文档内容
专题 10 随机事件与求概率之六大题型
随机事件
例题：（2023上·吉林长春·九年级统考期末）下列事件是必然事件的是（ ）
A．明天一定下雪 B．抛掷一枚普通硬币，得到正面朝上
C．经过有信号灯的路口，遇见绿灯 D．直角三角形的两个锐角互余
【变式训练】
1．（2023下·陕西渭南·七年级统考期末）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．掷一枚硬币10次，仅有1次正面朝上 B．三角形的三个内角之和等于
C．从只装有5个红球的袋中摸出一个白球D．富平县，现隶属于陕西省渭南市
2．（2023下·四川达州·七年级四川省大竹中学校考期末）下列事件中，是不可能事件的是
（ ）
A．买一张电影票，座位号是偶数 B．度量三角形的内角和，结果是
C．某彩票中奖率是 ，买 张一定会中奖 D．明天会出太阳
列举法求概率
例题：（2023下·上海普陀·八年级统考期末）从1，2，4这三个数中任取两个数组成没有重复数字
的两位数，那么组成的两位数是奇数的概率为 ．
【变式训练】
1．（2023下·上海青浦·八年级统考期末）从① ，② ，③ ，④
四个关系中，任选两个作为条件，那么选到能够判定四边形 是平行四边形的概率是 ．
2．（2023上·四川广元·九年级统考期末）如果关于x的一元二次方程 中，k是投掷骰子所得的数字（1，2，3，4，5，6），则该二次方程有两个不等实数根的概率是 ．
列表法或树状图法求概率
例题：（2023下·陕西西安·九年级统考期末）有三把不同的钥匙 ， ， 和两把不同的锁 ， ，
其中钥匙 只能打开锁 ，钥匙 只能打开锁 ，钥匙 不能打开这两把锁．
(1)随机取出一把钥匙，取出 钥匙的概率是___________；
(2)随机取出一把钥匙开任意一把锁，请利用画树状图或列表的方法，求一次打开锁的概率
【变式训练】
1．（2023下·上海杨浦·八年级统考期末）有四张完全相同的卡片 、 、 、 ，分别面有不同
的几何图形： （等边三角形）； （圆）； （矩形）； （等腰梯形），将这四张卡片放在
不透明的盒子中洗匀．
(1)从盒子中抽取出一张卡片，取出的卡片所画的图形是轴对称图形的概率是_____；
(2)小莉从盒子中同时抽取了两张卡片，取出的两张卡片所画的图形都是中心对称图形的概率是多
少？（请用树形图说明，卡片可用 、 、 、 表示）
2．（2023上·天津河东·九年级校考期末）某校在践行“安全在我心中，你我一起行动”主题手抄
报评比活动中，共设置了“交通安全，消防安全、饮食安全，防疫安全”四个主题内容，推荐亮亮
和苗苗两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可
能性相同．(1)亮亮选择交通安全手抄报的概率为________；
(2)用列表法或画树状图法来求亮亮和苗苗选择不同主题手抄报的概率．
游戏的公平性
例题：（2023上·湖南长沙·九年级统考期末）在一次数学兴趣小组活动中，江华和江玉两位同学设
计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上
数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小
于12，则江华获胜；若指针所指区域内两数和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数和大于
12，则江玉获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．
(1)请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；
(2)分别求出江华和江玉获胜的概率；
(3)请问游戏规则公平吗？如不公平，请更改游戏规则，使游戏公平．
【变式训练】
1．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）甲、乙两人玩转盘游戏，规则如下：如图是两个可以自由转
动的转盘 转，盘中数字 所对扇形区域的圆心角为 ， 转盘被分成面积相等的三个扇
形，依次转动转盘 ， ，当转盘停止后，若指针指向的两个区域的数字之和大于 ，则甲获胜；
否则乙获胜；如果落在分割线上，则需要重新转动转盘．(1)转动转盘 ，指向的数字为 的概率是__________
(2)试用列表或画树状图的方法说明游戏是否公平．若公平，请说明理由；若不公平，谁获胜的可
能性更大?
