目中的等量关系列方程．
5．（2022·聊城市茌平区实验中学七年级期末）为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具体执
行方案如表：
档次 每户每月用电数 度 执行电价 元 度
第一档 小于等于200部分
第二档 大于200且小于等于400部分
第三档 大于400部分
（1）若一户居民七月份用电420度，则需缴电费多少元？
（2）若一户居民某月用电x度 大于200且小于 ，则需缴电费多少元？ 用含x的代数式表示
（3）某户居民五、六月份共用电500度，缴电费262元．已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六
月份的用电量均小于400度，问该户居民五、六月份各用电多少度？
【答案】（1）需缴电费236元；（2）(0.6x-20)元；（3）该户居民五月份用电180度，六月份用电320度．
【分析】（1）根据阶梯电价收费制，用电420度在第三档，则需缴电费 ，
计算即可；（2）根据阶梯电价收费制，用电 度 大于200小于 ，需交电费 ，化
简即可；（3）设五月份用电 度，则六月份用电 度，分两种情况进行讨论：① ；②．
【详解】解：（1） 元 ．答：需缴电费236元；
（2） （元）；
（3）设五月份用电x度，则六月份用电 度．
分两种情况：第一种情况:当 时，
，解得 ， ；
第二种情况:当 时，250≤500-x≤400，
， ， 无解，
所以，该户居民五月份用电180度，六月份用电320度．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合
适的等量关系，列出方程，再求解．
6．（2022·浙江绍兴市·七年级期中）鼓励市民节约用水，自来水公司采用阶梯收费，下表为用水收费标准．
用水量（立方米） 水费到户价格（元/立方米）
不超过14的部分
超过14到30的部分
…… ……
（1）小王家6月用水 ，付水费25元，求 的值．
（2）小王家7月用水 ， ，用 的代数式表示水费，求用水 时的水费．
【答案】（1） ；（2）7月的水费为 元，用水 时的水费为83元
【分析】（1）根据题意可知用水 时的水费单价为 元/立方米，再根据付水费25元即可列出方
程，解方程即可；（2）由（1）可得 ，再根据题意可知用水 时的水费单价为4元/立
方米，由此可得7月的水费，再将 代入即可求得用水 时的水费．【详解】解：（1）根据题意可得： ，解得： ，∴ 的值为2；
（2）根据题意可得：7月的水费为 ，
当 时， ，
答：7月的水费为 元，用水 时的水费为83元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确的理解题意，找到正确的等量关系是解题的关键．
题型2.方案优化问题
解题技巧：此类题型，一般会提供多种方案供选择，要求我们选出最合算的方案。解此类题型有2种思路。
思路1：分别求解出每种方案的最终费用，在比较优劣
思路2：求解出每种方案费用相同时的临界点，在根据临界点进行讨论分析。
1．（2022·山东烟台·七年级期末）22年冬奥会开幕式上，烟台莱州武校的健儿们参演的立春节目让全世界
人民惊艳和动容，小明想知道这震撼人心的队伍的总人数．张老师说你可以自己算算：若调配55座大巴若
干辆接送他们，则有8人没有座位；若调配44座大巴接送，则用车数量将增加两辆，并空出3个座位，你
能帮小明算出一共去了_______名健儿参演节目吗？
【答案】393
【分析】设有55座大巴 辆，则44座大巴 ，据人数相等列出一元一次方程，解方程，进而即可求
解．
【详解】解：设有55座大巴 辆，则44座大巴 ，根据题意得，
，解得 ，
则总人数为 （人），故答案为：393．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
2．（2022·海南·海口中学七年级期末）某学校组织七年级同学参加社会实践活动，计划前往博物馆参观；
若博物馆的门票只能当日有效，且价格规定如表：购票张数 1～49张 50～99张 100张以上
每张门票的价格 15元 12元 9元
现有七年级三个班共129人参观，其中每个班都不足50人；
(1)若学校为七年级集体购票，共需购票款多少元？(2)因七年一班需要在校参加另外一项活动，参观时间另
外安排，这样学校两次购票共花费1674元，求七年一班有多少学生？
(3)当七年一班去博物馆参观时，班长同学采取了新的购票方案，结果比（2）中方案省钱，你知道班长是
如何购票的吗？请计算班长同学节约了多少钱．
【答案】(1)1161元 (2)42人 (3)30元
【分析】（1）根据题意得出七年级集体购票每张单价为9元，然后用人数乘以单价即可；
（2）根据题意得出其余两班的人数大于129-50=79（人），两班的人数少于100人，设七一班有x人，则
其余两班的人数是(129-x)人，列出方程求解即可；
（3）根据表格数据知购买50张票的总价小于42人的购票总价，然后计算差即为节约的钱数．
（1）解：七年级集体购票每张单价为9元，
则共需购票款为129×9=1161（元）；
（2）因为每个班不足50人，则其余两班的人数大于129-50=79（人），两班的人数少于100人，
设七一班有x人，则其余两班的人数是(129-x)人，
则有15x+12 (129-x)=1674，
解得x=42 ×则七一班人数有42人；
（3）42×15=630(元)，50×12=600(元)，
班长按每人12元的票价购买了50张花了600元，
这样班长节约了630-600=30（元）．
【点睛】题目主要考查有理数的混合运算的应用，一元一次方程的应用，理解题意，列出相应式子及方程
是解题关键．
3．（2022·新疆塔城·七年级期末）北京某景区，门票价格规定如下表：
购票张数 1～50张（包含50张） 50～100张（不包含50张） 100张以上
每张票的价
60元 50元 40元
格
某校七年级（1）、（2）两个班共102人去该景区游玩，其中（1）班人数多于（2）班人数，且（1）班人
