文档内容
2022-2023学年七年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】
专题1.2整式的加减十大考点精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训练）
【目标导航】【知识梳理】
1.单项式
（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的
含义．
（2）单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或-a这样的式子的系数是1或-1，不能误
以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
2.多项式（1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式
中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
（2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，
如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．
3.同类项
（1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等．
（2）注意事项：
①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；
②同类项与系数的大小无关；
③同类项与它们所含的字母顺序无关；
④所有常数项都是同类项．
4.合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；
字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化
简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数
不变．
5.去括号
去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的
因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
【典例剖析】
【考点1】用字母表示数
【例1】（2019•齐齐哈尔校级模拟）我们知道，用字母表示的代数式是具有一般意义的，请仔细分析下列
赋予3a实际意义的例子中不正确的是（ ）
A．若葡萄的价格是3元/千克，则3a表示买a千克葡萄的金额B．若a表示一个等边三角形的边长，则3a表示这个等边三角形的周长
C．将一个小木块放在水平桌面上，若3表示小木块与桌面的接触面积，a表示桌面受到的压强，则3a
表示小木块对桌面的压力
D．若3和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则3a表示这个两位数
【分析】分别判断每个选项即可得．
【解析】A、若葡萄的价格是3元/千克，则3a表示买a千克葡萄的金额，正确；
B、若a表示一个等边三角形的边长，则3a表示这个等边三角形的周长，正确；
C、将一个小木块放在水平桌面上，若3表示小木块与桌面的接触面积，a表示桌面受到的压强，则3a
表示小木块对桌面的压力，正确；
D、若3和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则30+a表示这个两位数，此选项错误；
故选：D．
【变式1.1】（2021秋•莱阳市期末）代数式x﹣y2的意义为（ ）
A．x与y的差的平方 B．x与y的平方的差
C．x的平方与y的平方的差 D．x与y的相反数的平方差
【分析】y2可叙述为y的平方，所以字母表达式x﹣y2的意义为x与y的平方的差．
【解答】解：字母表达式x﹣y2的意义为x与y的平方的差．
故选：B．
【变式1.2】（2022秋•定远县校级月考）下列语句正确的是（ ）
A．1+a不是一个代数式
B．0是代数式
C．S＝ r2是一个代数式
D．单独π一个字母a不是代数式
【分析】代数式是用运算符号把数和字母连接而成的式子，根据定义即可判断．
【解答】解：A、1+a是一个代数式，故本选项不符合题意；
B、0是代数式，故本选项符合题意；
C、S＝ r2是等式，不是一个代数式，故本选项不符合题意；
