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专题16 二次函数中的正方形
类型一 和二次函数中的正方形有关的纯计算
1．如图， ， ，一抛物线顶点为 ，且过 、 两点． ， 是抛物线上且位于 轴上方
的点， // 轴， 轴于点 ， 轴于点 ．
(1)求抛物线解析式；
(2)若四边形 是正方形，求 的值．
2．如图，抛物线 经过点 ， 两点，边长为4的正方形 的顶点A、C分别在x
轴上，y轴上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将正方形 向右平移，平移距离记为h．①当点C首次落在抛物线上时，求h的值；
②当抛物线落在正方形内部的部分，满足y随x的增大而减小时，请直接写出h的取值范围．
3．已知关于x的二次函数
（1）求抛物线 的顶点坐标（用含m的代数式表示）．
（2）抛物线 过一定点，直接写出该定点的坐标．
（3）点A（－6，1），B（4，1）．若以AB为边向上作正方形ABCD．
①当抛物线 的顶点在正方形的边上时，求m的值．
②当抛物线 的顶点在正方形的内部时，求m的取值范围．
类型二 找点使四边形是正方形
4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣1，0)，B(3，0)，与y轴交
于点C．
(1)b＝______，c＝______；
(2)若点P是该抛物线对称轴上的一点，点Q为坐标平面内一点，那么在抛物线上且位于x轴上方是否存在
点M，使四边形OMPQ为正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，直线 交横轴、纵轴分别于 、 两点，且直线 的表达式为： ，点 为横轴
上原点右侧的一点，且满足 ，抛物线经过点 、 、 ．(1)点 、 、 的坐标分别为______、______、______；
(2)求抛物线表达式；
(3)如图，点 为直线 上方、抛物线上一点，过点 作矩形 ，且 轴，求当矩形 为正
方形时点 的坐标．
6．已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=2x2−(1+2c)x+c（c> ，c是常数）的图像与x轴分别交于点
A，点B（点B在点A右侧），与y轴交于点C，连接BC．
(1)证明： BOC是等腰直角三角形；
(2)抛物线△顶点为D，BC与抛物线对称轴交于点E，当四边形AEBD为正方形时，求c的值．
7．如图，抛物线y＝﹣x2+3x+m与x轴的一个交点为A(4，0)，另一交点为B，且与y轴交于点C，连接
AC．(1)求m的值及该抛物线的对称轴；
(2)若点P在直线AC上，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使以点A、点B、点P、点Q为顶点的四边形
为正方形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于点A（1，0），B（5，0）两
点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式和点D的坐标；
(2)点M为抛物线上一动点，点N为平面内一点，以A，M，I，N为顶点作正方形，是否存在点M，使点I
恰好落在对称轴上？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（-3，0）两点，与y轴交于C（0，3）．(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点
M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的面积；如果不存在，请说明理由．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A(﹣3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，顶点为D．
(1)求出抛物线解析式；
(2)如图，点P为抛物线上一个动点，直线AC上的有一动点F，点M为坐标平面上一个动点，若A，P，
F，M四点构成的四边形为正方形时，请直接写出点P的坐标．
11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线AB交于A、B两点，A（1，- ），B
（-2，0），其中点A是抛物线y=ax2+bx+c的顶点，交y轴于点D．(1)求二次函数解析式；
(2)点Q是抛物线第三象限上一点（不与点B、D重合），连接BQ，以BQ为边作正方形BEFQ，当顶点E
或F恰好落在抛物线对称轴上时，直接写出对应的Q点的坐标．
12．如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， ，与 轴交于点 ．
（1）求该二次函数的解析式及点 的坐标；
（2）点 为抛物线上一点，过 作 轴交直线 于点 ，点 为 轴上一点，点 为坐标系内一
点，当以点 ， ， ， 为顶点的四边形是正方形时，直接写出点 的坐标．
13．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3过点A（﹣1，0），B（3，0），点M、N为抛物线上的动点，过点M
作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E．过点N作NF⊥x轴，垂足为点F
(1)求二次函数y=ax2+bx﹣3的表达式；
(2)若M点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形MNFE为正方形，求该正方形的面积；14．如图，已知二次函数y= x2+bx﹣ 与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形
ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．
（1）试求出二次函数的表达式和点B的坐标；
（2）是否存在这样的点P，使 PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时 PED与正方形
ABCD重叠部分的面积；若不存△在，请说明理由． △