数不足100人，如果两个班分别以班为单位单独购买门票，一共应付5500元．
(1)去该景区游玩的七年级（1）班和（2）班各有多少学生？(2)如果七年级（1）班有12名学生因需参加学校竞赛不能外出游玩，（2）班学生可以全员参加游玩，作
为组织者，你有几种购票方案？通过比较，你该如何购票才能最省钱？
【答案】(1)七年级（1）班有62人，（2）班有40人
(2)七年级（1）班和（2）班应该联合起来一次购买101张门票最省钱
【分析】（1）设七年级（1）班有学生x人，则七年级（2）班有学生102－x人，因为其中（1）班人数多
于（2）班人数，所以5140时，
选择乙文具店更优惠；当040时，选则乙文具店更优惠；
当07．∴不可能实现．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，本类题型清楚积分的组成部分及胜负积分的规则及各个量之间
的关系，并与一元一次方程相结合即可解该类题型．总积分等于胜场积分与负场的和．
题型7 配套问题
【解题技巧】因工艺上的特点，某几个工序之间存在比例关系，需这几道工序的成对应比例才能完全配套
完成，这类题型为配套问题。配套问题，主要利用配套的比例来列写等式方程。
“配套”型应用题中有三组数据：（1）车间工人的人数；（2）每人每天平均能生产的不同的零件数；
（3）不同零件的配套比。利用（3）得到等量关系，先构造分式方程，再利用比例的性质交叉相乘积相等
得到一元一次方程。
1．（2022·宁夏·七年级期末）新冠状肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品．
某口罩厂有50名工人，每人每天可以生产800个口罩面或1000个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，
为使每天生产的口罩刚好配套，设安排 名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】题目已经设出安排x名工人生产口罩面，则（50−x）人生产耳绳，由一个口罩面需要配两个耳绳
可知耳绳的个数是口罩面个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程．
【详解】解：设安排x名工人生产口罩面，则（50−x）人生产耳绳，由题意得
1000（50−x）＝2×800x．故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合
适的等量关系，列方程．
2．（2022·四川·岳池县七年级阶段练习）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺
母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排________名工人生产螺钉．
【答案】10
【分析】设安排生产螺母的工人有x名，则安排生产螺钉的工人有（22−x）名，由1个螺钉需要配2个螺
母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍，从而得出等量关系，就可以列出方程求出即可．
【详解】解：设安排生产螺母的工人有x名，则安排生产螺钉的工人有（22−x）名，
由题意得：2000x＝2×1200（22−x），解得：x＝12，则22−x＝10，
即安排生产螺钉的工人有10名．故答案为：10．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，列方程解应用题的步骤及掌握解应用题的关键是建立等量
关系．
3．（2022·新疆塔城·七年级期末）制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，1立方米木材可制作20个桌面，
或者制作400条桌腿，现在有30立方米木材，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？
【答案】用25立方米制作桌面，用5立方米制作桌腿
【分析】设用x立方米制作桌面，则 立方米制作桌腿，根据桌腿数量是桌面数量的4倍，列方程为
，求解即可．
【详解】20．解：设用x立方米制作桌面，则 立方米制作桌腿，根据题意，得
，
解得： ，
则 ，
答：用25立方米制作桌面，用5立方米制作桌腿．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，设恰当未知数，找等量关系是解题的关键．
4．（2022·四川广安·七年级期末）某车间有94个工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种
零件12个或乙种零件23个．已知每1个甲种零件和2个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零
件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？每天能生产成多少套？（列一元一次
方程求解）
【答案】46人生产甲种零件，48人生产乙种零件，每天生产552套
【分析】设应分配x人生产甲种零件，（94﹣x）人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚
好配套，根据每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件23个，可列方程求解．
【详解】解：设应分配x人生产甲种零件，（94﹣x）人生产乙种零件，
12x×2＝23（94﹣x）×1，
解得x＝46，
94﹣46＝48（人），
每天生产 （套）．
故应分配46人生产甲种零件，48人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套，每天
