文档内容
【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题17.6勾股定理与弦图问题专项提升训练（重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压
轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己
的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单选题
1．（2022春·江苏无锡·八年级校考期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代
数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设
直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab=24，大正方形的面积为129．则小正方形的边长
为（ ）
A．13 B．10 C．15 D．9
【答案】D
【分析】根据小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，求得小正方形的面积，再计算其
算术平方根即可．
1
【详解】因为小正方形的面积=129− ab×4=129−48=81，
2
所以小正方形的边长为√81=9，
故选D．
【点睛】本题考查了弦图的计算，熟练掌握图形的面积分割法计算，会求算术平方根是解题的关键．
2．（2022春·四川成都·八年级四川省蒲江县蒲江中学校考期中）如图所示的正方形图案是用4个全等的直
角三角形拼成的．已知正方形ABCD的面积为25，正方形EFGH的面积为1，若用x、y分别表示直角三
角形的两直角边(x>y)，下列三个结论：①x2+ y2=25；②x−y=1；③xy=12；④x+ y=40．其中
正确的是( )A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【答案】A
【分析】根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答即可．
【详解】解：∵△ABC为直角三角形，
∴根据勾股定理得：x2＋y2=AB2=25，故①正确；
由图可知，x−y=EF，即为小正方形的边长，
∵正方形EFGH的面积为1
∴EF=1，
∴x−y=1，故②正确；
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
1
即4× ×xy+1=25，
2
∴xy=12，故③正确．
∵(x+ y) 2=x2+ y2+2xy=25+24=49，x,y>0
∴x+ y=7，
故④不正确，
∴正确结论有①②③．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，熟悉勾股定理并认清
图中的关系是解题的关键．
3．（2021秋·广东潮州·八年级统考期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正
方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．已知小正方形的面积是1，直角三
角形的两直角边分别为a、b且ab=6，则图中大正方形的边长为（ ）A．√5 B．√13 C．4 D．3
【答案】B
【分析】根据大正方形面积等于4个三角形面积与小正方形面积和即可求解．
【详解】解：∵直角三角形的两直角边分别为a、b且ab=6，
1 1
∴S = ab= ×6=3，
2 2
△
大正方形的面积为：4S +小正方形面积=4×3＋1＝13，
△
所以大正方形的边长为√13．
故选B．
【点睛】本题考查勾股弦图的应用，算术平方根，掌握勾股弦图的应用，算术平方根是解题关键．
4．（2022秋·河南信阳·八年级统考期中）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全
等的直角三角形围成的，若AC=6,BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，
得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．52 B．68 C．72 D．76
【答案】D
【分析】先根据勾股定理求出BD的长度，然后利用外围周长=4×(BD+AD)即可求解．
【详解】
由题意可知CD=2AC=12
∵∠BCD=90°,BC=5
∴BD=√CD2+BC2=√122+52=13
∴风车的外围周长是4×(BD+AD)=4×(13+6)=76故选：D．
【点睛】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
5．（2022春·山东济南·八年级统考期中）图1是第七届国际数学教育大会(ICME−7)的会徽，主体图案是
由图2的一连串直角三角形演化而成，其中OA =A A =A A =……=A A =1，若OA ⋅OA 的值
1 1 2 2 3 n−1 n 5 n
是整数，且1≤n≤100，则符合条件的n有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据勾股定理分别计算OA 、OA 、OA 、OA ，…即可得出OA ，再根据OA ⋅OA 的值
2 3 4 5 n 5 n
是整数，且1≤n≤100，得√5⋅√n=√5n，从而解决问题．
【详解】解：由勾股定理得，OA =√12+12=√2，
