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考点 01 导数计算与求切线
1．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则
（ ）
A．1 B． C． D．4
【答案】C
【分析】
先对 进行求导，然后把 代入 ，可列出关于 的等式，即可解出 ，从而得出 的
解析式，即可求出 .
【详解】
解：因为 ，
所以 ，
把 代入 ，
得 ，解得： ，
所以 ，所以 .
故选：C.
2．（2022·河北·模拟预测）曲线 在 处的切线斜率为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】B
【分析】
即求曲线在(0,f(0))处的导数.
【详解】
， .
故选：B.
3．（2022·广西·南宁三中二模（文））已知 在 处的切线与直线l垂直，若直线l与x，y
正半轴围成的三角形面积为2，则直线l的方程为（ ）．
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】
利用导数的几何意义求切线的斜率，从而知道直线l的斜率，再根据直线l与x，y正半轴围成的三角形面
积，建立方程可求解.
【详解】
由 ，故 ，故直线l的斜率为 ，
令 ，
由题意知 ，解得 ，故 .
故选:D．
4（2020·全国·高考真题（文））设函数 ．若 ，则a=_________．
【答案】1
【分析】
由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值
【详解】
由函数的解析式可得： ，
则： ，据此可得： ，
整理可得： ，解得： .
故答案为： .
5．（2022·全国·高三专题练习）若函数 存在平行于 轴的切线，则实数 取值范围是
______.
【答案】
【分析】
求出导函数，只需 有正解，分离参数可得 ，利用基本不等式即可求解.
【详解】
函数定义域为 ，导函数为 ，
使得存在垂直于 轴的切线，即 有正解，可得 有解，
因为 ，所以 ，当且仅当“ ，即 ”时等号成立，所以实数 的取值范围是
故答案为：
6.已知 ， 为f（x）的导函数，则 的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
求出函数的导函数，令 ，根据导函数的奇偶性可排除AD，再根据 的符号可排除C，即
可得解.
【详解】
解： ，
则 ，
令 ，
，所以函数 为奇函数，故排除AD，
又 ，故排除C.
故选：B.
7．曲线f(x)＝xln x在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
；所以 ，所以曲线在点 处的切线的斜率是 ，设曲线在点 处的切线的倾斜角是 ，则 ，因为 ，所以 ，故选B.
8．（2020·全国·高三课时练习（理））若曲线 与曲线 在交点 处有公切
线，则
A． B．0
C．2 D．1
【答案】D
【详解】
分析：由曲线 与曲线 在交点 出有公切线，根据斜率相等，求解 ，
根据点 在曲线 上，求得 ，进而求得 的值，即可求解．
详解：由曲线 ，得 ，则 ，
由曲线 ，得 ，则 ，
因为曲线 与曲线 在交点 出有公切线，
所以 ，解得 ，
又由 ，即交点为 ，
将 代入曲线 ，得 ，所以 ，故选D．
点睛：本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中根据在点 处的公切线，建立方程求解是
解答的关键，，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．
9．在平面直角坐标系 中，P是曲线 上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小
值是_____.
【答案】4.
【分析】
将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离
【详解】
当直线 平移到与曲线 相切位置时，切点Q即为点P到直线 的距离最小.
由 ，得 ， ，
即切点 ，
则切点Q到直线 的距离为 ，
故答案为 ．
【点睛】
本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.
10．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，且 ， ，
那么 ___________.
【答案】
【分析】
在题中等式两边同乘 可得 ，可得出 ，由 可求
得 的值，进而可求得 的值.
【详解】
因为 ，
所以， ，
即 ，所以， ，
因为 ，则 ，
所以， ，解得 ，所以， ，
因此， .
故答案为： .
11.（2021·全国·高考真题）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线 的图象，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线 上任取一点 ，对函数 求导得 ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
由题意可知，点 在直线 上，可得 ，
令 ，则 .
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以， ，
由题意可知，直线 与曲线 的图象有两个交点，则 ，
当 时， ，当 时， ，作出函数 的图象如下图所示：
由图可知，当 时，直线 与曲线 的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线 的图象如图所示，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以
作出两条切线.由此可知 .故选：D.
【点睛】
解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，
解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
12.．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））若函数 与 的图象存在公
共切线，则实数a的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
分别设公切线与 和 的切点 ， ，根据导数的几何意
义列式，再化简可得 ，再求导分析 的最大值即可
【详解】
， ，设公切线与 的图象切于点 ，与曲线 切
于点 ，
∴ ，故 ，所以 ，∴
，∵ ，故 ，
设 ，则 ，∴ 在 上递增，在 上递减，∴ ，
∴实数a的最大值为e
故选：B.
13．（2022·山西太原·二模（理））已知函数 图象上存在两条互相垂直的切线，
且 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据已知条件用换元法令 ，利用导数及三角函数的差的正弦公式即可得出导函数的范围，
根据已知条件得出 ，再利用辅助角公式及三角函数的性质即可求解.
【详解】
由 ，令 ，
由 ，
得
，所以
由题意可知，存在 ，使得 ，
只需要 ，即 ，所以 ， ，
所以 的最大值为 .
故选: D.
【点睛】
解决此题的关键是用换元思想，再利用存在两条互想垂直的直线进而得出 ，再利用三角函数的性质即可
求解.
14．（2022·河南安阳·模拟预测（理））若过点 分别只可以作曲线 的一条切线，则
的取值范围为_________．
【答案】
【分析】
设出切点坐标，求导表示出切线方程，代入点求得 和 ，由方程只有1根，解出 的范围，即可求得 的取值范围.
【详解】
易得 ， ，设过点 的切线与曲线 切于点 ，则切线方程为
，
代入点 得 ，整理得 ，则 ，
则方程必有两根，要使切线只有一条，则必有一根为0（舍去），此时 ， ；设过点 的切线
与曲线 切于点 ，
则切线方程为 ，代入点 得 ，整理得 ，
令 ，
则 ，又 ，则 ， 在
上单减，
又 时， ， 时， ， 时， ，画出草图如下：要使切线只有一条，则 与 只有一个交点，则 ，故 .
故答案为： .
【点睛】
本题关键点在于设出切点，写出切线方程后求得 ，由方程只有1个根求出 的值；求得
，构造函数确定单调性后画出草图求得 的范围，即可求解.
15．（2021·江苏南通·一模）已知 ， 为曲线 ： 上在 轴两侧的点，过 ， 分别作曲线
的切线，则两条切线与 轴围成的三角形面积的最小值为_______．
【答案】
【分析】
因为P，Q为曲线 ： 上在 轴两侧的点，设 ， ，且 ，又因为曲
线 ： 在点 的切线斜率为 ，得曲线在P，Q两点处的切线 和 ，求出直线与x轴
交点 ， ，直线 和 的交点 ，所求图形 面积 ，求最小值即为所求
【详解】
因为P，Q为曲线 ： 上在 轴两侧的点，设 ， ，且 ，又因为曲线 ： 在点 的切线斜率为 ，所以曲线在P，Q两点处的切线分别为
和 ，与x轴交点分别为 ， ，直线 和 的交点
为 ，所求图形 面积 ，即 ，令
，假设 时， 才能取最小值，令 ，
则 ，当 ，即 时， ，同理，当
时， ，所以当 且 时，
最小，解得 ， ，
【点睛】
本题以抛物线为背景考查三角形面积的最值，综合直线方程，导数的性质，三角形面积等知识，要将求最
值的几何量表示为某个参数的函数式，然后用函数或不等式知识求最值