能生产成552套．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．关键是设出生产甲和乙的人数，以配套的比例列方程求解．
5．（2022·西安市七年级期末）2020年为了应对武汉新冠肺炎疫情，需要快速建立医院，某车间连夜加班
生产医用设备，现共有60个工人可以生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零
件12个．已知每2个甲种零件和每3个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙
种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好都配套？
【答案】应分配15人生产甲种零件，45人生产乙种零件
【分析】设应分配x人生产甲种零件，则(60x)人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种种零件刚好配
套，根据每人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零件12个，可列方程求解．
【详解】解：设分配x人生产甲种零件，则共生产甲零件24x个和乙零件12(60x)，
2
24x 12(60x)
依题意得方程：
3
，解得
x15
，601545（人)．
答：应分配15人生产甲种零件，45人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用和理解题意的能力，关键是设出生产甲和乙的人数，以配套的比例
列方程求解．
6．（2022·河北）某服装厂要生产同一种型号的服装，已知3m长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上
衣和一条裤子为一套．（1）现库内存有布料180m，应如何分配布料做上衣和做裤子才能恰好配套？可以生产多少套衣服？
（2）如果恰好有这种布料202m，最多可以生产多少套衣服？本着不浪费的原则，如果有剩余，余料可以
做几件上衣或裤子？（本问直接写出结果）
【答案】（1）做上衣用布料108m，则做裤子用布料72m；72套；（2）最多可以生产80套衣服，余料可
以做1件上衣或2条裤子．
xm (180x)m 3m
【分析】（1）设做上衣用布料 ，从而可得做裤子用布料 ，再根据“ 长的布料可做上衣2
x
件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套”建立关于 的一元一次方程，解方程即可得；
（2）先求得生产一套需要布料2.5m，可生产80套衣服，还余布料2 m，再进行分析求解即可得．
(180x)m
xm
【详解】解：（1）设做上衣用布料 ，则做裤子用布料 ，
2x 3(180x) 2108
72
由题意得： ，解得 ，则 ，可以生产 套衣服；
3 3 x108 180x72 3
答：做上衣用布料108m，做裤子用布料72m；可以生产72套衣服；
3 3
1.5 1
（2）由（1）知：做一件上衣需要布料 (m)，做一条裤子需要布料 (m)，
2 3
则生产一套需要布料1.512.5(m)，2022.580(套)，还余布料2 m，
2 m布料可做上衣 (件)，还余布料0.5 m，2 m布料可做裤子 (条)，
答：最多可以生产80套衣服，余料可以做1件上衣或2条裤子．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，依据题意，正确建立方程是解题关键．
题型8 调配问题
【解题技巧】调配问题中，调配前后总量始终保持不变，可利用这个关系列写等式方程，有时又在调配前
后的变化中找等量关系。
调出者的数量=原有的数量－调出的数量 调进者的数量=原有的数量+调入的数量
1．（2022·杭州市公益中学七年级期末）A、B两地果园分别有苹果20吨和30吨，C、D两地分别需要苹
果15吨和35吨；已知从A、B到C、D的运价如表：
A果园 B果园
到C地 每吨15元 每吨10元
到D地 每吨12元 每吨9吨
（1）若从A果园运到C地的苹果为x吨，则从A果园运到D地的苹果为 吨，从B果园将苹果运往C地的苹果为 吨，从B果园将苹果运往D地的苹果为 吨．
（2）若从A果园运到C地的苹果为x吨，用含x的代数式表示从A果园到C、D两地的总运费是
元；用含x的代数式表示从B果园到C、D两地的总运费是 元．
（3）若从A果园运到C地的苹果为x吨，从A果园到C、D两地的总运费和B果园到C、D两地的总运费
之和是545元，若从A果园运到C地的苹果为多少吨？
【答案】（1）（20-x），（15-x），（x+15）；（2）（3x+240），（285-x）；（3）10吨
【分析】（1）由A果园的苹果吨数结合从A果园运到C地的苹果吨数即可得出从A果园运到D地的苹果
重量，再根据C、D两地需要的苹果重量即可得出从B果园运到C、D两地苹果的重量；
（2）根据运费=重量×每吨运费即可得出从A果园到C、D两地的总运费，再根据运费=重量×单吨运费即
可得出从B果园到C、D两地的总运费；
（3）根据（2）的结论结合总运费即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：（1）∵A果园有苹果20吨，从A果园运到C地的苹果为x吨，
∴从A果园运到D地的苹果为（20-x）吨，从B果园将苹果运往C地的苹果为（15-x）吨，
∴从B果园将苹果运往D地的苹果为35-（20-x）=（x+15）吨．
故答案为：（20-x），（15-x），（x+15）；
（2）从A果园到C、D两地的总运费是15x+12（20-x）=（3x+240）元；
从B果园到C、D两地的总运费是10（15-x）+9（x+15）=（285-x）元．
故答案为：（3x+240），（285-x）；
（3）根据题意得：3x+240+285-x=545，解得：x=10．
答：从A果园运到C地的苹果为10吨．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数，解题的关键是：（1）根据数量关系：A果园苹果总