2
OA =√12+(√2) 2=√3，
3
OA =√12+(√3) 2=√4，
4
OA =√5，
5
…
OA =√n，
n
∵OA ⋅OA 的值是整数，且1≤n≤100，
5 n
∴√5⋅√n=√5n，
∴n=5或20或45或80，
∴符合条件的n有4个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查勾股定理，图形的变化类，解答本题的关键是找到规律得出OA 的值．
n
6．（2022春·陕西宝鸡·八年级统考期中）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①所示．在图②中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的
边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【分析】根据正方形面积公式，由面积的和差关系可得8个直角三角形的面积，进一步得到1个直角三角
形的面积，再由面积的和差关系可得正方形EFGH的面积，进一步求出正方形EFGH的边长．
【详解】解：一个直角三角形的面积：（14×14−2×2）÷8
＝（196−4）÷8
＝192÷8
＝24，
正方形EFGH的面积为：24×4＋2×2
＝96＋4
＝100，
∴正方形EFGH的边长为10．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，关键是熟练掌握正方形面积公式，以及面积的和差关系，难点是得
到正方形EFGH的面积．
7．（2022秋·江西·八年级校考期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学
的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直
角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则EF的长为（ ）A．9 B．9√2 C．3√2 D．3
【答案】C
【分析】首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为：a-b；接下来根据ab=8，大正方形的面积为25
求出小正方形的边长，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b，
1 1
∵每一个直角三角形的面积为： ab= ×8=4，
2 2
从图形中可得，大正方形的面积是4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，
1
∴4× ab+(a−b) 2=25，
2
∴(a−b) 2=25−16=9，
∴a-b=3，
∴EF=√32+32=3√2．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边
的平方．
8．（2022秋·福建福州·八年级校考期中）利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角
形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（ ）
A．S EDA＝S CEB
△ △
B．S EDA+S CDE+S CEB＝S ABCD
四边形
△ △ △C．S EDA+S CEB＝S CDE
△ △ △
D．S AECD＝S DEBC
四边形 四边形
【答案】B
【分析】利用梯形面积等于3个三角形面积之和解答即可．
【详解】解：由题意可得：S +S +S =S ．
△EDA △CDE △CEB 四边形ABCD
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明依据．此类证明要转化成该图形面积的两种表示方法，从而转化成方
程达到证明的结果．
9．（2022春·浙江衢州·八年级校联考期中）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦
图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连接AC，交
BE于点P，如图所示，若正方形ABCD的面积为28，AE+EB=7，则S −S 的值是（ ）
△CFP △AEP
A．3 B．3.5 C．4 D．7
【答案】B
【分析】先证明△AEP≅△CGM(ASA)，则S =S ，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的
△AEP △CGM
一半，设AE=x，BE=7−x，根据勾股定理得：AE2+BE2=AB2，x2+(7−x) 2=28，则
2x2−14x=−21，整体代入计算即可；
【详解】∵正方形ABCD的面积为28，
∴AB2=28，
设AE=x，
∵AE+EB=7，
∴BE=7−x，
Rt△AEB中，由勾股定理得：AE2+BE2=AB2，
∴x2+(7−x) 2=28，∴2x2−14x=−21，
∵AH⊥BE，BE⊥CF，
∴AH∥CF，
∴∠EAP=∠GCM，
∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，
∴△AEB≅△CGD，
∴AE=CG，
∴△AEP≅△CGM(ASA)，
∴S =S ，EP=MG，
△AEP △CGM
1 1 1
∴S −S =S −S =S = (MG+PF)·FG= EF·FG= S ，
