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第 01 讲 变量与函数
【题型1：变量与常量】
【题型2：函数定义】
【题型3：函数的关系式】
【题型4：函数自变量取值范围】
【题型5：求自变量的值或函数值】
【题型6：从函数的图像获取信息】
【题型7：动点问题的函数图像】
知识点1：变量与常量
定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量．
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和 y，并且对于x的每一个确定的值，y
都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，y 是x 的函数．如
果 当 x=a时，y=b ，那么b叫做当自变量 x的值为a 时的函数值．
【题型1：变量与常量】
【典例1】骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化．其中，
因变量是（ ）
A．骆驼 B．沙漠 C．体温 D．时间
【变式1-1】你知道为什么冬天电瓶车电池不耐用？因为电瓶车通常使用铅酸电池和锂电池，
这两种电池的最佳使用温度都是25摄氏度左右．随着温度降低，电池中的化学物质活
性降低，从而导致电池不耐用．在这个变化过程中，自变量是（ ）
A．化学物质 B．温度 C．电池 D．电瓶车
【变式1-2】在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而
变化，这个问题中因变量是（ ）
A．水的温度 B．太阳光强弱 C．所晒时间 D．热水器的容积【变式1-3】 你知道为什么冬天电瓶车电池不耐用？因为电瓶车通常使
用铅酸电池和锂电池，这两种电池的最佳使用温度都是25摄氏度左右．随着温度降低，
电池中的化学物质活性降低，从而导致电池不耐用．在这个变化过程中，自变量是（
）
A．温度 B．化学物质活性 C．电池 D．电瓶车
知识点2：函数定义
像 这样，用关于自变量的数学式子表示
函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式
【题型2：函数定义】
【典例2】下列图形中不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】下列曲线中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．【变式2-2】下列选项中，y不是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】下列选项中，不能表示某函数图像的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型3：函数的关系式】
【典例3】某文具店老板购进一批荧光笔，销量x（支）与销售额y（元）的关系如下表所
示：
销量x/支 1 2 3 4 5 …
销售额y/ 3 6 9 12 15 …
元
则销售额y与销量x的函数关系式为（ ）
A．y=3x B．y=6x C．y=9x D．y=12x
【变式3-1】表中给出的统计数据，表示皮球从高度xcm落下时与反弹到高度ycm的关系：
x/cm 40 50 60 80 100
y/cm 25 30 35 45 55
用含x的代数式表示y，正确的是（ ）1
A．y=x−15 B．y= x
2
1
C．y=2x−10 D．y= x+5
2
【变式3-2】某农户想要用棚栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，号外三
边用棚栏围成，若棚栏的总长为20m，设长方形靠墙的一边长为xm，面积为ym2，当
x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（ ）
20
A．y=20x B．y=20−2x C．y= D．y=x(20−2x)
x
【变式3-3】某机床要加工一批机器毛绒玩具，每小时加工的件数与加工的时间如下表：
每小时加工件数（件） 30 20 18 9 …
加工时间（小时） 12 18 20 40
用x表示每小时加工毛绒玩具的件数，用y表示加工时间，用式子表示y与x之间的关
系为 ．
知识点3：自变量取值范围和函数值
初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：
（1）函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；
（2）函数关系式为分式形式：分母0
（3）函数关系式含算术平方根：被开方数0；
（4）函数关系式含0指数：底数0。
【题型4：函数自变量取值范围】
❑√x+1
【典例4】函数y= +(x−2) 0的自变量x的取值范围是（ ）
x+2
A．x≥−1 B．x>2 C．x≥−1且x≠2 D．x≠−1且x≠−2【变式4-1】函数y=❑√x−2，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2 B．x>2 C．x≤2 D．x<2
❑√5−x
【变式4-2】函数y= 中的自变量x的取值范围是（ ）
x
A．x>0 B．x≤5 C．x>0且x≠5 D．x≤5且x≠0
x
【变式4-3】在函数y= +3中，自变量x的取值范围是 ．
x−2
【题型5：求自变量的值或函数值】
【典例5】根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是−2，则输出y的值是
（ ）
A．9 B．7 C．−4 D．−8
3
【变式5-1】变量y与x之间的关系式为y= x+2，当自变量x=2时，因变量y的值是
2
（ ）
A．−2 B．−1 C．1 D．5
❑√x−2
【变式5-2】已知函数f(x)= ，那么f(3)= ．
2x
【变式5-3】某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果质量x(kg)与售价y
（元）之间的关系如下表：
质量
1 2 3 4
x/kg
售价y/ 1.2+0.1 2.4+0.1 3.6+0.1 4.8+0.1
元
则y与x的关系式为 ，若卖出苹果10kg，售价为 元．
知识点4：函数的图像对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的
横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个
图象就叫做平面直角坐标系）。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显
著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定
的因变量的值往往是不准确的。
理解图像：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；b.从横轴和纵轴
的实际意义理解图象上特殊点的含义（坐标），特别是图像的起点、拐点、交点
【题型6：从函数的图像获取信息】
【典例6】为了体验大学校园文化，小华利用周末骑电动车从家出发去西安交大，当他骑
了一段路时，想起要帮在交大读书的张浩买一本书，于是原路返回到刚经过的新华书