D、单独π一个字母a是代数式，故本选项不符合题意．
故选：B．
【变式1.3】（2021秋•聊城月考）下列说法中，正确的是（ ）
1 1
A．表示x，y，3， 的积的代数式为3 xy
2 2B．a是代数式，1不是代数式
a−3
C． 的意义是a与3的差除b的商
b
D．m，n两数的差的平方与m，n两数积的2倍的和表示为（m﹣n）2+2mn
【分析】利用代数式的定义解答即可．
1 3
【解答】解：A、表示x，y，3， 的积的代数式为 xy，原说法错误，故此选项不符合题意；
2 2
B、a是代数式，1也是代数式，原说法错误，故此选项不符合题意；
a−3
C、 的意义是：a与3的差除以b的商，原说法错误，故此选项不符合题意；
b
D、m，n两数的差的平方与m，n两数积的2倍的和表示为（m﹣n）2+2mn，原说法正确，故此选项符
合题意．
故选：D．
【考点2】列代数式
【例2】（2020秋•漳浦县期中）我县出租车的计价标准为：行驶路程不超过 3千米收费7元，超过3千米
的部分按每千米2元收费．
（1）若某人乘坐了x（x＞3）千米，则他应支付车费 （ 2 x + 1 ） 元（用含有x的代数式表示）；
（2）一出租车公司坐落于东西向的大道边，驾驶员王师傅从公司出发，在此大道上连续接送了 4批客
人，行驶记录如下：（规定向东为正，向西为负，单位：千米）．
第1批 第2批 第3批 第4批
+2.1 ﹣6 +2.9 ﹣5
送完第4批客人后，王师傅在公司的 西 边（填“东”或“西”），距离公司 6 千米的位置；
①若王师傅的车平均每千米耗油0.1升，则送完第4批客人后，王师傅用了多少升油？
②在整个过程中，王师傅共收到车费多少元？
③【分析】（1）根据题意，可以用含x的代数式表示出某人应支付的车费；
（2） 将表格中的数据相加，即可解答本题；
根据①题意，可以计算出在整个过程中，王师傅共收到的车费；
②根据表格中的数据和题意，可以计算出送完第4批客人后，王师傅用了多少升油．
③【解析】（1）由题意可得，
他应支付车费：7+（x﹣3）×2＝（2x+1）元．
故答案为：（2x+1）；
（2） （+2.1）+（﹣6）+（+2.9）+（﹣5）＝﹣6，
①即送完第4批客人后，王师傅在公司的西边，距离公司6千米．
故答案为：西，6；
（|+2.1|+|﹣6|+|+2.9|+|﹣5|）×0.1
②＝（2.1+6+2.9+5）×0.1
＝16×0.1
＝1.6（升）．
答：送完第4批客人后，王师傅用了1.6升油；
在整个过程中，王师傅共收到车费：7+[7+（6﹣3）×2]+7+[7+（5﹣3）×2]＝38（元）．
③故王师傅共收到车费38元．
【变式2.1】（2022秋•青岛期中）一双运动鞋原价为a元，网上购物节活动可享受八折优惠，但需另外支
付10元快递费．小明妈妈活动期间购买一双运动鞋的费用可表示为（ ）
A．（8a+10）元 B．（80%a+10）元
C．（1﹣80%）a元 D．[（1﹣80%）a+10]元
【分析】购买运动鞋的费用为运动鞋的费用+快递费，据此可求解．
【解答】解：由题意得：（80%a+10）元．
故选：B．
【变式2.2】（2022•高青县一模）一种商品，先降价10%后又提价10%，现在商品的价格（ ）
A．比原价格高 B．比原价格低
C．与原价格相等 D．无法比较
【分析】设商品原价为a元，然后根据题意列式计算求得商品现价，从而进行比较．
【解答】解：设商品原价为a元，则商品现价为：
（1﹣10%）×（1+10%）a＝0.9×1.1a＝0.99a（元），
∵a＞0，
∴0.99a＜a，
∴商品现价比原价格低，
故选：B．
【变式2.3】（2021秋•潍坊期末）某学校组织初一n名学生秋游，有4名教师带队，租用55座的大客车若
干辆，共有3个空座位，那么用n的代数式表示租用大客车的辆数为（ ）
n+1 n+7 n+4 n+4
A． B． C． +3 D． −3
55 55 55 55
【分析】由大客车上一共可坐的人数除以每辆大客车可坐的人数即为租用大客车的辆数．【解答】解：∵共有3个空座位，
∴一共可以坐n+4+3＝（n+7）人，
n+7
∴租用大客车的辆数为 ．
55
故选：B．
【考点3】单项式的有关概念
【例3】（2019秋•颍泉区校级期末）观察下列单项式：﹣x，3x2，﹣5x3，7x4，…﹣37x19，39x20，…写出
第n个单项式，为了解这个问题，特提供下面的解题思路．
（1）这组单项式的系数依次为多少，绝对值规律是什么？
（2）这组单项式的次数的规律是什么？