△CFP △AEP △CFP △CGM 梯形FPMG 2 2 2 正方形EHGF
1
∵S =S −4S =28−4× x(7−x)=28−2x(7−x)=28−21=7，
矩形EHGF 正方形ABCD △AEB 2
则S −S 的值是3.5；
△CFP △AEP
故选：B．
【点睛】本题主要考查了“赵爽弦图”，多边形面积，勾股定理等知识点，首先要求学生正确理解题意，
然后利用勾股定理和三角形全等的性质解题．
10．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期中）如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC:BC=4:3，这个
直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4:3的
直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是
2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和
为（ ）A．225 B．250 C．275 D．300
【答案】D
【分析】根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，
∴设AC=4x，则BC=3x，
根据勾股定理得，AB=√AC2+BC2=√(4x) 2+(3x) 2=5x，
∵3x+4x+5x=12，
∴x=1，
∴AB=5，BC=3，AC=4，
∴图①中正方形面积和为：32+42+52=25+25=2×25=50，
图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为：
32+42+32+42+52=25+25+25=25+50，
图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中所有正方形的面积和为：
32+42+32+42+32+42+52=25+25+25+25=2×25+50
⋯
∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为25n+50，
∴10次操作后的图形中所有正方形的面积和为：25×10+50=300，故D正确．
故答案为：25n+50．
【点睛】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识，解题的关键是
理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题
11．（2022春·陕西西安·八年级西安市曲江第一中学校考期中）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和
证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．下图是3世纪我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”．此图中四个全等的直角三角
形可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是
1，则(a+b) 2的值是____________．
【答案】49
【分析】根据题意和图形，可以得到a2+b2=c2，c2=25，(a−b) 2=1然后变形即可得到ab的值，再将
(a+b) 2展开，将a2 + b2和ab的值代入计算即可．
【详解】解：由图可得，
a2+b2=c2，c2=25，
∴a2+b2=25，
∵小正方形的面积是1，
∴(a−b) 2=1，
∴a2−2ab+b2=1，
∴ab=12，
∴(a+b) 2 =a2+2ab+b2
=(a2+b2)+2ab
=25+2×12
= 25+ 24
=49；
故答案为：49．
【点睛】本题考查勾股定理、完全平方公式，解答本题的关键是求出ab的值，利用数形结合的思想解答．
12．（2022秋·山东济宁·八年级统考期中）如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个全等的直角三角
形，拼成如图2的四边形ABCD（相邻纸片之间不重处，无缝隙）．若四边形ABCD的面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a，b，则(a+b) 2=________．
【答案】25
【分析】由菱形的性质可得四边形ABCD是正方形，可得AD2=13=a2+b2，中间空白处的四边形EFGH也是
正方形，可得（b-a）2=1，求出2ab=12，即可求解．
【详解】解：由题意得：四边形ABCD和四边形EFGH是正方形，
∵正方形ABCD的面积为13，
∴AD2=13=a2+b2①，
∵中间空白处的四边形EFGH的面积为1，
∴（b-a）2=1，
∴a2-2ab+b2=1②，
①-②得：2ab=12，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=13+12=25，
故答案为：25．
【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，勾股定理，完全平方公式等知识，掌握菱形的性质，求
出2ab=12是解题的关键．
13．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期中）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成