2．（2023下·河南郑州·七年级统考期末）小军和小明一起做游戏，设计了一个可以自由转动的转
盘（如图所示），转盘被等分成了10个扇形区域，并涂上了不同的颜色．
(1)转动一次转盘，求指针指向红色区域的概率．
(2)小军说：“如果指针指向蓝色区域自己获胜，如果指针指向黑色区域小明获胜”．请问小军设
计的游戏规则对双方公平吗？试通过计算说明理由．
由频率估计概率求球的数量
例题：（2023上·辽宁盘锦·九年级统考期末）一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球3个，这些球除颜色不同其余都相同，每次搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验
发现，摸到红球的频率稳定在0.3附近，则可以估算出m的值为 ．
【变式训练】
1．（2023下·山东青岛·七年级统考期末）在一个不透明袋子里装有红球、黄球共16个，这些球除
颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在 左右，则袋子中黄球的个数大
约是 个．
2．（2023下·四川成都·七年级统考期末）一个不透明的布袋中装有除颜色外均相同的14个黑球，
5个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球
试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.2，则袋中红球的个数为 个．
由频率估计概率
例题：（2023下·山东烟台·七年级统考期末）在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了
估计袋中红球的数量，七年级（2）班学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将10个与红球大
小、形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不
断重复，下面是全班各小组的汇总数据统计表：
摸球次数 150 300 600 900 1200 1500
摸到白球的频数 63 123 247 365 484 603
摸到白球的频率
(1)表中的 ________；
(2)请估计当摸球次数s很大时，摸到白球的频率将会接近________（精确到 ）
(3)试估算摸到红球的概率是________（精确到 ）
(4)试估算这个不透明的口袋中红球的个数．
【变式训练】1．（2023下·山东烟台·七年级统考期末）某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个
可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止
时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据：
40
转动转盘的次数n 100 200 500 800 1000
0
落在“可乐”区域的次数 24
60 122 298 b 604
m 0
落在“可乐”区域的频
0.6 0.61 0.6 a 0.59 0.604
率”
(1) ______， ______；
(2)请估计当n很大时，频率将会接近______，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率是
______；（结果精确到0.1）
(3)转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角是多少度？
2．（2023下·宁夏银川·七年级校考期末）小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游
戏，他们共做了100次试验，结果如下：
朝上的点
1 2 3 4 5 6
数
出现的次 2
16 14 25 12 13
数 0
(1)计算“点数1朝上”的频率和“点数6朝上”的频率；
(2)小亮说：“若投掷1000次，则出现点数4朝上的次数正好是200次”，小亮的说法_________
（填“正确”或“不正确”）；
(3)小明将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数不小于4的概率．一、单选题
1．（2023下·广东云浮·九年级校考期末）下列事件，是必然事件的为（ ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B．打开电视正在播放世界杯
C． 是无理数 D．明天太阳从西方升起
2．（2023下·四川达州·七年级校考期末）下列事件中，是确定事件的是（ ）
A．度量三角形的内角和，结果不可能是 B．买一张电影票，座位号是奇数
C．打开电视机，它正在播放花样滑冰 D．明天晚上会看到月亮
3．（2023下·四川达州·七年级校考期末）有四根细木棒，长度分别为 ，则随机
抽出三根木棒，能够组成三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023下·河南平顶山·七年级统考期末）一个小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的
停留在某块方砖上，那么它最终停留在黑色区域里的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023下·黑龙江佳木斯·七年级统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．某种彩票的中奖机会是 ，则买 张这种彩票一定会中奖．
B．为了解全国中学生的睡眠情况，应该采用普查的方式．
C．若甲数据的方差 ，乙数据的方差 ，则乙数据比甲数据稳定．
D．一组数据3，1，4，1，1，6，1的众数和中位数都是1．
二、填空题
6．（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）事件“打开电视机，正在播放天气预报”，这是
事件（填“随机”，“必然”或“不可能”）．
7．（2023下·江苏宿迁·八年级统考期末）一个不透明的袋中装有3个红球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出2球，则“摸出的球至少有1个红球”是 事件．
（填“必然”，“不可能”或“随机”）
8．（2023下·四川达州·七年级校考期末）有 张卡片分别写有 至 是个数字，将它们放入纸盒中，
任意摸出一张，则 摸到数字 ； 摸到偶数 ； 摸到不是数字 的偶
数 ．