（3）根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么？
（4）请你根据猜想，写出第2016个，第2017个单项式．
【分析】（1）根据已知数据得出单项式的系数的符号规律和系数的绝对值规律；
（2）根据已知数据次数得出变化规律；
（3）根据（1）（2）中数据规律得出即可；
（4）利用（3）中所求即可得出答案．
【解析】（1）这组单项式的系数依次为：﹣1，3，﹣5，7，…系数为奇数且奇次项为负数，故单项式
的系数的符号是：（﹣1）n，
绝对值规律是：2n﹣1；
（2）这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数．
（3）第n个单项式是：（﹣1）n（2n﹣1）xn．
（4）第2016个单项式是4031x2016，第2017个单项式是﹣4033x2017．
【变式3.1】（2022秋•市南区校级期中）已知a，b满足|a﹣2|+（b+3）2＝0，则单项式﹣5 xa﹣by的系数和
次数分别是（ ） π
A．﹣5 ，5 B．﹣5 ，6 C．﹣5，7 D．﹣5，6
【分析】π利用非负数的性质可π得a＝2，b＝﹣3，然后再利用单项式系数和次数定义可得答案．
【解答】解：∵|a﹣2|+（b+3）2＝0，
∴a﹣2＝0，b+3＝0，
解得：a＝2，b＝﹣3，∴单项式﹣5 xa﹣by的系数是﹣5 ，
次数是a﹣b+π1＝2+3+1＝6， π
故选：B．
【变式3.2】（2021秋•临沂期末）下列说法正确的是（ ）
A．23a4的系数是2，次数是7
3
B．若− xmy2 的次数是5，则m＝5
4
C．0不是单项式
D．若x2+mx是单项式，则m＝0或x＝0
【分析】直接利用单项式的次数与系数定义以及单项式的定义，分别分析得出答案．
【解答】解：A．23a4的系数是23，次数是4，故此选项不合题意；
3
B．若− xmy2 的次数是5，则m＝3，故此选项不合题意；
4
C．0是单项式，故此选项不合题意；
D．若x2+mx是单项式，则m＝0或x＝0，故此选项符合题意．
故选：D．
3xmy3
【变式3.3】（2020秋•济南期末）已知单项式 的次数是7，则2m﹣17的值是（ ）
7
A．8 B．﹣8 C．9 D．﹣9
【分析】根据单项式次数的定义来求解．所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
【解答】解：单项式的次数是指单项式中所有字母因数的指数和，
则m+3＝7，
解得m＝4，
所以2m﹣17＝2×4﹣17＝﹣9．
故选：D．
【考点4】多项式的有关概念
1
【例4】（2020秋•庆阳期中）已知多项式A＝ax4+4x2− ，B＝3xb﹣5x，若A，B两个多项式的次数相同，
3
且最高次数项的系数互为相反数．
（1）求a，b的值；
1
（2）求 b2﹣3b+4b﹣5的值．
2【分析】（1）根据多项式的定义以及合并同类项法则即可求出a与b的值；
（2）把b的值代入所求式子计算即可．
1
【解析】（1）∵多项式A＝ax4+4x2− ，B＝3xb﹣5x，若A，B两个多项式的次数相同，且最高次数项
3
的系数互为相反数，
{a=−3
∴ ；
b=4
1
（2） b2﹣3b+4b﹣5
2
1
= b2+b−5，
2
把b＝4代入得：
1
×42+4−5
2
1
= ×16+4−5
2
＝8+4﹣5
＝7．
【变式4.1】（2021秋•新泰市期末）有下列结论：其中正确结论的个数是（ ）
①a2+2a+32是二次三项式；
1 1
②单项式− x2y的系数为− ，次数为4；
3 3
π
xy 1
③ 的系数是 ；
4 4
④x2﹣2xy﹣y2可读作x2、﹣2xy、﹣y2的和．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据单项式、多项式的定义，结合各项进行判断即可．
【解答】解：①a2+2a+32是二次三项式，正确；
1 1
②单项式− x2y的系数为− ，次数为3，故本项错误；
3 3
π π
xy 1
③ 的系数是 ，故本项正确；
4 4
④x2﹣2xy﹣y2可读作x2、﹣2xy、﹣y2的和，正确；综上可得正确的有3个．
故选：C．
【变式4.2】（2021秋•临沂月考）下列关于多项式1﹣2x+3x2的说法中，错误的是（ ）
A．是二次三项式
B．是由1，2x，3x2的和组成的
C．最高次项的系数是3
D．一次项的系数是﹣2
