文档内容
专题 10 解直角三角形及其应用（课后小练）
满分100分 时间：45分钟 姓名：
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(共24分)
1．(本题4分)（2022·福建泉州·九年级期末）如图，OA是半⊙O的半径，弦BC⊥OA于点E，连接OC，若
⊙O的半径为m，∠AOC＝∠α，则下列结论一定成立的是（ ）
A．OE＝m•tanα B．BC＝2m•sinα
C．AE＝m•cosα D．S COB＝ m2•sinα
△
【答案】B
【分析】根据垂径定理得到BE=CE，再利用正弦和余弦的定义得到sinα= ，cosα= ，则可对A、B
进行判断；利用余弦的定义得到OE=m•cosα，则AE=m-m•cosα，于是可对C进行判断；然后利用三角形面
积公式可对D进行判断．
【详解】解：∵BC⊥OA，
∴BE=CE，∠OEC=90°，
∵sinα= ，cosα= ，
∴CE= m•sinα，OE=m•cosα，所以A选项不符合题意；
∴BC=2CE=2m•sinα，所以B选项符合题意；
∴AE=OA-OE=m-m•cosα，所以C选项不符合题意；
∵S COB=2× CE•OE
△
∴S COB=m•sinα•m•cosα=m2•sinα•cosα，所以D选项不符合题意．
△
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和解直角三角形．
2．(本题4分)（2022·全国·九年级课时练习）如图，四边形ABCD为菱形，O为对角线AC的中点，
， ，则菱形的周长为（ ）
A．8 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】如图所示，连接BD，利用菱形的性质得到AC⊥BD，然后解直角△OAB求出AB的长即可得到答
案．
【详解】解：如图所示，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，O是AC的中点，
∴AB=BC=CD=AD，O为BD中点，且AC⊥BD，
∵∠BAC=30°，
∴ ，
∴菱形的周长为AB+BC+CD+AD=8，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解直角三角形，熟知菱形的性质是解题的关键．
3．(本题4分)（2019·重庆·一模）缙云山是国家级自然风景名胜区，上周周末，小明和妈妈到缙云山游玩，
登上了香炉峰观景塔，从观景塔底中心 处水平向前走 米到 点处，再沿着坡度为 的斜坡 走一
段距离到达 点，此时回望观景塔，更显气势宏伟，在 点观察到观景塔顶端的仰角为 再往前沿水平
方向走 米到 处，观察到观景塔顶端的仰角是 ，则观景塔的高度 为（ ）（tan22°≈0.4）A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】A
【分析】作 交DA的延长线于N，延长CB交DE于M，则四边形DMBN是矩形,根据AB的坡度，
设 表示出 在 中，
在 中， 根据 列出式子，求出 的值，即可求解.
【详解】如图，作 交DA的延长线于N，延长CB交DE于M，则四边形DMBN是矩形,
可以假设
则，
在 中，
在 中，
解得：答：观景塔的高度DE为21米.
故选A.
【点睛】考查解直角三角形，坡度问题，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键.
4．(本题4分)（2022·甘肃天水·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=5，BC=3,点
P从点D出发，沿DC,CB向终点B匀速运动．设点P所走过的路程为x，点P所经过的线段与AD, AP所
围成的图形的面积为y, y随x的变化而变化．在下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查动点函数图象的问题，先求出函数关系式在判断选项．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=3，AB=CD=5
当点P在CD上运动时，y为三角形，面积为： ×DP×ADsin60°= ×3×sin60°= ×3× x＝ x，为正
比例函数；
当点P在CB上运动时，y为梯形，面积为： ×(AD+CP)×ABsin60°= ×（3+x−5）×
5× ＝ ，为一次函数．
由于后面的面积的x的系数＞前面的x的系数，所以后面函数的图象应比前面函数图象要陡．
故选：A．
【点睛】此题主要考查动点的函数问题，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质及三角函数的运用．
5．(本题4分)（2022·全国·九年级专题练习）如图，某水库大坝的横断面是梯形 ，坝高 ，
斜坡 的坡比为 ，则斜坡 （ ）
A．13m B．8m C．18m D．12m
【答案】A【分析】根据斜坡BC的坡比为i=5：12和坝高 ，如图可求出BF的长度，在Rt△BCF中根据勾股
定理可求出BC的长度．
【详解】如图，过点C作CF⊥AB，垂足为F．那么，
∵坝高 ，CF⊥AB，
∴DE=CF=5cm
又斜坡 的坡比为
∴BF=12cm，
在Rt BCF中
BC=
=
=13cm
【点睛】本题考查的直角三角形坡度的问题.解题的关键是理解坡度的定义．
6．(本题4分)（2022·河南南阳·九年级开学考试）下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：
题目 测量铁塔顶端到地面的高度
测量目标示
意图
相关数据 ， ，
设铁塔顶端到地面的高度 为 ，根据以上条件，可以列出的方程为( )
A． B．
C． D．【答案】A
【分析】由 得DH=FH=CE，故在Rt△EFC中使用 = 即可列出方程.