的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连接CG．若AE
＝2BE＝2√5cm，则线段CG＝_____cm．【答案】5√2
【分析】过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T，设BH交CF于M，AE交DF于N．根据全等三角形的性
质得到BE＝AN＝CM＝DF＝√5，AE＝BM＝CF＝DN＝2√5，根据正方形的性质得到∠EFH＝∠TFG＝
45°，∠NFE＝∠DFG＝45°，根据勾股定理即可得到答案．
【详解】解：如图，过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T，设BH交CF于M，AE交DF于N．
∵BE＝AN＝CM＝DF＝√5，AE＝BM＝CF＝DN＝2√5，
∴EN＝EM＝MF＝FN＝√5，
∵四边形ENFM是正方形，
∴∠EFH＝∠TFG＝45°，∠NFE＝∠DFG＝45°，
∵GT⊥TF，DF⊥DG，
∴∠TGF＝∠TFG＝∠DFG＝∠DGF＝45°，
∴TG＝FT＝DF＝DG＝√5，
∴CT＝3√5，
∴CG＝√ (3√5) 2+(√5) 2=5√2，
故答案为：5√2．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的
关键．
14．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期中）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一
个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接图
2中四条线段得到如图3的新图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为2，图3中阴影
部分的面积为S，那么S的值为______．【答案】21
【分析】阴影部分由四个全等的三角形和一个小正方形组成，分别求三角形和小正方形面积即可．
【详解】由题意作出如下图，阴影部分由四个与△ABD全等的三角形和一个边长为BD的正方形组成
由题意得：AB=CD=2，BC=5，BD=BC−CD=3
1 1
∴S = AB⋅BD= ×3×2=3，
△ABD 2 2
S =BD2=32=9
小正方形
∴S=4S +S =4×3+9=21
△ABD 小正方形
故答案为：21．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，根据正方形的面积公式和三角形形的面积公式得出它们之间的关系
是解题的关键．
15．（2022春·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期中）如图，△ABF、△BCG、△CDH、
△DAE为四个全等的直角三角形，BD与CH、EG、AF分别交于点M、O、N，且满足DN=DC，则两
个阴影部分的面积和与四边形ABCD面积的比值为___________．
√2
【答案】1−
2【分析】设AE=BF=a，AF=DE=b，先证明Rt△ADE≌Rt△NDE(HL)，得出AE=NE=a，然后根
据等积法求出a=(√2−1)b，再分别求阴影部分的面积和四边形ABCD面积，最后求出比值即可．
【详解】解：∵△ABF、△BCG、△CDH、△DAE为四个全等的直角三角形，
∴AD=CD=BC=AB，∠AED=90°=∠DEN，四边形ABCD是正方形，AE=BF=CG=DH，
AF=BE，
又DN=DC，
∴AD=DN，
又DE=DE，
∴Rt△ADE≌Rt△NDE(HL)，
∴AE=NE，
设AE=BF=a，AF=DE=b，
则NE=a，
1 1 1 1
∴S =S +S = AN⋅BF+ AN⋅DE= ×2a⋅a+ ×2a⋅b=a2+ab，
△ABD △ABN △ADN 2 2 2 2
在Rt△ABF中，AB2=AF2+BF2=a2+b2，
1 1
∴S = AB2= (a2+b2)，
△ABD 2 2
1
∴
(a2+b2)=a2+ab，
2
∴a2+2ab=b2，
∴a2+2ab+b2=2b2，即(a+b) 2=2b2，
∴a=(√2−1)b或a=−(√2+1)b（不符合题意，舍去），
1 1
∴S =2× AN⋅BF=2× ×2a⋅a=2a❑2=2(√2−1) 2 b2 ，
阴影 2 2
S =a2+b2=(√2−1) 2 b2+b2=(4−2√2)b2，
四边形ABCD
2(√2−1) 2 b2 2(√2−1) 2 b2 √2−1 √2
∴两个阴影部分的面积和与四边形ABCD面积的比值为 = = =1− ．
(4−2√2)b2 2√2(√2−1)b2 √2 2
√2
故答案为：1− ．
2【点睛】本题考查了勾股定理的应用、全等三角形的判定与性质等知识，根据等积法求出a=(√2−1)b是
解题的关键．
16．（2022春·福建宁德·八年级统考期中）我国古代数学家赵爽在注解《周牌算经》时给出的“赵爽弦
图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形．如图，若拼成的大正方形为正
方形ABCD，面积为9，中间的小正方形为正方形EFGH，面积为2，连结AC，交BG于点P，交DE于
1 √2
点M，①△CGP≌△AEM，②S −S = ，③DH+HC=4，④HC=2+ ，以上说法正确的是
△AFP △CGP 2 2
______．（填写序号）
【答案】①③④