【分析】直接利用多项式的项数、次数确定方法分别分析得出答案．
【解答】解：A、多项式1﹣2x+3x2是二次三项式，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、多项式1﹣2x+3x2是由1，﹣2x，3x2的和组成的，原说法错误，故此选项符合题意；
C、多项式1﹣2x+3x2的最高次项的系数是3，原说法正确，故此选项不符合题意；
D、多项式1﹣2x+3x2的一次项的系数是﹣2，原说法正确，故此选项不符合题意．
故选：B．
【变式4.3】（2022秋•城阳区期中）（|k|﹣2）x3﹣（k﹣2）x2+7是关于x的二次多项式，则k的值是（
）
A．2 B．﹣2 C．0 D．±2
【分析】根据多项式的次数的定义来解题．要先找到题中的等量关系，然后列出方程求解．
【解答】解：∵（|k|﹣2）x3﹣（k﹣2）x2+7是关于x的二次多项式，
∴不含x3项，即|k|﹣2＝0且k﹣2≠0，
解得：k＝﹣2；
故k的值是﹣2．
故选：B．
【考点5】同类项
【例5】（2020秋•天河区校级期中）如果两个关于 x，y的单项式﹣mxa+2y3与2nx3a﹣4y3是同类项（其中
xy≠0）．
（1）求a的值．
（2）如果它们的和为零，求（2m﹣4n﹣1）2020的值．
【分析】（1）根据同类项的定义求解即可．
（2）根据合并同类项的法则把系数相加即可．
【解析】（1）∵关于x，y的单项式﹣mxa+2y3与2nx3a﹣4y3是同类项，
a+2＝3a﹣4，解得a＝3；
（2）∵单项式﹣mxa+2y3与2nx3a﹣4y3的和为零，
∴﹣m+2n＝0，
∴（2m﹣4n﹣1）2020＝[﹣2（m+2n）﹣1]2020＝（﹣1）2020＝1．
故答案为：（1）3；（2）1．
【变式5.1】（2021秋•招远市期末）如果单项式x2ym+2与xny的和仍然是一个单项式，则m、n的值是（
）
A．m＝2，n＝2 B．m＝﹣1，n＝2 C．m＝﹣2，n＝2 D．m＝2，n＝﹣1
【分析】单项式x2ym+2与xny的和仍然是一个单项式，意思是x2ym+2与xny是同类项，根据同类项中相同
字母的指数相同得出．
【解答】解：由同类项的定义，
可知2＝n，m+2＝1，
解得m＝﹣1，n＝2．
故选：B．
1
【变式5.2】（2022秋•章丘区期中）如果单项式﹣xyb+1与 xa﹣2y3是同类项，那么（a﹣b）2022＝（ ）
2
A．1 B．﹣1 C．52022 D．﹣52022
【分析】根据同类项的定义可得a﹣2＝1，b+1＝3，从而可求解a，b的值，再代入所求式子运算即可．
1
【解答】解：∵单项式﹣xyb+1与 xa﹣2y3是同类项，
2
∴a﹣2＝1，b+1＝3，
解得：a＝3，b＝2，
∴（a﹣b）2022
＝（3﹣2）2022
＝12022
＝1．
故选：A．
【变式5.3】（2021秋•博兴县期末）已知单项式mx2yn﹣1与3x2y5是同类项，若mx2yn﹣1+3x2y5＝0（其中
x≠0，y≠0），则m+n＝（ ）
A．﹣3 B．3 C．5 D．10
【分析】根据合并同类项法则即可求出答案．【解答】解：由题意：mx2yn﹣1与3x2y5是同类项，且系数相反，
∴n﹣1＝5，m＝﹣3，
∴m＝﹣3，n＝6，
∴m+n＝﹣3+6＝3，
故选：B．
【考点6】合并同类项
【例6】（2020秋•射洪市期中）如果关于字母x的二次三项式﹣3x2+mx﹣5+nx2﹣x+3的值与x的取值无关，
求m2+2mn+n2的值．
【分析】根据题意求出m与n的值，然后代入原式即可求出答案．
【解析】﹣3x2+mx﹣5+nx2﹣x+3＝（n﹣3）x2+（m﹣1）x﹣2，
由题意可知：n﹣3＝0，m﹣1＝0，
∴m＝1，n＝3，
∴原式＝（m+n）2
＝42
＝16．
【变式6.1】（2020秋•天心区校级月考）化简：
1 1
（1） m2﹣3mn2+4n2+ m2+5mn2﹣4n2．
2 2
（2）7a2﹣2ab+b2﹣5a2﹣b2﹣2a2﹣ab．
【分析】根据合并同类项法则化简即可．
1 1
【解答】解：（1）原式=( m2+ m2 )+(5mn2−3mn2 )+(4n2−4n2 )
2 2
＝m2+2mn2；
（2）原式＝（7a2﹣5a2﹣2a2）﹣（2ab+ab）+（b2﹣b2）
＝﹣3ab．
【变式6.2】（2019秋•双清区期末）（1）关于x，y的多项式4x2ym+2+xy2+（n﹣2）x2y3+xy﹣4是七次四项
式，求m和n的值；
（2）关于x，y的多项式（5a﹣2）x3+（10a+b）x2y﹣x+2y+7不含三次项，求5a+b的值．
