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第 01 讲 勾股定理
【题型1：用勾股定理解三角形】
【题型2：已知两点坐标求两点距离】
【题型3：以直角三角形三边为边长的图形面积】
【题型4：勾股定理的证明】
【题型5：勾股定理与无理数】
【题型6：勾股数】
考点1：勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形 ABC的两直角边长分别
a，b c a2 b2 c2
为 ，斜边长为 ，那么 .
注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方
程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：
a2 c2 b2 b2 c2 a2 c2 ab2 2ab
， ， .
运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2.用于解决带有平方关系的证明问题；
3.利用勾股定理，作出长为 的线段
【题型1：用勾股定理解三角形】
【典例1】（24-25八年级上·贵州·期末）如图四边形ABCD中，AD⊥AB，BD⊥CD，
AD=3，AB=4，BC=13，求四边形ABCD的面积．【变式1-1】（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，当无人机从地面的A处竖直上升30
米时，与地面上B处的距离为50米，若A，B在一条直线上，则A，B之间的距离为
（ ）
A．80米 B．60米 C．45米 D．40米
【变式1-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD是
BC边的高，E是BC的中点，若∠C=30°，AE=2，则AD的长度为（ ）
A．❑√3 B．2❑√3 C．1 D．❑√2
【变式1-3】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，
CD⊥AB于点D，AC=8，BC=6，求CD的长．【题型2：已知两点坐标求两点距离】
【典例2】（24-25八年级上·山东枣庄·期中）阅读下列一段文字，回答问题．
【材料阅读】平面内两点 ， ，则由勾股定理可得，这两点间的距
M(x ,y ) N(x ,y )
1 1 2 2
离 ．
MN=❑√(x −x ) 2+(y −y ) 2
1 2 1 2
例如．如图1， ， ，则 ．
M(3,1) N(1,−2) MN=❑√(3−1) 2+(1+2) 2=❑√13
【直接应用】
(1)已知P(2,−3)，Q(−1,3)，求P、Q两点间的距离；
(2)如图2，在平面直角坐标系中的两点A(−1,3)，B(4,1)，P为x轴上任一点，求
PA+PB的最小值．
【变式2-1】（24-25八年级上·宁夏中卫·期末）若以点A，B为圆心、1个单位长度为半径
的两个圆的位置如图所示，则A，B两点的距离为 个单位长度．
【变式2-2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）点A(0,−3)，B(2,0)是平面直角坐标系中的两点，则线段AB= ．
【变式2-3】（2024八年级上·上海·专题练习）直角坐标平面内的点A(−7,4)，
B(−1,−3)，则AB= ．
【题型3：以直角三角形三边为边长的图形面积】
【典例3】（22-23八年级上·江苏扬州·期中）问题再现：数形结合是解决数学问题的一种
重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快
速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直
观推导和解释．
(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c，以
Rt△ABC的三边长向外作正方形，其面积分别为S ，S ，S ，直接写出
1 2 3
S ，S ，S 之间存在的等量关系：______
1 2 3
(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c，以
Rt△ABC的三边长为直径向外作半圆，其面积分别为S ，S ，S ，那么第（1）问
1 2 3
的结论是否成立？请说明理由．
【变式3-1】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四
边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、E的面积分
别为1，2，5，10，则正方形D的面积是 ．【变式3-2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）图中的四边形均为正方形，三角形为
直角三角形，最大的正方形的边长为7cm，则图中A、B两个正方形的面积之和为（
）
A．7cm2 B．14cm2 C．28cm2 D．49cm2
【变式3-3】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，
以 的三边为边长向外作等边三角形，已知 10， 6，则 ．
△ABC S = S = S =
△ABE △ACD △BCF
考点2：勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中 ，所以 .方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中 ，所以 .
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以 .