重量=A果园运往C地苹果重量+A果园运往D地苹果重量，B果园苹果总重量=B果园运往C地苹果重量+B
果园运往D地苹果重量列出代数式；（2）根据运费=重量×每吨运费列出代数式；（3）结合（2）结论以
及总运费列出关于x的一元一次方程．
2．（2022·山东师范大学第二附属中学）在我市某新区的建设中，现要把188吨物资从仓库运往甲、乙两
地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为12吨/辆和
8吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：
运往地车型 甲地（元 辆） 乙地（元 辆）
大货车 640 680
小货车 500 560（1）求这两种货车各用多少辆？（2）如果安排10辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大
货车为a辆，运往甲、乙两地的总运费为w元，请用含a的代数式表示w；（3）在（2）的条件下，若运
往甲地的物资为100吨，请求出安排前往甲地的大货车多少辆，并求出总运费．
【答案】（1）大货车11辆，小货车7量；（2）10800；（3）5辆，10900元
【分析】(1) 首先设大货车用x辆，则小货车用(18-x)辆，利用所运物资为188吨得出等式方程求出即可；
(2)根据安排10辆货车前往甲地，前往甲地的大货车为a辆，得出小货车的辆数，进而得出w与a的函数关
系；(3)根据运往甲地的物资为100吨，列出方程即可得出a的取值，进而解答．
【详解】(1) 设大货车用x辆，则小货车用(18-x)辆，
12x+8（18-x）=188解得x=11，∴18-x=7，
答：大货车11辆，小货车7量；
(2)∵安排10辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，
∴w=640a+680（11-a）+500（10-a）+560（a-3）=20a+10800；
(3)12a+8（10-a）=100，解得a=5，∴w= 10900．
答：排前往甲地的大货车5辆，总运费为10900元．
【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用，列代数式，代数式求值计算，正确理解题意，根据问题设出
对应的未知数，依据等量关系列得方程解决问题是解题的关键．
3．（2022·陕西咸阳七年级月考）甲仓库有水泥 吨，乙仓库有水泥 吨，要全部运到 、 两工地，
已知 工地需要 吨， 工地需要 吨，甲仓库运到 、 两工地的运费分别是 元/吨、 元/吨，
乙仓库运到 、 两工地的运费分别是 元/吨、 元/吨，本次运动水泥总运费需要 元．（运费：
元/吨，表示运送每吨水泥所需的人民币）
（1）设甲仓库运到 工地水泥为 吨，请在下面表格中用 表示出其它未知量．
甲仓库 乙仓库
A工地
B工地
（2）用含 的代数式表示运送甲仓库 吨水泥的运费为________元．（写出化简后的结果）
（3）求甲仓库运到 工地水泥的吨数．
【答案】（1） ； （2） （3）30吨
【分析】（1）根据题意填写表格即可；（2）根据表格中的数据，以及已知的运费表示出总运费即可；
（3）根据本次运送水泥总运费需要25900元列方程化简即可．
【详解】（1）设甲仓库运到A工地水泥的吨数为x吨，则运到B地水泥的吨数为（100﹣x）吨，乙仓库运
到A工地水泥的吨数为（70﹣x）吨，则运到B地水泥的吨数为（x+10）吨，补全表格如下：
（2）运送甲仓库100吨水泥的运费为:140x+150（100﹣x）=﹣10x+15000，故答案为：﹣10x+15000；
（3） ，整理得： ．解得 ．
答：甲仓库运到 工地水泥的吨数是 吨．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意找到相等关系是解本题的关键．
4．（2022·山东七年级期中）温州和杭州某厂同时生产某种型号的机器若干台，温州厂可支援外地10台，
杭州厂可支援外地4台，现在决定给武汉8台，给南昌6台，每台机器的运费（单位：元 台）如下表．设
杭州厂运往南昌的机器为 台．
终点
南昌 武汉
起点
温州厂 400 800
杭州厂 300 500
（1）用含 的代数式来表示总运费；（2）若总运费为8400元，求杭州厂运往南昌的机器应为多少台？
（3）试问有无可能使总运费是7800元？若有可能，请写出相应的调动方案；若无可能，请说明理由．
【答案】（1） 元， ；（2）杭州厂运往南昌的机器应为4台；（3）方案为从杭州
向南昌调动1台，向武汉调动3台；从温州向南昌调动5台，向武汉调动5台．
【分析】（1）总运费 四条路线运费之和（每一条运费 台数 运费）；
（2）利用（1）的表达式，令其等于8400，解方程即可；
（3）让（1）的表达式等于7800，解方程求解．如果解有意义就说明有可能，否则就没可能．
【详解】解：（1）设杭州运往南昌的机器为 台，则杭州运往武汉的机器为 台，温州运往南昌的机
器为 台，温州运往武汉的机器为 台，
则总运费 （元 ；
（2）当总运费为8400元时，得 ，解得： .故杭州厂运往南昌的机器应为4台；
（3）可能，依题意有 ，解得 ，符合实际意义，
方案为从杭州向南昌调动1台，向武汉调动3台；从温州向南昌调动5台，向武汉调动5台．
【点睛】此题考查的知识点是一元一次方程的应用，关键明确：总费用 四条路线的运费之和（每一条路
线的运费 台数 运费）．
5．（2022·乐平七年级月考）现从两个蔬菜市场A，B向甲、乙两地运送蔬菜，已知A，B各有蔬菜14t，
甲地需要蔬菜15t，乙方地需要蔬菜13t，从A到甲地运费50元/t，到乙地30/t；从B到甲地运费60元/t，
到乙地45元/t．
（1）设A市场运送到甲地的蔬菜为 t，请完成下表：
运往乙地
运往甲地（t）
（t）
A
B
（2）若总运费为1280元，则A市场运送到甲地的蔬菜为多少吨？
【答案】（1）见解析；（2）1吨．
