文档内容
第 03 讲 与圆有关的角和圆内接四边形
1.掌握弧、弦、圆心角的定义，并会根据其性质进行简单的计算
2.理解圆周角、圆心角的定义，并掌握它们之间的关系.
3.掌握圆内接四边形的性质。
知识点1 圆心角的概念
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
E
F
O
D
A
C
B
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦 或两条
弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。
知识点2 圆角角的概念
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=
1
圆心角） C
2
B O
A
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 D C
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
B O
A
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。C
B A
O
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
C
B A
O
知识点3 圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙ 中， ∵四边 是内接四边形
D
C
∴
B
A E
【题型1 直径所对圆周角为90°的运用】
【典例1】（2023•无为市四模）如图，CD是 O的直径，BE是弦，延长BE
交CD的延长线于点A，连接CE，若∠A＝22°，∠ACE＝16°，则∠BCE的度
⊙
数是（ ）
A．34° B．36° C．38° D．42°
【变式1-1】（2023•开福区模拟）如图，BC是 O的直径，A是 O上一点，
若∠ACB＝32°，则∠B的度数是（ ）
⊙ ⊙A．58° B．60° C．64° D．68°
【变式 1-2】（2023•鄞州区校级三模）如图，AB是 O的直径，点 C，D在
O上，若∠ACD＝28°，则∠BAD的度数是（ ）
⊙
⊙
A．48° B．56° C．62° D．68°
【变式1-3】（2023•昆明模拟）如图，AB为 O的直径，C，D为 O上的两
点，若∠ACD＝46°24′，则∠DAB的度数为（ ）
⊙ ⊙
A．43°36′ B．46°24′ C．43°46′ D．44°36′
【题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】
【典例2】（2023•枣庄）如图，在 O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝
48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（ ）
⊙
A．32° B．42° C．48° D．52°【变式2-1】（2023•雁塔区校级模拟）如图，AB是 O的直径，D是弧AC的
中点，DC、AB的延长线相交于点P．若∠CAB＝16°，则∠BPC的度数为（
⊙
）
A．37° B．32° C．21° D．16°
【变式2-2】（2023•南海区校级模拟）如图，AB是 O的直径，CD是弦，若
∠ABD＝55°，则∠BCD等于（ ）
⊙
A．55° B．45° C．35° D．25°
【变式2-3】（2023•舒城县模拟）如图，点A、B、C在 O上， ＝2 ，若
⊙
∠A＝70°，则∠B的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．110°
【变式2-4】（2023•新城区校级二模）如图，AB、CD是 O的两条直径，点E
是弧BD的中点，连接AC、BE，若∠ACD＝20°，则∠ABE的度数（ ）
⊙A．40° B．44° C．50° D．55°
【题型3 圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半的运用】
【典例3】（2023•广元）如图，AB是 O的直径，点 C，D在 O上，连接
CD，OD，AC，若∠BOD＝124°，则∠ACD的度数是（ ）
⊙ ⊙
A．56° B．33° C．28° D．23°
【变式3-1】（2023•南关区校级三模）如图，点 A，B，C均在 O上，若∠A
＝66°，∠OCB的度数是（ ）
⊙
A．16° B．24° C．32° D．48°
【变式3-2】（2023•绥江县二模）如图，在 O中，∠AOC＝100°，BD平分
∠ABC，则∠CBD的度数为（ ）
⊙
A．100° B．50° C．30° D．25°
【变式3-3】（2023•滨城区模拟）如图，AB是 O的直径，点C、D在 O上，
∠ADC＝30°，则∠BOC的大小为（ ）
⊙ ⊙A．150° B．130° C．120° D．60°