【详解】∵ ，∴DH=FH，
则FH=CE，
设 为 ，CE=x-10,
在Rt△EFC, = =
即 ，选A.
【点睛】此题主要考察三角函数的应用.
二、填空题(共20分)
7．(本题5分)（2022·陕西西安·八年级期中）如图， 中， ，将 绕着
点C顺时针旋转 得到 ，连接 ，若 ，则 _______．
【答案】
【分析】根据旋转的性质可知：AB=DE=4，BC=EC，∠BCE=90°，因为 ，结合三角
函数可求得BC的长，最后利用勾股定理即可求出BE的长．
【详解】解：由旋转的性质可知，AB=DE=4，BC=EC，∠BCE=90°，
在Rt△ABC中，AB=4， ，
∴BC=ABcos30°=4× = ，
∴EC=BC= ，
由勾股定理得，BE= ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质、锐角三角函数和勾股定理等知识，掌握旋转的性质是解本题的关键．
8．(本题5分)（2022·山东滨州·九年级期末）如图， 是边长为 的正三角形 的中心，若将 绕
点O顺时针旋转 ，得到 ，则图中阴影部分的面积为_________．
【答案】
【分析】根据旋转的性质，观察图形易得，图中空白部分的小三角形也是等边三角形，且边长为4，且面
积是 面积的 ，重叠部分的面积是 与三个小等边三角形的面积之差，代入数据计算可得答案．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，
根据旋转的性质可知，图中空白部分的小三角形也是等边三角形，且边长为 ，且面积是 面
积的 ，
观察图形可得，重叠部分的面积是 与三个小等边三角形的面积之差，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ 的高是 ，一个小等边三角形的高是 ，
∴ 的面积是 ，一个小等边三角形的面积是 ，
所以重叠部分的面积是 ．
故答案为： ．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于
旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和三角形函数等知识． 确定重叠部分的面
积是 与三个小等边三角形的面积之差是解题的关键．
9．(本题5分)（2021·广东深圳·九年级阶段练习）△ABC中，AB＝4，AC＝5，△ABC的面积为5 ，那么
∠A的度数是_________．
【答案】60°或120°##120°或60°
【分析】首先根据已知条件可以画出相应的图形，根据AC=5，可以求出AC边上的高，再根据∠A的三角
函数值可得∠A的度数，注意需要分情况讨论．
【详解】解：当∠A是锐角时，
如图，过点B作BD⊥AC于D，
∵AC＝5，△ABC的面积为5 ，
∴BD＝5 ×2÷5＝2 ，
在 中，sinA＝ ＝ ＝ ，
∴∠A＝60°．
当∠A是钝角时，
如图，过点B作BD⊥AC，交CA的延长线于D，∵AC＝5，△ABC的面积为5 ，
∴BD＝5 ×2÷5＝2 ，
在Rt△ABD中，sin∠BAD＝sinA＝ ＝ ＝ ，
∴∠BAD＝60°．
∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°．
故答案为60°或120°．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是画出合适的图形，作出相应的辅助线．
10．(本题5分)（2020·江苏·九年级专题练习）如图，一块含有45°角的直角三角板，外框的一条直角边长
为8cm，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为 cm，则图中阴影部分的面积为__cm2（结
果保留根号）．
【答案】（10+12 ）
【分析】图中阴影部分的面积＝外框大直角三角板的面积−内框小直角三角板的面积，根据等腰直角三角
形的性质求出内框直角边长，再根据三角形面积公式计算即可求解．
【详解】解：如图，
EF＝DG＝CH= ，
∵含有45°角的直角三角板，
∴BC= ，GH＝2，
∴FG＝8- -2- =6﹣2 ，
∴图中阴影部分的面积为：
8×8÷2﹣（6﹣2 ）×（6﹣2 ）÷2
＝32﹣22+12＝10+12 （cm2）
答：图中阴影部分的面积为（10+12 ）cm2．
故答案为：（10+12 ）．
【点睛】考查了等腰直角三角形，平行线之间的距离，关键是求出内框直角边长．
三、解答题(共56分)
11．(本题10分)（2022·重庆忠县·八年级期末）如图，小李同学想测自己居住楼AB的高度，他起先站在C
点从D处张望向自己家的阳台G时，测得仰角恰为30°，接着他向楼的方向前进了3m，从E处仰望楼顶B
时，测得仰角恰为45°，已知小李同学身高（CD）为1.6m，GB＝3m，设AB⊥DF．（参考数据：
≈1.7）
(1)求他起先站立位置C与楼的距离（结果保留根号）；
(2)求楼高AB（结果保留一位小数）．
【答案】(1)他起先站立位置C与楼的距离为(9 + 3 )m
(2)楼高AB约为12.7m
【分析】(1)设FG= xm，则BF=(3+x)m，然后在Rt△BFE中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，再
在Rt∆GFD中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答；
(2)根据题意得：AF= CD= 1.6m，再利用(1) 的结论可得BF= (6 + 3 )m，然后进行计算即可解答．（1）设FG = xm， ∵BG=3m，∴BF=FG+BG=(3+x)m，∵AB⊥DF，∴∠BFD=