【分析】根据正方形得性质、勾股定理、平行线的性质、全等三角形的判定与性质和梯形面积的计算逐项
判断即可．
【详解】解：∵四边形EFGH为正方形，
∴∠AEM=∠HEF=∠FGH=∠CGP=90°，EM∥PF，AF∥CH，AD=BC，
∴∠EAM=∠GCP，
由题意得，Rt△AED≅Rt△CGB，
∴AE=CG，
在△AEM和△CGP中，
¿，
∴△CGP≌△AEM (ASA)，故①正确；
由①得S =S ，EM=PG，
△AEM △CGP
∴S −S =S −S
△AFP △CGP △AFP △AEM
1
=S = (EM+PF)·EF
梯形FPME 2
1 1
= (PG+PF)·EF= FG·EF
2 2
1
= S
2 正方形EFGH∵S =2，
正方形EFGH
∴S −S =1，故②错误；
△AFP △CGP
用x，y表示直角三角形的两条边(xb，
由题意可知：
S =(a+b) 2 ，S =a2+b2 ，S =(a−b) 2 ，
1 2 3
因为S +S +S =24，即
1 2 3
(a+b) 2+a2+b2+(a−b) 2=24，
3(a2+b2 )=24，
所以3S =24，
2
S 的值是8．
2
所以正方形EFGH的边长为√8=2√2．
故答案为：2√2．
【点睛】本题考查了正方形的面积、勾股定理，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示面积．
18．（2022春·福建三明·八年级统考期中）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代
数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图，如果大正方
形的面积是49，小正方形的面积为4，直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，下列四个说法：
①a2+b2=49,②a−b=4,③2ab+4=49,④a+b=9.其中正确的是________．【答案】①③##③①
【分析】分别求出小正方形及大正方形的边长，然后根据面积关系得出a与b的关系式，依次判断所给关
系式即可．
【详解】解∶由题意可得小正方形的边长=2，大正方形的边长=7，故可得a−b=2，即②错误；
a2+b2等于大正方形斜边的平方=大正方形的面积=49，即①正确；
小正方形的面积+四个直角三角形的面积等于大正方形的面积，即可得2ab+4=49，即③正确；
根据③可得2ab=45，故可得(a+b) 2=a2+b2+45=94，从而可得a+b=√94，即④错误．
综上可得①③正确，
故答案为∶①③
【点睛】本题考查了勾股定理及直角三角形的知识，根据所给图形，利用面积关系判断a与b的关系是解
答本题的关键．
19．（2022秋·北京·八年级101中学校考期中）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四
个全等的直角三角形围成的．若直角三角形的一个锐角为30°，将各三角形较短的直角边分别向外延长一
倍，得到图②所示的“数学风车”，设AB＝2，则图中阴影部分面积为__________．
【答案】8+4√3##4√3+8
【详解】解：如图，
设AC＝x，则BC＝AD＝2+x，
∵∠ADC＝30°，
1
∴AC= AD
2∴AD=√3AC，
∴2+x=√3x，
∴x=√3+1，
∴AC=√3+1，
∵将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，DE=AC=√3+1
1 1
∴图中阴影部分面积＝4× AC2＝4× ×(√3+1) 2 ＝8+4√3
2 2
故答案为8+4√3．
【点睛】本题考查旋转角的定义以及直角三角形的性质，本题关键在于用AB表示出AC的长度
20．（2021春·辽宁锦州·八年级统考期中）如图，正方形ABCD的边长为1，其面积标记为S ，以CD为斜
1
边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，
2
按照此规律继续下去，则S 的值为______．
2021
1 1 2020
【答案】 ##( )
22020 2
【分析】根据题意求出面积标记为S 的正方形边长，得到S，同理求出S，根据规律解答．
2 2 3
【详解】解：∵正方形ABCD的边长为1，
√2
∴面积标记为S 的正方形边长为 ，
2 2
√2 1 1
则S=（ ）2= = ，
2 2 2 21
√2 √2 1
面积标记为S 的正方形边长为 × = ，
3 2 2 2
1 1 1
则S=（ ）2= = ，
3 2 4 22
……，
1
则S 的值为： ，
2021 220201
故答案为： ．
22020
【点睛】本题考查的是勾股定理、正方形的性质，根据勾股定理求出等腰直角三角形的边长是解题的关键．
三、解答题
21．（2023春·江苏南京·八年级统考期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c．
将Rt△ABC绕点O依次旋转90°、180°和270°，构成的图形如图1所示．该图是我国古代数学家赵爽制
作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在
北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．
(1)请利用这个图形证明勾股定理；
(2)图2所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个Rt△ABC绕中心点O顺时针连续旋转3