【变式3-4】（2023•凤凰县三模）如图，OA，OB是 O的两条半径，点 C在
O上，若∠C＝38°，则∠AOB的度数为（ ）
⊙
⊙
A．38° B．60° C．76° D．80°
【题型4 利用半径相等构成的等腰三角形有关运用】
【典例4】（2023•淮安区校级二模）如图，ABC是 O上三点，若OA＝AB＝
BC，则∠ACB的度数为（ ）
⊙
A．30° B．40° C．45° D．60°
【变式4-1】（2023•淮阴区模拟）如图，A、D是 O上的两点，BC是直径，
若∠D＝32°，则∠OAC度数为（ ）
⊙
A．58° B．32° C．60° D．68°
【变式4-2】（2023•永寿县二模）如图，四边形 ABCD是 O的内接四边形，
⊙连接OA，OC，AC，已知∠ACO＝40°，则∠ABC的度数是（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【变式4-3】（2023•姑苏区校级一模）如图，AB为 O的直径，点C在 O上，
且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠OCD＝25°，连
⊙ ⊙
接AD，则∠BAD＝ °．
【题型5 圆内接四边形的综合运用】
【典例 5】（2023•鹿城区校级二模）如图，AB，BC 为 O 的两条弦，连结
OA，OC，点 D 为 AB 的延长线上一点．若∠CBD＝65°，则∠AOC 为
⊙
（ ）
A．110° B．115° C．125° D．130°
【变式5-1】（2023•昌江县校级模拟）如图，CD是 O的直径，A、B是 O
上的两点，若∠ACD＝40°，则∠ABC的度数为（ ）
⊙ ⊙A．50° B．40° C．20° D．140°
【变式5-2】（2023•碑林区校级模拟）如图，CD是 O的直径，AB为 O的
弦，且AD∥OB．若∠BAD＝110°，则∠D的度数为（ ）
⊙ ⊙
A．45° B．40° C．35° D．30°
【变式5-3】（2023•碑林区校级一模）如图，点 A是 O中优弧BAD的中点，
⊙
∠ABD＝70°，C为劣弧 上一点，则∠BCD的度数是（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【变式5-4】（2023•道外区三模）如图，四边形ABCD内接于 O，如果它的
一个外角∠DCE＝60°，那么∠BOD的度数为（ ）
⊙
A．128° B．64° C．32° D．120°【变式5-5】（2023•市南区二模）如图，四边形 ABCD内接于 O，连接OB，
OD，BD，若∠C＝105°，则∠OBD的度数为（ ）
⊙
A．15° B．20° C．25° D．30°
【题型6 运用圆周角、圆心角和圆内接四边形的性质求边长】
【典例 6】（2023•袁州区校级二模）如图，点 A、B、C 在 O 上，
⊙
，则 O的半径为（ ）
⊙
A． B． C．6 D．9
【变式6-1】（2023春•定海区校级月考）如图， O的直径CD垂直弦AB于点
E，且CE＝2，DE＝8，则AB的长为（ ）
⊙
A．4 B．6 C．7 D．8
【变式 6-2】（2023•蒙城县模拟）如图，在△ABC 中，已知∠ACB＝135°，
∠BAC＝15°，以点C为圆心、CB长为半径的圆交 AB于点D，AD＝2，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．4
【变式6-3】（2023•礼泉县二模）如图，点 A，B，C均在 O上，连接AB、
BC、AC，过点O作OD⊥BC于点D，若 O的半径为4，∠A＝60°，则弦
⊙
BC的长是（ ）
⊙
A．2 B．2 C．4 D．4
1．（2023•杭州）如图，在 O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB
上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（ ）
⊙
A．23° B．24° C．25° D．26°
2．（2023•黔东南州二模）如图，点 A，B，C 在 O 上，若∠C＝110°，则
∠AOB等于（ ）
⊙A．100° B．110° C．120° D．140°
3．（2023•南充）如图，AB是 O的直径，点D，M分别是弦AC，弧AC的中
点，AC＝12，BC＝5，则MD的长是 ．
⊙
4．（2023•九龙坡区自主招生）如图，AB是半径为8的 O的弦，点C是优弧
AB的中点，∠ACB＝60°，则弦AB的长度是（ ）
⊙
A．8 B．4 C．4 D．8
5．（2023•大安市校级二模）如图，AB 为 O 的直径，点 C 在 O 上，且
CO⊥AB于点O，弦CD与AB相交于点E，连接AD，若∠A＝19°，则∠AEC
⊙ ⊙
的度数为（ ）
A．19° B．21° C．26° D．64°
6．（2023•礼泉县一模）如图，AB 是 O 的直径，CD 是 O 的弦，且
