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专题 13.3 等腰三角形中的综合
【典例1】在△ABC中，AB＝AC，AE是△ABC的中线，G、H分别为射线BA、AC上一点，且满足
∠GEH+∠BAC＝180°．
(1)如图1，若∠CAE＝45°，且G、H分别在线段BA、AC上，求证：△AEH≌△BEG；
(2)在（1）的条件下，AG＝3，求线段CH的长度；
(3)如图2，延长AE至点D，使DE＝AE，过点E作EF⊥BD于点F，当点G在线段BA的延长线上，点H
在线段AC的延长线上时，探求线段BF、CH、BG三者之间的数量关系，并说明理由．
【思路点拨】
（1）利用等腰三角形的性质和已知条件，先证∠BAC＝90°，AE=CE，AE=BE， 再结合∠GEH+∠BAC
＝180°，证明∠GEH＝90°，进而证明∠AEH＝∠BEG，最后利用ASA即可证明△AEH≌△BEG；
（2）利用（1）中结论，参照（1）中方法利用ASA即可证明△CEH≌△AEG，即可得出CH=AG=3；
（3）作EI⊥AB于I，在BG上截取IJ＝BI，连接EJ．先利用AAS证明△JEG≌△CEH，推出JG=CH，再证
明△BFE≌△BIE，推出BF＝BI，即可得出BG=BI+JI+GJ=2BF+CH．
【解题过程】
解：（1）证明：如图所示：∵AB＝AC，AE是△ABC的中线，
∴∠C＝∠B，AE⊥BC，
又∵∠CAE＝45°，
∴∠C＝∠CAE＝45°，
∴∠B＝∠C＝∠CAE＝∠BAE＝45°，
∴∠BAC＝90°，AE=CE，AE=BE，
∵∠GEH+∠BAC＝180°，∠BAC＝90°，
∴∠GEH＝90°，
∴∠AEH+∠AEG＝∠AEG +∠BEG＝90°，
∴∠AEH＝∠BEG，
在△AEH和△BEG中，
¿，
∴△AEH≌△BEG(ASA)；
（2）由（1）知∠C＝∠BAE＝45°，AE=CE，∠GEH＝90°，AE⊥BC，
∴∠AEC＝∠GEH＝90°，
∴∠AEH+∠CEH＝∠AEH +∠AEG＝90°，
∴∠CEH＝∠AEG，
在△CEH和△AEG中，
¿，
∴△CEH≌△AEG(ASA)，
∴CH=AG=3；
（3）2BF+CH=BG，
理由如下：
如图，作EI⊥AB于I，在BG上截取IJ＝BI，连接EJ．
则EI是线段BJ的垂直平分线，
∴EJ=BE，
∵E是BC的中点，∴BE=EC，
∴EJ=EC．
∵∠GEH+∠BAC＝180°，∠GAH+∠BAC＝180°，
∴∠GEH＝∠GAH，
又∵∠GOA＝∠HOE，
∴∠JGE＝∠CHE，
∵EJ=BE，AB=AC，
∴∠EJB＝∠ABC＝∠ACB，
∴∠EJG＝∠ECH，
在△JEG和△CEH中，
¿，
∴△JEG≌△CEH(AAS)，
∴JG=CH，
∵AE⊥BC，DE＝AE，
∴BD＝AB，
∴∠ABE＝∠DBE，
∵EI⊥AB，EF⊥BD，
∴∠BIE＝∠BFE＝90°，
又∵BE＝BE，
∴△BFE≌△BIE(AAS)，
∴BF＝BI，
∴BG=BI+JI+GJ=2BF+CH．
1．（2021·福建省永春崇贤中学九年级阶段练习）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，且点E
落在AB上，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA，BF，若∠ABC=60°，BF=AF．
(1)求证△ADF≌△BDF；
(2)若AF=2，求DF的长．2．（2021·北京市陈经纶中学八年级期中）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一点，
连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．
(1)若∠CAP=20°，则∠AMQ= °．
(2)判断AP与QM的数量关系，并证明．
3．（2022·山西·运城市盐湖区教育科技局教学研究室七年级期末）已知：等腰直角△ABC，∠ACB=90°，
AC=BC，CH⊥AB，将△ABC沿CE折叠，使CA落在直线CH上，BM是∠ABC的平分线，交AC于
M，交CH于N，连接EN．
(1)请说明：AE=CN
(2)试判断CE与BM的关系，并说明理由．4．（2021·广东·沙田第一中学七年级期末）如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，B，C，D三点共线，
AD与BE相交于点O，AD与CE交与点F，AC与BE交于点G．
(1)找出图中一对全等三角形，并说明理由．
(2)求∠BOD度数．
(3)连接GF，判断△CGF形状，并说明理由．
5．（2022·福建省尤溪县梅仙中学八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，