次，每次旋转90°得到的，如果中间小正方形的面积为1cm2，这个图形的总面积为113cm2，AD=2cm，
则徽标的外围周长为________cm．
【答案】(1)见解析
(2)52
【分析】（1）从整体和部分分别表示正方形的面积即可证明；
1
（2）设Rt△ABC的较长直角边为a，短直角边为b，斜边为c，则有a−b=3，4× ab+1=113，利于整
2
体思想可求出斜边c的长，从而解决问题．
【详解】（1）证明：∵正方形的边长为c，
∴正方形的面积等于c2，
∵正方形的面积还可以看成是由4个直角三角形与1个边长为(a−b)的小正方形组成的，
1
∴正方形的面积为：4× ab+(a−b) 2=a2+b2 ，
2∴c2=a2+b2；
（2）解：设Rt△ABC的较长直角边为a，短直角边为b，斜边为c，
1
根据题意得，a−b=3，4× ab+1=113，
2
又∵c2=a2+b2
=(a−b) 2+2ab
=32+112
=121
∴c=11cm，
故徽标的外围周长为：4×(11+2)=52(cm)．
故答案为：52．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，完全平方公式等知识，运用整体思想求出斜
边c的长，是解题的关键．
22．（2022春·江苏·八年级统考期中）我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1
的“弦图”（史称“赵爽弦图”） ．
(1)弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长
为c，结合图1，试验证勾股定理；
(2)如图2，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外围轮廊（粗线）的周长为
24，OC=3，求该“勾股风车”图案的面积；
(3)如图3，将八个全等的直角三角形（外围四个和内部四个）紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形
EFGH，正方形MNKT的面积分别为S 、S 、S ，若S +2S +S =20，则S = ．
1 2 3 1 2 3 2
【答案】(1)证明见详解
(2)“勾股风车”图案的面积为24(3)5
【分析】（1）根据图形可知S =4S +S ，由此即可求解；
大正方形 △ABC 小正方形
（2）已知图形的周长，可求出直角三角形的斜边长，已知OC=3，则可求出直角三角形的两条直角边，
由此即可求出“勾股风车”图案的面积；
（3）八个全等的直角三角形，且图形的面积是由三角形和正方形组成，S +2S +S =20，设直角三角形
1 2 3
的两条直角边分别为m，n，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：由图①可知S =4S +S ，
大正方形 △ABC 小正方形
1
∵S =c2，S = ab，S =(a−b) 2 ，
大正方形 △ABC 2 小正方形
1
∴c2=4× ab+(a−b) 2=2ab+a2−2ab+b2 ，
2
即c2=a2+b2．
（2）解：四个全等的直角三角形，外围轮廊（粗线）的周长为24，OC=3，设AC=x，
∴4AB+4AC=24，即4 AB+4x=24，
∴AB=6−x，
在Rt△OAB中，AB2=OB2+OA2，OB=OC=3，OA=OC+AC=3+x，
∴(6−x) 2=32+(3+x) 2，解方程得，x=1，即AC=1，
∴OA=3+1=4，OB=3，
1
∴S = ×3×4=6，
△OAB 2
∴“勾股风车”图案的面积是6×4=24．
（3）解：设AE=m，AH=n，
1
∴S =4× mn+m2+n2 ，S =m2+n2 ，S =(n−m) 2=n2−2mn+m2 ，
1 2 2 3
∴S +2S +S =2mn+m2+n2+2m2+2n2+m2−2mn+n2=4m2+4n2=4S =20，
1 2 3 2
∴S =5．
2
【点睛】本题主要考查勾股定理，理解直角三角形三边关系是解题的关键．
23．（2019秋·广西河池·八年级统考期中）如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在
Rt△ABC中，AC=b，BC=a，∠ACB=90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，求
(a+b) 2的值．【答案】(a+b) 2=79
【分析】根据正方形的面积公式和三角形的面积公式即可求出(b−a) 2=5，2ab=37，然后根据完全平方
公式的变形即可求出结论．
【详解】解：小正方形面积=(b−a) 2=5
1
4个小直角三角形的面积=4× ab =42−5
2
∴2ab=37
∴(a+b) 2 =(b−a) 2+4ab =5+2×37 =79
【点睛】此题考查的是全等三角形的性质和完全平方公式的变形，掌握全等三角形的性质、正方形的面积
公式、三角形的面积公式和完全平方公式的变形是解决此题的关键．
24．（2022春·江苏·八年级统考期中）如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角
形，拼成如图2所示的“赵爽弦图”，得到大小两个正方形．
(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长；
(2)已知图2中小正方形面积为36，求大正方形的面积？
【答案】(1)a+3