【分析】（1）根据多项式的有关定义得到2+m+2＝7，n﹣2＝0，然后解方程即可；
（2）根据多项式的有关定义得到5a﹣2＝0且10a+b＝0，所以5a＝2，b＝﹣4，然后利用整体代入的方法计算5a+b．
【解答】解：（1）根据题意得2+m+2＝7，n﹣2＝0，
解得m＝3，n＝2；
（2）根据题意得5a﹣2＝0且10a+b＝0，
所以5a＝2，b＝﹣4，
所以5a+b＝2﹣4＝﹣2．
【变式6.3】（2020秋•吉安期中）阅读材料：我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们把
（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思
想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，尝试应用：
（1）把（a﹣b）2看成一个整体，求出3（a﹣b）2+6（a﹣b）2﹣2（a﹣b）2的结果．
（2）已知x2﹣2y＝4，求3x2﹣6y﹣21的值．
【分析】（1）根据合并同类项法则、运用整体思想计算；
（2）根据添括号法则把原式变形，把x2﹣2y＝4代入计算，得到答案．
【解答】解：（1）3（a﹣b）2+6（a﹣b）2﹣2（a﹣b）2
＝（3+6﹣2）（a﹣b）2
＝7（a﹣b）2；
（2）∵x2﹣2y＝4，
∴原式＝3（x2﹣2y）﹣21＝12﹣21＝﹣9．
【考点7】去括号
【例7】（2019秋•滨湖区校级期末）去括号，合并同类项
（1）﹣3（2s﹣5）+6s；
1
（2）3x﹣[5x﹣（ x﹣4）]；
2
1
（3）6a2﹣4ab﹣4（2a2+ ab）；
2
（4）﹣3（2x2﹣xy）+4（x2+xy﹣6）
【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可；
（2）先去小括号，再去中括号，再合并同类项即可；
（3）先去括号，再合并同类项即可；
（4）先去括号，再合并同类项即可．
【解析】（1）﹣3（2s﹣5）+6s＝﹣6s+15+6s
＝15；
1
（2）3x﹣[5x﹣（ x﹣4）]
2
1
＝3x﹣[5x− x+4]
2
1
＝3x﹣5x+ x﹣4
2
3
=− x﹣4；
2
1
（3）6a2﹣4ab﹣4（2a2+ ab）
2
＝6a2﹣4ab﹣8a2﹣2ab
＝﹣2a2﹣6ab；
（4）﹣3（2x2﹣xy）+4（x2+xy﹣6）
＝﹣6x2+3xy+4x2+4xy﹣24
＝﹣2x2+7xy﹣24．
【变式7.1】先去括号，再合并同类项：
1
6a2﹣2ab﹣2（3a2− ab）；
2
2（2a﹣b）﹣[4b﹣（﹣2a+b）]；
2
9a3﹣[﹣6a2+2（a3− a2）]；
3
2t﹣[t﹣（t2﹣t﹣3）﹣2]+（2t2﹣3t+1）．
【分析】先去小括号，再去中括号，然后合并同类项即可；
1
【解答】解：6a2﹣2ab﹣2（3a2− ab）＝6a2﹣2ab﹣6a2+ab＝﹣ab；
2
2（2a﹣b）﹣[4b﹣（﹣2a+b）]＝4a﹣2b﹣4b﹣2a+b＝2a﹣5b；
2 4 22
9a3﹣[﹣6a2+2（a3− a2）]＝9a3+6a2﹣2a3+ a2＝7a3+ a2；
3 3 3
2t﹣[t﹣（t2﹣t﹣3）﹣2]+（2t2﹣3t+1）＝2t﹣t+t2﹣t﹣3+2+2t2﹣3t+1＝3t2﹣3t．【变式7.2】（2020秋•铜陵期中）已知多项式A和B，A＝（5m+1）x2+（3n+2）xy﹣3x+y，B＝6x2+5xy﹣
2x﹣1，当A与B的差不含二次项时，求（﹣1）m+n•[﹣m+n﹣（﹣n）3m]的值．
【分析】把A与B代入A﹣B中，去括号合并后根据差不含二次项确定出m与n的值，代入原式计算即
可得到结果．
【解答】解：∵A＝（5m+1）x2+（3n+2）xy﹣3x+y，B＝6x2+5xy﹣2x﹣1，
∴A﹣B＝（5m+1）x2+（3n+2）xy﹣3x+y﹣6x2﹣5xy+2x+1＝（5m﹣5）x2+（3n﹣3）xy﹣x+y+1，
由结果不含二次项，得到5m﹣5＝0，3n﹣3＝0，
解得：m＝n＝1，
则原式＝1．
【变式7.3】（2021•拱墅区二模）已知多项式M＝（2x2+3xy+2y）﹣2（x2+x+yx+1）．
（1）当x＝1，y＝2，求M的值；
（2）若多项式M与字母x的取值无关，求y的值．
【分析】（1）原式去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值；