0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x轴正半轴上一动点（OC>1），连接
BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形CBD，直线DA交y轴于点E．
(1)求证：OC＝AD．
(2)∠CAD的度数是______．(3)当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？
6．（2022·全国·八年级专题练习）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、
C重合），以AD为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．
(1)如图1，当点D在边BC上时，求证：
①BD＝CE，
②AC＝CE＋CD；
(2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC＝CE＋CD是否成立？若不成立，请写
出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由．
7．（2022·四川省彭州中学实验学校八年级期中）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是△ABC的外角
平分线AD上一点，DE⊥AC交CA的延长线于点E，连接DB．
(1)求证：∠CAB＝2∠ADE；
1
(2)如图2，F是AC上一点，且DF＝DB，若∠CAB＝60°，求证：AC﹣AE＝ AF．
28．（2022·全国·八年级专题练习）如图，点O是等边△ABC内一点．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转
60°得△ADC，连接OD．已知∠AOB＝110°．
(1)求证：△COD是等边三角形；
(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
9．（2022·江西·崇仁县第二中学七年级阶段练习）已知：在△ABC中，AC=7．
(1)如图①，分别以AB，BC为边，向外作等边△ABD和等边△BCE，连接AE，CD，则AE CD（填
“＞”“＜”或“=”）；
1
(2)如图②，分别以AB，BC为腰，向内作等腰△ABD和等腰△BCE，∠ABD=∠CBE且小于 ∠ABC，连接
2
AE，CD，请猜想AE与CD的数量关系，并说明理由；(3)如图③，以AB为腰向内作等腰△ABD，以BC为腰向外作等腰△BCE，且∠ABD=∠CBE，已知点A到
直线DE的距离为2，AE=8，求点D到直线AE的距离．
10．（2022·山东烟台·七年级期末）已知在△ABC中，满足∠ACB=2∠B，
(1)【问题解决】如图1，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上取一点E使得AE=AC，连
接DE，求证：AB=AC+CD．
(2)【问题拓展】如图2，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上取一点E使得AE=AC，连
接DE，（1）中的结论还成立吗？若成立，请你证明：若不成立，请说明理由．
(3)【猜想证明】如图3，当AD为△ABC的外角平分线时，在BA的延长线上取一点E使得AE=AC，连接
DE，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
11．（2022·四川成都·七年级期末）如图，已知△ABC是等边三角形．
(1)如图1，D是AC上一点，以BD为边作等边△BDE，连接AE，求证：△BCD≌△BAE；
(2)在（1）的条件下，DE⊥AB于F，若AF=3，求BF的长；
(3)如图2，BN为穿越AC的一条射线，点P是点C关于BN的对称点，连接PA并延长交BN于Q，连接CQ．
已知∠P=30°，观察、猜测并证明QA，QB，QC之间的关系．12．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝10cm，动点P以每秒1cm的速
度从点A出发，沿线段AB向点B运动．设点P的运动时间为t（t>0）秒．（知识储备：一个角是60°的等
腰三角形是等边三角形）
(1)当t＝5时，求证：△PAC是直角三角形；
(2)如图②，若另一动点Q在线段CA上以每秒2cm的速度由点C向点A运动，且与点P同时出发，点Q到
达终点A时点P也随之停止运动．当△PAQ是直角三角形时，直接写出t的值；
(3)如图③，若另一动点Q从点C出发，以每秒1cm的速度沿射线BC方向运动，且与点P同时出发．当点
P到达终点B时点Q也随之停止运动，连接PQ交AC于点D，过点P作PE⊥AC于E．在运动过程中，线
段DE的长度是否发生变化？若不变，直接写出DE的长度；若变化，说明如何变化．