【分析】（1）根据A地到甲地运送蔬菜x吨，则B地到甲地（15-x）吨，再由A、B两地的蔬菜量，可得
A、B运往乙地的数量．（2）根据题意，列出方程求解即可．
【详解】解：（1）13-（14-x）=x-1，完成填表：
运往乙地
运往甲地（t）
（t）
A 14-x
B 15-x x-1
（2）50x+30（14-x）+60（15-x）+45（x-1）=1280，
整理得：5x+1275=1280，解得：x=1．
∴若总运费为1280元，则A地到甲地运送蔬菜1吨．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是正确求解第一问，注意方程思想的运用．
6．（2022·杭州七年级期中）甲仓库有水泥110吨，乙仓库有水泥70吨，现要将这些水泥全部运往 两
工地，调运任务承包给某运输公司．已知 工地需水泥100吨， 工地需水泥80吨，从甲仓库运往 两
工地的路程和每吨每千米的运费如表：
路程（千米） 运费（元/吨·千米）甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库
地 25 20 1 0.8
地 20 15 1.2 1.2
（1）设甲仓库运往 地水泥 吨，则甲仓库运往 地水泥_______吨，乙仓库运往 地水泥_______吨，乙
仓库运往 地水泥________吨（用含 的代数式表示）；
（2）用含 的代数式表示总运费，并化简；
（3）若某种运输方案的总运费是3820元，请问具体的调运方案是怎样的？
【答案】（1） ， ， ；（2）总运费为 元；（3）从甲仓库运往 地水
泥 吨，甲仓库运往B地水泥为 吨；乙仓库运往 地水泥为 吨；乙仓库运往 地水泥为 吨．
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；（2）由（1）及表格可直接进行列式求解；
（3）由（2）及题意可得 ，然后解方程即可．
【详解】解：（1）设甲仓库运往 地水泥 吨，由题意得：
甲仓库运往B地水泥为： 吨；乙仓库运往 地水泥为 吨；乙仓库运往 地水泥为
吨；故答案为 ， ， ；
（2）由（1）及表格可得：总运费为：
= = ；∴总运费为 元；
（3）由（2）及题意可得： ，解得： ，
∴从甲仓库运往 地水泥 吨，甲仓库运往B地水泥为： 吨；乙仓库运往 地水泥为 吨；乙仓库运
往 地水泥为 吨；
答：具体调运方案为从甲仓库运往 地水泥 吨，甲仓库运往B地水泥为 吨；乙仓库运往 地水泥为
吨；乙仓库运往 地水泥为 吨．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．
题型9 数字与日历问题
解题技巧：已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位
数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．在日历问题中，横行相邻两数相差1，竖邻相邻两数相差7，即可设日历中某数为x（在日历中该数上下左
右都有相应数字），横行相邻数为
x−1
，
x+1
；竖邻两数为
x−7
，
x+7
；
注：求出的数必须是整数且符合画框要求。
1．（2022·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）在一个3×3的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个
数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．如图方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则y
﹣x的值是（ ）
A．1 B．17 C．﹣1 D．﹣17
【答案】A
【分析】根据题意可得关于x、y的等式，继而进行求解即可得答案．
【详解】由题意得：-3+y+2=-3+3+x，即y-1=x，则y﹣x＝1．故选：A．
【点睛】本题考查了三阶幻方，涉及方程，移项等知识，弄清题意，找准数量关系是解题的关键．
2．（2022·河北承德·七年级期末）如图，表中给出的是某月的日历，任意选取“U”型框中的7个数（如阴
影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现此月这7个数的和可能的是（ ）
A．106 B．98 C．84 D．78
【答案】C
【分析】设7个数中最小的数为x，则另外6个数分别为x＋2，x＋7，x＋9，x＋14，x＋15，x＋16，进而
可得出7个数之和为7x+63，然后再验证每一个选项即可．
【详解】解：设7个数中最小的数为x，则另外6个数分别为x＋2，x＋7，x＋9，x＋14，x＋15，x＋16，
由题意得 ，当 时，解得 ，故选项A不合题意；
当 时，解得 ，故选项B不符合题意；
当 时，解得 ，故选项C符合题意；
当 时，解得 ，故选项D不合题意；故选：C
【点睛】本题考查列代数式及一元一次方程的应用，用含最小数的代数式表示出7个数之和是解题的关键．
3．（2022·北京四中模拟预测）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数
学家帕乔利提出，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．例如：如图1，计算
，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位
数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，得3266．如图2，用“格子乘法”计算两个两位
数相乘，则 ______．
【答案】6
【分析】根据“格子乘法”可得10（10+6-k-k）+(k-3-1)=7k，解方程可得．
【详解】解：根据题意可得10（10+6-k-k）+(k-3-1)=7k 解得k=6故答案为：6．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据“格子乘法”分析图示，列出方程是关键．