90°在Rt△BFE中，∠BEF= 45°∴EF= =(3+ x)m，∵DE= 3m，∴DF= DE+ EF=(6+x)m，在Rt△GFD
中，∠GDF = 30°，∴tan30°= = ∴x=3 + 3 ， 经检验： x= 3 + 3 是原方程的根，
DF=x+6= (9 + 3 )m， ∴他起先站立位置C与楼的距离为(9 + 3 )m
（2）由题意得：AF= CD= 1.6m，由(1) 得：BF= 3+x= (6 + 3 )m，∴ AB= AF+ BF= 1.6+6+3 ，=
7.6+ ≈12.7 m∴楼高AB约为12.7m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
12．(本题10分)（2022·海南·九年级专题练习）如图，某天然气公司的主输气管道途经A小区，继续沿A
小区的北偏东60°方向往前铺设．测绘员在A处测得另一个需要安装天然气的P小区位于北偏东30°方向，
测绘员从A处出发，沿主输气管道方向前行2000米到达B处，此时测得P小区位于北偏西75°方向．
(1)∠PAB＝ 度，∠PBA＝ 度；
(2)现要在主输气管道AB上选择一个支管道连接点Q，使从Q处到P小区铺设的管道最短，求A小区与支
管道连接点Q的距离．（结果保留根号）
【答案】(1)30；45
(2) 米【分析】（1）根据方位角的定义计算即可．
（2）过点P作PQ⊥AB于Q．设PQ=x米，根据直角三角形的边角关系求出AQ和BQ的长度，进而列出方
程求出x的值，再代入计算即可求解．
（1）
解：∵B小区位于A小区的北偏东60°方向，P小区位于A小区的北偏东30°方向，
∴∠PAB=60°-30°=30°，A小区位于B小区的南偏西60°方向．
∵P小区位于B小区的北偏西75°方向，
∴∠PBA=180°-60°-75°=45°．
故答案为：30；45．
（2）
解：如下图所示，过点P作PQ⊥AB于Q，则此时从Q处到P小区铺设的管道最短，设PQ=x米．
∵PQ⊥AB，
∴ 米， 米．
∴ 米．
∵AB=2000米，
∴ ．
∴ ．
∴ 米．
答：A小区与支管道连接点Q的距离是 米．
【点睛】本题考查方位角，解直角三角形的实际应用，熟练掌握这些知识点是解题关键．13．(本题12分)（2022·山东泰安·一模）如图，一幢楼房 后有一假山，其坡度为 ，山坡坡面上
E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离 米，与亭子距离 米，小丽从楼房顶测
得E点的俯角为 ，求楼房 的高．
【答案】楼房AB的高为 米
【分析】过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，根据CE=24米，坡度为 ，可分别求出
EF、CF的长度．再在等腰Rt AEH中求出AH，继而可得楼房AB的高．
【详解】解：过点E作EF⊥BC△的延长线于F，EH⊥AB于点H，
∵在Rt CEF中， ，
△
∴∠ECF=30°，
∴EF= CE=12米，
∴CF= EF= 米，
∴BH=EF=12米，HE=BF=BC+CF=( )米，
∵在Rt AHE中，∠HAE=45°，
△
∴AH=HE=( )米，∴AB=AH+HB= 米．
答：楼房AB的高为 米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题；坡度坡角问题，掌握概念，正确计算是本题的解题
关键．
14．(本题12分)（2022·山东威海·中考真题）小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸
平行的河流宽度．他先在河岸设立A，B两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M．测得AB＝
50m，∠MAB＝22°，∠MBA＝67°．请你依据所测数据求出这段河流的宽度（结果精确到0.1m）．
参考数据：sin22°≈ ，cos22°≈ ，tan22°≈ ，sin67°≈ ，cos67°≈ ，tan67°≈ ．
【答案】约为17.1m
【分析】过点M作MN⊥AB，利用正切函数得出AN≈ ，BN≈ ，结合图形得出
，然后求解即可．
【详解】解：过点M作MN⊥AB，
根据题意可得： ，
∴AN≈
，
∴BN≈
∵AN+BN=AB=50，∴ ，
解得：MN= (m)，
∴河流的宽度约为17.1m．
【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解决实际问题，理解题意，结合图形进行求解是解题关键．
15．(本题12分)（2022·四川成都·中考真题）2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组
开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当
张角 时，顶部边缘 处离桌面的高度 的长为 ，此时用眼舒适度不太理想．小组成员
调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角 时（点 是 的对应点），用眼
舒适度较为理想．求此时顶部边缘 处离桌面的高度 的长．（结果精确到 ；参考数据：
， ， ）
【答案】约为
【分析】在Rt△ACO中，根据正弦函数可求OA=20cm，在Rt△ 中，根据正弦函数求得 的值．
【详解】解：在Rt△ACO中，∠AOC=180°-∠AOB=30°，AC=10cm，
∴OA= ，
在Rt△ 中， ， cm，
∴ cm．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