店，买到书后继续前往交大，如图是他离家的距离与时间的关系示意图，请根据图中
提供的信息回答下列问题：
(1)小华家离西安交大的距离是多少？
(2)小华在新华书店停留了多长时间？
(3)买到书后，小华从新华书店到西安交大骑车的平均速度是多少？
(4)本次去西安交大途中，小华一共行驶了多少米？
【变式6-1】2025年央视春晚在重庆设立分会场，场地在来福士对面的规划展览馆，很多
明星将参与春晚彩排，家住长嘉汇购物公园旁的小西，在寒假某一天，先从家跑步去
规划展览馆拍照打卡，再去面馆打包“重庆小面”，最后回家．小西家、面馆、规划
展览馆在一条直线上．小西离开家的距离y与时间x之间的函数关系如图所示．下列结
论正确的是（ ）A．小西从家到规划展览馆的速度是250m/min
B．小西在面馆停留时间为30min
C．小西从面馆到家的速度是70 m/min
D．小西从规划展览馆到面馆的速度90 m/min
【变式6-2】匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度
ℎ
随时
间t的变化规律如图所示，（图中OPMN为一折线），这个容器的形状是下图中的
（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】小明从家出发骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路后，突然想起要
买圆规，于是又折回到刚经过的文具店，买到圆规后继续骑车去学校．如图是他本次
上学过程中离家距离与所用时间的关系图，根据图象回答下列问题：
(1)小明家到学校的路程是 米；
(2)小明在文具店停留了 分钟；
(3)本次上学途中，小明一共行驶了 米；
(4)交通安全不容忽视，我们认为骑自行车的速度超过15千米/时就超过了安全限度．
通过计算说明：在整个上学途中哪个时间段小明的骑车速度最快，最快速度在安全限度内吗？
【题型7：动点问题的函数图像】
【典例7】如图（1）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，动点P从A点出发，以
1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止．
已知△PAD的面积S（单位：cm2）与点P移动的时间t（单位：s）的函数关系如图（
2）所示，则点P从开始移动到停止移动一共用了（ ）s．
A．6 B．7 C．4+3❑√3 D．4+2❑√3
【变式7-1】如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A→B匀速运动到点B，图
2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低
点且图象是轴对称图形，则△ABC的面积是（ ）
A．30 B．36 C．60 D．72
【变式7-2】如图1，在长方形ABCD中，AB：AD=3：5，点P从点A出发以2cm/秒
的速度沿A→B→C→D的路线匀速移动．随着点P的移动，三角形APD的面积会
不断发生变化，它的面积变化情况如图2所示．(1)点P从点A出发，经过多少秒后到达点D？
(2)点P从点A出发，经过多少秒后三角形APD的面积恰好是25cm2？
【变式7-3】已知动点P以2cm/s的速度沿如图1所示的边框以B−C−D−E−F−A的路
径运动，记△ABP的面积为s(cm2)，s与运动时间t(s)的关系如图2所示，若AB=6cm，
请回答下列问题：
(1)图1中BC= cm，CD= cm，DE= cm．
(2)求图2中m，n的值；
(3)分别求出当点P在线段BC和DE上运动时s与t的关系式．
一、单选题
1．下列图象中，不表示y是x的函数的是（ ）A． B． C． D．
2．嘉琪的爸爸到单位附近的加油站加油，如图是他所用加油机上的数据显示牌，则数据中
的变量是（ ）
A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
3． 在一定范围内，弹簧挂重物后会伸长，测得弹簧长度y(cm)最长为
20cm，与所挂物体质量x(kg)间有下面的关系：
x(kg) 0 1 2 3 4 …
y(cm) 8 8.5 9 9.5 10 …
下列说法不正确的是（ ）
A．x与y都是变量，x是自变量，y是因变量
B．所挂物体为6kg时，弹簧长度为11cm
C．在弹性限度内，物体每增加1kg，弹簧长度就增加0.5cm
D．挂30kg物体时，弹簧长度一定比原长增加15cm
❑√x+3
4．函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
x−2
A．x≥3且x≠−2 B．x≥3且 x≠2C．x≥−3且 x≠−2 D．x≥−3且 x≠2
5．某学习小组做了一个实验：从一幢100m高的楼顶随手放下一个苹果，测得有关数据如
下：
下落时间t(s) 1 2 3 4
下落高度ℎ(m) 5 20 45 80
则下列说法错误的是（ ）
A．苹果每秒下落的高度越来越大 B．苹果每秒下落的高度不变
C．苹果下落的速度越来越快 D．下落时间是自变量，下落高度是因变量
6．如图，在等腰△ABC中，AC=BC，动点P从点B出发，沿BC→CA运动至点A停止，
设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，若y关于x的函数图象如图所示，则AB的
值为（ ）
A．❑√10 B．5 C．❑√7 D．3
7．某厂家要生产一批货物，每天生产的个数与生产的天数之间的关系如下表所示：
每天生产的个数 500 600 800 1000 1200 …
生产的天数 24 20 15 12 10 …
若每天生产的个数用m（个）表示，生产的天数用t（天）表示，则下列说法正确的是
（ ）
A．这批货物共有1200个
B．生产的天数t会随着每天生产的个数m的增大而增大
C．要想8天完成这批货物的生产任务，则每天需要生产1500个
D．m与t乘积为定值，它们成正比例关系
8．小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段
后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程s（米）和所用时间t（分
钟）的关系图．则下列说法中正确的是（ ）
①小明家和学校距离1200米；②小华乘坐公共汽车的速度是240米/分；③小华乘坐公
共汽车后7：50与小明相遇；④小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，
且跑步的速度是100米/分时，他们可以同时到达学校．
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二、填空题
9．某粮库需要把晾晒场上的粮食入库保存，每天入库的吨数v与入库所需的天数d之间关
系如下表：
每天入库吨数
500 250 100 50 …
(v)
入库所需天数 1 2 5 10 …
(d)
用式子表示d与v的关系为 ．
10．如果弹簧原长为10cm，每挂1kg重物弹簧伸长0.5cm，假设重物质量为mkg，受力后
的弹簧长度为lcm，则l与m的函数关系式是l= ．
9
11．同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数关系是y= x+32，如
5
果某一温度的摄氏度数是5℃，那么它的华氏度数是 ℉．