4．（2022·山东青岛·七年级期中）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大1，若将个位与十位上的
数字对调，得到的新数比原数大9，设个位上的数字为x，十位上的数字为y，根据题意，可列方程为：
______．
【答案】 或【分析】列代数式写出原数和新数，通过新数比原数大9列方程即可．
【详解】解：①∵十位上的数字比个位上的数字大1，∴ ，
②∵对调前个位上的数字为x，十位上的数字为y，∴原数为： ，
∵对调后个位上的数字为y，十位上的数字为x，∴新数为： ，
∵新数比原数大9，∴ ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查列方程，正确写出原数和新数的代数式是解题的关键．
5．（2022·山东临沂·七年级期末）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数
（如1，7，8，9，15）．照此方法，若圈出的5个数的和为115，则这5个数中的最小数为_________．
【答案】16
【析】设第二行中间数为x，则其他四个数分别为x-7，x-1，x+1，x+7，根据最大数与最小数的和为115列
出x的一元一次方程，求出x的值，进而求得最小的数．
【详解】解：设第二行中间数为x，则其他四个数分别为x-7，x-1，x+1，x+7，
根据题意：则x-7+ x-1+x+x+1+x+7=115，解得x=23，
即圈出5个数分别为16，22，23，24，30，
所以最小数是16．故答案是：16．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是设第二行中间数为x，用x表示出其他
四个数，此题难度不大．
6．（2022·湖北荆门·七年级期中）观察下列三行数：(1)每行的第9个数分别为 ， ， ．
(2)如图，用一个长方形方框框住六个数，左右移动方框，若方框中的六个数左上角数记为x，求这六个数
的和（结果用含x式子表示并化简）．
(3)第三行是否存在连续的三个数的和为381，若存在，求这三个数，若不存在，请说明理由？
【答案】(1)（－2）9，(-2)9+2，-(-2)9－1 (2)－x+2 (3)存在，127，－257，511
【分析】（1）找出每行数的规律，然后问题可求解；
（2）由题意易得另五个数分别为－2x，x+2，－2x+2，－x－1，2x－1，然后问题可求解；（3）设这三个
数分别为：－x－1，2x－1，－4x－1，然后可得－x－1+2x－1－4x－1＝381，进而问题可求解．
（1）解：第①行的有理数分别是－2，（－2）2，（－2）3，（－2）4，…，
故第n个数为（－2）n（n是正整数），第9个数为（－2）9，
第②行的数等于第①行相应的数加2，即第n的数为（－2）n+2（n是正整数），第9个数为(-2)9+2，
第③行的数等于第①行相应的数的相反数减去1，即第n个数是－（－2）n－1（n是正整数），第9个数
为-(-2)9－1，
（2）解：∵左上角数记为x，
∴另五个数分别为：－2x，x+2，－2x+2，－x－1，2x－1，
∴x－2x+x+2－2x+2－x－1+2x－1＝－x+2；
（3）解：设这三个数分别为：－x－1，2x－1，－4x－1，
由题意可得：－x－1+2x－1－4x－1＝381，
∴x＝－128，∴这三个数分别为127，－257，511．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用及数字规律问题，解题的关键是得到每行数字的规律．
题型10．和、差、倍、分（比例）问题
（1）和、差、倍问题关键要分清是几倍多几和几倍少几，“是”、“比”相当于“=”；
即：当较大量是/比较小量的几倍多几时：较大量=较小量×倍数+多余量；
当较大量是/比较小量的几倍少几时：较大量=较小量×倍数-所少量。
（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率
等．1．（2022·山东东营·中考真题）植树节当天，七年级1班植树300棵，正好占这批树苗总数的 ，七年级
2班植树棵数是这批树苗总数的 ，则七年级2班植树的棵数是（ ）
A．36 B．60 C．100 D．180
【答案】C
【分析】设这批树苗一共有x棵，据七年级1班植树300棵，正好占这批树苗总数的 ，列出方程求解即
可．
【详解】解：设这批树苗一共有x棵，
由题意得： ，解得 ，
∴七年级2班植树的棵数是 棵，故选C．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键．
2．（2022·福建·泉州市城东中学七年级期中）疫情无情人有情，爱心捐款传真情．某校三个年级为疫情重
灾区捐款，经统计，七年级捐款数占全校三个年级捐款总数的 ，八年级捐款数是全校三个年级捐款数的
平均数，已知九年级捐款1916元，求其他两个年级的捐款数若设七年级捐款数为x元，则可列方程为（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据七年级的捐款为x元，可以求得三个年级的总的捐款数，然后即可得到八年级的捐款数，从
而可以列出相应的方程，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，
七年级捐款数为 元，则三个年级的总的捐款数为： ，
故八年级的捐款为： ，则 ，故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
3．（2022·南昌市心远中学七年级期末）《算法统宗》中记有“李白沽酒”的故事．诗云：今携一壶酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店饮半斗．相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士：如何知原有？（古代一