（2）M化简的结果变形后，根据M与字母x的取值无关，确定出y的值即可．
【解答】解：（1）M＝2x2+3xy+2y﹣2x2﹣2x﹣2yx﹣2
＝xy﹣2x+2y﹣2，
当x＝1，y＝2时，
原式＝2﹣2+4﹣2＝2；
（2）∵M＝xy﹣2x+2y﹣2＝（y﹣2）x+2y﹣2，且M与字母x的取值无关，
∴y﹣2＝0，
解得：y＝2．
【考点8】代数式求值问题
【例8】（2020秋•武昌区期中）已知ax3+bx2+cx+d＝（x﹣2）3，小明发现当x＝1时，可以得到a+b+c+d
＝﹣1．
（1）﹣a+b﹣c+d＝ ﹣ 2 7 ；
（2）求8a+4b+2c的值．
【分析】（1）令x＝﹣1即可求得﹣a+b﹣c+d的值；
（2）令x＝0即可确定出d的值，再令x＝2即可求得8a+4b+2c的值．
【解析】（1）当x＝﹣1时，ax3+bx2+cx+d＝﹣a+b﹣c+d＝（﹣1﹣2）3＝﹣27．
故答案为：﹣27；
（2）当x＝0时，ax3+bx2+cx+d＝d＝（0﹣2）3＝﹣8，当x＝2时，ax3+bx2+cx+d＝8a+4b+2c+d＝（2﹣2）3＝0，
则8a+4b+2c＝8．
【变式8.1】（2022秋•高港区期中）如图是一个计算程序图：
（1）若输入x的值为﹣3，求输出的结果y的值；
（2）若输出的结果y的值为3，求输入x的值；
（3）不论输入x的值为多少，输出的结果都不可能取到某些整数，请直接写出这些不可能取到的整数．
（直接填写结果）
【分析】（1）根据﹣3＜﹣2，选择下面的那条程序图，代入代数式计算即可；
（2）分两种情况，分别求x的值即可得出答案；
（3）分别求出两种情况的y的取值范围，即可得到不可能取到的整数．
【解答】解：（1）∵﹣3＜﹣2，
∴y＝x﹣3＝﹣3﹣3＝﹣6；
（2）当x＞﹣2时，|x|﹣1＝3，
|x|＝4，
∵x＞﹣2，
∴x＝4；
当x≤﹣2时，x﹣3＝4，x＝7，
∵7＞﹣2，
∴x＝7不符合题意；
综上所述，x＝4；
（3）当x＞﹣2时，
∵|x|≥0，
∴|x|﹣1≥1；
当x≤﹣1时，
∵x≤﹣2，
∴x﹣3≤﹣5，综上所述，不可能取到的整数有：±4、±3、±2．
【变式8.2】（2021秋•拱墅区月考）已知代数式ax5+bx3+3x+c，当x＝0时，该代数式的值为﹣1．
（1）求c的值；
（2）已知当x＝1时，该代数式的值为﹣1，试求a+b+c的值；
（3）已知当x＝2时，该代数式的值为﹣10，试求当x＝﹣2时该代数式的值；
（4）在第（3）小题的已知条件下，若有a＝b成立，试比较a+b与c的大小．
【分析】（1）将x＝0代入代数式求出c的值即可；
（2）将x＝1代入代数式即可求出a+b+c的值；
（3）将x＝2代入代数式求出25a+23b的值，再将x＝﹣2代入代数式，变形后将25a+23b的值代入计算
即可求出值；
（4）由25a+23b的值，变形得到32a+8b＝﹣15，将a＝b代入求出a的值，进而求出b的值，确定出
a+b的值，与c的值比较大小即可．
【解答】解：（1）把x＝0代入代数式，得到c＝﹣1；
（2）把x＝1代入代数式，得到a+b+3+c＝﹣1，
∴a+b+c＝﹣4；
（3）把x＝2代入代数式，得到25a+23b+6+c＝﹣10，即25a+23b＝﹣10+1﹣6＝﹣15，
当x＝﹣2时，原式＝﹣25a﹣23b﹣6﹣1＝﹣（25a+23b）﹣6﹣1＝15﹣6﹣1＝8；
（4）由（3）题得25a+23b＝﹣15，即32a+8b＝﹣15，
又∵a＝b，
∴40a＝﹣15，
3
∴a=− ，
8
3
则b＝a=− ，
8
3 3 3
∴a+b=− − =− ＞−1，
8 8 4
∴a+b＞c．
【变式8.3】（2021秋•大丰区期末）已知有下列两个代数式：①a2﹣b2；②（a+b）（a﹣b）．
（1）当a＝5，b＝4时，代数式①的值是 9 ；代数式②的值是 9 ．
1 1 5 5
（2）当a=− ，b= 时，代数式①的值是 ；代数式②的值是 ．
2 3 36 36
（3）观察（1）和（2）中代数式的值，你发现代数式a2﹣b2和（a+b）（a﹣b）的关系为 a 2 ﹣ b 2 ＝（ a + b ）（ a ﹣ b ） ．
（4）利用你发现的规律，求20222﹣20212．
【分析】（1）把a＝5，b＝4分别代入①②两式计算，即可得出结果；
1 1
（2）把a=− ，b= 分别代入①②两式计算，即可得出结果；
2 3
（3）根据（1）、（2）的计算结果，即可得出两个代数式的关系；