13．（2022·福建·莆田哲理中学八年级期末）如图1，在△ABD中，点E，F分别是AB和AD上的点，满
足AE=EF，连接EF并延长交BD延长线于点C．
(1)若DC=DF=EF，求证：AB=BC；
(2)如图2，过B作BG⊥AD，垂足为G．
（i）求证：∠ABG=∠GBD+∠C；
（ii）如图3，连接AC，若∠GBD=30°，AF=BD，△BDG的面积为4，求△AFC的面积．14．（2021·福建省长乐第七中学八年级阶段练习）已知∠ABC＝60°，AB＝BC，D是BC边上一点，延长
AD到点E，使得AD＝DE，连接CE，过点D作BC的垂线，交CE的垂直平分线于点F，连接EF．
(1)如图1，当点D与点C重合时，证明：BF＝2DF；
(2)如图2，当点D不与B，C两点重合时，（1）中的结论是否还成立？并说明理由．
15．（2021·北京市朝阳区芳草地国际学校富力分校八年级期中）△ABC是等边三角形，AC=2，点C关
于AB对称的点为C'，点P是直线C'B上的一个动点，连接AP，作∠APD=60°交射线BC于点D．(1)若点P在线段C'B上（不与点C'，点B重合）．
①如图1，若点P是线段C'B的中点，则BP的长为 ；
②如图2，点P是线段C'B上任意一点，求证：PD=PA；
(2)若点P在线段C'B的延长线上．
①依题意补全图3；
②直接写出线段BD，AB，BP之间的数量关系为： ．
16．（2022·四川成都·七年级期末）在等边△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，BD＝AE，BE与
CD交于点O．
(1)如图1，填空：∠BOD＝ °；
(2)如图2，以CO为边作等边△OCF，连接AO、BF，那么BF与AO相等吗？并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，若点G是BC的中点，连接GO，判断BF与GO有什么数量关系？并说明理
由．
17．（2022·辽宁大连·八年级期末）已知点D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD，
∠BAC＝∠BDC=α．(1)【特例体验】
如图1，AB＝BC，α＝60°，则∠ADB的度数为 ；
(2)【类比探究】
如图2，AB＝BC，求证：∠ADB＝∠BDC；
(3)【拓展迁移】
CD
如图3，α＝60°，∠ACB+∠BCD＝180°，CE⊥BD于点E，AC＝kDE，直接写出 的值（用k的代数式表
AB
示）．
18．（2022·山东淄博·七年级期末）如图，点E是等边三角形ABC中边AC上的一个定点，点D是边BC所
在直线上的一个动点，以DE为边作等边三角形DEF，连接CF．
(1)如图1，求证：CE+CF＝CD；
(2)如图2，当点D在边BC的延长线上时，问CE，CF，CD之间存在怎样的数量关系？并加以说明．19．（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学七年级阶段练习）等腰△ABC，CA＝CB，D为直线AB上一动点，
以CD为腰作等腰三角形△CDE，顶点C、D、E按逆时针方向排列，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，连接
BE．
(1)若∠ACB＝60°，当点D在线段AB上时，如图（1）所示，此时AD与BE的数量关系为______；
(2)若∠ACB＝90°，当点D在线段BA延长线上时，如图（2）所示，AD与BE有什么关系，说明理由；
(3)当BE∥AC时，若△CAD中最小角为15°，试探究∠CDA的度数（直接写出结果）．
20．（2022·山东淄博·七年级期末）数学课上，王老师出示了如下框中的题目．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB
的大小关系，并说明理由．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，归纳猜想：当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结
论：AE_____DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．
(2)特例启发，演绎证明：如图2，当点E为AB边上任意一点时，线段AE与DB的大小关系是：
AE_____DB（填“＞”，“＜”或“＝”），小敏和小聪过点E作EF∥BC，交AC于点F，请帮助
小敏和小聪完成接下来的证明过程．
(3)拓展延伸，问题解决：在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若
3
等边三角形ABC的边长为1，AE= ，求CD的长．（请自己画图，并完成解答）．
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