(2)90【分析】（1）用直角三角形较长的直角边减去较短的直角边即可；
（2）先根据小正方形的面积求出a的值，再根据正方形的面积＝边长的平方求解即可．
1
【详解】（1）解：∵直角三角形较短的直角边= ×2a=a，
2
较长的直角边=2a+3，
∴小正方形的边长=2a+3−a=a+3；
（2）解：小正方形的面积=(a+3) 2=36，
∴a+3=6或a+3=−6，
∴a=3，或a=−9（舍去），
∴2a+3=9，
∴大正方形的面积=92+32=90．
【点睛】本题考查了以弦图为背景的计算，整式的加减，利用平方根的定义解方程，数形结合是解题的关
键．
25．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为
“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了
“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．
请你观察下列三组勾股数：(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25)…分析其中的规律，可以发现这些勾股数的勾都
是奇数，且从3起就没有间断过．
1 1
当勾为3时，股4= ×(9−1)，弦5= ×(9+1)；
2 2
1 1
当勾为5时，股12= ×(25−1)，弦13= ×(25+1)；
2 2
1 1
当勾为7时，股24= ×(49−1)，弦25= ×(49+1)．
2 2
(1)如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝ ，弦＝ ，则据
此规律第四组勾股数是 ．
(2)若a=m2−1,b=2m,c=m2+1，其中m>1且m是整数．求证：以a,b,c为边的△ABC是直角三角形．
1 1
【答案】(1)
(n2−1)， (n2+1)，(9,40,41)
2 2
(2)见解析
1 1
【分析】（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股= (n2−1)，弦= (n2+1)；当n=9时，即
2 2可求出第四组勾股数；
（2）根据勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形
进行解答即可．
1 1
【详解】（1）解：如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股= (n2−1)，弦= (n2+1)；
2 2
1 1 1 1
当n=9时， (n2−1)= ×(92−1)=40， (n2+1)= ×(92+1)=41；
2 2 2 2
∴第四组勾股数是(9,40,41)．
1 1
故答案为：
(n2−1)， (n2+1)，(9,40,41)；
2 2
（2）证明：∵a=m2−1,b=2m,c=m2+1，其中m>1且m是整数，
∴(m2−1) 2+(2m) 2=m4−2m2+1+4m2=m4+2m2+1=(m2+1) 2，
∴a2+b2=c2，
∴以a,b,c为边的△ABC是直角三角形．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、完全平方式的应用等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理
是解题关键．
26．（2022春·福建宁德·八年级统考期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三
角形（如图1）与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）．
(1)利用图2正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理，该定理的结论用字母表示： ；
(2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，满足AE=BC=a，DE=AC=b，AD=AB=c，
∠AED=∠ACB=90°，求证（1）中的定理结论；
(3)如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE=m，HG=n，求正方形BDFA的面积．（用m，n
表示）
【答案】(1)c2=a2+b2
(2)见解析m2+n2
(3)
2
【分析】（1）由大正方形的面积的两种表示列出等式，可求解；
（2）由四边形ABCD的面积两种计算方式列出等式，即可求解；
（3）分别求出a，b，由勾股定理可求解．
1
【详解】（1）解：∵大正方形的面积=c2，大正方形的面积=4× ×a×b+(b−a) 2 ，
2
1
∴c2=4× ×a×b+(b−a) 2 ，
2
∴c2=a2+b2，
故答案为：c2=a2+b2；
（2）证明：如图：连接BD，
∵Rt△ABC≌Rt△DAE，
∴∠ADE=∠BAC，
∴∠DAE+∠ADE=90°=∠DAE+∠BAC，
∴∠DAB=90°，
1 1 1 1
∵S = c2+ a(b−a)， S =2× ab+ b(b−a)，
四边形ABCD 2 2 四边形ABCD 2 2
1 1 1 1
∴ c2+ a(b−a)=2× ab+ b(b−a)，
2 2 2 2
∴c2=a2+b2；
（3）解：由题意可得：CE=CD+DE，GH=AG−AH，
∴m=a+b，n=b−a，
m−n m+n
∴a= ，b= ，
2 2
m2+n2
∴BD2=BC2+CD2=a2+b2= ，
2m2+n2
∴正方形BDFA的面积为 ．