（4）根据（3）中的规律进行计算即可得出答案．
【解答】解：（1）把a＝5，b＝4代入①得：a2﹣b2＝52﹣42＝9，
把a＝5，b＝4代入②得：（a+b）（a﹣b）＝（5+4）（5﹣4）＝9，
故答案为：9，9；
1 1 1 1 1 1 5
（2）把a=− ，b= 代入①得：a2﹣b2＝（− ）2﹣（ ）2= − = ，
2 3 2 3 4 9 36
1 1 1 1 1 1 1 5 5
把a=− ，b= 代入②得：（a+b）（a﹣b）＝（− + ）（− − ）＝（− ）×（− ）= ，
2 3 2 3 2 3 6 6 36
5 5
故答案为： ， ；
36 36
（3）由（1）、（2）可知：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（4）20222﹣20212
＝（2022+2021）（2022﹣2021）
＝4043×1
＝4043．
【考点9】整式的加减
【例9】已知A＝3x3﹣2x+1，B＝3x2+2x﹣1，C＝2x3+1．
求：（1）A+B；（2）A﹣2C；（3）A﹣B﹣C．
【分析】（1）将A和B代入A+B后去括号合并同类项即可；
（2）将A和C代入A﹣2C后去括号合并同类项即可；
（3）将A、B、C代入A﹣B﹣C后去括号合并同类项即可．
【解析】（1）∵A＝3x3﹣2x+1，B＝3x2+2x﹣1，
∴A+B＝（3x3﹣2x+1）+（3x2+2x﹣1）
＝3x3﹣2x+1+3x2+2x﹣1
＝3x3+3x2；（2）∵A＝3x3﹣2x+1，C＝2x3+1，
∴A﹣2C＝（3x3﹣2x+1）﹣2（2x3+1）
＝3x3﹣2x+1﹣4x3﹣2
＝﹣x3﹣2x﹣1；
（3）∵A＝3x3﹣2x+1，B＝3x2+2x﹣1，C＝2x3+1，
∴A﹣B﹣C＝（3x3﹣2x+1）﹣（3x2+2x﹣1）﹣（2x3+1）
＝3x3﹣2x+1﹣3x2﹣2x+1﹣2x3﹣1
＝x3﹣3x2﹣4x+1．
【变式9.1】（2022•南京模拟）化简（求值）：
（1）（m+2n）﹣（m﹣2n）；
（2）3a2+（4a2﹣2a﹣1）﹣2（3a2﹣a+1），其中a＝2．
【分析】（1）去括号，合并同类项即可得出答案；
（2）去括号，合并同类项化简后，代入计算，即可得出答案．
【解答】解：（1）（m+2n）﹣（m﹣2n）
＝m+2n﹣m+2n
＝4n；
（2）3a2+（4a2﹣2a﹣1）﹣2（3a2﹣a+1）
＝3a2+4a2﹣2a﹣1﹣6a2+2a﹣2
＝a2﹣3，
当a＝2时，原式＝22﹣3＝1．
【变式9.2】（2021秋•宝应县期末）已知：A﹣B＝2a2﹣3ab，且B＝﹣a2+6ab+1．
（1）求A等于多少？
（2）若3x2ayb+1与x2ya+3是同类项，求A的值．
【分析】（1）直接利用已知，结合整式的加减运算法则计算得出答案；
（2）利用同类项的定义得出a，b的值，进而代入得出答案．
【解答】解：（1）∵A﹣B＝2a2﹣3ab，且B＝﹣a2+6ab+1，
∴A＝2a2﹣3ab+B
＝2a2﹣3ab+（﹣a2+6ab+1）
＝2a2﹣3ab﹣a2+6ab+1
＝a2+3ab+1；（2）∵3x2ayb+1与x2ya+3是同类项，
∴2a＝2，b+1＝a+3，
解得：a＝1，b＝3，
∴A＝a2+3ab+1
＝12+3×1×3+1
＝1+9+1
＝11．
【变式9.3】（2021秋•建湖县期末）已知A＝3x2+2x﹣1，B＝﹣2x2﹣3x+5．
求：（1）A﹣2B；
（2）若2A与3B互为相反数，求x的值．
【分析】（1）把A＝3x2+2x﹣1，B＝﹣2x2﹣3x+5代入A﹣2B化简即可；
（2）由题意得2A+3B＝0，把A＝3x2+2x﹣1，B＝﹣2x2﹣3x+5代入即可求出x的值．
【解答】解：（1）∵A＝3x2+2x﹣1，B＝﹣2x2﹣3x+5，
∴A﹣2B
＝（3x2+2x﹣1）﹣2（﹣2x2﹣3x+5）
＝3x2+2x﹣1+4x2+6x﹣10
＝7x2+8x﹣11；
（2）∵2A与3B互为相反数，
∴2A+3B＝0，
∵A＝3x2+2x﹣1，B＝﹣2x2﹣3x+5，
∴2（3x2+2x﹣1）+3（﹣2x2﹣3x+5）＝0，
∴6x2+4x﹣2﹣6x2﹣9x+15＝0，
∴﹣5x+13＝0，
13
∴x= ．
5
【考点10】整式的化简求值
3 1 2
【例10】（2020秋•铁锋区期中）已知a＝2，b＝﹣1，求2[ a2b− （a+1）]﹣3（a2b﹣2b）﹣6（b+ ）
2 2 3