斗是10升）大意是：李白在郊外春游时，做出这样-条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，
再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒．求李白的酒壶中原
有酒多少升．
35
【答案】壶中原有 升酒．
8
【分析】设壶中原有x升酒，由在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒可得出关于x的一元一次方程，
解之即可得出结论；
35
x
【详解】设壶中原有x升酒，根据题意得2[2(2x5)5]5，解得
8
．
35
答：壶中原有 升酒．
8
【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系列出方程是解题的关键.
4．（2022·云南红河·七年级期末）我国古代数学家著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条
竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一根绳索，
用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．求绳索长多少尺？
【答案】绳索长为20尺
【分析】设绳索长 尺，则竿长为 尺，根据将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，列方程求解
即可．
【详解】解:设绳索长 尺，则竿长为 尺．
根据题意可得， 解得
答：绳索长为20尺．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，解设恰当未知数，找等量关系，列出方程是解题关键．
5．（2022·福建泉州·七年级阶段练习） 为了进一步落实“双减”政策，学校积极开展社团活动，原国际
象棋社团有学生64人，羽毛球社团有学生56人．在家乡著名羽毛球运动员黄东萍获得奥运冠军后学校掀
起一股羽毛球热潮，有部分国际象棋社团学生转入羽毛球社团，现在国际象棋社团人数是羽毛球社团人数
的一半．问有多少名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团？
【答案】有24名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团
【分析】设有x名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团，根据“现在国际象棋社团人数是羽毛球社团人数的一半”列出一元一次方程，解方程求解即可．
【详解】解：设有x名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团，根据题意得：
2(64-x)=56+x， 解得x=24；
答：有24名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确利用数量关系列出一元一次方程是解题的关键．
6．（2022·重庆七年级课时练习）某中学的社团活动深受学生和家长的欢迎，社团种类多达十几种，极大
1
地丰富了学生的业余文化生活．其中初一书法社团中女生占全社团人数的 ，又有10名女生申请加入，那
3
2
么女生就占全社团人数的 ，求现在初一书法社团的人数．
5
【答案】100人
【分析】设原有女生x人, 原来初一书法社团人数为3x人，利用10名女生申请加入后，女生就占全社团人
2
数的 的等量关系列出方程运算即可．
5
【详解】解：设原有女生x人，则原来初一书法社团人数为3x人，
2
根据题意得：x10 (3x10)，解得 ，则 ．
5 x30 3x1033010100
答：现在初一书法社团的人数有100人．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用，仔细审题从中获取相关等量关系列出方程是解题的关键．
题型11 几何问题（等积问题）
解题技巧：图形无论如何切割或边形，其面积或体积始终不变，利用这个不变的特点，列写等式方程。
1．（2022·河北承德·七年级期末）如图，在大长方形 （ 是宽）中放入六个长、宽都相同的小长
方形，尺寸如图所示，求小长方形的宽 ．若设 ，分析思路描述正确的是（ ）
甲：我列的方程 ，找小长方形的长作为相等关系；乙：我列的方程 ，找的是大长方形的长做相等关系．
A．甲对乙不完全对 B．甲不完全对乙对 C．甲乙都正确 D．甲乙都不对
【答案】A
【分析】根据小长方形的长作为相等关系，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设 ，根据小长方形的长作为相等关系，得出 ，
根据大长方形的宽做相等关系可得 ，
∴甲对乙不完全对，故A正确．故选：A．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题
的关键．
2．（2022·宁夏·景博中学七年级期末）若将一个底面半径为6cm，高为40cm的“瘦长”圆柱体钢材锻压
成底面半径为12cm的“矮胖”圆柱体零件毛坯，则毛坯的高是________cm．
【答案】10
【分析】设毛坯的高为 ，根据圆柱形钢材的体积相等得出方程解答即可．
【详解】解：设毛坯的高为 ，根据题意，得
．解得 ．故答案为： ．
【点睛】此题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据圆柱形钢材的体积相等得出方程解答．
3．（2022·黑龙江哈尔滨·七年级期末）如图，一个长方形征好分成A、B、C、D、E、F这6个正方形，其
中最小的正方形A边长为1，则这个长方形的面积是_____________．
【答案】143
【分析】设正方形E的边长为x，则原长方形的长为(3x+1)，宽为(2x+3)，然后根据长方形的对边相等列方