9．（2023下·辽宁锦州·七年级统考期末）苗圃技术人员对某种花苗移植的成活情况进行调查，将
调查数据整理后结果如表所示：
移植总数 400 750 1500 3500 6000 9000
成活数 369 662 1335 3203 5430 8073
成活的频率
根据表中数据，估计这种花苗移植的成活概率为 ．（精确到 ）
10．（2023下·山东济南·七年级统考期末）如图所示的是小明家的地板砖的一部分（图中所有三角
形都是等腰直角三角形）．随机抛一个小球停留在某块地板砖上，则小球停留在阴影区域的概率是
．
三、解答题
11．（2023下·陕西渭南·七年级统考期末）淘气和笑笑做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们
共做了100次试验，结果如下：
朝上的点
1 2 3 4 5 6
数
出现的次 2
15 14 25 13 13
数 0
(1)计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率；
(2)笑笑将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数为1的概率；
(3)淘气将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数不小于4的概率．12．（2023上·重庆南川·九年级统考期末）小明和小亮做游戏：取四张扑克，上面分别标有数字
2、3、4、5，（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后
放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．
(1)请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为7的概率；
(2)如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗？做出
判断，并说明理由．
13．（2023下·广东云浮·九年级校考期末）广东多地推进林长制，筑牢粤北生态屏障，通过三
“长”联动，实现点“绿”成金．现将质地大小完全相同，上面依次标有“点”“绿”“成”
“金”字样的四个彩球放入同一个不透明的袋子．
(1)叶子在袋子中随机摸出一个彩球，摸中标有“绿”字彩球的概率为 ；
(2)若叶子在袋子中随机摸出一个彩球不放回，再摸出一个彩球，请用画树状图或列表法求出两次
摸球能拼出“成金”的概率．
14．（2023上·辽宁盘锦·九年级统考期末）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科
技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工
智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完
全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．A．决策类人工智能 B．人工智能机器人 C．语音类人工智能 D．视觉类人工智能
(1)随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______；
(2)从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或树状图的方法
求抽取到的两张卡片内容一致的概率．
15．（2023下·四川达州·七年级校考期末）如图，现有一个转盘被平均分成6等份，分别标有2、
3、4、5、6、7这六个数字，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字
(1)转到数字10是 （从“不确定事件”“必然事件”“不可能事件”选一个填入）；
(2)转动转盘，转出的数字大于3的概率是 ；
(3)现有两张分别写有3和4的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字
①这三条线段能构成三角形的概率是多少？
②这三条线段能构成等腰三角形的概率是多少？
16．（2023下·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期末）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不
同的12个小球，其中红球4个，黑球8个．
(1)先从袋子中取出 （ ）个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件
A、请完成下列表格：
事件A 必然事件 随机事件
m的值 _________ _________(2)从袋子中取出 个红球并摇匀，随机摸出1个球是黑球的可能性大小是 ，求 的值．
17．（2023上·辽宁锦州·九年级统考期末）北京冬奥会在2022年2月4日至20日举行，北京成为
奥运史上第一个举办过夏季奥运会和冬季奥运会的城市．小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示
的5张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同），现将5张邮票背面朝上，洗匀放好．
(1)小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是___________；
(2)小亮决定将其中两张邮票送给好朋友小明，若冬奥会会徽邮票记作A类邮票，吉祥物冰墩墩邮
票记作B类邮票，吉祥物雪容融邮票记作C类邮票，将5张邮票背面朝上洗匀后，让小明从中随机
抽取2张邮票，抽得的邮票就送给小明，求小明抽取两张邮票都是“吉祥物冰墩墩”的概率．（请
用列表法或画树状图法求解）
18．（2023下·山东青岛·七年级统考期末）某校生物兴趣小组要研究某种植物种子的发芽率，下表
是该兴趣小组在相同的实验条件下得到的一组数据：
120
试验的种子数 200 500 2000 3000 5000
0发芽的种子数 189 474 1146 1898 2856 4765
发芽的频率 0.945 0.948 x 0.949 y 0.953
(1)填空： ________， ________；（结果保留三位小数）
(2)任取一粒这种植物的种子，估计它能发芽的概率是________．（精确到0.01）
(3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗310棵，试估算至少需要准备多少粒种子进行发芽培育．