的值时，马虎同学将a＝2，b＝﹣1错抄成a＝2，b＝1，可结果还是正确的，马虎同学比较纳闷，请你
帮助他揭开其中的迷雾，写出你的说明过程．
【分析】利用去括号法则、合并同类项法则把原式化简，代入计算得到答案．3 1 2
【解析】2[ a2b− （a+1）]﹣3（a2b﹣2b）﹣6（b+ ）
2 2 3
＝3a2b﹣（a+1）﹣3a2b+6b﹣6b﹣4
＝3a2b﹣a﹣1﹣3a2b+6b﹣6b﹣4
＝﹣a﹣5，
因为化简结果不含b，所以与b的取值无关．
当a＝2，b＝﹣1，原式＝﹣2﹣5＝﹣7．
【变式10.1】（2021秋•建湖县期末）先化简，再求值：2（3ab2﹣a2b+ab）﹣3（2ab2﹣4a2b+ab），其中a
＝﹣1，b＝2．
【分析】先把整式去括号、合并同类项化简后，再代入计算即可．
【解答】解：2（3ab2﹣a2b+ab）﹣3（2ab2﹣4a2b+ab）
＝6ab2﹣2a2b+2ab﹣6ab2+12a2b﹣3ab
＝10a2b﹣ab，
当a＝﹣1，b＝2时，
10a2b﹣ab
＝10×（﹣1）2×2﹣（﹣1）×2
＝10×1×2﹣（﹣1）×2
＝20+2
＝22．
【变式10.2】（2020秋•怀安县期末）已知A＝3a2b﹣2ab2+abc，小明错将“2A﹣B”看成“2A+B”，算得
结果C＝4a2b﹣3ab2+4abc．
（1）计算B的表达式；
（2）求正确的结果的表达式；
1 1
（3）小强说（2）中的结果的大小与c的取值无关，对吗？若a= ，b= ，求（2）中代数式的值．
8 5
【分析】（1）由2A+B＝C得B＝C﹣2A，将C、A代入根据整式的乘法计算可得；
（2）将A、B代入2A﹣B，根据整式的乘法代入计算可得；
（3）由化简后的代数式中无字母c可知其值与c无关，将a、b的值代入计算即可．
【解答】解：（1）∵2A+B＝C，
∴B＝C﹣2A
＝4a2b﹣3ab2+4abc﹣2（3a2b﹣2ab2+abc）＝4a2b﹣3ab2+4abc﹣6a2b+4ab2﹣2abc
＝﹣2a2b+ab2+2abc；
（2）2A﹣B＝2（3a2b﹣2ab2+abc）﹣（﹣2a2b+ab2+2abc）
＝6a2b﹣4ab2+2abc+2a2b﹣ab2﹣2abc
＝8a2b﹣5ab2；
（3）对，与c无关，
1 1
将a= ，b= 代入，得：
8 5
1 1 1 1
8a2b﹣5ab2＝8×（ ）2× −5× ×（ ）2
8 5 8 5
＝0．
【变式10.3】（2020秋•张店区期末）阅读材料：我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们
把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b），“整体
思想”是中学教学课题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
（1）尝试应用：把（a﹣b）2看成一个整体，合并3（a﹣b）2﹣5（a﹣b）2+7（a﹣b）2的结果是 5
（ a ﹣ b ） 2 ．
（2）已知x2﹣2y＝1，求3x2﹣6y﹣5的值．
（3）拓展探索：
已知a﹣2b＝2，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝9，求（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）的值．
【分析】（1）根据题目所给运算法则进行计算即可得出答案；
（2）把3x2﹣6y﹣5化为3（x2﹣2y）﹣5，根据已知即可得出答案；
（3）把（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）化为a﹣2b）+（c﹣d）+（2b﹣c），根据已知即可得出答案．
【解答】解：（1）3（a﹣b）2﹣5（a﹣b）2+7（a﹣b）2＝（3﹣5+7）（a﹣b）2＝5（a﹣b）2．
故答案为：5（a﹣b）2；
（2）3x2﹣6y﹣5＝3（x2﹣2y）﹣5，
把x2﹣2y＝1代入上式，
原式＝3×1﹣5＝﹣2；
（3）（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）
＝a﹣c+2b﹣d﹣2b+c＝（a﹣2b）+（c﹣d）+（2b﹣c），
把a﹣2b＝2，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝9代入上式，
原式＝2+9﹣5＝6．