程求解即可．
【详解】解：设正方形E的边长为x，则D正方形的边长是x+1,C正方形的边长是x+2,B正方形的边长是
2x-1,∴原长方形的长为(3x+1)，宽为(2x+3)，
根据题意，得2x-1+x=x+2+x+1，解得：x=4．当x=4时，3x+1=13，2x+3=11，
∴长方形的面积=13×11=143．故答案为：143．
【点睛】此题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确分析题意，找到各正方形的边长之间的
关系．
4．（2022·成都市·七年级课时练习）用一根80cm的绳子围成一个长方形，且这个长方形的长比宽多
10cm，则围成长方形的面积为______ ．
【答案】375
【分析】设长方形的长为xcm，则宽为（x-10）cm，然后运用长方形的周长求得x，进而求得长方形的长和
宽，最后根据长方形的面积公式计算即可．
【详解】解：设长方形的长为x，则宽为x-10
由题意得：2（x+x-10）=80，解得x=25
则长方形的宽为25-10=15
所以围成长方形的面积为15×25=375 ．
故答案为：375．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意列出方程、求得长方形的长和宽是解答本题的关键．
5．（2022·河南驻马店·七年级期末）一个长方体水箱从里面量得长、宽、高分别是50cm、40cm和30cm，
此时水箱中水面高12cm，放入一个棱长为20cm的正方体实心铁块后，水箱中的水面仍然低于铁块的顶面，
则此时铁块在水箱中露出水面部分的体积为 _____cm3．
【答案】2000
【分析】设铁块沉入水底后水面高hcm，根据铁块放入水中前后的体积不变列出方程求解．
【详解】设铁块沉入水底后水面高为hcm，由题意得：
50×40×12+20×20×h＝50×40×h，
解得h＝15．
则水箱中露在水面外的铁块的高度为：20﹣15＝5（cm）．
∴水箱中露在水面外的铁块的体积为：20×20×5＝2000（cm3）．
故答案为：2000．
【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用，掌握长方体的体积计算公式是解决问题的关键．
6．（2022·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）如图，小明将一个正方形纸片剪去一个宽为5厘米的
长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽6厘米的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每
一个长条的面积为多少？【答案】每一个长条的面积为 ．
【分析】设原来正方形纸的边长是 ，则第一次剪下的长条的长是 ，宽是 ，第二次剪下的长
条的长是 ，宽是 ；再根据第一次剪下的长条的面积 第二次剪下的长条的面积，列出方程，
求出 的值是多少，即可求出每一个长条面积为多少．
【详解】解：设原来正方形纸的边长是 ，则第一次剪下的长条的长是 ，宽是 ，第二次剪下的
长条的长是 ，宽是 ，
由题意得： ，解得： ，则 ．
答：每一个长条的面积为 ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，解题的关键是正确列出一元一次方程．
题型12 一元一次方程之动点问题
1．（2022·山东济南·七年级期末）如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的项
点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲
的速度的3倍，则它们第2022次相遇在边________上．
【答案】DC
【分析】此题利用行程问题中的相遇问题，根据乙的速度是甲的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找
出规律即可解答．
【详解】正方形的边长为4，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为1：3，由题意知：
①第一次相遇甲乙行的路程和为8，甲行的路程为 ，乙行的路程为 ，此时相遇在AD边
的中点处；
②第二次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为 ，乙行的路程为 ，此时相遇在
DC边的中点处；
③第三次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为 ，乙行的路程为 ，此时相遇在
CB边的中点处；
④第四次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为 ，乙行的路程为 ，此时相遇在BA
边的中点处；
⑤第五次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为 ，乙行的路程为 ，此时相遇在
AD边的中点处；
∴ ，
∴第2022次相遇在边DC上，故答案为：DC．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，是行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，难度较大，
注意先通过计算发现规律然后再解决问题．
2．（2022·河南南阳·七年级期中）如图，数轴上A、B两点对应的有理数分别是 和 ． 动点P
从点A出发，以每秒1个单位的速度沿数轴在A、B之间往返运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个
单位的速度沿数轴在B、A之间往返运动，设运动时间为 秒，当 时，若原点O恰好是线段PQ的
中点，则 的值是_______．
【答案】1或7
【分析】分两种情况讨论：当0