2
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是
解题的关键．
27．（2022春·江西抚州·八年级统考期中）我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长
度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列
两个问题：
(1)如图①是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理；
(2)如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，求CD的长度；
(3)如图①，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求(a+b) 2的值．
【答案】(1)见解析
12
(2)CD=
5
(3)25
【分析】（1）分别用两种方法求出大正方形的面积，根据面积相等列等式，即可证明；
（2）先根据勾股定理求出AB，再根据等面积法即可求解；
（3）根据（1）的结果，可得c2=a2+b2=13，(b−a) 2=a2+b2−2ab=1，即有
a2+b2−(a2+b2−2ab)=2ab=13−1=12，则问题得解．
1
【详解】（1）∵S =c2，S =(b−a) 2，4个直角三角形的面积为：S=4× ab=2ab，
大正方形 小正方形 2
又∵S =S +S，
大正方形 小正方形
∴c2=2ab+(b−a) 2=2ab+b2−2ab+a2=a2+b2，即c2=a2+b2；
（2）由勾股定理得：BC2+AC2=AB2，AC=4，BC=3，
∴32+42=AB2，
∴AB=5，
1
∵S = ×AC×BC=6，
△ABC 2
1
又∵S = ×AB×CD，
△ABC 2
1 1
∴ ×AB×CD= ×AC×BC=6，
2 2
∵AB=5，
6×2 12
∴CD= = ；
AB 5
（3）根据（1）有：S =c2，S =(b−a) 2，c2=a2+b2，
大正方形 小正方形
又∵S =c2=13，S =(b−a) 2=1，
大正方形 小正方形
∴c2=a2+b2=13，(b−a) 2=a2+b2−2ab=1，
∴a2+b2−(a2+b2−2ab)=2ab=13−1=12，
∴(a+b) 2=a2+b2+2ab=13+12=25，
即值为25．
【点睛】本题考查了勾股定理的验证，勾股定理以及完全平方公式的知识，理解并灵活运用等面积法是解
答本题的关键．
28．（2022春·福建泉州·八年级泉州七中校考期中）我们知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，
其中直角所在的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边（（如图①所示）．数学家还发现：在一个直角三
角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方，即如果一个直角三角形的内条直角边长度分别是a和
b，斜边长度是c，那么a2+b2=c2．(1)直接填空：如图①，若a=3，b=4，则c=__________；
(2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，
试说明a2+b2=c2．
(3)如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8，BC=10，利
用上面的结论求EF的长？
【答案】(1)5
(2)见解析
(3)EF=5
【分析】（1）直接根据直角三角形三条边的关系进行计算即可；
（2）根据梯形面积等于三个三角形的面积和推导即可；
（3）根据折叠的性质得出DE=EF,AD=AF=10,然后根据直角三角形三边关系得出
BF=√AF2−AB2=√102−82=6，进而得出CF=4，设DE=EF=x，则CE=8−x，在Rt△EFC中，
EF2=FC2+EC2，列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵a2+b2=c2，
∴c=√a2+b2=√32+42=5，
故答案为：5；
1 1 1 1
（2）根据题意得： (a+b)×(a+b)= ab+ ab+ c2 ，
2 2 2 2
1 1
则 (a2+2ab+b2 )=ab+ c2 ，
2 2
1 1 1
∴
a2+ab+ b2=ab+ c2
，
2 2 2
1 1 1
∴
a2+ b2= c2
，
2 2 2∴a2+b2=c2；
（3）∵折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，
∴DE=EF,AD=AF=10,
∴BF=√AF2−AB2=√102−82=6,
∴CF=4,
设DE=EF=x，则CE=8−x，
在Rt△EFC中，EF2=FC2+EC2，
即x2=42+(8−x) 2，
解得x=5，
∴EF=5．
【点睛】本题考查了直角三角形的三边关系－勾股定理，以及勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本
题的关键．
29．（2022秋·广西河池·八年级统考期中）我国三国时期数学家赵爽在《周髀算经》中利用了“弦图”．
如图，由4个全等的直角三角形(Rt ΔAFB≅Rt ΔBGC ≅Rt ΔCHD≅Rt ΔDEA)和与一个小正方形
EFGH恰好拼成一个大正方形ABCD，每个直角三角形的两条直角边分别为a，b(a