⊙ ⊙AB⊥CD，垂足为 M，连接 AD．若 AB＝8，CD＝4 ，则 AD 的长为
（ ）
A．10 B．5 C． D．
7．（2023•梁溪区模拟）如图，已知四边形 ABCD内接于 O， ＝ ，AD、
⊙
BC的延长线相交于点E，AF为直径，连接BF．若∠BAF＝32°，∠E＝40°，
则∠CBF的度数为（ ）
A．16° B．24° C．12° D．14°
8．（2023•胶州市模拟）如图，∠DCE是 O内接四边形ABCD的一个外角，
若∠DCE＝80°，那么∠BOD的度数为（ ）
⊙
A．160° B．135° C．80° D．40°
9．（2023•武汉）如图，OA，OB，OC都是 O的半径，∠ACB＝2∠BAC．
（1）求证：∠AOB＝2∠BOC；
⊙
（2）若AB＝4， ，求 O的半径．
⊙1．（2023•阜新模拟）如图， O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝40°，则
∠ACB的大小为（ ）
⊙
A．40° B．30° C．45° D．50°
2．（2023•新化县模拟）如图， O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，则∠BOC
的度数为（ ）
⊙
A．40° B．50° C．80° D．100°
3．（2023•江海区一模）如图，在 O中，AB是直径，CD是弦．若∠BCD＝
44°，则∠ABD＝（ ）
⊙A．40° B．44° C．45° D．46°
4．（2023•南关区四模）如图，AB是 O的直径，点 C在 O上，∠OCA＝
40°，则∠BOC的度数为（ ）
⊙ ⊙
A．80° B．90° C．100° D．50°
5．（2023•台江区校级模拟）如图，AB是 O的弦，半径OC⊥AB于点D，
∠A＝36°，点P在圆周上，则∠P等于（ ）
⊙
A．27° B．30° C．32° D．36°
6．（2023•香洲区一模）如图，已知AB是 O直径，∠AOC＝130°，则∠D等
于（ ）
⊙
A．65° B．25° C．15° D．35°
7．（2023•横山区三模）若AB是 O的直径，CD是 O的弦，∠ABD＝55°，
则∠BCD的度数为（ ）
⊙ ⊙A．25° B．35° C．45° D．65°
8．（2023•长岭县二模）如图，已知AB是 O的直径，∠ADC＝50°，AD平分
∠BAC，则∠ACD的度数是（ ）
⊙
A．110° B．100° C．120° D．130°
9．（2023•小店区校级一模）如图，点 A，B，C，D在 O上，四边形OABC
是平行四边形，则∠D的度数是（ ）
⊙
A．45° B．50° C．60° D．65°
10．（2023•渌口区一模）如图，在 O中，点A、B、C在 O上，且∠ACB＝
110°，则∠ ＝（ ）
⊙ ⊙
α
A．70° B．110° C．120° D．140°
11．（2023•大连二模）如图所示，已知 O中，弦AB的长为10cm，测得圆周
⊙角∠ACB＝45°，则直径AD为（ ）
A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．20 cm
12．（2023•大安市校级模拟）如图，AB 是 O 的直径，∠BCD＝40°，则
∠ABD 的大小为（ ）
⊙
A．60° B．50° C．45° D．40°
13．（2023•扶余市四模）如图，△ABC的顶点A，B在 O上，点C在 O外
（O，C在AB同侧），∠AOB＝98°，则∠C的度数可能是（ ）
⊙ ⊙
A．48° B．49° C．50° D．51°
14．（2023•泸县校级模拟）如图，AB是 O的直径，C，D是 O上位于AB
两侧的点，若∠ACD＝35°，则∠BAD度数为（ ）
⊙ ⊙
A．45° B．55° C．60° D．70°
15．（2023•温县校级二模）如图，以量角器的直径 AB为斜边画直角三角形
ABC，量角器上点D对应的读数是100°，则∠BCD的度数为（ ）A．30° B．40° C．50° D．80°
16．（2023•芙蓉区校级三模）如图，AB 是 O的直径，若∠BAC＝36°，则
∠ADC的度数为（ ）
⊙
A．36° B．45° C．54° D．72°
17．（2023•东昌府区模拟）如图，AB为 O的直径，点C、D、E在 O上，
⊙ ⊙
且 ＝ ，∠E＝70°，则∠ABC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．35° D．50°
18．（2023•洛宁县一模）如图，BC是 O的直径，点A是 O外一点，连接
AC交 O于点E，连接AB并延长交 O于点D，若∠A＝35°，则∠DOE的
⊙ ⊙
度数是（ ）
⊙ ⊙A．110° B．120° C．120.5° D．115°
19．（2023•阜阳模拟）如图，四边形 ABCD是 O的内接四边形，连接AO、
OC，∠ABC＝70°，AO∥CD，则∠OCD的度数为（ ）
⊙
A．40° B．50° C．60° D．70°