【题型4：勾股定理的证明】
【典例4】（24-25八年级上·宁夏中卫·期末）请阅读下面文字并完成相关任务．
勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”在我国最早对勾
股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个
全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求
法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，从而
1
得到等式c2= ab×4+(b−a) 2，化简得a²+b²=c²，这里用两种求法来表示同一个
2
量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．请你用“双求法”解决下面
问题：(1)如图2，△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4,AC=5,BC=6，设BD=x，求x
的值．
(2)2002年在北京召开的国际数学家大会会标和2021年在上海召开的国际数学教育大
会会标都包含赵爽弦图，如图3，如果大正方形的面积为18，直角三角形中较短直角
边长为a，较长直角边长为b，且a2+b2=ab+10，则小正方形的面积为多少？
(3)勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是________；
A．函数思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想
(4)请借助图4，利用“双求法”验证勾股定理．
【变式4-1】（24-25七年级上·山东烟台·期中）材料学习：在勾股定理的学习中，我们已
经学会了运用图1、图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验
证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，
图形与几何等领域中的许多数学公式和规律．
灵活运用：如图，等腰直角三角板如图放置，直角顶点C在直线m上，分别过点A、
B作AE⊥直线m于点E，BM⊥直线m于点 M，
(1)材料中的方法体现的数学思想是（ ）A．函数思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．整体思想
(2)试说明 AE=CM；
(3)若设△AEC三边分别为a、b、c．参照以前的学习经验，利用此图证明勾股定理．
【变式4-2】（24-25八年级上·河南平顶山·期中）同学们学习了勾股定理，课后查阅资料
发现有很多方法证明勾股定理．中国古代最早对勾股定理进行证明的，是东汉末至三
国时期吴国数学家赵爽，他用数形结合形式创制了“赵爽弦图”：如图1，由四个全
等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的
两直角边长为a，b(b>a>0)，斜边长为c．
(1)在图1中，若c=15，b=12，则小正方形的边长为_____；
(2)探索：某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图2，点B是正方形ACDE边CD
上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接
至△AEF位置，如图3所示，该同学用图2、图3的面积不变证明了勾股定理．请你
写出该方法证明勾股定理的过程；（提示：连接BF）
(3)拓展：若图1中较短的直角边长为5，将这四个直角三角形中较长的直角边分别向
外延长一倍，得到图4所示的“数学风车”，若以AB为边的正方形面积为61，则这
个风车的外围周长是_____．
【变式4-3】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，
体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．
Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=b，BC=a，请你利用这个图形解决下列问题：
(1)试说明：a2+b2=c2；
(2)如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是4，求 的值．
(a+b) 2
【题型5：勾股定理与无理数】
【典例5】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）观察下面图形，每个小正方形的边长为1．
(1)图中阴影正方形的面积是______，边长是______；
(2)请用无刻度的直尺和圆规在右图的数轴上作出点M，使得点M表示的数为❑√13（保
留作图痕迹，不写作法）．
【变式5-1】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，数轴上的点O表示的数是0，点A表
示的数是2，OB⊥OA，垂足为O，且OB=1，以A为圆心，AB长为半径画弧，交数
轴于点C，则点C表示的数为（ ）
A．2−❑√3 B．−2+❑√5 C．2−❑√5 D．−2+❑√3
【变式5-2】（22-23八年级上·宁夏银川·期末）如图，在Rt△ABC中，AB=BC=1,∠ABC=90°，点A，B在数轴上对应的数分别为1，2．以点A为圆心，
AC长为半径画弧，交数轴的负半轴于点D，则与点D对应的数是 ．
【变式5-3】（24-25八年级上·广东清远·期中）如图所示，已知OA=OB，BC=2，
OC=3．
(1)数轴上点A所表示的数为______；
(2)求出点A表示的数的倒数为______；
(3)在数轴上找出❑√10对应的点．（保留作图痕迹）
考点3：勾股数
像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数
。
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数
【题型6：勾股数】
【典例6】（24-25八年级上·江西九江·期末）下列几组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．13，15，20 D．6，8，11
【变式6-1】（24-25八年级上·陕西西安·期末）下面各组数中，是勾股数的是（ ）
A．2，3，4 B．❑√5，❑√3，8 C．1，1，2 D．3，4，5
【变式6-2】（24-25八年级上·河南郑州·期中）下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．0.3，0.4，0.5 D．6，8，10
【变式6-3】（24-25八年级上·河北保定·期中）右面是数学交流群中的一个截图片段，则
回答正确的是（ ）
A．嘉嘉 B．琪琪 C．亮亮 D．明明
1．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，两个大正方形的面积分别为132和108，则小
正方形M的面积为（ ）
A．240 B．❑√240 C．❑√24 D．24
2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A．6，8，10 B．5，12，13 C．8，15，17 D．5，7，9
3．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，中国
古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边
称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理．小立发现勾是9，股是40，弦长为（ ）A．7 B．31 C．41 D．49
4．（24-25八年级上·山西·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，
周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么
弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于下列哪部著名数学著作中（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期中）某商场一楼与二楼之间的手扶电梯如图所示，其中
AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，CE是竖直线，高度为4m，BC的长是
8m，则BE的长是（ ）
8
A．4❑√3m B．8m C． ❑√3m D．4m
3
6．（22-23八年级上·四川内江·期末）在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一
组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中：
a 6 8 10 12 14 …
b 8 15 24 35 48 …
c 10 17 26 37 50 …
则当a=18时，b+c的值为（ ）
A．242 B．200 C．128 D．162
7．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN，垂足分
别为S、N、Q，若MS=PS=5，MN=3，则NQ= ．8．（23-24七年级上·山东淄博·期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于点
D,AC=6,BC=8，则CD的长为 ．
9．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）如图，过A作A A ⊥OA且OA=A A =1，根据
1 1
勾股定理，得 ，过 作 且 得 ；以此类推，
OA =❑√2 A A A ⊥OA A A =1 OA =❑√3
1 1 1 2 1 1 2 2
得OA = ．
2024
10．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）已知△ABC中，AB=AC,CD⊥AB于点D．
(1)若∠A=36°，求∠DCB的度数．
(2)若AB=10,CD=6，求BC的长．
11．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，连接AD，△ABC的三边长分别为a，b，c (a>b)，四边形ACFD的面积可以表示为
1 1 1
(a+b)(a+b)或2× ab+ c2，从而可推导出a2+b2=c2．
2 2 2
(1)将△≝¿从图1的位置开始沿BC向左移动，直到点F与点B重合时停止（如图2），
此时AB与DE相交于点O，连接AD，AE，请利用图2证明勾股定理；
(2)在图2的基础上，若四边形AEBD的面积为200，AC=12，求BC的长．
